All unitary perfect polynomials over $F_2$ with less than five distinct prime factors
Luis H. Gallardo, Olivier Rahavandrainy
我们找到了素域$\F_2$上所有具有小于5个不同素因子的酉完全多项式。
We find all unitary perfect polynomials over the prime field $\F_2$ with less than five distinct prime factors.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Unitary super perfect numbers
我们将证明9，165都是奇酉超完满数。
Large gaps between consecutive prime numbers containing square-free numbers and perfect powers of prime numbers
我们证明了K. Ford，D. R. Heath-Brown和S. Konyagin关于无平方数的素数回避和素数的完全幂。
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
On bi-unitary perfect polynomials over $F_2$
本文给出了素域上所有能被提升到特殊指数的Mersenne不可约多项式整除的双酉不分裂偶完全多项式。我们还确定了所有的双酉完美多项式在同一领域，最多有四个不可约的因素。然后，我们以这种方式完成J.T. B.小比尔德
On odd prime divisors of binary perfect polynomials
给出了二元完全多项式的奇素除子集所满足的必要条件。这使我们能够得到一个新的特征的所有已知的完美的二元多项式。
An analog of perfect numbers involving the unitary totient function
我们将给出可被其幺正元整除的整数的一些结果。
Odd Perfect Numbers Have At Least Nine Distinct Prime Factors
奇数完满数N至少有9个不同的素因子。如果3不能整除N，则N必须至少有12个不同的素除子。证明最终避免了以前的计算结果为奇数完满数。
On the Sum and Product of Distinct Prime Factors of an Odd Perfect Number
我们提出了一个奇完满数的不同的素因子的和与积的下界，它提供了一个奇完满数的大小作为其不同的素因子的数量的函数的下界。
Non-splitting bi-unitary perfect polynomials over $\mathbb{F}_4$ with less than five prime factors
本文确定了有限域 $\mathbb{F}_4$ 上所有至多包含四个不可约因子的非分裂双酉完美多项式，并指出此类因子有无限多个。
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
该研究针对二元素域$\boldsymbol{\text{F}}_2$，找到了仅以梅森多项式为奇不可约因子的所有非分裂双酉完美多项式，是经典算术问题的多项式变体研究成果。
On splitting bi-unitary perfect polynomials over $\mathbb{F}_{p^2}$
本文研究了有限域上分裂双酉完全多项式的分类，给出了 $\mathbb{F}_4$ 上的全部解和奇素数 $p$ 时 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的部分解。
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with at most four irreducible factors
该研究确定了有限域$\text{F}_2$上至多含四个不可约因子的双酉完全多项式的全部类型
Difference of powers of consecutive primes which are perfect squares
研究了连续素数$p$和$q$（$p > q$），对它们存在一对自然数$(x,y)$使得$p^x-q^y$是完满平方，并作了一些证明.
Even perfect polynomials over $F_2$ with four prime factors
二进制域$\F_2$上的完美多项式是等于其所有因子之和的多项式$A \in \F_2[x]$。如果是$\gcd(A,x^2-x) \neq 1$，则称$A$为偶数。已知$\F_2$上最多有3个素因子的所有偶完全多项式的列表。本文的目的是给出$\F_2$上所有具有四个素因子的偶完全多项式的列表。这些是所有已知的在$\F_2$上具有四个素因子的完美多项式。
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect powers
对于任何正整数$k$，我们表明，无限经常，完美的$k$ -th权力出现在非常长的间隙内连续素数之间，即间隙的大小$$ c_k \frac{\log p \log_2 p \log_4 p}{(\log_3 p)^2}, $$其中$p$是较小的两个素数。
All even (unitary) perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
讨论了环$\F_2[x]$中与因子和函数的不动点有关的一个算术问题。研究了二元多项式$A$，使得$σ(A)/A $仍是二元多项式.从技术上讲，我们证明了唯一的（酉）完全多项式在$\F_2$是产品的$x$，$x+1$和梅森素数正好是九个（分别.九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$ .
Bounded gaps and perfect power gaps in sequences of consecutive primes
本文研究连续素数间隙中是否存在较大间隙或完美幂间隙，并探讨相关数学问题。
Perfect numbers and Fibonacci primes
本文引入了$F$ -完满数的概念，它是一个正整数$n$，使得$\sum_{d|n,d<n}d^2=3n$ .证明了所有的$F$ -完满数都是$n=F_{2k-1}F_{2k+1}$形式的，其中$F_{2k-1}$和$F_{2k+1}$都是Fibonacci素数.此外，我们还得到了其他有趣的结果，并提出了关于完满数的一个新猜想。
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
On Deficient Perfect Numbers with Four Distinct Prime Factors
对于正整数$n$，如果$σ(n)$表示$n$的正因子之和，则称$n$为亏完满数，如果对于$n$的某个正因子$d$，有$σ(n)=2n-d$.本文证明了具有四个不同素因子的奇亏完满数的一些结果。
On inequalities involving counts of the prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数（计数重数）。我们证明了$\frac{99}{37}ω(N) - \frac{187}{37} \leq Ω(N)$，如果$3\nmid N$，那么$\frac{51}{19}ω(N)-\frac{46}{19} \leq Ω(N)$。
Large gaps between consecutive prime numbers containing perfect $k$-th powers of prime numbers
设$k\geq 2$是一个固定的自然数。证明了存在无穷多对连续素数$p_n$，$p_{n+1}$满足$$ p_{n+1}-p_n\geq c\:\frac{\log p_n\: \log_2 p_n\: \log_4 p_n}{\log_3 p_n}\:,$$且$c$为固定正常数，其中区间$(p_n, p_{n+1})$包含素数的$k$次幂.
Minimal zero-free regions for results on primes between consecutive perfect $k$th powers
该研究计算了确保连续完美k次幂间存在素数的最小无零区域，并证明了在连续86次幂间总存在素数，同时识别了一个特定整数序列在连续70次幂间也总存在素数。
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
On the divisibility of odd perfect numbers by a high power of a prime
研究了多重完全数的一些整除性质。我们的主要结果是：如果在某个有限集S中具有$β_1, ..., β_t$的$N=p_1^{α_1}... p_s^{α_s} q_1^{2β_1}... q_t^{2β_t}$满足$σ(N)=\frac{n}{d}N$，则N有一个小于C的素因子，其中C是仅依赖于s，n，S的有效可计算常数。
Perfect numbers and Fibonacci primes (III)
本文考虑丢番图方程$σ_{2}(n)-n^2=An+B$具有$A=P^2\pm2$ .对于某些$B$，我们证明了除了在$n\leq(|A|+|B|)^{3}$范围内有1000多个可计算解外，所有解都可用Lucas序列表示.同时，我们也得到了与其它线性递归序列有关的一些结果。
On the number of total prime factors of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数。令$ω(N)$是$N$的不同素因子的数目，令$Ω(N)$是$N$的素因子的总数。我们证明了如果$(3,N)=1$，则$ \frac{302}{113}ω- \frac{286}{113} \leq Ω. $如果$3|N$，则$\frac{66}{25}ω-5\leqΩ.$这是作者对以前类似结果的改进，这是Ochem和Rao的结果的改进。我们还建立了$ω(N)$上关于$N$的最小素因子的新下界，以及$N$上关于它的最小素因子的新下界.
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
Congruence primes for automorphic forms on unitary groups and applications to the arithmetic of Ikeda lifts
本文利用与$f$相联系的标准$L$ -函数的特殊值的可除性，给出了一大类全实数域$F$的酉群$U(n,n)(A_F)$上自守形式$f$的素数是同余素数的一个充分条件.我们还研究了在$U(n,n)(A_{\mathbf{Q}})$上的池田提升$I_ϕ$（椭圆模形式$ϕ$）的傅立叶系数的$\ell$ -adic性质，证明了它们是模$\ell$不为零的$\ell$ -adic整数.最后我们结合这些结果表明，$\ell$是$I_ϕ$的同余素数的条件是由$ϕ$的对称平方$L$ -函数的特殊值的乘积的$\ell$ -整除性控制的.当我们的主要定理适用时，我们通过计算一个例子来结束本文。
New techniques for bounds on the total number of Prime Factors of an Odd Perfect Number
令$σ(n)$表示$n$的正因子之和。我们说$n$是完美的，如果$σ(n) = 2 n$。目前还没有已知的奇完全数。已知如果存在奇数完满数，则它必须具有$N = p^α\prod_{j=1}^k q_j^{2 β_j}$的形式，其中$p, q_1, ..., q_k$是不同的素数，而$p \equiv α\equiv 1 \pmod{4}$是不同的素数。定义$N$的素因子总数为$Ω(N) := α+ 2 \sum_{j=1}^k β_j$。Sayers展示了$Ω(N) \geq 29$。这后来被Iannucci和Sorli扩展，以表明$Ω(N) \geq 37$。作者对此进行了扩展，以表明$Ω(N) \geq 47$。本文利用Carl Pomerance的思想推广了这些结果。当前的新边界是$Ω(N) \geq 75$。
Perfect Numbers and Fibonacci Primes (II)
本文研究丢番图方程${{σ}_{2}}(n)-{{n}^{2}}=An+B$ .证明了该方程的$(A,B)=({{L}_{2m}},F_{2m}^{2}-1)$解除了有100多个可计算解外，其余解都是$n={{F}_{2k+1}}{{F}_{2k+2m+1}}$，其中${{F}_{2k+1}}$和${{F}_{2k+2m+1}}$都是Fibonacci素数。同时，我们证明了孪生素数猜想成立的充要条件是方程${{σ}_{2}}(n)-{{n}^{2}}=2n+5$有无穷多个解。
Complete characterization of $2$-near perfect numbers with exactly 2 prime factors
本文通过分析奇偶性及指数条件，完整刻画了恰好有两个素因子的 $2$-近完美数，证明不存在奇数的此类数，并确定了所有偶数形式属于特定族。
A fast modulo primes algorithm for searching perfect cuboids and its implementation
一个完美的长方体是一个长方体，其所有的线性范围都是由整数，即。e.它的边、它的面对角线和它的空间对角线是整数长度。到目前为止，还没有一个完美的长方体。它们的不存在也没有得到证明。这是一个未解的数学难题。最近有三个数学命题与长方体问题有关。它们被称为三个长方体。这三个图在寻找完美长方体的过程中指定了三个特殊的子情形。第二个猜想的情形与十次丢番图方程的解有关。本文提出了一种用模素数搜索法快速求解这类丢番图方程的算法，并给出了在32位Windows平台上采用Intel兼容处理器的实现。
Products of shifted primes simultaneously taking perfect power values
本文研究了移位素数的乘积同时取完全幂值的问题，给出了无平方因子整数n的数量下界，并探讨了特定A集合下的素因子数量下界。
Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number
Acquaah和Konyagin表明，如果$N$是一个奇数完满数，其中$N= p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，其中$p_1 < p_2 \cdots < p_k$，那么一个必须有$p_k < 3^{1/3}N^{1/3}$。使用类似的方法，我们表明，$p_{k-1}< (2N)^{1/5}$和$p_{k-1}p_k < 6^{1/4}N^{1/2}.$我们还表明，如果$p_k$和$p_{k-1}$是彼此接近，比这些界限可以进一步加强。
Integrality at a prime for global fields and the perfect closure of global fields of characteristic p>2
设k是一个整体域，\pp是k的任意非阿基米德素数.我们给出了一个新的和统一的证明众所周知的事实，即所有元素的集合k是整在\pp在k上丢番图。设k^{perf}是特征p>2的整体域的完美闭包。我们还证明了k^{perf}的所有在k^{perf}的某个素数\qq上积分的元素的集合是k^{perf}上的丢番图，这是在其常量域上不是单生的域上的第一个这样的结果.这与希尔伯特第十问题有关，因为对于正特征的全局域k，给出在素数处积分的元素集合的丢番图定义是证明希尔伯特第十问题是不可判定的两个步骤之一。
On the divisibility of odd perfect numbers, quasiperfect numbers and amicable numbers by a high power of a prime
我们将给出形式为$N=p_1^{α_1}\cdots p_s^{α_s} q_1^{β_1}\cdots q_t^{β_t}$且$β_1, \ldots, β_t$受给定常数约束的多完全数的最小素因子的一个显式上界。对于拟完全数和相反宇称的互素亲和对，我们也将给出类似的结果。
Perfect numbers, Wieferich primes and the solutions of $\binom{2n}{n}\equiv 2^n \bmod n$
本文研究同余方程$\binom{2n}{n}\boldsymbol{\text{≡}}2^n \bmod n$的解，借助SageMath软件及自身结果增加了已知解的数量，还证明了偶完全数、Wieferich素数与该方程解的关联。
On Even Perfect Numbers II
设$k>2$是素数，使得$2^k-1$是梅森素数。令$n = 2^{α-1}p$，其中$α>1$和$p<3\cdot 2^{α-1}-1$是奇素数。继续蔡等和江的工作，我们证明了$n\ |\ σ_k(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 2^{k-1}(2^k-1)$ .此外，如果$n = 2^{α-1}p^{β-1}$对于某个$β>1$，则$n\ |\ σ_5(n)$当且仅当$n$是偶完全数$\neq 496$。
A Rationality Condition for the Existence of Odd Perfect Numbers
给出了一个包含乘积的平方根的奇完满数存在的合理性条件，该乘积由一列代表单位乘以其中一个代表单位的基数的两倍组成.该约束还提供了可以满足${{σ(N)}\over N}=2$的奇数密度的上限，其中$N$属于具有大于$10^{300}$的下限的固定区间。代表单位的素除子的特征用于确定包含代表单位的乘积是否可以是完满平方。证明了具有不同素基的算术本原因子只有在指数不同时才相等，但由解素方程的解导出的一组情况除外.证明这一结果需要证明一个更一般的素数方程的解的不存在性，这是一个相当于加泰罗尼亚猜想的问题。得到了关于代表单位的素除子的指数的结果，并结合归纳法证明了一个关于不存在满足合理性条件的素除子的一般定理.
On the Interval [n,2n]: Primes, Composites and Perfect Powers
本文证明了对每一个正整数$n$，在区间$[n,9(n+3)/8]$中存在一个素数。在此基础上，证明了：若$a$是大于1的整数，则对每个整数$n>14.4a$，至少存在四个素数$p$，$q$，$r$和$s$，使得$n<ap<3n/2<aq<2n$和$n<r<3n/2<s<2n$ .证明了若$m$为正整数，则对每一正整数$n>14.4/(|\sqrt[m]{1.5}|-1)^m$，存在一正整数$a$和一素数$s$使得$n<a^m<3n/2<s<2n$，对每一正整数$n>14.4/(|\sqrt[m]{2}|-|\sqrt[m]{1.5}|)^m$，存在一素数$r$和一正整数$a$使得$n<r<3n/2<a^m<2n$ .
On Dris Conjecture about Odd Perfect Numbers
奇数完满数的欧拉形式，如果有的话，是$n=π^αN^2$，其中$π$是素数，$(π,N)=1$和$π\equiv α\equiv 1 \pmod{4}$。德里斯猜想指出，$N>π^α$。我们发现$N^2>\frac{1}{2}π^γ$，有$γ=max\{ω(n)-1,α\}$ ; $ω(n)\geq 9$是$n$的不同素因子的个数.
An asymptotic version of the prime power conjecture for perfect difference sets
证明了使$\mathbb{Z}/(n^2+n+1)\mathbb{Z}$包含完全差集的正整数$n\leq N$的个数渐近地为$N/\log{N}$ .
Semi-stable models for some unitary Shimura varieties over ramified primes
本文针对签名 $(2,n-2)$ 的酉群相关的 Shimura 簇，通过显式分解局部模型，在虚二次域分歧的奇素数 $p$ 上构建了正则 $p$-adic 整模型。
Coefficients of (inverse) unitary cyclotomic polynomials
块可除性的概念自然地导致人们引入酉分圆多项式$Φ_n^*(x)$。它们可以写成分圆多项式的某些乘积。我们研究的情况下，$n$有两个或三个不同的素因子使用数值半群，分别巴赫曼的包含-排除多项式。给定$m\ge 1$，我们证明了对于某些$n\ge 1$，每个整数都作为$Φ^*_{mn}(x)$的系数出现。这里，$n$通常将具有许多不同的素因子。我们还考虑了逆酉分圆多项式的多项式$(x^n-1)/Φ_n^*(x),$的类似问题。
Horizontal Distribution Relations for Special Cycles on Unitary Shimura Varieties: Split Case
研究了$\mathbf{U}(2, 1) \times \mathbf{U}(1, 1)$的Shimura簇上的特殊圈的局部性态，其中Gan-Gross-Prasad拓扑在全实域的素数$τ$上，定义了在相应的全虚二次扩张中分裂的酉空间.我们建立了它们的定义域的局部公式，并证明了它们上的Galois作用和Hecke作用之间的分布关系。这补充了\cite{jetchev:unitary}在惰性素数上的工作，在惰性素数上，公式的组合数学被简化为计算Bruhat-Tits树，在分裂的情况下，必须用高维建筑物来代替。
Coefficients of Unitary Cyclotomic Polynomials of Order Three
三阶酉分圆多项式是\[ Φ^*_{PQR}(x)=\frac{(x^{PQR}-1)(x^P-1)(x^Q-1)(x^R-1)}{(x^{PQ}-1)(x^{QR}-1)(x^{RP}-1)(x-1)}, \]形式的多项式，其中$P$、$Q$和$R$是三个不同素数$p$、$q$和$r$的幂。固定任何这样的素数三元组生成对应于$P=p^a$、$Q=q^b$和$R=r^c$的所有可能选择的这些多项式的族。我们研究了这类多项式族中多项式的系数。特别是，我们表明，在每个这样的家庭多项式的系数覆盖所有的$\mathbb{Z}$。
Bounds On Factors Of Odd Perfect Numbers
关于奇完满数的可能存在，最近已经取得了很大进展，形成了后来被称为西尔维斯特条件网的一部分。本文证明了关于奇完满数的因子倒数和的某些性质，或者用更专业的术语，证明了σ_{-1}（n）的子和的性质。利用这一结果，利用奇完满数可能具有的不同素因子的个数，建立了奇完全数的素因子的强界。
On differences of perfect powers and prime powers
本研究提出一种结合Frey-Hellegouarch曲线伽罗瓦表示、Thue-Mahler方程有效求解及改进对数下界的方法，显式确定完全幂与素数幂的差的无平方因子部分对应元组，并求解了指定参数范围的情形。
On the Kudla-Rapoport conjecture for unitary Shimura varieties with maximal parahoric level structure at unramified primes
本文通过 Deligne-Lusztig 簇的 Tate 猜想版本证明 Kudla-Rapoport 猜想，并在任意维数的若干新情形下无条件成立。
Sums of two cubes as twisted perfect powers, revisited
在本文中，我们锐化早期的工作的第一作者，卢卡和Mulholland，表明丢番图方程$$ A^3+B^3 = q^αC^p, \, \, ABC \neq 0, \, \, \gcd (A,B) =1, $$，“大多数”素数$q$和适当大的素指数$p$，没有解决方案。我们处理了一些（大概是无限的）家庭，没有这样的结论是迄今为止已知的。通过进一步应用某些{ \it辛准则}，我们能够对$q$的更多值作一些条件性陈述，一个这样的结果是，对于除了$O(\sqrt{x}/\log x)$素数$q$直到$x$之外的所有素数，对于素数指数$p$的正比例，方程$$ A^3 + B^3 = q C^p. $$在互质非零整数$A, B$和$C$中没有解.
Euclid-Euler Heuristics for Perfect Numbers
一个奇完全数$N$称为以欧拉形式给出，如果$N = {q^k}{n^2}$，其中$q$与$q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$和$\gcd(q,n) = 1$互素。类似地，如果$M = (2^p - 1)\cdot{2^{p - 1}}$，其中$p$和$2^p - 1$是素数，则称偶完全数$M$以欧几里得形式给出。在这篇文章中，我们将展示如何围绕完满数的欧拉形式和欧几里德形式的基本性质之间的差异进行简单的考虑，从而产生我们将称之为完满数的欧几里德-欧拉算法。
An equation about sum of primes with digital sum constraints
我们知道任何形式为$4s+1$的素数都可以写成两个完满平方数的和。作为哥德巴赫弱猜想的结果，任何大于$10$的数都可以表示为四个素数之和。我们的动机是考虑一个方程与一些限制的数字和的四个素数。并得出结论：如果方程有解，则四个素数的数字和的平方根将大于$4$，而不是$3$的倍数.在证明中，我们给出了判断一个数是否是完满平方的方法。
On the average number of representations of an integer as a sum of like prime powers
我们研究了正整数表示为素数的$k + 1$完全$k$次幂之和的平均数。本文推广了最近关于$k = 2$ [6]和$k = 3$ [5]的结果.我们使用同样的技术来研究相应的问题，只是$k$完美$k$次幂的素数的总和。
On elements of prime order in the plane Cremona group over a perfect field
证明了特征为$p \ge 0$的完满域$k$上的平面Cremona群包含一个不等于$p$的素数阶元$\ell\ge 7$当且仅当存在$k$上的二维代数环面$T$，使得$T(k)$包含一个$\ell$阶元.如果$p = 0$和$k$不包含一个本原的$\ell$ -th单位根，我们证明了在$\Cr_2(k)$中没有素数阶元素$\ell > 7$，并且所有的7阶元素都是共轭的.
An improvement of an inequality of Ochem and Rao concerning odd perfect numbers
令$Ω(n)$表示$n$的素因子的总数（计数重数），令$ω(n)$表示$n$的不同素因子的数量。当$N$为奇完全数时，证明了与$ω(N)$和$Ω(N)$有关的各种不等式.我们改进了这些不平等。特别是，我们表明，如果$3 \not| N$，则$Ω\geq \frac{8}{3}ω(N)-\frac{7}{3}$，如果$3 |N$，则$Ω(N) \geq \frac{21}{8}ω(N)-\frac{39}{8}.$
Differences between perfect powers : prime power gaps
本文结合丢番图逼近、代数数论与椭圆曲线模性方法，给出判定 $x^2-y^n$ 仅被给定素数幂整除的一般机制，并完全求解 $x^2+q^α=y^n$（$2\le q<100$ 为素数）的整数解。
A note on the Diophantine equation $2ln^{2} = 1+q+ \cdots +q^α$ and application to odd perfect numbers
本文利用二次序中的素理想分解和广义Fermat方程本原解，证明奇完全数中比值 $σ(n^{2})/q^α$ 在 $α\neq 1$ 时既非平方数也非平方数乘单素数，并推广到奇多重完全数。
Supersingular loci of some Shimura varieties for CM unitary groups
本文研究群$\mathrm{GU}(V)$的Shimura簇，其中$V$是关于CM扩张$E/E^+$的Hermite空间.我们给出了描述的超奇异轨迹的纤维在一个素数$ν$在$p$这样的Shimura品种，假设$\mathrm{dim}_E(V) \leq 4$和素数$p$完全分裂在$E^+$和unramified在$E$。
On the difference between perfect powers and integral $S$-units
研究通过建立有效下界，探讨了正整数z与整数S-单位之间的差异，揭示了其最大素因子随z^d增长的趋势。
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