Degree bounds for separating invariants
如果V是线性代数群G的表示，则V上的G-不变正则函数的集合S称为分离的，如果以下成立：如果V中的两个元素v，v'可以由不变函数分离，则存在来自S的f使得f（v）不同于f（v'）。已知总存在有限分离集。此外，如果群G是有限的，则次数<= |G|的不变函数形成分离集。证明了对于非有限线性代数群G，不存在这样一个分离集的度的上界。如果G是有限的，我们定义b（G）为最小数d，使得对于每个G-模V，存在一个度小于或等于d的分离集。我们证明了对于G的子群H，当H正规时，有b（H）<= b（G）<= [G：H] b（H）$, and that b(G) <= b(G/H) b(H)$.此外，我们还计算了某些特定有限群的b（G）.
2010-07-13 math.AC
The separating variety for 2x2 matrix invariants
设$G$是线性作用在$G$簇$\mathcal{V}$上的线性代数群，$k[\mathcal{V}]^G$是不变多项式函数的相应代数.分离集$S \subseteq k[\mathcal{V}]^G$是一组多项式，其性质是对于所有$v,w \in \mathcal{V}$，如果存在分离$v$和$w$的$f \in k[\mathcal{V}]^G$，则存在分离$v$和$w$的$f \in S$。本文考虑了$G = \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$对$2 \times 2$矩阵的$n$ -元组簇$\mathcal{M}_2^n$的同时共轭作用. $\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]^G$的最小生成集$S_n$是公知的，并且$|S_n| = \frac16(n^3+11n)$。在最近的工作中，Kaygorodov，Lopatin和Popov证明了对于所有的$n \geq 1$，$S_n$是一个极小的包含分离集，即没有$S_n$的真子集是一个分离集。这并不一定意味着$S_n$在$\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]^G$的所有分离集合中具有最小基数。我们的主要结果表明，任何分离集$\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]^G$有基数$\geq 5n-5$。特别地，对于$n \geq 3$，不存在大小为$\dim(\m…
2022-09-30 math.AC
Separating Invariants for Two Copies of the Natural $S_n$-Action
本文提供了一组特征为0的域上自然$S_n$ -表示$V = K^n$的两个拷贝的向量不变量环$K[V^2]^{S_n}$的分离不变量。这个集合比$K[V^2]^{S_n}$的生成集合小得多。对于$n \leq 4$，我们表明，这一套是最小的包含在所有的分离集。
2019-05-31 math.AC math.RT
Separating invariants over finite fields
确定了有限域$\mathbb{F}_q$上矩阵群$G < \mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_q)$的不变环的最小分离不变量个数.我们表明，这个最小的数目，可以得到与度的不变量最多$|G|n(q-1)$。在非模的情况下，这种构造可以改进为给出至多$n(q-1)$的度不变量。作为例子，我们研究了对称群的两个重要表示在域$\mathbb{F}_2$上的分离不变量
2020-11-14 math.AC math.RT
A finite separating set for Daigle and Freudenburg's counterexample to Hilbert's Fourteenth Problem
本文给出了在一个非双生成的不变环中有限分离集的第一个显式例子，即关于希尔伯特第十四问题的Daigle和Freudenburg的五维反例.
2009-12-03 math.AC
Separating polynomial invariants over non-closed fields of finite abelian groups
证明了有理数域上素数阶群表示中次数不超过3的多项式不变量可分离轨道，并将有限阿贝尔群在代数闭域上分离不变量的次数上界结果推广至非代数闭基域情形。
2025-06-28 math.AC math.RT
Separating invariants for multisymmetric polynomials
本文研究了任意域$\mathbb{K}$上$n$变量的$m$集中多对称多项式环的分离不变量。我们证明，为了获得分离集，它是足够的考虑多项式，只依赖于这些变量的$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1$集。这改进了Domokos关于分离不变量的一般结果。此外，对于$n \leq 4$，我们明确地给出了最小分离集（相对于包含）的情况下$\text{char}(\mathbb{K}) = 0$或$\text{char}(\mathbb{K}) > n$的所有$m$。
2020-09-17 math.AC math.RA math.RT
Degree bound for separating invariants of abelian groups
证明了有限阿贝尔群（非模特征）的多项式不变量的分离度的泛度界严格小于多项式不变量的生成元的泛度界，除非该群是循环群或$r$偶数阶循环群的直积，其中二元直因子的个数不小于$r$的一半的整数部分.利用阿贝尔群上的零和序列给出了单项式分离集的一个刻划。
2016-02-21 math.AC math.NT math.RA
Invariants of the dihedral group $D_{2p}$ in characteristic two
考虑特征为2的代数闭域上的二面体群$D_{2p}$的有限维表示，其中$p$是奇数，并研究了在相应的不变量环中生成多项式和分离多项式的次数.当表示的维数足够大时，我们给出了不依赖于$p$的最小生成集中多项式的次数的上界。我们还表明，$p+1$是最小的数字，使不变量，直到该程度总是形成一个分离集。同时，我们给出了当$p$是素数时分离集的一个明确的描述。
2010-10-13 math.AC
Separating invariants for two-dimensional orthogonal groups over finite fields
该研究针对有限域上二维向量m元组的O(F_q)不变多项式函数代数，给出了其极小分离集的刻画，推进了有限群不变量理论中分离不变量的相关研究。
2025-01-14 math.AC math.RA math.RT
On separating sets of polynomial invariants of finite abelian group actions
Nanning Normal University（南宁师范大学）；Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；University of Graz（格拉茨大学）
研究有限阿贝尔群作用下多项式不变量的分离集性质，包括单调理论、最小大小、分离诺特数及逆问题。
2026-04-13 math.AC math.NT
Separating invariants of three nilpotent 3x3 matrices
在特征为零的代数闭域上，由幂零一般矩阵的乘积的迹生成n × n幂零矩阵d元组关于同时共轭作用的GL n-不变量代数.在n=d=3的情形下，我们给出了该代数的一个极小分离集.
2020-07-31 math.AC math.RA math.RT
Separating algebras and finite reflection groups
粗略地说，分离代数是不变量环的子代数，其元素区分任何两个可以使用不变量区分的轨道。本文引入了分离代数的几何概念。这使我们能够证明，只有反射生成的群可能有多项式分离代数，只有双反射生成的群可能有完全相交分离代数。
2008-07-31 math.AC math.AG
Zero-separating invariants for finite groups
我们固定一个字段$\kk$的特征$p$。对于有限群$G$，分别用$δ(G)$和$σ(G)$表示最小数$d$，使得对于$G$在$\kk$上的任意有限维表示$V$和任意$v\in V^{G}\setminus\{0\}$或$v\in V\setminus\{0\}$，分别存在正次数的齐次不变量$f\in\kk[V]^{G}$至多为$d$使得$f(v)\ne 0$。设$P$是$G$的Sylow-$p$-子群（如果群阶不能被$p$整除，则我们认为它是平凡的）.我们表明，$δ(G)=|P|$。如果$N_{G}(P)/P$是环状的，则我们显示$σ(G)\ge|N_{G}(P)|$。如果$G$是$p$ -幂零的，并且$P$在$G$中不是正态的，我们证明了$σ(G)\le \frac{|G|}{l}$，其中$l$是$|G|$的最小素因子。这些结果将非模情形下的已知结果推广到了模情形。
2013-08-05 math.AC
Finite separating sets and quasi-affine quotients
Nagata对希尔伯特第十四问题的著名反例表明，仿射代数簇上的代数群作用的不变量的环并不总是非线性生成的。然而，在某种意义上，不变环离仿射环不远。事实上，不变环总是拟仿射的，并且总是存在有限分离集。本文给出了一种新的求拟仿射簇的方法，使其上的正则函数环等于给定的不变环，并给出了一个判别分离代数的准则。本文的方法和准则已用于一些已知的例子和一个新的构造中。
2012-03-23 math.AC math.AG
Minimal generating and separating sets for O(3)-invariants of several matrices
本文在正交群情形下，针对特征异于2的无限域上的多种矩阵不变量代数，找到了极小分离集，并给出了三个3×3对称矩阵正交不变量代数的极小生成集。
2023-10-23 math.AC math.RA
The separating variety for matrix semi-invariants
令$G$是线性作用在向量空间$V$上的线性代数群，并且令$k[V]^G$是不变多项式函数的相应代数。分离集$S \subseteq k[V]^G$是一组多项式，其性质是对于所有$v,w \in V$，如果存在分离$v$和$w$的$f \in k[V]^G$，则存在分离$v$和$w$的$f \in S$。在这篇文章中，我们考虑的行动$G = \mathrm{SL}_2 \times \mathrm{SL}_2$的$2 \times 2$矩阵的$n$ -元组的$\mathbb{C}$ -向量空间$M_{2,2}^n$的左，右乘。已知$\mathbb{C}[M_{2,2}^n]^G$的最小生成集$S_n$和$|S_n| = \frac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2+6n)$。在最近的工作中，Domokos通过包含证明了$S_n$是一个极小分离集，即$S_n$的真子集都不是一个分离集。我们的主要结果表明，任何分离集$\mathbb{C}[M_{2,2}^n]^G$有基数$\geq 5n-9$。特别地，对于$n \geq 4$，不存在大小为$\dim(\mathbb{C}[M_2^n]^G) = 4n-6$的分离集合。我们还考虑了$G= \mathrm{SL}_l(\mathbb{C})$对$M_{l,n}$的左乘作用。在这种情况下，不变量的代数具有大小为$\binom{n}{…
2022-11-30 math.AC math.RT
Invariants and Separating Morphisms for Algebraic Group Actions
本文的第一部分是温克尔曼的工作不变的环和仿射簇上的代数群行动的等价物的改进，在那里我们采取了更多的几何的观点。我们表明，（代数）商$X/\!/\!G$给出的不变量的可能不是生成环是“几乎”的代数簇，和商态射$π\colon X \to X/\!/\! G$有一些很好的性质。其中一个主要的困难来自商态射不一定是满射。这些一般的结果，然后改进的加性组$\mathbb{G}_a$的行动，我们可以说更多。我们得到了一个相当明确的描述，所谓的基座品种和分离品种，它的措施有多少轨道分开的不变量。最完整的结果得到的表示。我们还给出了完整和详细的分析罗伯茨著名的例子的一个作用的$\mathbb{G}_a$ 7-维仿射空间与一个非线性生成环的不变量。
2014-02-18 math.AC math.AG
Polynomial Separating Algebras and Reflection Groups
本文考虑有限代数群$G$通过自同构作用在仿射簇$X$上. Dufresne关于$G$的线性表示的多项式分离代数的结果被推广到这种情况。为此，我们证明了一个特定的环的Cohen-Macaulay亏损大于或等于最小数$k$，使得该群由$(k+1)$ -反射生成。在某些相当温和的假设下，$X$和$G$，我们推导出一个分离的一组最小的可能大小的不变量$n = \dim(X)$只能存在于反射群。
2013-07-29 math.AC
Separating monomials for diagonalizable actions
利用特征标群上的零和序列么半群刻画了在可对角化群作用下分离Zenki闭轨道的单项式集.这是适用于比较度界分离不变量和生成不变量的可对角化群作用。
2022-03-10 math.AC math.AG math.RT
The separating Noether number of abelian groups of rank two
本文通过研究零和序列幺半群，确定了秩为二的任意有限阿贝尔群的分离 Noether 数的精确值。
2024-03-19 math.AC
Zero-separating invariants for linear algebraic groups
设$G$是域$k$上的线性代数群，$V$是$G$ -模。回想一下，$(G,V)$的零锥是$V$中的点$v$的集合，具有以下性质：对于每个正度齐次不变$f$，$f(v)=0$在$k[V]^G$中。我们定义与给定表示相关联的数$δ(G,V)$和$σ(G,V)$如下：$δ(G,V)$是最小数$d$，使得对于$V^G$中零锥外的任何点$v$，存在次数至多为$d$的不变$f$，使得$f(v)$不为零; $σ(G,V)$与用$V$替换$V^G$是相同的。当k具有正特征时，证明了对于$GL_2(k)$的所有包含幂幺子群的子群，$δ(G,V)$是无限的，且$σ(G,V)$是有限的当且仅当$G$是有限的.如果$k$有特征零，我们证明了$δ(G,V)=1$对所有线性代数群，如果$σ(G,V)$是有限的，那么$G$的连通分支是幂单的。
2014-02-26 math.AC math.AG
On the separating Noether number of finite abelian groups
本文利用加性组合学方法研究有限阿贝尔群的分离 Noether 数，并对 $p$-群及秩为 $2$、$3$、$5$ 的情形给出其确切值。
2025-03-17 math.AC math.NT
The Separating Noether Number of Finite Abelian Groups
Guangzhou University（广州大学）
本文研究了有限交换群的分离诺ether数，确定了其精确值，并通过加法组合方法证明了相关结论，推翻了关于秩为1的情况的猜想。
2026-03-24 math.AC
Separating symmetric polynomials over finite fields
本文研究了有限域上初等对称多项式集合作为对称多项式代数最小分离集的条件，确定了其成立的具体情形。
2025-02-15 math.AC math.CO math.RA
The separating variety for the basic representations of the additive group
对于作用于仿射簇$X$的群$G$，分离簇是$X\times X$编码的闭子簇，其中$X$的点由不变量分离。本文主要研究特征为零的域的加法群的维数为$n+1$的不可分解有理线性表示$V_n$，并将分离簇分解为不可约分支的并.我们表明，如果$n$是奇数，整除4，或等于2，封闭的行动，它有维度$n+2$的图形，是唯一的组件的分离品种。在其余情况下，存在维度$n+1$的第二个不可约分量。我们的结论是，在这些情况下，没有多项式分离代数。
2012-01-28 math.AC math.AG
The separating Noether number of the direct sum of several copies of a cyclic group
本文确定了包括同阶循环群直和在内的若干有限阿贝尔群的分离 Noether 数的精确值。
2023-11-16 math.AC math.NT
Tropical Invariants for Permutation Group Actions
本文研究置换群作用下的热带不变量，证明当群由2-循环生成时，不变多项式子半环有限生成，并展示分离不变量在构造轨道空间嵌入中的应用。
2025-12-15 math.AC math.AG math.CO
The separating variety for matrix invariants
本文研究一般线性群通过同时共轭作用于矩阵元组时的分离簇，通过构造组合偏序集刻画其不可约分支，确定其维数与子维数，并据此证明不变量代数不含多项式或超曲面分离集，从而在两个特殊箭图情形下证明作者此前提出的猜想。
2025-08-19 math.AC math.CO math.RT
Separating versus ordinary Noether numbers
本文研究了有限群的分离诺特数与普通诺特数的关系，发现当群具有特定子群时，分离诺特数与普通诺特数相等，并确定了某些非交换群的分离诺特数特性。
2025-11-21 math.AC math.GR math.RT
The separating Noether number of small groups
本文计算了阶小于32的群的分离诺特数，并在特定基域条件下证明了相关结果。
2025-11-19 math.AC math.GR math.RT
Symmetric polynomials over finite fields
证明了特征$p$的有限$q$元域上的两个坐标向量在对称群的自然作用下属于同一轨道，如果$p^k,2p^k,\dots,(q-1)p^k$，$k=0,1,2,\dots$的每个初等对称多项式在它们上面具有相同的值.当$q=p$和维数比$p$大时，对称群的自然置换表示的多项式不变量的这个分离集离最小值不远。本文导出了$q$元域上多对称多项式的一个相对较小的分离集。
2022-11-29 math.AC math.CO
Algorithms for orbit closure separation for invariants and semi-invariants of matrices
我们考虑$n \times n$矩阵的$m$ -元组上的两个群作用.第一种是$\operatorname{GL}_n$的同时共轭，第二种是$\operatorname{SL}_n \times \operatorname{SL}_n$的左右作用。给出了判定两点的轨道闭包是否相交的有效算法。我们还提高了已知的界限，在这些情况下的分离不变量的程度。
2019-07-24 cs.CC math.AC math.RA
Separating hyperplanes of edge polytopes
设$G$是一个顶点数为$d$的有限连通单图，$\Pc_G \subset \RR^d$是$G$的边多面体.如果$\Pc_G$通过一个超平面分解成整数多面体$\Pc_{G^+}$和$\Pc_{G^-}$，我们称$\Pc_G$为\emph{decomposable}。在本文中，我们探讨了$\Pc_G$分解的各个方面：我们给出了一个算法，决定$\Pc_G$的可分解性，我们证明了$\Pc_G$是正规的当且仅当$\Pc_{G^+}$和$\Pc_{G^-}$都是正规的，我们还研究了如何条件下的复曲面理想$\Pc_G$（即，由二次二项式生成的理想）分解的行为。
2012-08-09 math.AC math.CO
Maximality of Laplacian Algebras, with Applications to Invariant Theory
本研究证明拉普拉斯代数的极大性，将其应用于紧群实正交表示的经典不变量理论，解决有限群逆不变量问题，给出分离集为生成集的充要条件，并引入可生成对角表示不变量代数的广义极化类。
2023-12-19 math.AC math.DG math.MG
