On sets of integers not containing long arithmetic progressions
我们构造{1，...，N}的基数至少为Nexp（-C（log N）^{1/（k+1）}），不包含长度为2^k+1的等差数列。这推广了Behrend（1946）关于不包含长度为3的伪数列的集合的一个结果。
2001-08-22 math.CO math.NT
On arithmetic progressions in self-similar sets
给定序列$\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$和比率$λ\in (0,1),$，设$E=\cup_{i=1}^n(λE+b_i)$是齐次自相似集。本文研究了$E$中等差数列的存在性和最大长度。我们的主要思想是从多个$β$ -扩展。
2019-01-20 math.NT
Product Sets of Arithmetic Progressions in Function Fields
本文研究了有限域上多项式有限算术数列的乘积集合，证明了在宽参数范围内一致的乘积集合大小下界，并据此解决了Erdős乘法表问题的函数域变体。
2023-09-17 math.NT
Improved bounds for arithmetic progressions in product sets
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。我们证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中最长等差数列的长度不可能大于$O(n \log n)$，它与文献[1]中给出的下界相匹配，直到一个乘法常数.对于复数的集合，我们改进了对任意$ε> 0$的$O_ε(n^{1 + ε})$的约束，假设GRH。
2015-02-12 math.NT
Sets without $k$-term progressions can have many shorter progressions
令$f_{s,k}(n)$为不含$k$ -项等差数列的$n$整数序列$a_1<a_2<\ldots<a_n$中$s$ -项等差数列的最大可能数.对所有的整数$k > s \geq 3$，我们证明了$$\lim_{n \to \infty} \frac{\log f_{s,k}(n)}{\log n} = 2,$$，这回答了Erdens的一个老问题.事实上，我们证明了$f_{s,k}(n)$的上界和下界，这表明它的增长是密切相关的Szemerédi定理的界限。
2020-08-07 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in sets with small sumsets
本文给出了一个初等证明：如果$A$是一个有限的数集，且$A+_GA$的和集$|A+_GA|\leq c|A|$沿稠密图$G$很小，则$A$包含$k$ -项等差数列.
2005-03-28 math.CO math.NT
Progression-free sets in Z_4^n are exponentially small
我们表明，对于整数$n>0$，任何子集$A \subset Z_4^n$免费的三项等差数列的大小$|A| < 4^{c n}$，与一个绝对常数$c \approx 0.926$。
2016-05-21 math.CO math.NT
Long Arithmetic Progressions in Critical Sets
在本文中，我们证明：如果0 < d < 1，且p是一个充分大的素数，则如果S是Z/pZ的一个子集，在Z/pZ的所有至少有dp个元素的子集中具有最少数量的三项等差数列，则S有一个长度至少为log^{1/4+o（1）} x的等差数列。
2004-03-05 math.CO math.NT
Product sets cannot contain long arithmetic progressions
令$B$是大小为$n$的自然数的集合。证明了乘积集$B.B = \{bb'| \, b, b' \in B\}$中包含的最长等差数列的长度不可能大于$O(\frac{n\log^2 n}{\log \log n})$，并给出了一个乘积集包含长度为$Ω(n \log n)$的等差数列的例子.对于复数的集合，我们得到了上界$O(n^{3/2})$。
2014-05-18 math.NT
Primitive and geometric-progression-free sets without large gaps
我们证明了存在的原始集（集合的整数，其中没有元素除另一个），其中任何两个连续的条款之间的差距是大大小于最好的已知的上界的差距序列的素数。证明使用概率方法。使用相同的技术，我们改进了他所获得的界限间隙等比数列自由集。
2019-02-04 math.CO math.NT
Geometric progressions in syndetic sets
为了研究加法大集合中的乘法结构，Beiglböck等人提出了一个重要的开放性问题，即是否每个有界间隙的自然数子集（syndetic set）都包含任意长的等比数列。Erdés的一个结果暗示了联合集包含一个具有整数公比的$2$ -项几何级数，但我们仍然不知道它们是否包含这样一个公比为完全平方的级数.在这篇文章中，我们证明了，对于每个$k\in \mathbb{N}$，一个syndetic集包含$2$ -项等比数列的形式$n^kr_1$和$p^kr_2$，其中$p\in\mathbb{P}$（素数集），$n$是一个合数，$r_1\equiv 1 \pmod{n}$，$r_2\equiv 1\pmod{p}$和$r_1,r_2\in \mathbb{N}$的共同比例。我们还表明，2-syndetic集（有界间隙2集）包含无限多个$2$ -长期等比数列，其各自的公比是完美的平方。
2019-04-28 math.CO math.NT
Binomial pmf among arithmetic progressions and sieved sets in random walks
本文研究二项式概率质量函数在算术级数中的平均分布，并证明α-随机游走者访问筛集的时间渐近比例几乎必然等于该集合的密度，与α无关。
2023-07-06 math.NT
The large $k$-term progression-free sets in $\mathbb{Z}_q^n$
设$k$和$n$为固定正整数。对于每一个素数幂$q\geqslant k\geqslant 3$，我们表明，任何子集$A\subseteq \mathbb{Z}_q^n$的$k$ -长期算术级数自由的大小$|A|\leqslant c_k(q)^n$与常数$c_k(q)$，可以明确地表示在$k$和$q$。因此，我们可以将$c_k(q)=0.8415q$用于足够大的$q$和任意固定的$k\geq 3$。
2016-12-08 math.NT
Arithmetic progressions in sets of fractional dimension
设$E\subset\rr$是豪斯多夫维数$α$的闭集。我们证明了，如果$α$是足够接近1，如果$E$支持一个概率措施遵守适当的维数和傅立叶衰减条件，那么$E$包含非平凡的3项等差数列。
2008-01-11 math.CA math.NT
Maximal subsets free of arithmetic progressions in arbitrary sets
考虑在给定的长度为$n$的集合中，确定不含长度为$k$的等差数列的子集的最大基数问题.证明了在一定意义下考虑区间$[1,\dots, n]$是充分的。这项研究延续了科姆洛斯、苏约克和塞梅雷迪的工作。
2020-10-09 math.CO math.NT
Large sets with small doubling modulo p are well covered by an arithmetic progression
本文证明了存在一个小的但固定的正整数e，使得对于每个大于固定整数的素数，满足|2S| <（2+e）|S|和2（|2S|）-2 |S| +2 < p的整数模p的每个子集S包含在长度为|2S| - |S| +1的等差数列中.这是这种性质的第一个结果，它对S的大小没有不必要的限制。
2008-04-06 math.NT
Four-term progression free sets with three-term progressions in all large subsets
本文主要研究不包含四项算术级数的集合，但在三项算术级数中仍然非常丰富，在这个意义上，所有足够大的子集至少包含一个这样的级数。证明了存在正常数$c$和不含四项等差数列的集合$A \subset \mathbb F_q^n$，并证明了对每个具有$|A'| \geq |A|^{1-c}$的子集$A' \subset A$，$A'$含有非平凡的三项等差数列.我们从$\mathbb{F}_{q}^{n}$的随机子集中的更一般的定量Roth型定理导出这一结果，改进了Kohayakawa-Luczak-Rödl/Tao-Vu的结果。我们还讨论了一个类似的现象的整数，在那里我们表明，所有$ε>0$，和所有足够大的$N \in \mathbb N$，存在一个四项的进步自由集$A$的大小$N$的属性，对于每一个子集$A' \subset A$与$|A'| \gg \frac{1}{(\log N)^{1-ε}} \cdot N$包含一个非平凡的三项算术级数。最后，我们包括我们的方法的另一个应用程序，显示在$\mathbb{F}_{q}^{n}$或$\mathbb{Z}$的属性“具有非平凡的三项进展在所有大的子集”的属性“具有大的附加能量”几乎完全不相关的设置。
2020-09-16 math.CO math.NT
Hilbert cubes in progression-free sets and in the set of squares II
令$S_2$为整数平方的集合。证明了Hilbert立方体$a_0+\{0,a_1\}+...+ \{0, a_d\}\subset S_2$的维数$d$是由$d=O(\log \log N)$有界的
2012-07-05 math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
Sets avoiding six-term arithmetic progressions in $\mathbb{Z}_6^n$ are exponentially small
我们证明了在$\mathbb{Z}_6^n$中避免6项等差数列的集合的大小至多为$5.709^n$ .特别地，我们证明了对于小维的极值尺寸，我们有$r_6(\mathbb{Z}_6)=5$，$r_6(\mathbb{Z}_6^2)=25$和$ 116\leq r_6(\mathbb{Z}_6^3)\leq 124$ .
2020-09-24 math.CO math.NT
Hausdorff dimension of sets of numbers whose continued fractions contain arbitrarily long arithmetic progressions
Doshisha University（立命馆大学）；Keio University（庆应义塾大学）；Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学）
本文研究了偏商序列严格递增且包含任意长等差数列的无理数的豪斯多夫维数。
2026-01-19 math.DS math.NT
Medium-sized values for the Prime Number Theorem for primes in arithmetic progression
我们给出了两个改进的显式版本的素数定理的素数在等差数列：第一个隔离的贡献西格尔零和第二个完全明确的，其中的改进是中等大小的值。这将给出一个改进的显式的非例外模的Bennieri-Vinogradov样结果。
2021-01-21 math.NT
Salem sets with no arithmetic progressions
我们在$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$中构造了不包含任何长度为$3$的等差数列的任意维数（包括$1$）的Salem集.此外，如果维数小于$1$，则这些集合可以被认为是Ahlfors正则的，而在维数为$1$的情况下，见证傅里叶衰减的测度可以被认为是Frostman。这是在形成鲜明对比的情况下，在离散设置（其中傅立叶均匀性是众所周知的，意味着存在的进展），并有助于澄清一个结果的拉巴和Pramanik的伪随机子集的真正的路线，其中包含进展。
2015-10-30 math.CA math.CO math.NT
Geometric-progression-free sets over quadratic number fields
一个最近感兴趣的问题一直是研究如何大的子集的自然数可以同时避免3项等比数列。在此基础上，我们考虑了二次数域上的类似问题。我们首先构造一个虚二次数域的代数整数的高密度子集，避免3项等比数列。当唯一因子分解失败或在实二次数域上时，我们转而研究整数环的理想子集。这里我们的方法是构造集合“greetings”，这是Rankin所考虑的贪婪有理整数集合的推广。然后，我们描述这些集的密度值的戴德金ζ函数。接下来，我们考虑具有大上密度的等比数列自由集。我们推广了Riddell的一个论点，得到了无几何级数子集的上密度的上界，并构造了避免等比数列的具有高上密度的集合，得到了所有这样的子集的上密度的上确界的下界.这两个论点都严格依赖于整数环中具有小范数的元素。
2015-11-14 math.CO math.NT
On the partition regularity of arithmetic progressions and linear equations in k-IP-sets
本文将范德瓦尔登定理和拉多定理推广到IP集与k-IP集的有限着色情形，其中k-IP集限制每个被加项的重数不超过k-1，从而刻画了其中等差数列和线性方程的分割正则性。
2025-09-21 math.CO math.NT
Arithmetic progressions in sets of small doubling
我们证明了如果任意阿贝尔群的有限的、足够大的子集A满足小加倍条件|A + A| <（log |A|）^{1 -n} |A|，则A必须包含其项不全相等的三项等差数列，并且A + A必须包含等差数列或子群的陪集，其大小至少为exp^[ c（log |A|）^{delta} ]。这扩展了类似的结果获得桑德斯和，分别由Croot，Laba和Sisask的情况下，该组是整数或有限域。
2013-10-09 math.CO math.NT
Almost arithmetic progressions in the primes and other large sets
格林和陶的一个著名而深刻的结果指出，素数包含任意长的等差数列。在本文中，我提供了一个简单的论证，证明素数任意地接近任意长的等差数列。这一论点也适用于Erdens-Turán意义上的“大集合”。这个证明很简短，完全独立，目的是给出一个启发式的解释，为什么素数和其他大集合具有算术结构。
2019-07-18 math.CA math.CO math.HO
Improved Bounds for 3-Progressions
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）
研究3等差数列的上界，采用迭代筛法和改进的Croot-Sisask近周期方法，得到更紧的上界估计。
2026-05-15 math.CO math.NT
A characterization of Krull monoids for which sets of lengths are (almost) arithmetical progressions
设H是具有有限类群G的Krull幺半群，且每类都含有一个素除子.则H中的长度集有一个明确定义的结构，它只依赖于类群G。从添加剂组合学的方法，我们建立了一个特征，这些类组G保证所有集的长度是（几乎）算术级数。
2019-06-13 math.AC math.NT
Additive Volume of Sets Contained in Few Arithmetic Progressions
Freiman的一个猜想给出了给定基数$k = |A|$和加倍$T = |2A|$的整数的有限集$A$的最大体积的一个精确公式。已知该公式在$T \le 3k-4$，对于$3k-4$上的一些小范围和对于称为链的结构化集合的族时成立。本文将该公式推广到所有维数的集合，并证明了由三段组成的集合，给出了极值情况下的结构结果。一个较弱的扩展到由有限数量的段组成的集合也进行了讨论。
2018-08-25 math.CO math.NT
On arithmetic progressions in nullspaces of integer matrices
受Erdös-Turan猜想的启发，我们考虑包含无限多个任意给定长度的算术级数（AP）的自然数的子集-这样的集合将被称为AP-集，并且我们知道由于Green-Tao定理和Schummeredis定理，素数和正上密度的所有子集都是AP-集。我们证明了（1，1，...，1)是方程Mx = 0的解，其中M是整数矩阵，其零空间的维数至少为2，当且仅当该方程有无穷多个解，使得每个解的坐标都是同一AP中的元素。这给了我们一个新的算术特征的AP-集，即他们是有无穷多个解决方案的齐次线性方程组，每当列的总和为零的集合。
2011-06-15 math.NT
Bounds for sets with no polynomial progressions
设$P_1,\dots,P_m\in\mathbb{Z}[y]$是具有不同次数的多项式，每个多项式具有零常数项。我们发现，任何子集$A$的$\{1,\dots,N\}$没有非平凡的进展形式$x,x+P_1(y),\dots,x+P_m(y)$有大小$|A|\ll N/(\log\log{N})^{c_{P_1,\dots,P_m}}$。一路上，我们证明了一个一般的结果控制加权计数的多项式级数的Gowers规范。
2020-10-24 math.CO math.NT
On the Structure of Sets with Few Three-Term Arithmetic Progressions
在（0，1]中固定一个密度d，设F_p^n是一个有限域，其中我们认为p固定，n趋于无穷大。设S是F_p^n中具有最少三项级数的子集，满足约束条件|S|至少为dp^n.我们证明了S必须有某种结构，并且直到o（p^n）个元素，它是维数为n-o（n）的子空间的少量陪集的并。
2006-07-07 math.NT
Recent progress on bounds for sets with no three terms in arithmetic progression
本文梳理无三项等差数列集合界的最新突破，介绍 Bloom–Sisask 及 Croot–Lev–Pach、Ellenberg–Gijswijt 的相关工作。
2023-09-25 math.CO math.NT
A problem of Rankin on sets without geometric progressions
长度$k$和整数比的几何级数是一组形式为$\{a,ar,\dots,ar^{k-1}\}$的数，其中有正实数$a$和整数$r\geq 2$。对于每个整数$k \geq 3$，使用贪婪算法构造正实数的严格递减序列$(a_i)_{i=1}^{\infty}$，使集合\[ G^{(k)} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \left(a_{2i} , a_{2i-1} \right] \]不包含长度$k$和整数比的几何级数.此外，$G^{(k)}$是$(0,1]$的最大子集，不包含长度$k$和整数比的几何级数。本文还证明了存在一个严格递增的正整数序列$(A_i)_{i=1}^{\infty}$，它具有$A_1 = 1$，使得对所有$i = 1,2,3,\ldots$都有$a_i = 1/A_i$.集合$G^{(k)}$给出了整数集合$\{1,2,\dots,n\}$的子集的最大基数的一个新的下界，该整数集合不包含长度$k$和整数比的几何级数。
2014-08-12 math.NT
Long Arithmetic Progressions in Sets with Small Sumset
设$A, B\subseteq \mathbb{Z}$是有限的非空子集，且具有$\min A=\min B=0$，令$ $δ(A,B)={\begin{array}{ll} 1 & \hbox{if} A\subseteq B, 0 & \hbox{otherwise.} If $ \max B \leq \max A \leq |A| + |B|-3 $ and \label{one}|A+B|\leq |A|+2|B|-3-δ(A,B), then we show $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $. As a corollary, if \eqref{one} holds, $ \max（B）\leq \max（A）$ and either $ \gcd（A）= 1 $ or else $ \gcd（A+B）=1 $ and $| A+B| \leq 2 |A| + |B| -3 $, then $ A+B $ contains an arithmetic progression with difference 1 and length $ |A| + |B|-1 $.
2009-04-22 math.CO math.NT
On higher dimensional arithmetic progressions in Meyer sets
本文研究Meyer集中高维等差数列的存在条件，证明当比率线性无关时，存在任意长度且具有k个线性无关比率的等差数列当且仅当k不超过相关完全欧几里得模型集生成的整数模的秩，并据此刻画了Meyer集作为完全欧几里得模型集子集的特征。
2023-10-26 math-ph math.MP math.NT
Sets in $\mathbb{Z}^k$ with doubling $2^k+δ$ are near convex progressions
对于$δ>0$足够小和$A\subset \mathbb{Z}^k$与$|A+A|\le (2^k+δ)|A|$，我们证明了要么$A$被$m_k(δ)$平行超平面覆盖，要么满足$|\widehat{\operatorname{co}}(A)\setminus A|\le c_kδ|A|$，其中$\widehat{\operatorname{co}}(A)$是包含$A$的最小凸级数（凸集与子格）。这推广了Freiman-Bilu $2^k$定理、Freiman的$3|A|-4$定理以及Figalli和Jerison最近关于$\mathbb{R}^k$中和集的尖锐稳定性结果.
2022-12-06 math.CO math.NT
Carries and the arithmetic progression structure of sets
如果我们想在基$m$中表示整数，我们需要一个数字集$A$，它需要是模$m$的余数的完整集合。当将两个整数与最后一位数$a_1, a_2 \in A$相加时，我们找到唯一的$a \in A$，使得$a_1 + a_2 \equiv a$ mod $m$，并将$(a_1 + a_2 -a)/m$称为进位。当以$m^2$为模进行加法时也会出现进位，其中$A$被选为循环群$\mathbb{Z}/m \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}/m^2\mathbb{Z}$的陪集代表集。寻找使不同进位的数目最小化的集合$A$是很自然的。Diaconis，Shao和Soundararajan在最近的一篇论文中证明了，当$m=p$，$p$素数时，唯一能导出两个不同进位的集合$A$，即. e.对于某些$x, y \in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$，$A+A \subseteq \{ x, y \}+A$是等差数列$[0, p-1]$，直到某些线性变换。我们提出了一个推广的通用模$m^2$的情况下，上面的结果，并显示这是如何连接到作为一个最小数量的等差数列相同的差异集的表示的唯一性。
2015-06-29 math.NT
The structure of critical sets for F_p arithmetic progressions
固定一个素数p和一个密度0 < d <= 1。在所有函数f中：F_p -> [0，1]，对于那些赋予三项等差数列最小权重的数列--也就是说，当我们对所有a和x求和时，f（a）f（a+x）f（a+2x）的和是最小的--服从f的期望值等于d的密度约束，我们能说些什么呢？本文证明了三点：1）这类f几乎是指示函数; 2）它们具有某种"局部极小“性质; 3）它们对于某些和集A+B是近似的指示函数。
2008-02-19 math.CO math.NT
A Structure Theorem for Positive Density Sets Having the Minimal Number of 3-term Arithmetic Progressions
假设著名的猜想，[x，x+x^t]包含一个素数，t > 0和x足够大，我们证明：对于0 < r < 1，存在0 < s < r < 1，0 < d < 1，以及无穷多个素数q，使得如果S是Z/qZ的子集，其密度至少为s，且在所有密度集中至少有s个三项算术级数，则S在很强的意义下几乎是平移不变的.即，存在0 <= b <= q-1，使得|S intersect（S + bj）|=（1-g（s））|S|，对于每个0 < j < q^d，其中g（s）-> 0 as s -> 0。证明的一个奇怪的特点是，Behrend在{1，2，.}的大子集上的构造，x}不含3项a. p.，是一个关键因素。
2003-05-22 math.CO math.NT
Improved Averaged Distribution of $d_3(n)$ in Prime Arithmetic Progressions
Bilkent University（比尔肯特大学）
研究改进了在素数等差数列中$d_3(n)$的分布指数，利用Petrow-Young子凸性界将分布指数从2/3提升至8/11。
2026-04-22 math.NT
On sequences without geometric progressions
对不含k项等比数列的正整数序列的密度给出了一个改进的上界。
2013-06-04 math.CO math.NT
Burgess-type character sum estimates over generalized arithmetic progressions of rank $2$
本文提出了一种在素数域上二阶广义算术进展上改进Burgess估计的方法，通过建立乘法能量的上界和Bohr集大小的上界，实现了特征和的更精确估计。
2026-01-05 math.NT
Improved bounds for five-term arithmetic progressions
本文利用改进的 $U^4$ 逆定理界、3步 nilsequence 的局部三次逼近及密度增量策略，证明了不含五项等差数列集合大小的新上界。
2024-04-10 math.CO math.NT
Caps and progression-free sets in $\mathbb{Z}_m^n$
我们研究阿贝尔群$G=(\mathbb{Z}_m^n,+)$中的无进展集。令$r_k(\mathbb{Z}_m^n)$表示不包含长度为$k$的适当算术级数的集合$S \subset \mathbb{Z}_m^n$的最大大小。当$m$为偶数时，我们给出下限构造，例如，包括$r_3(\mathbb{Z}_m^n) \geq C_m \frac{((m+2)/2)^n}{\sqrt{n}}$。当$m=4$时，这至少是$3^n/\sqrt{n}\gg \vert G \vert^{0.7924}$的顺序。此外，如果无进展集$S\subset \mathbb{Z}_4^n$满足至少在低维中主导问题的技术条件，则$|S|\leq 3^n$成立。我们提出了一些新的方法，其中包括几个无限族参数$m,k,n$，其中包括例如：$r_6(\mathbb{Z}_{125}^n) \geq (85-o(1))^n$的下界。对于$r_3(\mathbb{Z}_4^n)$，当$n \leq 5$，例如$r_3(\mathbb{Z}_4^5)=124$时，我们确定精确值;对于$r_4(\mathbb{Z}_4^n)$，当$n \leq 4$，例如$r_4(\mathbb{Z}_4^4)=128$时，我们确定精确值。
2019-03-19 math.CO math.NT
Geometric Progressions meet Zeckendorf Representations
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）；University of Hradec Králové（赫拉德茨克拉洛韦大学）
本文研究了在Zeckendorf数制中几何级数与禁止二进制模式的交互问题，证明了相关指数集合的有限性或周期性。
2025-12-22 math.NT
Discrete spheres and arithmetic progressions in product sets
证明了：如果$B$是一组$N$正整数，使得$B\cdot B$包含一个长度为$M$的等差级数，则对于某个绝对$C > 0$，有$$ π(M) + C \frac {M^{2/3}}{\log^2 M} \leq N, $$，其中$π$是素数计数函数.这改善了以前已知的界限的形式$N = Ω(π(M))$和给出了一个界限，这是尖锐的二阶项，作为Pach和Sándor给出了一个例子，其中$$ N < π(M)+ O\left(\frac {M^{2/3}}{\log^2 M} \right). $$主要的新工具是一个减少原来的问题的问题的近似添加剂分解的$3$ -领域的$\mathbb{F}_3^n$这是一套$\{0,1\}$向量正好有三个非零坐标。也就是说，我们证明了这样的一个集合不能有一个加性基的阶2的大小小于$c n^2$与绝对常数$c > 0$。
2016-10-17 math.NT
The Kelley--Meka bounds for sets free of three-term arithmetic progressions
本文自包含重证 Kelley–Meka 关于三项等差数列自由集的上界，并通过简化 Bohr 集相关论证拓宽方法，改进 A+A+A 中长等差数列的下界。
2025-05-13 math.CO math.NT
Arithmetic Progressions with Restricted Digits
对于一个整数$b \geqslant 2$和一个集合$S\subset \{0,\cdots,b-1\}$，我们定义Kempner集合$\mathcal{K}(S,b)$为所有非负整数的集合，这些非负整数的基$b$数字展开式只包含来自$S$的数字.这些研究稀疏集提供了丰富的设置加性数论，在本文中，我们研究了各种问题有关的外观等差数列在这些集合。特别是，对于所有的$b$，我们确定的最大长度的等差数列，省略了一个基地- $b$数字。
2018-09-07 math.CO math.NT
Sets of integers that do not contain long arithmetic progressions
本研究结合埃林克和拉金的方法，改进了不包含长等差数列的整数集合的构造，并优化了界条件。
2010-06-21 math.CO math.NT
Finding arithmetic progressions in dense sets of integers
本文报告高阶 Fourier 分析的最新进展，并据此首次在 $k\geq 5$ 时定量改进 Gowers 关于整数稠密集含长等差数列的上界。
2025-09-26 math.CO math.NT
Improved Bounds for Progression-Free Sets in $C_{8}^{n}$
设$G$是一个有限群，且$r_{3}(G)$表示$G$的最大子集的大小，不包含非平凡的三项级数。在最近的一次突破中，Croot、Lev和Pach证明了$r_{3}(C_{4}^{n}) \leqslant (3.61)^{n}$，其中$C_{m}$表示$m$阶的循环群。对于有限阿贝尔群$G \cong \prod_{i=1}^{n} C_{m_{i}}$，其中$m_{1},\ldots,m_{n}$表示正整数，使得$m_{1} | \ldots | m_{n}$，这也产生形式为$r_{3}(G) \leqslant (0.903)^{\operatorname{rk}_{4}(G)} |G|$的界，其中$\operatorname{rk}_{4}(G)$表示具有$4\ |\ m_{i}$的指数$i \in \left\{1,\ldots,n\right\}$的数目。特别是$r_{3}(C_{8}^{n}) \leqslant (7.22)^{n}$。在本文中，我们提供了一个指数改进的界限，即$r_{3}(C_{8}^{n}) \leq (7.09)^{n}$。
2018-05-15 math.CO math.NT
Complete $3$-term arithmetic progression free sets of small size in vector spaces and other abelian groups
该研究面向阿贝尔群中的无三项等差数列集合，定义并分析 $3$-AP 饱和性，为多类向量空间和循环群构造小规模完全无 $3$-AP 集合及饱和集合。
2025-09-27 math.CO math.NT
