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改进 Behrend 构造：整数与有限域上不含等差数列的集合

Improving Behrend's construction: Sets without arithmetic progressions in integers and over finite fields

Christian Elsholtz, Zach Hunter, Laura Proske, Lisa Sauermann

备注：
(15 pages). This manuscript replaces the two manuscripts arXiv:2401.12802 and arXiv:2401.16106
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AI总结：

本文改进 Behrend 构造，分别为整数区间和有限域向量空间中不含三项等差数列的集合建立更大的最大尺寸下界。

摘要：

我们证明了不含三项等差数列的子集 $A\subseteq\{1,\dots,N\}$ 或 $A\subseteq\mathbb{F}_p^n$ 的最大大小的新下界。在 $\{1,\dots,N\}$ 的情形下，这是自1946年 Behrend 的经典构造以来，除低阶因子外的首次改进（特别是，这是首次拟多项式改进）。在固定素数 $p$ 且 $n$ 很大的 $\mathbb{F}_p^n$ 情形下，我们证明了对某个绝对常数 $c>1/2$ 存在 $(cp)^n$ 的下界（当 $c=1/2$ 时，这种界可通过1940年代的经典构造获得，但改进它一直是一个著名的开放问题）。

英文摘要：

We prove new lower bounds on the maximum size of subsets $A\subseteq \{1,\dots,N\}$ or $A\subseteq \mathbb{F}_p^n$ not containing three-term arithmetic progressions. In the setting of $\{1,\dots,N\}$, this is the first improvement upon a classical construction of Behrend from 1946 beyond lower-order factors (in particular, it is the first quasipolynomial improvement). In the setting of $\mathbb{F}_p^n$ for a fixed prime $p$ and large $n$, we prove a lower bound of $(cp)^n$ for some absolute constant $c>1/2$ (for $c = 1/2$, such a bound can be obtained via classical constructions from the 1940s, but improving upon this has been a well-known open problem).

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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