On sequences without geometric progressions
对不含k项等比数列的正整数序列的密度给出了一个改进的上界。
2013-06-04 math.CO math.NT
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression with initial gaps
本文针对具有初始间隙的等差数列，给出了不可表示正整数之和（Sylvester和）、Frobenius数及不可表示正整数个数的显式公式。
2022-10-31 math.AC math.CO math.NT
On sets of integers which contain no three terms in geometric progression
寻找不含三项等差数列的自然数子集的问题有着悠久的历史。罗斯定理著名地表明，任何这样的子集都不可能有正的上密度。与此相反，兰金在1960年建议研究没有三项等比数列的子集，并构建了这样一个密度约为0.719的子集。最近，一些作者已经找到了这样的集合的上密度的上界。我们显着改善这些界限，并展示了一种方法，构建一个更大的上密度比Rankin的集。这种结构是最佳的意义上说，我们的方法给出了一种有效地计算最大可能的上密度的几何级数自由集。我们还表明，等比数列在Z/nZ的行为更像罗斯定理中，不能采取任何固定的正比例的整数模足够大的值n，同时避免等比数列。
2013-10-08 math.CO math.NT
Geometric progressions in syndetic sets
为了研究加法大集合中的乘法结构，Beiglböck等人提出了一个重要的开放性问题，即是否每个有界间隙的自然数子集（syndetic set）都包含任意长的等比数列。Erdés的一个结果暗示了联合集包含一个具有整数公比的$2$ -项几何级数，但我们仍然不知道它们是否包含这样一个公比为完全平方的级数.在这篇文章中，我们证明了，对于每个$k\in \mathbb{N}$，一个syndetic集包含$2$ -项等比数列的形式$n^kr_1$和$p^kr_2$，其中$p\in\mathbb{P}$（素数集），$n$是一个合数，$r_1\equiv 1 \pmod{n}$，$r_2\equiv 1\pmod{p}$和$r_1,r_2\in \mathbb{N}$的共同比例。我们还表明，2-syndetic集（有界间隙2集）包含无限多个$2$ -长期等比数列，其各自的公比是完美的平方。
2019-04-28 math.CO math.NT
Arithmetic and Geometric Progressions in Productsets over Finite Fields
给定$q$元素的有限域$\F_q$的两个元素集$\cA, \cB \subseteq \F_q$，证明了乘积集$$ \cA\cB = \{ab | a \in \cA, b \in\cB\} $$包含长度为$k \ge 3$的等差数列，条件是$k<p$，其中$p$是$\F_q$的特征，且$# \cA # \cB \ge 3q^{2d-2/k}$ .我们还考虑了移位乘积集$\cA\cB +h$中的等比数列，对于$f \in \F_q$，得到了类似的结果。
2007-11-13 math.CO math.NT
Subsets of $\mathbb{F}_q[x]$ free of 3-term geometric progressions
最近的几篇论文都考虑了拉姆齐理论的问题，即在不包含任何3项等比数列的情况下，整数的子集可以有多大。这个问题最近也被推广到数域，确定避免等比数列的理想的最大可能密度的界限。本文研究了$\mathbb{F}_q[x]$上的类似问题，首先构造一个避免这些级数的集合集并计算其密度，然后考虑$\mathbb{F}_q[x]$中避免三项等比数列的子集的上密度的界.这个新的设置给了我们一个参数$q$来改变和研究我们的界限如何收敛到1，因为它的变化，有限的特征引入了一些额外的组合结构，增加了在这方面的常见问题的可追溯性。
2016-01-21 math.CO math.NT
Large Gaps between Primes in Arithmetic Progressions
对于$(M,a)=1$，输入\begin{equation*} G(X;M,a)=\sup_{p^\prime_n\leq X}(p^\prime_{n+1}-p^\prime_n), \end{equation*}，其中$p^\prime_n$表示与$a\pmod{M}$全等的第$n$个素数。我们证明了，对于任何正的$C$，只要$X$在$C$方面足够大，则对于满足\begin{equation*} ω(M)\leq \exp\biggl(\frac{\log_2 M\log_4 M}{\log_3 M}\biggr). \end{equation*}的所有$M\leqκ{(\log X)}^{1/5}$，一致地存在\begin{equation*} G(MX;M,a)\geq(C+o(1))φ(M)\frac{\log X\log_2 X\log_4 X} {{(\log_3 X)}^2}, \end{equation*}
2018-09-25 math.NT
Avoiding 3-Term Geometric Progressions in Hurwitz Quaternions
本文将不含三项等比数列的最大密度问题推广到非交换的 Hurwitz 四元数序，给出贪心集合密度的精确公式，并推导最优上密度的上下界。
2024-01-20 math.CO math.NT
Geometric-progression-free sets over quadratic number fields
一个最近感兴趣的问题一直是研究如何大的子集的自然数可以同时避免3项等比数列。在此基础上，我们考虑了二次数域上的类似问题。我们首先构造一个虚二次数域的代数整数的高密度子集，避免3项等比数列。当唯一因子分解失败或在实二次数域上时，我们转而研究整数环的理想子集。这里我们的方法是构造集合“greetings”，这是Rankin所考虑的贪婪有理整数集合的推广。然后，我们描述这些集的密度值的戴德金ζ函数。接下来，我们考虑具有大上密度的等比数列自由集。我们推广了Riddell的一个论点，得到了无几何级数子集的上密度的上界，并构造了避免等比数列的具有高上密度的集合，得到了所有这样的子集的上密度的上确界的下界.这两个论点都严格依赖于整数环中具有小范数的元素。
2015-11-14 math.CO math.NT
Small gaps between configurations of prime polynomials
我们发现任意大的配置的不可约多项式在有限域，分离的低次多项式。我们的证明采用了Pintz从整数中得出的一个论点，在这个论点中，他结合了Goldston-Pintz-Yıldırım和Green-Tao的方法来寻找任意长的广义孪生素数的等差数列。
2015-03-05 math.CO math.NT
Gaps of Smallest Possible Order between Primes in an Arithmetic Progression
令$t \in \mathbb{N}$，$η>0$。假设$x$是一个足够大的实数，$q$是一个自然数，其中$q \leq x^{5/12-η}$，$q$不是特殊字符$χ^*$（如果存在）的导体的倍数。进一步假设，\[ \max \{p : p | q \} < \exp (\frac{\log x}{C \log \log x}) \; \; {and} \; \; \prod_{p | q} p < x^δ, \]，其中$C$和$δ$是取决于$t$和$η$的合适的正常数。设$a \in \mathbb{Z}$，$(a,q)=1$和\[ \mathcal{A} = \{n \in (x/2, x]: n \equiv a \pmod{q} \} . \]我们证明了在$\mathcal{A}$中存在素数$p_1 < p_2 < ... < p_t$，其中\[ p_t - p_1 \ll qt \exp (\frac{40 t}{9-20 θ}) . \]这里$θ= (\log q) / \log x$ .
2016-01-26 math.NT
Covering an arithmetic progression with geometric progressions and vice versa
我们证明了存在一个正常数C，使得如下成立：给定一个无穷大的实数等差数列A和一个足够大的整数n（取决于A），至少需要Cn个等比数列来覆盖A的前n项.一个类似的结果，与算术和等比数列的作用颠倒。
2013-11-18 math.NT
Circles with four rational points in geometric progression
本文证明了存在无穷多个具有有理半径的圆，其上含有四个横坐标或纵坐标成等比数列的有理点，推广了已知的三个点的情形。
2023-11-03 math.NT
Metric discrepancy results for geometric progressions with small ratios
证明了小比值等比数列差的重对数律。
2018-01-08 math.NT
On nearly consecutive sequences without long arithmetic progressions
Stanford University（斯坦福大学）
该研究构造了不含k项等差数列的近连续序列，改进了此前Alon与Zaks1998年的相关界，还推广至带有界间隙序列的情形。
2026-08-24 math.CO math.NT
On primes in arithmetic progressions and bounded gaps between many primes
本研究改进了算术级数中素数分布的指数，修正q-van der Corput过程以利用指数和的额外平均，进而优化了多素数有界间隙的相关结果。
2025-02-22 math.NT
A transference inequality for rational approximation to points in geometric progression
建立了由Badziahin和Bugeaud证明的关于等比数列中点的有理逼近指数的转移不等式.
2019-09-27 math.NT
A metric discrepancy results for geometric progression with ratio $3/2$
证明了序列$\{(3/2)^kx\}$的差重对数律。
2018-03-30 math.NT
Rational Points in Geometric Progression on the Unit Circle
代数平面曲线上的一列有理点称为构成$r$ -等比数列，如果这些点的横坐标或纵坐标构成一个比为$r$的等比数列。本文证明了存在无穷多个有理数$r$，使得对于每个$r$，在单位圆$x^2 + y^2 = 1$上存在无穷多个长度至少为$3$的$r$ -等比数列.
2020-10-08 math.NT
Geometric progressions in syndetic sets
一个关于联合集上有限等比数列的公开问题导致一族与平移和乘平方的交换性有关的丢番图方程。
2020-06-27 math.NT
Arithmetic progressions in sumsets of geometric progressions
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文研究了几何数列和集中的等差数列结构，结合线性形式对数界和模ularity 性质，给出完整刻画方法。
2025-12-03 math.NT
On geometric progressions on hyperelliptic curves
令$C$是由$y^2=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_n$，$a_i\in\mathbb Q$描述的$\mathbb Q$上的超椭圆曲线。如果有理数$x_{i}$、$i=1,2,...,k,$在$\mathbb Q$中形成几何级数序列，则称点$P_{i}=(x_{i},y_{i})\in C(\mathbb{Q})$、$i=1,2,...,k,$在长度$k$的几何级数中，即，$x_i=pt^{i}$换一些$p,t\in\mathbb Q$。本文证明了在长度至少为8的几何级数中存在有理点列的超椭圆曲线的无限族的存在性。
2016-02-18 math.NT
The existence of small prime gaps in subsets of the integers
我们考虑在不同的整数集合$\mathcal{C}$中寻找小素数缺口的问题。在Goldston-Pintz-Yildirim的工作之后，我们将考虑在等差数列中得到良好控制的自然数的集合。令$q_n$表示$\mathcal{C}$中的第$n$个素数，我们将建立对于任何小常数$ε>0$，集合$\left\{q_n| q_{n+1}-q_n \leq ε\log n \right\}$构成所有素数的正比例。使用的技术开发的梅纳德和陶，我们也将证明，$\mathcal{C}$有界素差距。具体的例子，如$\mathcal{C}$的情况下，是一个等差数列已经研究过，所以本文的目的是提出一般类的结果集。
2014-05-14 math.NT
Alternating geometric progressions modulo one and Sturmian words
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）；Morningside Center of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院晨兴数学中心）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
研究了模一的交替几何级数中，通过斯特姆词描述所有无理数ξ，使得序列(ξ(-b)^n)的像包含在长度为b^{-1}+b^{-2}-b^{-3}的区间内。
2026-07-24 math.CO math.NT
Large gaps between consecutive prime numbers
令$G(X)$表示低于$X$的连续素数之间的最大间隙的大小。讨论了Erdos的一个问题，证明了$$G(X) \geq f(X) \frac{\log X \log \log X \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2},$$，其中$f(X)$是一个趋于无穷大的函数，且具有$X$ .我们的证明结合了现有的参数与随机建设覆盖一组素数的等差数列。因此，我们依赖于最近的工作的存在性和分布的长等差数列完全由素数。
2015-11-09 math.NT
Markoff-Rosenberger triples in geometric progression
研究了Markoff-Rosenberger方程ax^2+by^2+cz^2 = dxyz的解，使得它们的坐标属于数域的整数环，并构成一个等比数列.
2013-05-09 math.AG math.NT
On the gaps between consecutive primes
令$p_n$表示第$n$个素数。对于任何$m\geq 1$，存在无穷多个$n$，使得对于某个大常数$C_m>0$，$p_{n}-p_{n-m}\leq C_m$，对于某个小常数$c_m>0$，$$p_{n+1}-p_n\geq \frac{c_m\log n\log\log n\log\log\log\log n}{\log\log\log n}, $$。此外，我们还得到了关于等差数列中最小素数的一个相关结果。
2018-02-07 math.CO math.NT
Geometric Progressions meet Zeckendorf Representations
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）；University of Hradec Králové（赫拉德茨克拉洛韦大学）
本文研究了在Zeckendorf数制中几何级数与禁止二进制模式的交互问题，证明了相关指数集合的有限性或周期性。
2025-12-22 math.NT
A problem of Rankin on sets without geometric progressions
长度$k$和整数比的几何级数是一组形式为$\{a,ar,\dots,ar^{k-1}\}$的数，其中有正实数$a$和整数$r\geq 2$。对于每个整数$k \geq 3$，使用贪婪算法构造正实数的严格递减序列$(a_i)_{i=1}^{\infty}$，使集合\[ G^{(k)} = \bigcup_{i=1}^{\infty} \left(a_{2i} , a_{2i-1} \right] \]不包含长度$k$和整数比的几何级数.此外，$G^{(k)}$是$(0,1]$的最大子集，不包含长度$k$和整数比的几何级数。本文还证明了存在一个严格递增的正整数序列$(A_i)_{i=1}^{\infty}$，它具有$A_1 = 1$，使得对所有$i = 1,2,3,\ldots$都有$a_i = 1/A_i$.集合$G^{(k)}$给出了整数集合$\{1,2,\dots,n\}$的子集的最大基数的一个新的下界，该整数集合不包含长度$k$和整数比的几何级数。
2014-08-12 math.NT
Irrational numbers associated to sequences without geometric progressions
设s和k为整数，s \geq 2，k \geq 2。设g_k^{（s）}（n）表示集合{1，2，.，n}，其不包含长度为k的公比为s的幂的等比数列。设r_k（\ell）表示集合{0，1，2，\ldots，\ell-1\}中不包含长度为k的算术级数的最大子集的基数。极限\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{g_k^{(s)}(n)}{n} = (s-1) \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} \right)^{\min \left(r_k^{-1}(m)\right)} \]存在并收敛于一个无理数。
2013-07-30 math.NT
Primes in Geometric-Arithmetic Progression
素数的几何算术级数是一组$k$素数（用GAP-$k$表示），其形式为$p_1 r^j + j d$，用于固定的$p_1$，$r$和$d$以及连续的$j$，{\it即}，$\{p_1, \, p_1 r + d, \, p_1 r^2 + 2 d, \, p_1 r^3 + 3 d, \,...}$.本文研究了对$k \ge 2$，GAP-$k$是几何算术级数中的一组$k$素数的条件.计算数据（连同MATHEMATICA代码）包含的进展到GAP-13。还给出了对应于高达11阶的GAP的差集$d$的序列。
2012-03-09 math.NT
On Linear Recursive Sequences with Coefficients in Arithmetic-Geometric Progressions
本文推广了M. I.关于系数为级数的线性递推关系的Cirnu [2].我们提供了一些有趣的例子，涉及到一些著名的整数序列，如斐波那契序列，佩尔序列，雅各布斯塔尔序列，和数字的平衡序列。文中还提出了几种求解线性递推关系的方法。最后，我们给出一个开放问题。
2015-03-18 math.NT
Gap statistics and higher correlations for geometric progressions modulo one
Koksma的等分布定理从1935年指出，对于Lebesgue几乎每一个$α>1$，等比数列$(α^{n})_{n\geq1}$的小数部分是等分布模1。在本文中，我们锐化这一结果表明，几乎每一个$α>1$，所有有穷级的相关性，因此归一化间隙的$(α^{n})_{n\geq1}$ mod 1有一个泊松极限分布，从而解决了一个猜想的两个第一命名的作者。虽然较早的方法使用概率方法的形式鞅逼近，我们的推理在本文中是一个分析的性质，并根据估计的振荡积分。这种方法是足够强大的，使我们能够将我们的结果扩展到一个自然类的子缺项序列。
2020-10-20 math.NT
Asymptotics of sums of functions of primes located on an arithmetic progression
研究了位于等差数列上的素数函数和的分布问题。这个问题与等差数列上素数的分布问题密切相关。在此分布的基础上，得到了素数函数和的渐近估计的一般公式，并得到了等比数列上各种素数函数和的渐近性.证明了关于等比数列上素数函数和的渐近性的几个断言。证明了这些渐近性存在的充要条件。
2021-12-05 math.NT
On some questions of V.I. Arnold on the stochasticity of geometric and arithmetic progressions
在他的一些最后的论文中，V.I.阿诺德研究了有限确定性序列的伪随机性，他用“随机性参数”来度量。在本文件中，我们说明了背景概率论和数论的一些他的考虑，并回答了一些问题提出的文件。
2015-08-19 math.HO math.NT
Quantitative uniform distribution results for geometric progressions
根据Koksma的经典定理，分数部分序列$(\{x^n\})_{n \geq 1}$对于$x$的几乎所有值都是均匀分布的。本文通过计算$(\{ξx^{s_n}\})_{n \geq 1}$对$x>1$（在勒贝格测度意义下）的典型值的偏差的精确渐近阶，得到了Koksma定理的一个精确定量形式.这里，$ξ>0$是任意常数，而$(s_n)_{n \geq 1}$可以是正整数的任意递增序列。
2013-08-15 math.NT
On quadratic progression sequences on smooth plane curves
本文研究数域$k$上光滑射影平面曲线上二次点在$x$ -坐标下的算术（几何）级数。除非曲线是超椭圆的，我们证明了这些级数必须是有限的。此外，我们表明，算术角的曲线确定的无限这些进展的$\overline{k}$ -点的定义域的程度在最多$n$，$n\ge 3$。
2019-02-24 math.NT
Generalized divisor functions in arithmetic progressions: I
本文研究$k$重除数函数在模数超过$\sqrt{X}$的算术级数中的分布，结合张益唐方法并在广义黎曼假设下获得与$k$无关的一致幂次节省误差项，同时避免依赖Siegel定理。
2023-08-13 math.NT
A lower bound for the least prime in an arithmetic progression
将$k$固定为正整数，并令$\ell$与$k$互质。令$p(k,\ell)$表示等价于$\ell \pmod{k}$的最小素数，并将$P(k)$设置为所有$p(k,\ell)$的最大值。我们寻求$P(k)$的下界。特别是，我们表明，几乎每一个$k$之一有$P(k) \gg ϕ(k) \log k \log_2 k \log_4 k / \log_3 k,$回答福特，绿色，Konyangin，梅纳德，和道的问题。我们依赖于他们最近关于素数之间大间隔的工作。我们主要的新想法是使用筛权不仅可以捕获素数，还可以捕获素数的小倍数。我们还给出了一个启发式的建议，$\liminf_{k} \frac{P(k)}{ ϕ(k) \log^2 k} = 1.$
2016-12-22 math.NT
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。在\cite{KZ0,KZ}中引入了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}$的概念，其中${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数的集合。当$λ=1$，这样的总和通常被称为西尔维斯特总和。本文的主要目的是给出Sylvester和（$λ=1$）与加权和（$λ\ne 1$）的显式表达式，其中$a_1,a_2,\dots,a_k$构成等差数列.作为应用，还考虑了各种其他情况，包括加权和，几乎等差数列，等差数列与附加项，和几何类序列。几个例子说明并证实了我们的结果。
2022-03-23 math.CO math.NT
Density of integral sets with missing differences
Motzkin提出的问题，找到最大密度$μ(M)$的集合的整数，其中的差异所给予的一组$M$不发生。当$|M|\leq 2$和$M$是有限等差数列时，这个问题已经解决.当$M$具有其它结构时，本文确定了$μ(M)$.例如，当$M$是有限等比数列时，我们确定$μ(M)$。
2013-08-28 math.CO math.NT
On the first occurrences of gaps between primes in a residue class
本文研究了等差数列（P）：$r$，$r+q$，$r+2q$，$r+3q,\ldots,$中素数间隔的首次出现，其中$q$和$r$是互质整数，$q>r\ge1$ .首次出现间隙大小的增长趋势和分布与（P）中素数间最大间隙的增长趋势和分布相似。首次出现的差距大小的直方图，适当的重新缩放后，很好地近似Gumbel极值分布。计算表明，首次出现的空位比最大空位多得多：在$x$以下的（P）中，素数之间存在$O(\log^2 x)$首次出现的空位，而最大空位的数目只有$O(\log x)$。我们探讨了一个给定的大小和相应的推广的布朗常数的间隙的渐近密度之间的联系。对于空位$d$在（P）中的第一次出现，我们期望空位末端素数$p\asymp\sqrt{d}\exp(\sqrt{d/φ(q)})$无限频繁地出现。最后，我们研究了首次出现的间隙序列中间隙大小与其指数的函数关系。
2020-10-20 math.NT
Van der Corput and metric theorems for geometric progressions for self-similar measures
本文证明了非原子自相似测度的 van der Corput 引理，并以此证明 $( x^n \mod 1 )$ 的有限阶相关函数对几乎处处 $x$ 收敛于 Poisson 模型，同时完善了关于非仿射实解析 IFS 自共形测度具有多项式 Fourier 衰减的结论。
2024-01-02 math.CA math.DS math.NT
On nonlinear polynomial selection for the number field sieve
数域筛子的非线性多项式选择算法通过减少到在格中找到短向量的充分研究的问题的实例来解决构造具有小系数的多项式的问题。这种归约依赖于构造具有小项的模等比数列。本文将构造等比数列的方法加以推广，提出了两种非线性多项式选择算法。
2013-06-28 math.NT
Montgomery's method of polynomial selection for the number field sieve
数域筛法是已知的分解没有小素因子的大整数的最有效算法。对于算法的多项式选择阶段，Montgomery提出了一种依赖于小模几何级数构造的多项式生成方法。本文分析了Montgomery的方法，并考虑了适当的几何级数的存在性.
2014-12-18 cs.CR math.NT
Geometric progressions in the sets of values of rational functions
本文研究有理函数值集中是否包含完整等比数列的问题，对一类齐次型次数差为1的有理函数给出充要条件，并通过椭圆曲线有理点对特定函数进行数值实验，提出若干猜想。
2023-04-18 math.NT
The sum-product problem for small sets II
Millsaps College（米尔斯普斯学院）
本文研究了小集的求和-乘积问题，证明了特定大小的自然数集合具有至少30个不同的求和或乘积，并给出了最优示例。
2026-03-05 math.CO math.NT
Equidistribution Conditions for Gaps of Geometric Numerical Semigroups
Western New England University（新英格兰西部大学）；Boston University（波士顿大学）
本文研究由几何序列生成的数值半群间隙集的模等分布问题，通过初等方法、分圆环及分圆单位与Dirichlet L-函数三种途径，逐步将Shor的结果推广到所有k和所有m。
2025-11-08 math.NT
Gaussian Behavior and Geometric Gaps in Decompositions from Recurrences with Zero Coefficients
Institute of Mathematics and Statistics, Rio de Janeiro State University（里约热内卢州立大学数学与统计研究所）
研究零系数递推关系下分解的唯一性丧失，但统计行为如高斯分布和几何间隙仍保持，且非唯一性指数增长。
2026-04-16 math.NT
Parity distributions among gaps of free numerical semigroups
Western New England University（新英格兰西部大学）
本文研究自由数半群间隙的奇偶分布规律，通过Apéry集中的奇偶元素数量或和来计算分布，并证明自由数半群中奇间隙数量不少于偶间隙，当生成元均为奇数时两者相等。
2026-03-16 math.NT
An explicit lower bound for large gaps between some consecutive primes
本文确定了相邻素数间大间隙下界不等式中的有效绝对常数 $c_{LG}$，证明其至少可取值为 $2.0\times 10^{-17}$，该常数受 Maynard 多维筛法、算术级数素数分布及 Selberg 上界筛法系数等因素决定。
2024-06-05 math.NT
