On sums of coefficients of Borwein type polynomials over arithmetic progressions
得到了$$\prod_{j=1}^n\prod_{k=1}^{p-1}(1-q^{pj-k})^s,$$型多项式系数在等差数列上求和的渐近公式，其中$p$是奇素数，$n, s$是正整数.让我们用$a_i$表示上述多项式中的$q^i$的系数，并假设$b$是整数。我们证明了$$\Big|\sum_{i\equiv b\ \text{mod}\ 2pn}a_i-\frac{v(b)p^{sn}}{2pn}\Big|\leq p^{sn/2},$$，其中$v(b)=p-1$，如果$b$可被$p$整除，否则$v(b)=-1$。这改进了Goswami和Pantangi最近的结果。
2021-04-06 math.CO math.NT
A Quantitative Bound For Szemerédi's Theorem for a Complexity One Polynomial Progression over $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$
本文针对 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上一类复杂度一的四项多项式级数，改造 Peluse 的次数降低方法并结合二次 Fourier 分析，给出缺失该级数集合大小的迭代对数定量界。
2024-05-20 math.CA math.CO math.NT
The sum of digits of polynomial values in arithmetic progressions
令$q, m\geq 2$是整数，其中$(m,q-1)=1$。用$s_q(n)$表示$q$进制数字展开式中$n$的位数之和。进一步令$p(x)\in mathbb{Z}[x]$是具有$p(\mathbb{N})\subset \mathbb{N}$的次数$h\geq 3$的多项式。我们证明了存在$C=C(q,m,p)>0$和$N_0=N_0(q,m,p)\geq 1$，使得对于所有$g\in\mathbb{Z}$和所有$N\geq N_0$，$$#\{0\leq n< N: \quad s_q(p(n))\equiv g \bmod m\}\geq C N^{4/(3h+1)}.$$这是对Dartyge和Tenenbaum（2006）给出的一般下界的改进，该下界是$C N^{2/h!}$。
2011-10-21 math.CO math.NT
On polynomial progressions via transference
本文利用迁移原理，在素数模群和整数情形下建立多项式 Szemerédi 定理的新合理界，并给出避免固定多项式公差模式集合的定量上界。
2025-06-16 math.CO math.NT
Polynomial progressions in topological fields
针对一般局部紧拓扑域$K$中系数在$K$、无常数项且次数不同的多项式，给出正密度集$S\subseteq K$中多项式序列的定量计数，其证明依赖独立有趣的$L^{\infty}$逆定理及相关Sobolev改进估计。
2024-09-13 math.CA math.CO math.NT
Quantitative concatenation for polynomial box norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Jagiellonian University（雅盖隆大学）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
该研究通过定量拼接技术，建立了多项式盒范数的控制，为研究缺乏特定多项式进展的集合提供了关键方法。
2026-01-21 math.CO math.NT
Further bounds in the polynomial Szemerédi theorem over finite fields
我们提供了上界的大小的子集的有限域缺乏多项式级数$$ x, x+y, ..., x+(m-1)y, x+y^m, ..., x+y^{m+k-1}.$$这些是第一个已知的上界在多项式Szemerédi定理的情况下，多项式既不是线性无关，也不是齐次的相同程度。此外，我们改进了已知的界限子集的有限域缺乏等差数列的差异来自一组的$k$ -th幂剩余，即配置的形式$$ x, x+y^k, ..., x+(m-1)y^k.$$这两个结果遵循从估计的数量这样的级数在任意子集的一个有限域。
2020-01-15 math.CO math.NT
Polynomial progressions in the generalized twin primes
本文基于Maynard定理及Polymath项目改进，利用Tao和Ziegler的转移论证，证明在广义双子素数中存在多项式结构，扩展了Pintz在等差数列中的研究成果。
2026-03-22 math.CO math.NT
Finding Certain Arithmetic Progressions in 2-Coloured Cyclic Groups
我们说一对整数$(a, b)$是可找到的，如果下面是真的。对于任何$δ> 0$，存在一个$p_0$，使得对于任何素数$p \ge p_0$和任何红-蓝着色的$\mathbb{Z} /p\mathbb{Z}$，其中每种颜色的密度至少为$δ$，我们可以在$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$中找到长度$a+b$的算术级数，其第一个$a$元素是红色，其最后一个$b$元素是蓝色。Szemerédi定理的等差数列意味着$(0,k)$和$(1,k)$是可找到的任何$k$。我们证明了$(2, k)$对任何$k$也是可发现的。然而，$(3, k)$的情况并非如此。事实上，我们给出了一个结构，表明$(3, 30000)$是不可找到的。我们还表明无法找到$(14, 14)$。
2018-06-22 math.CO
Hurwitzian continued fractions containing a repeated constant and an arithmetic progression
我们证明了一个明确的公式，无穷多个收敛的Hurwitzian连分数，重复几个副本相同的常数和元素的一个等差数列，在一个准周期的方式。证明涉及组合数学和形式洛朗级数。使用很少的分析，我们可以表达他们的限制（修改）贝塞尔函数和斐波那契多项式。极限公式是Lehmer定理的推广，它包含$e$和$\tan(1)$的连续分数展开，并且它也可以从Lehmer的工作中使用Fibonacci多项式恒等式导出。我们完全描述了我们的极限公式的实现，其中每个贝塞尔函数的参数是一个奇数的一半，允许它们被替换为初等函数。
2013-05-25 math.CO math.NT
An improved asymptotic formula for the distribution of irreducible polynomials in arithmetic progressions over Fq
设$\mathbb{F}_{q}$是具有$q$元的有限域，$\mathbb{F}_{q}[x]$是$\mathbb{F}_{q}$上的多项式环.设$l(x), k(x)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中的互质多项式，$Φ(k)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中的欧拉函数。令$π(l, k; n)$是$\mathbb{F}_{q}[x]$中与$l(x)$模块$k(x)$全等的次数$n$的一元不可约多项式的数目。对于任意正整数$n$，我们用$Ω(n)$表示$n$的最小素因子。在本文中，我们表明，$$π(l, k; n)=\frac{1}{Φ(k)}\frac{q^{n}}{n}+O\left(n^α\right)+O\left(\frac{q^{\frac{n}{Ω{(n)}}}}{n}\right),$$，其中$α$只取决于$k(x)\in\Fq$的选择。请注意，上述误差项改进了Weil猜想所暗示的误差项。我们的方法是完全初级的。
2020-02-20 math.CO
The true complexity of a system of linear equations
众所周知，如果有限阿贝尔群G的子集A满足称为k次一致性的拟随机性性质，则它大致包含长度为k的等差数列的期望个数，也就是说，在与A密度相同的G的随机子集中期望的数列个数。人们自然会问，为了控制一般线性方程组的解的个数，A需要达到什么程度的均匀性。使用所谓的“二次傅里叶分析“，我们表明，某些线性系，以前被认为需要二次均匀性，实际上是由线性均匀性。更一般地，我们猜想一个关于线性系L的充要条件，它保证F_p^n的任意k次一致子集A包含L的期望解数.
2007-11-01 math.CO math.NT
Quantum Algorithms for Gowers Norm Estimation, Polynomial Testing, and Arithmetic Progression Counting over Finite Abelian Groups
本研究提出有限阿贝尔群上Gowers范数估计的量子算法，推广至任意域与高阶k，应用于多项式测试、等差数列计数，且具噪声鲁棒性，可用于NISQ时代量子属性测试等领域。
2025-08-02 math.CO math.NT quant-ph
Multidimensional polynomial patterns over finite fields: bounds, counting estimates and Gowers norm control
本文研究了有限域上涉及线性无关多项式的多维多项式递进，证明了幂次节省界限，并通过定量 PET 归纳、Gowers 盒范数拼接、平滑技术和多维降次论证，为两两独立多项式实现了 Gowers 范数控制。
2024-04-23 math.CO math.NT
Small gaps between configurations of prime polynomials
我们发现任意大的配置的不可约多项式在有限域，分离的低次多项式。我们的证明采用了Pintz从整数中得出的一个论点，在这个论点中，他结合了Goldston-Pintz-Yıldırım和Green-Tao的方法来寻找任意长的广义孪生素数的等差数列。
2015-03-05 math.CO math.NT
Formulations of the PFR Conjecture over $\mathbb{Z}$
多项式Fre \u ıman-Ruzsa猜想是加法组合学中的一个基本的公开问题。然而，在整数（或更一般地，$\mathbb{R}^d$或$\mathbb{Z}^d$）上，最优公式尚未完全确定。该猜想指出，一组小的加倍是由一个非常结构化的集合控制的，具有多项式参数依赖性。模糊性涉及所需的结构化集合的类别。洛维特和雷格夫最近证明了广义等差数列的一个自然公式是不成立的。一个更宽松的替代方案是根据\emph{convex progressions} ;这避免了阻塞，但使用的是一个明显更大的对象类，产生一个较弱的语句。在这里，我们给出了另一个公式的PFR在欧几里德椭圆（和一些变化）。我们表明，它实际上是等同于凸级数版本，即不需要凸级数的全部范围。关键成分是一个强有力的结果，从渐近凸几何。
2017-09-27 math.CO math.NT
Quantitative bounds in the nonlinear Roth theorem
我们证明了存在$c>0$，使得密度至少为$(\log\log{N})^{-c}$的$\{1, \dots, N\}$的任何子集包含$x,x+y,x+y^2$形式的非平凡级数。这是第一个定量有效版本的伯格森-莱布曼多项式Szemerédi定理的进展涉及多项式的不同程度。我们的关键创新是一个逆定理特征集的配置$x,x+y,x+y^2$的数量大大偏离期望值。在证明这一点，我们开发的第一个有效的例子的级联定理的陶和齐格勒，多项式的界限。
2022-01-07 math.CO math.NT
Approximate polynomial structure in additively large sets
我们证明了具有正对数Banach密度的自然数的任何子集都包含一个集，该集在等比数列的2个因子内，改进了作者先前结果的界。给出了自然数子集上的稠密性条件，该条件暗示了等差数列的近似幂的存在。
2015-08-10 math.CO math.LO
Mixing for progressions in non-abelian groups
研究了有限非阿贝尔群模型类中长度为3和4的级数$(x,xg,xg^2)$，$(x,xg,xg^2,xg^3)$的混合性质，即有限域$F$上的特殊线性群$SL_d(F)$，其中$d$有界.对于长度为3的级数$(x,xg,xg^2)$，我们建立了一个强混合性质（与错误项，衰减多项式的顺序$|F|$的$F$），其中除其他事项外，计数的数量，这样的级数在任何给定的稠密子集$A$的$SL_d(F)$，回答了高尔斯的问题，这类群体。对于长度为4的级数$(x,xg,xg^2,xg^3)$，我们建立了一个部分的结果，在$d=2$的情况下，如果移位$g$被限制为可对角化的领域，虽然在这种情况下，我们不恢复多项式边界的误差项。我们的方法包括使用柯西-施瓦茨不等式，阿贝尔傅立叶变换，朗-韦伊界的有限域上的代数簇中的点的数量，一些代数几何，和（在长度为四的情况下）多维Szemerédi定理。
2013-05-31 math.CO math.GR
Reasonable bounds for Restricted Polynomial Progressions in $\mathbb F^n_p$
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文针对有限域$\text{F}^n_p$中不含受限多项式级数的集合，给出了优于逆阿克曼型的密度上界，证明中用到了噪声稳定性逆定理并证明了相关分布无阿贝尔嵌入。
2026-11-09 math.CA math.CO math.NT
Efficient equidistribution of periodic nilsequences and applications
本文通过建立周期幂零序列的等分布定理，改进了一类多项式 progression 的拟多项式界，证明了拟多项式 $U^4[N]$ 逆定理，并改进了无 5 项算术级数集合的界。
2024-02-27 math.CA math.CO math.DS
On Polynomial Progressions Inside Sets of Large Dimension
University of Bristol（布里斯托大学）；University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）
本文通过Sobolev估计与Fourier谱，证明了大Hausdorff维数集合包含非平凡多项式递推，并给出广义三项算术递推的简短证明。
2026-09-18 math.CA math.CO
Truncated MacMahon-type $q$-series in arithmetic progressions and Chebyshev expansions
Department of Mathematics, Wenzhou University（温州大学数学系）
本文研究三类有限族MacMahon型q级数，通过加权初等对称函数论证证明$B_{k,m,N,r}^{\pm}(q)$的双q二项式展开，建立$A、C$族的切比雪夫多项式展开，证明并推广Merca的相关猜想，还给出两类族$a=-2$恒等式的加权分拆证明。
2026-08-10 math.CO math.NT
General Eulerian Numbers and Eulerian Polynomials
本文将在一般等差数列的基础上定义一般欧拉数和欧拉多项式。在新的定义下，我们成功地将传统欧拉数和欧拉多项式的一些著名性质推广到了一般欧拉多项式和欧拉数。
2012-07-02 math.CO
On the polynomial Szemerédi theorem in finite fields
设$P_1,\dots,P_m\in\mathbb{Z}[y]$是任意常数项为零的线性无关多项式。证明了存在一个$γ>0$，使得$\mathbb{F}_q$的任何子集的大小至少为$q^{1-γ}$，包含一个非平凡的多项式级数$x,x+P_1(y),\dots,x+P_m(y)$，只要$\mathbb{F}_q$的特征足够大.
2018-11-07 math.CO math.NT
Green-Tao theorem in function fields
我们适应的证明格林-陶定理的等差数列素数的多项式在有限域上的设置，以表明，对于每一个$k$，不可约多项式在$\mathbf{F}_q[t]$包含配置的形式$\{f+ Pg : \d(P)<k \}, g \neq 0$。
2009-09-02 math.CO math.NT
General systems of linear forms: equidistribution and true complexity
阿贝尔群的子集中的小线性结构（如等差数列）的密度可以表示为涉及线性型的某些解析平均。高阶傅里叶分析通过用有限数目的多项式的函数来近似子集的指示函数来检查这样的平均值。然后，为了近似平均值，只需知道应用于线性型的多项式的联合分布。当$p$是一个固定素数时，我们证明了一个描述群$\mathbb{F}_p^n$的这些分布的近等分布定理。这个基本事实等价于关于高阶特征的强近正交性陈述，并且以前仅在关于线性型的各种额外假设下才知道。作为我们的近等分布定理的一个应用，我们解决了Gowers和Wolf关于群$\mathbb{F}_p^n$的线性型系统的真复杂性的一个猜想.
2014-05-07 math.CO math.NT
Faulhaber's Theorem on Power Sums
我们发现经典的Faulhaber奇次幂和定理对任意等差数列也成立，即任意等差数列$a+b, a+2b, ..., a+nb$的奇次幂和是$na+n(n+1)b/2$中的多项式.虽然这个断言可以从原来的Fauhalber定理推导出来，我们给出了一个替代公式的伯努利多项式。此外，利用Knuth方法中的中心阶乘数，我们在不借助$r$ -自反函数的概念的情况下，得到了$r$ -重幂和的公式.我们还提供了关于欧拉多项式的$r$ -重交替幂和的公式。
2008-07-27 math.CO
Graver degrees are not polynomially bounded by true circuit degrees
设$I_A$是复曲面理想。我们证明了$I_A$的Graver基的元素的阶不被$I_A$的回路的真阶多项式有界.
2013-06-14 math.AC math.CO
A Hardy field extension of Szemeredi's Theorem
在1975年Szemerédi证明了一组整数的积极上密度包含任意长的算术级数。Bergelson和Leibman在1996年证明了等差数列的公差可以是正方形、立方体，或者更一般的形式为$p(n)$，其中$p(n)$是任何常数项为零的整数多项式。我们产生了各种新的结果，这种类型的序列，不是多项式。证明了Szemerédi定理中级数的公差可以是$[n^δ]$的形式，其中$δ$是任意正实数，$[x]$表示$x$的整数部分.更一般地，公差可以是$[a(n)]$的形式，其中$a(x)$是作为哈代域的成员并且对于某个非负整数$k$满足$a(x)/x^k\to \infty$和$a(x)/x^{k+1}\to 0$的任何函数。证明结合了一个新的结构的Hardy序列的结果，遍历理论的技术，和一些最近的序列的均匀分布的结果。
2012-08-22 math.CO math.DS
Schur Q-polynomials, multiple hypergeometric series and enumeration of marked shifted tableaux
我们研究舒尔Q-多项式评价的等比数列，或等价的q-枚举标记移位tableaux，寻求明确的公式，保持经常在q=1。得到了多重基本超几何级数、连续q-超球或连续q-雅可比多项式的行列式和行列式的表达式。作为特殊情况，我们得到了简单的闭公式的楼梯型分区。
2006-10-09 math.CA math.CO
Polynomial equations in function fields
Croot，Lev，Pach \cite{CLP}在$\Z_4^n$中关于无进展集的突破性论文介绍了一种多项式方法，该方法产生了丰富的应用，例如Ellenberg和Gijswijt对帽集问题\cite{EG}的解决方案。使用这种方法，我们绑定的一组多项式的$\F_q$的次数小于$n$，是免费的解决方案，以方程$\sum_{i=1}^k a_if_i^r=0$，其中系数$a_i$是多项式的总和为0，变量的数量满足$k\geq 2r^2+1$。我们得到的界限是$q^{cn}$的形式为某一常数$c<1$。这与已知的整数中相应问题的最佳界限形成对比，后者仅提供对数节省，但已经在$k\geq r^2+1$变量的情况下工作。
2017-01-25 math.CO math.NT
Polynomial bounds for chromatic number. II. Excluding a star-forest
Gyarfas-Sumner猜想说，对于每一个森林$H$，存在一个函数$f$，使得如果$G$是$H$ -free，则$χ(G)\le f(ω(G))$（其中$χ, ω$是色数和$G$的团数）。Louis Esperet解释说，只要这样的陈述成立，$f$就可以被选为多项式。Gyarfas-Sumner猜想只对一组适度的森林$H$成立，而埃斯佩雷特猜想几乎不对森林成立。例如，当$H$是五顶点路时，我们不知道。这里我们证明了当$H$的每个分支都是星时的Esperet猜想。
2021-07-25 math.CO
