On the Sum and Product of Distinct Prime Factors of an Odd Perfect Number
我们提出了一个奇完满数的不同的素因子的和与积的下界，它提供了一个奇完满数的大小作为其不同的素因子的数量的函数的下界。
2010-08-06 math.NT
On sequences of integers with small prime factors
本文证明了最大素因子缓慢增长的整数序列中，相邻项的差趋于无穷大。
2023-08-04 math.NT
On a conjecture on shifted primes with large prime factors
设$\mathcal{P}$是所有素数的集合，$π(x)$是直到$x$的素数的数目。对于任何$n\ge 2$，令$P^+(n)$为$n$的最大素因子。本文证明了存在某些$0<c<1$使得$$T_c(x)=\#\{p\le x:p\in \mathcal{P},P^+(p-1)\ge p^c\}.$$，从而否定了Chen和Chen的一个猜想.
2022-11-03 math.NT
Novák-Carmichael numbers and shifted primes without large prime factors
证明了Novak-Carmichael数集的计数函数$\mathcal N_{\mathcal C}(x)$的一些新的下界.我们的估计依赖于没有大素数因子的移位素数的数量的界。特别地，在合理的假设下，我们证明了$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg x^{0.7039-o(1)}$是无条件的，而$\mathcal N_{\mathcal C}(x) \gg xe^{-(7+o(1))(\log x)\frac{\log\log\log x}{\log\log x}}$是无条件的.
2017-06-22 math.NT
An average Brun-Titchmarsh theorem and shifted primes with a large prime factor
该研究利用Maynard的三重卷积估计突破，改进了平均Brun-Titchmarsh定理，并应用于移位素数，证明无穷多个素数$p$满足$p-1$的最大素因子大于$p^{0.679}$。
2025-10-07 math.NT
Odd Perfect Numbers Have At Least Nine Distinct Prime Factors
奇数完满数N至少有9个不同的素因子。如果3不能整除N，则N必须至少有12个不同的素除子。证明最终避免了以前的计算结果为奇数完满数。
2006-02-22 math.NT
A binomial identity on the least prime factor of an integer
证明了模奇正整数$n$的二项符号与$n$的最小素因子有关的一个恒等式。的身份范围内讨论佩尔二次曲线。
2011-07-28 math.NT
On the greatest prime factor of (ab+1)(ac+1)
证明了对于整数a>b>c>0，（ab+1）（ac+1）的最大素因子随a趋于无穷大.
2002-05-13 math.NT
Primes in arithmetic progressions to large moduli, and shifted primes without large prime factors
我们证明了在$p^{0.2844}$以上没有素因子的移位素数$p-1$的无限性。这是对Baker和Harman在1998年提出的$p^{0.2961}$的改进。从而得到了Carmichael数分布的一个改进的下界.我们的主要技术成果是一个新的中值定理的素数在等差数列大模。也就是说，我们估计素数的大小$x$与四线性形式的模高达$x^{17/32}$。这将模量扩展到最近由Maynard获得的$x^{11/21}$之外，改进了由Bjueri，Friedlander和Iwaniec在1986年的著名工作中得到的$x^{29/56}$。
2022-11-14 math.NT
On the digital representation of integers with bounded prime factors
令$b \ge 2$为整数。关于素数或其素因子属于给定的有限集的数在基$b$中的表示，我们知之甚少。在其他结果中，我们建立了任何足够大的整数，这不是$b$的倍数，只有小（在适当的意义上）素因子至少有四个非零的数字在其表示基$b$。
2016-09-26 math.NT
On local laws for the number of small prime factors
本文研究Alladi提出的整数小素因子局部分布问题，重点刻画参数特定取值下出现的过渡阶段现象。
2025-08-23 math.NT
Carmichael Numbers with a Specified Number of Prime Factors
本文证明，对任意充分大的整数 $R$，都存在恰好含有 $R$ 个素因子的 Carmichael 数。
2025-10-18 math.NT
On the prime factors of the iterates of the Ramanujan $τ$--function
在本文中，对于一个正整数$n\ge 1$，我们看看的大小和素因子的迭代的Ramanujan $τ$功能适用于$n$。
2020-05-30 math.NT
On non-congruent numbers with 3 modulo 8 prime factors
本文将给出一系列具有$\equiv3\pmod8$素因子的非全等数。
2016-07-29 math.NT
Explicit Factorization of Prime Integers in Quartic Number Fields defined by $X^4+aX+b$
对于每一个素数$p$，给出了主理想$p\z_K$到$\z_K$的素理想的一个显式分解，其中$K$是由不可约多项式$X^4+aX+b\in\z[X]$定义的四次数域.
2010-08-22 math.NT
Signed harmonic sums of integers with $k$ distinct prime factors
我们给出了一些理论和计算结果的“随机”调和和素数，更一般地说，为整数与一个固定数量的素因子。
2020-04-06 math.NT
Beurling numbers whose number of prime factors lies in a specified residue class
我们发现$S_{K,c}(x)$的渐近性，$x$以下的正整数的数目，其素因子的数目是$c \; \mathrm{mod}\; K$。我们在Beurling整数的背景下研究这个问题。
2020-02-03 math.NT
The largest prime factor of $X^3+2$
改进Heath-Brown定理，证明了如果$X$足够大，则正比例的值$\{n^3+2:n\in (X,2X]\}$的素因子大于$X^{1+10^{-52}}$ .
2014-12-02 math.NT
On a problem of Erdős involving the largest prime factor of $n$
给出了使$n \le x$不整除$P(n)!$的数的渐近公式，其中P（n）是$n$的最大素因子.
2004-01-08 math.NT
Improving the Estimates for a Sequence Involving Prime Numbers
基于素数计数函数的新的显式估计，我们改进了目前已知的特殊序列$C_n = np_n - \sum_{k \leq n}p_k$，$n \geq 1$，涉及素数的估计。
2017-06-13 math.NT
The irrationality of a prime factor series under a prime tuples conjecture
本文在素数 $k$-tuples 猜想下证明了级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{ω(n)}{2^n}$ 是无理数，有条件地解决了 Erdős 提出的一个问题。
2024-09-23 math.NT
On the greatest prime factor of ab+1
本文改进了ab+1型整数的最大素因子的大小的一些结果，其中a和b属于具有相当大密度的有限整数集.
2013-11-14 math.NT
On the largest prime factor of $x^2-1$
在本文中，我们发现所有整数$x$，使$x^{2}-1$只有素因子小于100。这给出了一些有趣的数字推论。例如，对于任何正整数$n$，我们可以找到最大的正整数$x$，使得每个$x, x+1,..., x+n$的所有素因子都小于100。
2010-05-10 math.NT
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
2023-03-21 math.NT
Even perfect polynomials over $F_2$ with four prime factors
二进制域$\F_2$上的完美多项式是等于其所有因子之和的多项式$A \in \F_2[x]$。如果是$\gcd(A,x^2-x) \neq 1$，则称$A$为偶数。已知$\F_2$上最多有3个素因子的所有偶完全多项式的列表。本文的目的是给出$\F_2$上所有具有四个素因子的偶完全多项式的列表。这些是所有已知的在$\F_2$上具有四个素因子的完美多项式。
2007-12-16 math.NT
Reducing the number of prime factors of long $κ$-tuples
证明了存在无穷多个整数$n$使得$(n+h_{1})(n+h_{2})...(n+h_κ)$的素因子的总数至多为$(1/2)κ\logκ+O(κ)$，只要$κ$足够大.
2011-11-08 math.NT
3-tuples have at most 7 prime factors infinitely often
设$L_1$、$L_2$、$L_3$是没有固定素除子的整数线性函数.我们证明了存在无穷多个$n$，且乘积$L_1(n)L_2(n)L_3(n)$至多有7个素因子，改进了Porter的一个结果.我们通过基于Diamond-Halbert-Richert多维筛子的加权筛子来实现这一点。
2012-05-22 math.NT
Asymmetric estimates and the sum-product problems
我们展示了两个不对称的估计，一个是关于共线三元组的数目，另一个是关于$(a_1+a_2)(a_1^{\prime\prime\prime}+a_2^{\prime\prime\prime})=(a_1^\prime+a_2^\prime)(a_1^{\prime\prime}+a_2^{\prime\prime})$的解。作为应用，我们改进了关于差积/除法估计和Balog-Wooley分解的结果：对$\mathbb{R}$的任意有限子集$A$，\[ \max\{|A-A|,|AA|\} \gtrsim |A|^{1+105/347},\quad \max\{|A-A|,|A/A|\} \gtrsim |A|^{1+15/49}. \]此外，还存在具有$A=B\sqcup C$的集合$B,C$，使得\[ \max\{E^+(B),\, E^\times (C)\} \lesssim |A|^{3-3/11}. \]
2020-09-12 math.NT
New estimates for some functions defined over primes
本文首先建立了Chebyshev $\vartheta$ -函数的新的显式估计。应用这些新的估计，我们得到新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前最好的。此外，我们利用所得到的关于素数计数函数的估计，给出了关于短区间内素数存在性的两个新结果。
2017-05-17 math.NT
Primitive prime factors in second order linear recurrence sequences
对于一类Lucas序列${x_n}$，我们证明了如果$n$是正整数，则$x_n$有一个本原素因子，它能将$x_n$整除为奇次幂，除非可能是$n = 1, 2, 3 or 6$ .这有几个可取的结果。
2012-12-27 math.NT
Summatory function of the number of prime factors
考虑等差数列上整数$\leq x$素因子个数的和函数.数值实验表明，某些等差数列比其他数列包含更多的素因子。格雷格·马丁（Greg Martin）指出，对于所有足够大的$x$，求和函数的差应具有常数符号。在本文中，我们提供了强有力的证据格雷格马丁猜想。此外，我们还从Selberg类中导出了算术函数的一个一般定理.
2018-01-21 math.NT
On the sum of a prime and a square-free number co-prime to any integer with at most two prime factors
University of the West of England（西英格兰大学）；Universität Hamburg（汉堡大学）
研究证明大于2的自然数可表示为素数与特定平方数之和，并明确给出了渐进行为结果。
2026-03-30 math.NT
On the Difference between Consecutive Primes and Estimates of the Number of Primes in the Interval $(n, 2n)$
使用连续素数之间的差异的评估，我们开发了另一种方法估计的素数在区间$(n, 2n)$的数量。我们还讨论了超克拉默猜想，$p_{n+1} - p_n = O(log^{1+ε}p_n)$，其中$ε> 0$，在我们的文件中所获得的结果的上下文中。
2015-07-24 math.NT
Joint Poisson distribution of prime factors in sets
给定不相交子集$T_1,\ldots,T_m$的“不太大”的素数到$x$，我们建立，对于一个随机整数$n$从$[1,x]$，$m$维向量枚举的数量的素因子$n$从$T_1,\ldots,T_m$收敛到一个向量的$m$独立泊松随机变量。我们给出了一个特定的收敛速率使用Kubilius模型的素因子。当$T_1,\ldots,T_m$不受限制时，我们还证明了Poisson型的一个普遍上界，并将其应用于给定$n$具有$k$全素因子的集合$T$中素因子个数的分布.
2021-05-19 math.NT
On non-congruent numbers with 1 modulo 4 prime factors
本文利用2-decent方法求出了一系列素因子为$\equiv1\pmod4$的奇非全等数$\equiv1\pmod 8$，使得全等椭圆曲线具有次低Selmer群，其中包括Li和Tian的结果（Li and Tian，2000）作为特例.
2012-08-10 math.NT
Primes $p$ such that $p-b$ Has a Large Power Factor and Few Other Prime Divisors
本文研究素数 $p$ 使 $p-b$ 含高次 $2$ 幂且奇素因子很少的计数问题，结合 Chen 方法变体、加权筛法与 Elliott 的等差数列结果证明了下界。
2025-05-13 math.NT
On the largest prime factor of quartic polynomial values: the cyclic and dihedral cases
设$P(X)\in\mathbb{Z}[X]$是具有循环或二面体伽罗瓦群的一元四次不可约多项式.我们证明了存在一个常数$c_P>0$使得对于正比例的整数$n$，$P(n)$有一个素因子$\ge n^{1+c_P}$ .
2022-12-07 math.NT
On the small prime factors of a non-deficient number
令$σ(n)$为$n$的正因子之和。如果为$σ(n) \geq 2n$，则数字为非亏数。本文利用奇非亏数的第二小、第三小和第四小素因子建立了奇非亏数的不同素因子个数的新的下界。我们还得到了奇完满数的更严格的界限。我们还讨论了$σ(n!+1)$、$σ(2^n+1)$和相关序列的行为。
2022-11-12 math.NT
New estimates for some integrals of functions defined over primes
本文对定义在素数上的某些算术函数的积分给出了新的估计。这里的主要重点是素数计数函数$π(x)$和切比雪夫$\vartheta$函数。其中一些估计依赖于黎曼ζ函数$ζ(s)$的非平凡零点的黎曼假设的正确性。
2022-03-17 math.NT
Big prime factors in orders of elliptic curves over finite fields
设$E$是有限域$\mathbb F_q$上的椭圆曲线.证明了当$n$是一个充分大的正整数时，$\#E(\mathbb F_{q^n})$有一个超过$n\exp(c\log n/\log\log n)$的素因子.
2021-12-13 math.NT
On the number of total prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数。我们证明了如果$(3,N)=1$，则$ \frac{302}{113}ω- \frac{286}{113} \leq Ω. $如果$3|N$，则$\frac{66}{25}ω-5\leqΩ.$这是作者对以前类似结果的改进，这是Ochem和Rao的结果的改进。我们还建立了$ω(N)$上关于$N$的最小素因子的新下界，以及$N$上关于它的最小素因子的新下界.
2019-10-20 math.NT
On the largest prime factors of shifted semiprime numbers
该研究证明了对于固定整数a和足够大的x，移位半素数乘积的最大大素因子超过x^θ，其中θ为0.5减去一个任意小的正数。
2025-12-10 math.NT
Spacings between integers having typically many prime factors
我们证明，具有几乎典型数量的不同素因子的整数序列形成了一个泊松过程。更准确地说，对于任意小的正的$\de$，整数$n$与$|\om(n)-\log_2 n|\le (\log_2 n)^{\de}$之间的最近邻间距服从泊松分布定律。
2009-03-26 math.NT
Bounds on the largest prime factor of a negative discriminant with one class per genus
Gauss证明了任何至少有32个属的负判别式在每个属中至少有两类二元二次型。我们证明了这样的判别式不能有一个特别大的素因子，由一个参数类似的贝克的解决方案高斯的类数一个问题。
2020-11-18 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
Prime factors of $Φ_3(x)$ of the same form
当每个$Φ_3(a_i)$是素数时，我们参数化等式$Φ_3(x)=Φ_3(a_1)Φ_3(a_2)\cdotsΦ_3(a_n)$的解.我们的重点是在特殊情况下，当$n=2,3,4$，这种分析简化和扩展的奇数完满数的素数因子的总数的界限。
2022-04-19 math.NT
Poisson Approximation of prime divisors of shifted primes
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了移位素数的素因数分布，通过建立模型与实际素因数的总变差距离估计，证明了移位素数素因数在不相交集合中的泊松独立性，并建立了随机整数与移位素数的结构转移原理。
2026-01-19 math.NT
On sums of prime factors
我们研究了算术函数sopfr $(n)$（OEIS A001414），它给出了一个数$n$的素因子（有重复）的和。特别地，我们得到的渐近公式$$ \sum_{n \leq x} \rm{sopfr}(n) \sim \frac{π^2}{12} \frac{x^2}{\log x},$$，以及为功能sopf $(n)$（OEIS A008472），正好给出了不同的素因子之和的$n$。这个渐近公式已经由R. Jakimcyuk \cite{rj12}，这是在完成本手稿第一版后引起我们注意的。
2017-05-08 math.NT
Uniform explicit Stewart's theorem on prime factors of linear recurrences
Stewart（2013）证明了Lucas整数序列的第$n$项的最大素除子比$n$增长得更快，回答了Erds和Schinzel的著名问题。本文给出了Stewart结果的一个完全显式的、在某种意义上是统一的形式。
2022-10-02 math.NT
Primitive abundant and weird numbers with many prime factors
我们给出了一个算法来枚举所有的原始丰富数（简称PAN）与一个固定的$Ω$（素因子的数量与他们的重数计数），并显式地找到所有的PAN到$Ω=6$，计数所有的PAN和无平方PAN到$Ω=7$和计数所有的奇PAN和奇无平方PAN到$Ω=8$。我们发现原始奇怪的号码（简称PWNs）多达16个素因子，改善以前的结果[Amato-Hasler-Melfi-Parton]其中PWNs多达6个素因子已经给出。我们发现的最大的PWN有14712位数：据我们所知，这是现有的最大的例子，前一个是5328位长[Melfi]。我们发现了数百个PWN，其中恰好有一个平方奇素因子：据我们所知，以前只知道五个。我们发现所有的PWNs至少有一个奇素因子的重数大于1和$Ω= 7$，并证明没有与$Ω< 7$。关于PWNs与立方（或更高）奇素数因子，我们证明，有没有与$Ω\le 7$，我们没有发现任何较大的$Ω$。最后，我们发现了几个PWNs的2平方奇素因子，和一个3平方奇素因子。这是第一个这样的例子。
2018-02-27 math.NT
On the number of distinct exponents in the prime factorization of an integer
令$f(n)$为自然数$n$的素因子分解中不同指数的数目。证明了关于$f(n)$分布的一些结果。特别地，对于任意正整数$k$，我们得到了$$ \#\{n \leq x : f(n) = k\} \sim A_k x $$和$$ \#\{n \leq x : f(n) = ω(n) - k\} \sim \frac{B x (\log \log x)^k}{k! \log x} , $$为$x \to +\infty$，其中$ω(n)$为$n$的素因子个数，$A_k, B > 0$为某些显式常数.后者的渐近扩展的结果Aktaiden和拉姆Murty关于一些有相互不同的指数在其总理分解。
2019-02-25 math.NT
Quadratic polynomials at prime arguments
对于一个固定的二次不可约多项式$f$，在素变元上没有固定的素因子，我们证明了存在无穷多个素数$p$使得$f(p)$至多有4个素因子，改进了Richert要求用5代替4的经典结果.用$P^+(n)$表示$n$的最大素因子，并证明了$P^+(f(p))>p^{0.847}$无穷常存在.
2016-09-01 math.NT
New estimates for the $n$th prime number
本文建立了$n$第素数的一个新的显式上下界，改进了Dusart在2010年给出的目前最好的估计.作为主要的工具，我们使用最近获得的一些显式估计素计数函数。另一个主要工具是使用关于$\log p_n$的倒数的估计。作为一个应用，我们得到了$\vartheta(p_n)$在$n$方面的精确估计，其中$\vartheta(x)$是Chebyshev的$\vartheta$ -函数.
2018-10-04 math.NT
Effective estimates for some functions defined over primes
本文给出了定义在素数上的几个经典算术函数的有效估计。首先，我们找到最小的实数$x_0$，使一些不等式涉及Chebyshev的$\vartheta$ -功能保持每$x \geq x_0$。在此基础上，我们给出了关于短区间内素数存在性的一些新结果。此外，我们得到了新的上限和下界的一些功能定义在素数，例如素数计数函数$π(x)$，这改善了目前的最佳估计相似的形状。
2022-06-29 math.NT
