On sequences without geometric progressions
Melvyn B. Nathanson, Kevin O'Bryant
对不含k项等比数列的正整数序列的密度给出了一个改进的上界。
An improved upper bound is obtained for the density of sequences of positive integers that contain no k-term geometric progression.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
Geometric progressions in syndetic sets
为了研究加法大集合中的乘法结构，Beiglböck等人提出了一个重要的开放性问题，即是否每个有界间隙的自然数子集（syndetic set）都包含任意长的等比数列。Erdés的一个结果暗示了联合集包含一个具有整数公比的$2$ -项几何级数，但我们仍然不知道它们是否包含这样一个公比为完全平方的级数.在这篇文章中，我们证明了，对于每个$k\in \mathbb{N}$，一个syndetic集包含$2$ -项等比数列的形式$n^kr_1$和$p^kr_2$，其中$p\in\mathbb{P}$（素数集），$n$是一个合数，$r_1\equiv 1 \pmod{n}$，$r_2\equiv 1\pmod{p}$和$r_1,r_2\in \mathbb{N}$的共同比例。我们还表明，2-syndetic集（有界间隙2集）包含无限多个$2$ -长期等比数列，其各自的公比是完美的平方。
Arithmetic and Geometric Progressions in Productsets over Finite Fields
给定$q$元素的有限域$\F_q$的两个元素集$\cA, \cB \subseteq \F_q$，证明了乘积集$$ \cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\} $$包含长度为$k \ge 3$的等差数列，条件是$k<p$，其中$p$是$\F_q$的特征，且$# \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}$ .我们还考虑了移位乘积集$\cA\cB +h$中的等比数列，对于$f \in \F_q$，得到了类似的结果。
Subsets of $\mathbb{F}_q[x]$ free of 3-term geometric progressions
最近的几篇论文都考虑了拉姆齐理论的问题，即在不包含任何3项等比数列的情况下，整数的子集可以有多大。这个问题最近也被推广到数域，确定避免等比数列的理想的最大可能密度的界限。本文研究了$\mathbb{F}_q[x]$上的类似问题，首先构造一个避免这些级数的集合集并计算其密度，然后考虑$\mathbb{F}_q[x]$中避免三项等比数列的子集的上密度的界.这个新的设置给了我们一个参数$q$来改变和研究我们的界限如何收敛到1，因为它的变化，有限的特征引入了一些额外的组合结构，增加了在这方面的常见问题的可追溯性。
Primitive and geometric-progression-free sets without large gaps
我们证明了存在的原始集（集合的整数，其中没有元素除另一个），其中任何两个连续的条款之间的差距是大大小于最好的已知的上界的差距序列的素数。证明使用概率方法。使用相同的技术，我们改进了他所获得的界限间隙等比数列自由集。
Avoiding 3-Term Geometric Progressions in Hurwitz Quaternions
本文将不含三项等比数列的最大密度问题推广到非交换的 Hurwitz 四元数序，给出贪心集合密度的精确公式，并推导最优上密度的上下界。
Geometric-progression-free sets over quadratic number fields
一个最近感兴趣的问题一直是研究如何大的子集的自然数可以同时避免3项等比数列。在此基础上，我们考虑了二次数域上的类似问题。我们首先构造一个虚二次数域的代数整数的高密度子集，避免3项等比数列。当唯一因子分解失败或在实二次数域上时，我们转而研究整数环的理想子集。这里我们的方法是构造集合“greetings”，这是Rankin所考虑的贪婪有理整数集合的推广。然后，我们描述这些集的密度值的戴德金ζ函数。接下来，我们考虑具有大上密度的等比数列自由集。我们推广了Riddell的一个论点，得到了无几何级数子集的上密度的上界，并构造了避免等比数列的具有高上密度的集合，得到了所有这样的子集的上密度的上确界的下界.这两个论点都严格依赖于整数环中具有小范数的元素。
Covering an arithmetic progression with geometric progressions and vice versa
我们证明了存在一个正常数C，使得如下成立：给定一个无穷大的实数等差数列A和一个足够大的整数n（取决于A），至少需要Cn个等比数列来覆盖A的前n项.一个类似的结果，与算术和等比数列的作用颠倒。
Geometric Progression-Free Sequences with Small Gaps
许多作者，包括McNew，Nathanson和O 'Bryant，最近研究了正整数的等比数列自由序列的最大渐近密度。本文证明了具有小间隙的等比数列自由序列的存在性，部分回答了Beiglböck等人提出的一个问题.利用概率方法证明了不含任何$6$项几何级数的序列$T$的存在性，使得对于任何$x\geq1$和$\varepsilon>0$，区间$[x,x+C_{\varepsilon}\exp((C+\varepsilon)\log x/\log\log x)]$包含$T$的一个元素，其中$C=\frac{5}{6}\log2$和$C_{\varepsilon}>0$是取决于$\varepsilon$的常数。作为一个中间结果，我们证明了一个界限的形式$f(n)=\exp(-d_{k}(n))$在很短的时间间隔，其中$d_{k}(n)$是一些积极的$k$ -次幂除$n$的功能和，使用类似的方法，Filaseta和Trifonov用来证明$k$ -次幂之间的差距的界限免费整数。
On nearly consecutive sequences without long arithmetic progressions
该研究构造了不含k项等差数列的近连续序列，改进了此前Alon与Zaks1998年的相关界，还推广至带有界间隙序列的情形。
Circles with four rational points in geometric progression
本文证明了存在无穷多个具有有理半径的圆，其上含有四个横坐标或纵坐标成等比数列的有理点，推广了已知的三个点的情形。
Metric discrepancy results for geometric progressions with small ratios
证明了小比值等比数列差的重对数律。
Geometric Progression-Free Sequences with Small Gaps II
当$k$至少为$3$的常数时，正整数序列$S$称为$k$ -GP-free，如果它不包含非平凡的$k$ -项几何级数。Beiglbök，Bergelson，Hindman和Strauss首先研究了具有有界间隙的$ $ $k$ -GP-free序列的存在性。在以前的论文中，作者通过构建具有大小为$O(\exp(6\log n/\log\log n))$的空位的$6$-GP-free序列$S$给出了这个问题的部分答案。我们将这个问题推广到允许间隙函数$k$增长到无穷大，并问：对于哪对函数$(h,k)$，存在间隙大小为$O(h)$的$k$-GP-free序列？我们发现，只要$(k(n)-3)\log h(n)\log\log h(n)\ge4\log2\cdot\log n$和$h,k$满足温和的增长条件，这样的序列存在。
A transference inequality for rational approximation to points in geometric progression
建立了由Badziahin和Bugeaud证明的关于等比数列中点的有理逼近指数的转移不等式.
A metric discrepancy results for geometric progression with ratio $3/2$
证明了序列$\{(3/2)^kx\}$的差重对数律。
A sequence of rational points on an algebraic planar curve is said to form an $r$-geometric progression sequence if either the abscissae or the ordinates of these points form a geometric progression sequence with ratio $r$. In this work, we prove the existence of infinitely many rational numbers $r$ such that for each $r$ there exist infinitely many $r$-geometric progression sequences on the unit circle $x^2 + y^2 = 1$ of length at least $3$.
An open problem about finite geometric progressions in syndetic sets leads to a family of diophantine equations related to the commutativity of translation and multiplication by squares.
Arithmetic progressions in sumsets of geometric progressions
本文研究了几何数列和集中的等差数列结构，结合线性形式对数界和模ularity 性质，给出完整刻画方法。
On Arithmetic Progressions in Recurrences - A new characterization of the Fibonacci sequence
证明了Fibonacci数列实质上是唯一的包含无穷多个三项等差数列的二元递归数列。本文还给出了一般线性递推式具有无穷多个三项等差数列的判别准则。
On arithmetic progressions in Lucas sequences
本文研究了第一类和第二类Lucas序列中的等差数列。我们证明了几乎所有的序列，只有两个，它们的数量可以有效地有界。我们还表明，只有少数序列包含无穷多个和一个可以明确列出的序列和级数在他们。对具有优势根的序列给出了更精确的描述。
Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes? II
我们表明，如果除了素数的一些其他序列（包括刘维尔函数和素数）有一个共同的分布水平超过0.7231，然后为任何正偶数$h$有任意长的等差数列的素数$p$，使$p+h$也是素数的进展的每个元素。在$h=2$的情况下，这意味着，在关于素数和其他序列在等差数列中的规则分布的一些似是而非的未经证明的假设下，我们在孪生素数序列中真的有任意长的等差数列。
An Equivalent form of Twin Prime Conjecture connected with a sequence of arithmetic progressions
本文提出了一种与算术进展序列对称性质相关的 twin素数猜想等价形式。
On geometric progressions on hyperelliptic curves
令$C$是由$y^2=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n$，$a_i\in\mathbb Q$描述的$\mathbb Q$上的超椭圆曲线。如果有理数$x_{i}$、$i=1,2,...,k,$在$\mathbb Q$中形成几何级数序列，则称点$P_{i}=(x_{i},y_{i})\in C(\mathbb{Q})$、$i=1,2,...,k,$在长度$k$的几何级数中，即，$x_i=pt^{i}$换一些$p,t\in\mathbb Q$。本文证明了在长度至少为8的几何级数中存在有理点列的超椭圆曲线的无限族的存在性。
Markoff-Rosenberger triples in geometric progression
研究了Markoff-Rosenberger方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz的解，使得它们的坐标属于数域的整数环，并构成一个等比数列.
On quadratic progression sequences on smooth plane curves
本文研究数域$k$上光滑射影平面曲线上二次点在$x$ -坐标下的算术（几何）级数。除非曲线是超椭圆的，我们证明了这些级数必须是有限的。此外，我们表明，算术角的曲线确定的无限这些进展的$\overline{k}$ -点的定义域的程度在最多$n$，$n\ge 3$。
Are there arbitrarily long arithmetic progressions in the sequence of twin primes?
本文的主要结果是：设素数分布的水平$θ$大于1/2，则存在正的$d\leq C(θ)$，使得存在任意长的等差数列，且$p'=p+d$是数列中每个元素的下一个素数.如果是$θ>0.971$，则上述适用于某些$d\leq 16$。
Alternating geometric progressions modulo one and Sturmian words
研究了模一的交替几何级数中，通过斯特姆词描述所有无理数ξ，使得序列(ξ(-b)^n)的像包含在长度为b^{-1}+b^{-2}-b^{-3}的区间内。
Geometric Progressions meet Zeckendorf Representations
本文研究了在Zeckendorf数制中几何级数与禁止二进制模式的交互问题，证明了相关指数集合的有限性或周期性。
A problem of Rankin on sets without geometric progressions
长度$k$和整数比的几何级数是一组形式为$\{a,ar,\dots,ar^{k-1}\}$的数，其中有正实数$a$和整数$r\geq 2$。对于每个整数$k \geq 3$，使用贪婪算法构造正实数的严格递减序列$(a_i)_{i=1}^{\infty}$，使集合\[ G^{(k)} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \left(a_{2i} , a_{2i-1} \right] \]不包含长度$k$和整数比的几何级数.此外，$G^{(k)}$是$(0,1]$的最大子集，不包含长度$k$和整数比的几何级数。本文还证明了存在一个严格递增的正整数序列$(A_i)_{i=1}^{\infty}$，它具有$A_1 = 1$，使得对所有$i = 1,2,3,\ldots$都有$a_i = 1/A_i$.集合$G^{(k)}$给出了整数集合$\{1,2,\dots,n\}$的子集的最大基数的一个新的下界，该整数集合不包含长度$k$和整数比的几何级数。
On Linear Recursive Sequences with Coefficients in Arithmetic-Geometric Progressions
本文推广了M. I.关于系数为级数的线性递推关系的Cirnu [2].我们提供了一些有趣的例子，涉及到一些著名的整数序列，如斐波那契序列，佩尔序列，雅各布斯塔尔序列，和数字的平衡序列。文中还提出了几种求解线性递推关系的方法。最后，我们给出一个开放问题。
On sequences of positive integers having no $p$ terms in arithmetic progression
本文利用拓扑思想证明，假设Erd“（o）s关于等差数列中不含$p$项的正整数子集的猜想（A. P.），必须存在A中没有$p$项的正整数的子集$M_p$。P.具有这样的性质，即在所有这样的子集中，$M_p$使其元素的倒数之和最大化。
Irrational numbers associated to sequences without geometric progressions
设s和k为整数，s \geq 2，k \geq 2。设g_k^{（s）}（n）表示集合{1，2，.，n}，其不包含长度为k的公比为s的幂的等比数列。设r_k（\ell）表示集合{0，1，2，\ldots，\ell-1\}中不包含长度为k的算术级数的最大子集的基数。极限\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{g_k^{(s)}(n)}{n} = (s-1) \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} \right)^{\min \left(r_k^{-1}(m)\right)} \]存在并收敛于一个无理数。
The influence of the first term of an arithmetic progression
本文的目的是研究等差数列中等差数列分布的差异性。我们将确定一类非负实数序列$\A=\{\a(n)\}_{n\geq 1}$为一类等差数列。对于一个固定的整数$a\neq 0$，我们感兴趣的是$\A$在等差数列$a \bmod q$上的行为，平均在$q$上的行为。我们的主要结果是，对于某些序列的算术兴趣，$a$的值有一个显着的影响，这种分布，即使在删除了首项的进展。
Primes in Geometric-Arithmetic Progression
素数的几何算术级数是一组$k$素数（用GAP-$k$表示），其形式为$p_1 r^j + j d$，用于固定的$p_1$，$r$和$d$以及连续的$j$，{\it即}，$\{p_1, \, p_1 r + d, \, p_1 r^2 + 2 d, \, p_1 r^3 + 3 d, \,...}$.本文研究了对$k \ge 2$，GAP-$k$是几何算术级数中的一组$k$素数的条件.计算数据（连同MATHEMATICA代码）包含的进展到GAP-13。还给出了对应于高达11阶的GAP的差集$d$的序列。
Arithmetic Progressions in the Graphs of Slightly Curved Sequences
一个严格递增的正整数序列称为误差小的微曲序列，如果该序列可以很好地近似于一个函数，该函数的二阶导数对于某些$α>0$比$1/x^α$更快地趋于零。本文证明了任意长的等差数列包含在具有小误差的微曲数列的图中。此外，我们将Szemerédi定理推广到关于微曲序列的一个定理。作为推论，序列$\{\lfloor{n^a}\rfloor\}_{n\in A}$的图对于每个$1\le a<2$和每个具有正上密度的$A\subset\mathbb{N}$都包含任意长的等差数列。利用这个推论，我们证明了集合$\{ \lfloor{\lfloor{p^{1/b}}\rfloor^a}\rfloor \mid \text{$ p $ prime} \}$对每个$1\le a<2$和$b>1$都包含任意长的等差数列。我们还证明了，对于每一个$a\ge2$，图的$\{\lfloor{n^a}\rfloor\}_{n=1}^\infty$不包含任何等差数列的长度$3$。
Let $f_{s,k}(n)$ be the maximum possible number of $s$-term arithmetic progressions in a sequence $a_1<a_2<\ldots<a_n$ of $n$ integers which contains no $k$-term arithmetic progression. For all integers $k > s \geq 3$, we prove that $$\lim_{n \to \infty} \frac{\log f_{s,k}(n)}{\log n} = 2,$$ which answers an old question of Erdős. In fact, we prove upper and lower bounds for $f_{s,k}(n)$ which show that its growth is closely related to the bounds in Szemerédi's theorem.
Nonrepetitive sequences on arithmetic progressions
如果没有两个相邻的$S$块是相同的，则序列$S=s_{1}s_{2}..._{n}$是\emph{nonrepetitive}。1906年，Thue证明了在3元符号集上存在任意长的非重复序列。我们研究了涉及等差数列的非重复数列的推广。我们证明了，对于每个$k\geqslant 1$和每个$c\geqslant 1$存在任意长的序列，在最多的$(1+\frac{1}{c})k+18k^{c/c+1}$符号，其序列索引的等差数列从集合$\{1,2,...,k\}$是不重复的。这改进了先前在\cite{Grytczuk Rainbow}中获得的界限。我们的方法是基于最近在\cite{GrytczukKozikMicek}，这是最初的灵感来自于一个建设性的证明Lovász本地引理由于Moser和Tardos \cite{MoserTardos}的技术。我们还讨论了一些相关的问题，可以成功地攻击这种方法。
On monochromatic arithmetic progressions in binary words associated with pattern sequences
本文研究由二进制展开中固定模式出现次数奇偶性生成的二元词，重点刻画 Rudin–Shapiro 词及一般模式序列中单色算术 progression 的长度上界与极值。
Linear recurrence sequences with indices in arithmetic progression and their sums
对于任意d阶常系数齐次线性递推序列，我们导出了所有指数为等差数列的齐次线性递推关系。这些递归的系数是明确的部分贝尔多项式，取决于最多d-1项的广义卢卡斯序列与给定的递归。我们还提供了一个优雅的公式，这样的序列的部分和，并说明我们所有的结果与各种订单的例子，包括常见的概括的斐波那契数。
Let $a_1,a_2,\dots,a_k$ be positive integers with $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$. The concept of the weighted sum $\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}$ is introduced in \cite{KZ0,KZ}, where ${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$ denotes the set of positive integers nonrepresentable in terms of $a_1,a_2,\dots,a_k$. When $λ=1$, such a sum is often called Sylvester sum. The main purpose of this paper is to give explicit expressions of the Sylvester sum ($λ=1$) and the weighed sum ($λ\ne 1$), where $a_1,a_2,\dots,a_k$ forms arithmetic progressions. As applications, various other cases are also considered, inclu…
Stanley sequences with odd character
给定一组不包含3项等差数列的整数，通过选择整数而不形成这样的数列来构造斯坦利序列。独立斯坦利序列是斯坦利序列的一个“结构良好”的类别，具有两个主要参数：字符$λ(A)$和重复因子$ρ(A)$。Rolnick证明了对于每一个$λ\in \mathbb{N}_0\backslash\{1, 3, 5, 9, 11, 15\}$，都存在一个独立的Stanley序列$S(A)$，使得$λ(A) =λ$ .本文证明了对于任意独立的Stanley序列$S(A)$，$λ(A) \not\in \{1, 3, 5, 9, 11, 15\}$都是等价的.
Koksma's equidistribution theorem from 1935 states that for Lebesgue almost every $α>1$, the fractional parts of the geometric progression $(α^{n})_{n\geq1}$ are equidistributed modulo one. In the present paper we sharpen this result by showing that for almost every $α>1$, the correlations of all finite orders and hence the normalized gaps of $(α^{n})_{n\geq1}$ mod 1 have a Poissonian limit distribution, thereby resolving a conjecture of the two first named authors. While an earlier approach used probabilistic methods in the form of martingale approximation, our reasoning in the present paper …
Primes in a prescribed arithmetic progression dividing the sequence a^k+b^k
给定正整数a，b，c和d，使得c和d互质，我们证明了素数p=c（mod d）除a^k+b^k（其中k>=1）有一个自然密度，并明确地计算了这个密度.我们证明了我们的结果，考虑一些索赔的费马，他在1641年的信梅森。
On some questions of V.I. Arnold on the stochasticity of geometric and arithmetic progressions
在他的一些最后的论文中，V.I.阿诺德研究了有限确定性序列的伪随机性，他用“随机性参数”来度量。在本文件中，我们说明了背景概率论和数论的一些他的考虑，并回答了一些问题提出的文件。
Hausdorff dimension of sets of numbers whose continued fractions contain arbitrarily long arithmetic progressions
本文研究了偏商序列严格递增且包含任意长等差数列的无理数的豪斯多夫维数。
Counting appearances of integers in sets of arithmetic progressions
通过行列式方法，研究了整数在由k个不同素数生成的等差数列余数类中的出现次数计数问题。
Ramsey Theory Problems over the Integers: Avoiding Generalized Progressions
两个研究得很好的拉姆齐理论问题考虑的子集的自然数，其中要么不包含三个元素的等差数列，或在几何级数。我们研究这个问题的推广，通过不同种类的进展，以避免和度量用于评估所得到的子集的密度。可以将3项等差数列看作序列$x, f_n(x), f_n(f_n(x))$，其中$f_n(x) = x + n$、$n$是非零整数。因此，避免三项等差数列等价于不包含具有$f_n \in\mathcal{F}_{\rm t}$的$x, f_n(x), f_n(f_n(x))$形式的三个元素，即整数平移的集合。人们可以类似地使用不同的函数族来构造相关的级数。我们调查了几个这样的家庭，包括几何级数（$f_n(x) = nx$与$n > 1$自然数）和指数级数（$f_n(x) = x^n$）。无级数集合通常被构造为“greenhouse”，包括每个数字，只要它不与前面的任何元素进行级数。Rankin用贪婪算术集刻画了贪婪几何级数自由集。我们刻画了贪婪指数集，证明了它的渐近密度为1，然后讨论了贪婪指数集的最优性如何依赖于用于定义级数的函数族。传统上，无进展集的大小是使用（上）渐近密度来测量的，但是我们考虑了几种不同的密度概念，包括均匀密度和指数密度。
Let $f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$ be a polynomial with the property that corresponding to every prime $p$ there exists an integer $\ell$ such that $p\nmid f(\ell)$. In this paper, we establish some equidistributed results between the number of partitions of an integer $n$ whose parts are taken from the sequence $\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$ and the number of parts of those partitions which are in a certain arithmetic progression.
Quantitative uniform distribution results for geometric progressions
根据Koksma的经典定理，分数部分序列$(\{x^n\})_{n \geq 1}$对于$x$的几乎所有值都是均匀分布的。本文通过计算$(\{ξx^{s_n}\})_{n \geq 1}$对$x>1$（在勒贝格测度意义下）的典型值的偏差的精确渐近阶，得到了Koksma定理的一个精确定量形式.这里，$ξ>0$是任意常数，而$(s_n)_{n \geq 1}$可以是正整数的任意递增序列。
On primes in special sequences with applications to Carmichael numbers
本文利用等差数列中与Λ(n)相关的指数和，改进了非齐次Beatty序列和Piatetski-Shapiro序列上素数分布的结果，并将其应用于改进卡迈克尔数相关结论。
Lower bounds for the variance of sequences in arithmetic progressions: primes and divisor functions
我们开发了一个通用的方法下界序列的方差在等差数列模$q$，总结了所有$q \leq Q$，建立在以前的工作刘，佩雷利，胡利，和其他人。证明了圆法中的次弧贡献对方差的下界，并通过与更容易理解的辅助指数和的比较，证明了该下界。作为应用，我们证明了在$\sqrt{N} (\log N)^C \leq Q \leq N$范围内，冯曼哥德函数$(Λ(n))_{n=1}^{N}$的方差的$(1-ε) QN\log(Q^2/N)$的一个下界.在此之前，这样的结果只能在假设黎曼假设的情况下才能得到。我们还证明了一个下界$\gg_{k,δ} Q N (\log N)^{k^2 - 1}$的方差的除数函数$d_k(n)$，有效的范围$N^{1/2+δ} \leq Q \leq N$，任何自然数$k \geq 2$。
On the Growth of the Counting Function of Stanley Sequences
给定一个非负整数的有限集A，A不具有3项等差数列，由A生成的Stanley序列，记作S（A），是从A开始，然后包含严格较大的整数，这些整数在S（A）中不引入3项等差数列而生成的无限集。Erdos等人提出了一个问题，即Stanley序列S（A）的计数函数S（A，x）是否满足S（A，x）>x^{1/2-ε}，对于每个ε>0和x>x_0（ε，A）。在本文中，我们肯定地回答了这个问题，事实上，我们证明了一个稍微强一些的结果：S（A，x）\geq（\sqrt{2} -ε）\sqrt{x}对于x \geq x_0（ε，A）.
Let $a_1,a_2,\dots,a_k$ be positive integers with $\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$. Frobenius number is the largest positive integer that is NOT representable in terms of $a_1,a_2,\dots,a_k$. When $k\ge 3$, there is no explicit formula in general, but some formulae may exist for special sequences $a_1,a_2,\dots,a_k$, including, those forming arithmetic progressions and their modifications. In this paper, we give formulae for the power and weighted sum of nonrepresentable positive integers. As applications, we show explicit expressions of these sums for $a_1,a_2,\dots,a_k$ forming arithmetic progres…
There are two questions in analytic number theory which have attracted much attention over the years. The first one is about the asymptotic formula for the variance associated with the distribution of a real sequence in arithmetic progressions, which origins in the work of Barban. The second one is about the function $r_3(n)$, the number of ordered representation of $n$ in the sum of three positive cubes, and several results are recently proved by Robert C. Vaughan. The paper is concerned with the conjunction of these questions, with the application of the Hardy-Littlewood Method and the Farey…
Short Note: Every Large Set of Integers Contains a Three Term Arithmetic Progression
我表明，一个平凡的修改标准证明罗斯定理的三倍在等差数列将导致以下定理：如果A是一个“大集合”，即它的元素是单调递增的整数和倒数的总和，其元素发散，然后序列包含一个等差数列的长度为3。
On arithmetic progressions in self-similar sets
给定序列$\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$和比率$λ\in (0,1),$，设$E=\cup_{i=1}^n(λE+b_i)$是齐次自相似集。本文研究了$E$中等差数列的存在性和最大长度。我们的主要思想是从多个$β$ -扩展。
Conguences for Odd Unimodal Sequences and a Problem of Bringmann And Lovejoy
本文给出奇单峰与奇强单峰序列个数可被2、4整除的算术级数，解答了Bringmann和Lovejoy关于模4的奇强单峰序列对应算术级数存在性的问题。
Squarefree integers in large arithmetic progressions
证明了素数模的等差数列中无平方数序列的分布指数为$\geq 2/3 + 1/57$，改进了Prachar 1958年的一个结果.我们的主要工具是一个上界的某些双线性指数和类似Kloosterman总结，超出了可以得到的Polya-Vinogradov完成方法。
We prove the lower bound for the number of Lucas non-Wieferich primes in arithmetic progressions. More precisely, for any given integer $k\geq 2$ there are $\gg \log x$ Lucas non-Wieferich primes $p\leq x$ such that $p\equiv\pm1\pmod{k}$, assuming the $abc$ conjecture for number fields. Further, we discuss some applications of Lucas sequences in Cryptography.
We solve the enumeration of the set $\textrm{AP}(n)$ of partitions of a positive integer $n$ in which the nondecreasing sequence of parts forms an arithmetic progression. In particular, we establish a formula for the number of nondecreasing arithmetic progressions of positive integers with sum $n$. We also present an explicit method to calculate all the partitions of $\textrm{AP}(n)$.
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