A generalization of Hopcroft-Karp algorithm for semi-matchings and covers in bipartite graphs (Maximum semi-matching problem in bipartite graphs)
二分图$G=(U \cup V,E)$中的$(f,g)$ -半匹配是一组边$M \subseteq E$，使得每个顶点$u\in U$与$M$的至多$f(u)$边关联，并且每个顶点$v\in V$与$M$的至多$g(v)$边关联。本文给出了一个算法，对于一个点为$n$，边为$m$的图，$n\le m$在运行时构造一个最大$(f,g)$ -半匹配$O(m\cdot \min (\sqrt{\sum_{u\in U}f(u)}, \sqrt{\sum_{v\in V}g(v)}))$ .利用[5]的约简，我们关于最大$(f,g)$ -半匹配问题的结果直接导出了一个求解最优半匹配问题的算法，该算法具有运行时间$O(\sqrt{n}m \log n)$ .
2018-03-27 cs.DS
Asymptotically Tight Fractional Online Matching Under Edge Arrivals
Technion（以色列理工学院）
本短文填补边到达场景下分数在线匹配的渐近界缺口，证明其最优竞争比为$1/2+\u0398(1/n)$，相关算法由OpenAI的ChatGPT Sol提出并经讨论优化。
2026-08-25 cs.DS
Improved Competitive Ratio for Edge-Weighted Online Stochastic Matching
本文针对边权在线随机匹配问题提出 Evolving Suggested Matching（ESM）算法，将一般到达率情形下的竞争比从 0.645 提升至 0.650。
2023-11-30 cs.DS
Maintaining Approximate Maximum Weighted Matching in Fully Dynamic Graphs
我们提出了一个完全动态的算法保持近似最大权匹配一般加权图。该算法保持匹配的${\cal M}$，其权重至少为$1/8 M^{*}$，其中$M^{*}$是最大权重匹配的权重。该算法实现了一个预期的摊销$O(\log n \log \mathcal C)$时间每边插入或删除，其中$\mathcal C$是最高的权重边的权重的比率，在给定的图中的最小的权重边。使用一个简单的随机缩放技术，我们能够获得一个匹配，预期的近似比为4.9108。
2012-12-12 cs.DS
Streaming Weighted Matchings: Optimal Meets Greedy
我们考虑的问题，近似的最大加权匹配，当一个底层的加权图$G(V,E)$的边缘被发现在一个流的方式。我们分析了Crouch和Stubbs（APPROX，2014）提出的以前最著名的$(4+ε)$近似算法的一个变体，并证明了他们的猜想，即它实现了$3.5+ε$的紧近似因子。该算法将流分成子流，并在子流上运行贪婪最大匹配算法。在流的末尾，所选择的边被作为最优最大加权匹配算法的输入。为了分析近似保证，我们开发了一种新的充电参数，我们分解的边缘的最大加权匹配的$G$到几个自然类，然后分别收取他们的边缘匹配输出我们的算法。
2018-04-29 cs.DS
Understanding Zadimoghaddam's Edge-weighted Online Matching Algorithm: Unweighted Case
本文确定了Zadimoghoughs（2017）的边缘加权在线匹配算法中的一个关键算法成分，并提出了一个简化的算法及其分析，以演示它在未加权情况下的工作原理。
2019-10-07 cs.DS cs.GT
Exact Algorithms for Dominating Induced Matching Based on Graph Partition
具有$n=|V|$顶点和$m=|E|$边的图$G=(V,E)$的支配诱导匹配，也称为有效边支配，是图中边的子集$F \subseteq E$，使得$F$中没有两条边共享公共端点，并且$E\setminus F$中的每条边与$F$中的一条边恰好关联。判定一个图是否存在支配诱导匹配是NP-困难的。本文针对这一问题设计了一个$1.1467^nn^{O(1)}$ -时间精确算法，改进了以往的结果.这个问题可以被重新定义为一个划分问题，即把一个图的顶点集划分为$I$和$F$两部分，其中$I$导出一个独立集（0-正则图），而$F$导出一个完美匹配（1-正则图）.在给出问题的几个结构性质后，我们证明了问题总是包含一些“好顶点”，通过将它们分支到$I$或$F$，我们可以有效地减少图形。这导致了一个快速精确的算法来解决这个问题。
2014-08-26 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Stochastic-Matching Problems
我们考虑随机匹配问题，这是出于肾脏交换和在线约会的应用程序。在这个问题中，我们给出了一个无向图。每个边被分配一个已知的、独立的存在概率和一个正权重（或利润）。我们必须探测一个边缘，以发现它是否存在。每个节点都被分配一个正整数，称为超时（或耐心）。在这个随机图上，我们正在执行一个过程，该过程逐个探测边并逐渐构建匹配。这一进程受到两方面的限制。首先，如果存在探测的边，则必须将其可扩展地添加到匹配中（查询提交模型）。第二，节点$v$的超时使可以探测的与$v$关联的边的数量上界。目标是最大化构造的匹配的期望权重。对于这个问题，Bansal等人（Micromica 2012）提供了二分图的$0.33$ -近似算法和一般图的$0.25$ -近似算法。我们改进的逼近因子$0.39$和$0.269$，分别。在我们的研究结果的主要技术成分是一种新的方式探测边缘根据一个不均匀的随机排列。用一种最适合大概率边缘的算法（加上额外的想法）修补这种方法，可以改进近似因子。
2020-10-14 cs.DS
Almost Optimal Stochastic Weighted Matching With Few Queries
我们考虑{ \em随机匹配}问题。一个边缘加权将军（即，不一定是二分的）图$G(V, E)$在输入中给出，其中$E$中的每条边以概率$p$独立地{ \em实现};实现最初是未知的，然而，我们能够{ \em查询}边以确定它们是否被实现。目标是仅查询少量边以找到足够接近所有已实现边中的最大匹配的{ \em已实现匹配}。在过去的十年中，由于其在肾脏交换，婚介服务，在线劳动力市场和广告中的众多现实应用，这个问题已经受到了相当大的关注。我们的主要结果是一个{ \em自适应}算法，对于任何任意小的$ε> 0$，发现一个$(1-ε)$ -近似的期望，通过查询每个顶点的$O(1)$边缘。我们进一步表明，我们的方法导致一个$(1/2-ε)$ -近似{ \em非自适应}算法，也查询每个顶点只有$O(1)$边缘。在我们的工作之前，没有非平凡的近似是已知的加权图使用恒定的每顶点预算。最先进的自适应（分别为Maehara和Yamaguchi [SODA 2018]的非自适应）算法实现了$(1-ε)$近似（分别为$(1/2-ε)$ -近似），其中$O(w\log{n})$表示最大整数边权重。我们的结果是一个实质性的改进，这个界限，并有一个吸引人的信息：无论输入图的结构是什么，可以得到任意接近的最优解，通过查询每个顶点只有一个常数数量的边缘。为了获得我们的结果，我们引入新的属性的泛化{ \em增广路径}加权匹配…
2018-05-23 cs.DS
Scaling Algorithms for Weighted Matching in General Graphs
我们提出了一个新的缩放算法的最大（或最小）重量完美匹配一般，边加权图。我们的算法运行在$O(m\sqrt{n}\log(nN))$的时间，$O(m\sqrt{n})$每个规模，这匹配的最佳基数匹配算法的稀疏图的运行时间。这里，$m,n,$和$N$限制了边的数量、顶点和任意边权重的大小。我们的结果改进了一个25岁的Gabow和Tarjan的算法，它运行在$O(m\sqrt{n\log nα(m,n)} \log(nN))$时间。
2017-10-09 cs.DS
Beating $(1-1/e)$-Approximation for Weighted Stochastic Matching
在随机加权匹配问题中，目标是在不确定图的边是否存在的情况下，找到图的大权匹配。具体地，每个边$e$具有已知的权重$w_e$，但是以某种概率$p_e$独立地实现。该算法可以查询边以查看它是否被实现。我们认为，充分研究的查询提交版本的问题，其中任何查询的边缘，碰巧实现必须包括在解决方案中。Gamlath，Kale和Svensson证明了当输入图是二分图时，这个问题允许一个$(1-1/e)$ -近似。在本文中，我们给出了一个算法，对于一个绝对常数$δ> 0.0014$获得一个$(1-1/e+δ)$ -近似，从而打破了这个普遍的界限。
2022-10-31 cs.DS
A simple combinatorial algorithm for restricted 2-matchings in subcubic graphs -- via half-edges
我们考虑三个变种的问题，找到一个最大的重量限制$2$ -匹配在一个次立方图$G$。（$2$ -匹配是边的任何子集，使得每个顶点至多与其两条边关联。）取决于变体，受限的$2$匹配意味着无三角形或无正方形或既无三角形又无正方形的$2$匹配。虽然存在用于前两种类型的$2$匹配的多项式时间算法，但是它们相当复杂或者使用先进的方法。对于这三个问题中的每一个，我们提出了一个简单的减少计算的最大重量$b$匹配。还原是在半边的帮助下进行的。非正式地说，边$e$的半边是恰好包含其端点之一的$e$的一半。对于$G$的三角形的子集，我们用两个半边替换这样的三角形的每条边。权重为$w(e)$的一条边$e$的两个半边可以得到不同的权重，不一定等于$\frac{1}{2}w(e)$。在度量设置中，当边权重满足三角形不等式时，这具有与内圆如何划分三角形的边有关的几何解释。我们的算法比以前已知的算法更快。它们中的每一个的运行时间是$O(n^2\log{n})$，其中$n$表示图中的顶点数。
2020-12-31 cs.DM cs.DS
Edge-weighted Online Stochastic Matching: Beating $1-\frac1e$
针对边加权在线随机匹配问题，本文基于LP和Suggested Matching算法设计预处理与调整策略，首次打破$1-\ rac1e$竞争比障碍，达到$0.645$的竞争比。
2025-04-07 cs.DS cs.GT
An $O^*(1.1939^n)$ time algorithm for minimum weighted dominating induced matching
假设图$G$的一条边支配它自己和与它相邻的所有边，图$G=(V,E)$的一个边支配集是支配$G$的所有边的边的子集$E' \subseteq E$。特别地，如果$G$的每条边恰好被$E'$的一条边支配，则$E'$是支配诱导匹配。已知不是每个图都允许支配诱导匹配，而判定它是否允许支配诱导匹配的问题是NP-完全的。本文研究了带权边图的最小权控制诱导匹配的求法和控制诱导匹配的计数问题。我们描述了一个精确的算法，运行在$O^*(1.1939^n)$时间和多项式（线性）空间的一般图形。这改进了任何现有的精确算法的问题考虑。
2013-03-06 cs.DM cs.DS
Understanding Zadimoghaddam's Edge-weighted Online Matching Algorithm: Weighted Case
在在线原始对偶框架下，提出了边加权在线二部匹配问题的Zadimoghoughs算法的一个简化。在这样做的过程中，我们得到了一个改进的竞争比的$0.514$。我们首先将在线相关选择（OCS）（Huang和Tao（2019）从Zadimoghouts（2017）中提取的成分）与Devanur等人（2016）对边加权在线二分匹配问题的解释（我们将其称为互补累积分布函数（CCDF）观点）相结合，以推导出一种在线原始对偶算法，该算法具有$0.505$竞争性。然后，我们设计了一个改进的OCS，它给出了$0.514$比。
2019-10-08 cs.DS cs.GT
Secretary Matching with General Arrivals
我们提供了在线算法秘书匹配一般加权图，根据研究模型的顶点和边到达。在这两种模型中，边缘与从一开始就未知的任意权重相关联，并且在线显示。在顶点到达时，顶点以均匀随机的顺序在线到达;在顶点$v$到达时，从$v$到所有先前到达的顶点的边的权重被揭示，并且算法决定将这些边中的哪些（如果有的话）包括在匹配中。在边缘到达下，边缘以均匀随机的顺序在线到达;当边缘$e$到达时，其权重被揭示，并且算法决定是否将其包括在匹配中。我们给出了一个求解顶点到达的$5/12$ -竞争算法，并证明了它是紧的。对于边缘到达，我们提供了一个$1/4$竞争算法。这两个结果都改善了相应设置的现有技术界限。有趣的是，对于顶点到达，一般图中的秘书匹配优于单边到达的二分图中的秘书匹配，其中$1/e$是最好的保证。
2020-11-03 cs.DS cs.GT
Online Stochastic Max-Weight Matching: prophet inequality for vertex and edge arrival models
我们提供先知不等式算法在线加权匹配一般（非二分）图，根据两个研究充分的到达模型，即边缘到达和顶点到达。每个边的权重独立于先验已知的概率分布来绘制。在边缘到达下，每个边缘的权重在到达时被揭示，并且算法决定是否将其包括在匹配中。在顶点到达时，显示从新到达顶点到所有先前到达顶点的所有边的权重，并且算法决定将这些边中的哪些（如果有的话）包括在匹配中。为了研究这些设置，我们引入了一个新的批量先知不平等的统一框架，该框架捕获了元素批量到达的在线设置;特别是它捕获了上述两个到达模型下的匹配。我们的算法依赖于合适的在线竞争解决方案（OCRS）的建设。我们首先将OCRS的框架扩展到批处理OCRS，然后建立从批处理先知不等式到批处理OCRS的约简，最后构造了批处理OCRS，边和顶点到达模型的可选比率分别为0.337和0.5。这两个结果都改善了相应设置的现有技术。对于顶点到达，我们的结果是紧的。有趣的是，一个基于定价的预言家不平等与可比的竞争比率是未知的。
2020-02-25 cs.DS cs.GT
Weighted Triangle-free 2-matching Problem with Edge-disjoint Forbidden Triangles
加权无$\mathcal{T}$的$2$ -匹配问题是：给定无向图$G$，其边集上的权函数，以及$G$中的三角形集合$\mathcal{T}$，求出$\mathcal{T}$中不含三角形的最大权$2$ -匹配.当$\mathcal{T}$是$G$中所有三角形的集合时，该问题被称为加权无三角形$2$匹配问题，这是一个长期存在的公开问题。本文的一个主要贡献是在假设$\mathcal{T}$是一组边不相交的三角形的情况下，给出了加权无$\mathcal{T}$的$2$匹配问题的第一个多项式时间算法.在我们的算法中，一个关键的成分是给一个扩展的公式表示的解决方案，即我们引入新的变量和表示的凸包的可行解作为一个投影的另一个多面体在高维空间。虽然我们的扩展配方有指数许多不等式，我们表明，分离问题可以在多项式时间内解决，这导致了加权$\mathcal{T}$ -免费$2$ -匹配问题的多项式时间算法。
2019-11-15 cs.DS math.CO
Uniquely restricted matchings and edge colorings
如果没有其他匹配覆盖完全相同的顶点集，则图中的匹配是唯一受限的。这个概念是由Golumbic，赫斯特和Lewenstein定义的，并在许多文章中进行了研究。我们的贡献是双重的。本文给出了计算某些二部图的最大尺寸唯一限制匹配的近似算法。特别是，我们实现了$9/5$的比率为亚立方二部图，改进了Mishra提出的$2$近似算法。此外，我们还研究了图的唯一限制色指数，定义为图的边集可划分的唯一限制匹配的最小数目。我们提供了严格的上界的最大程度和特征的极值图。我们的建设性证明产生了有效的算法来确定相应的边缘着色。
2016-11-21 cs.DM cs.DS math.CO
Online Stochastic Matching with Edge Arrivals
在线二分匹配与边缘到达仍然是一个主要的开放问题很长一段时间，直到最近的负面结果[Gamlath et al. FOCS 2019]，谁表明，没有在线政策比直接的贪心算法，即，没有在线算法具有比$0.5$更好的最坏情况竞争比。在这项工作中，我们考虑的二分匹配问题的边缘到达一个自然的随机框架，即，贝叶斯设置，其中图的每条边根据已知的概率分布独立实现。我们专注于一个自然类修剪和贪婪的在线政策的实际考虑，从众多的在线匹配平台的动机。任何剪枝和贪心算法都包括两个阶段：首先，减少随机实例中某些边的概率，然后在剪枝后的图上运行贪心算法。我们提出了剪枝&贪心算法，$0.552$ -竞争的情况下，可以被修剪到一个$2$ -规则的随机二部图，和$0.503$ -竞争的任意二部图。算法和我们的分析显着偏离先前的工作。我们首先得到分析管理的下限的匹配，这将导致一个非线性优化问题的大小。我们进一步将这个问题简化为具有恒定数量的参数的连续优化，这些参数可以使用标准软件工具解决。
2020-07-15 cs.DS cs.GT
Online Algorithm for Fractional Matchings with Edge Arrivals in Graphs of Maximum Degree Three
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文针对最大度数为三的图，提出了一个分数匹配的在线算法，其竞争比为0.5914，并展示了整数匹配与分数匹配之间的竞争比差异。
2026-02-07 cs.DS cs.GT
Hierarchical b-Matching
图的匹配是没有两条边共享一个公共顶点的边的子集，最大匹配是最大基数的匹配。在$b$ -匹配中，每个顶点$v$都有一个相关的边界$b_v$，最大$b$ -匹配是一个最大边集，使得每个顶点$v$出现在最多$b_v$中.我们研究这个问题的扩展，称为{ \em层次b-匹配}。在此扩展中，顶点以分层方式排列。在第一层，顶点被划分成不相交的子集，每个子集有一个给定的界限。在第二级，这些子集的集合再次被划分为不相交的子集，每个子集具有给定的边界，等等。在{ \em分层b-匹配}中，我们寻找将服从所有边界的最大边集合（即，没有顶点$v$参与多于$b_v$的边，则一个子集中的所有顶点不参与多于该子集的边的界，等级地等等）。我们提出了一个多项式时间算法，这个新的问题，适用于任何数量的层次结构。
2019-04-23 cs.CC cs.DS
How to Secure Matchings Against Edge Failures
假设我们有一个二分图，它允许完美匹配，对手可以删除图中的任何边，目的是破坏所有的完美匹配。我们考虑的任务是添加一个最小成本的边集的图形，这样的对手永远不会赢。我们提供了有效的精确和近似算法。特别是，对于单位成本问题，我们提供了一个$\log_2 n$ -因子近似算法和弦二部图的多项式时间算法。对于以输入图的树宽为参数的问题，我们给出了一个固定参数的算法。对于一般的非负权重，我们解决的问题的逼近性，并显示出密切的关系，定向Steiner森林问题。此外，我们证明了一个二分法定理，其特征在于允许多项式时间算法的小闭图类。我们的方法依赖于一个密切的关系，经典的强连接增强问题和定向Steiner问题。
2018-12-05 cs.DM cs.DS
Temporal matching in trees
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育国家研究所阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
研究底层图为树的时间图中的最大匹配问题，通过NP-hardness证明和多项式时间算法，分别处理Δ-匹配和γ-匹配两种时间模型，并给出近似方案。
2026-06-04 cs.DM cs.DS math.CO
Matching and Edge Cover in Temporal Graphs
本文定义时间边覆盖和时间匹配问题，证明其NP完全性，并给出基于生命周期和树宽的FPT算法及匹配下界的近似算法。
2025-04-09 cs.CC cs.DS
An Improved Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
本文提出了一种求解匹配扩充问题（MAP）的$\frac53$ -近似算法：给定一个代价为0或1的多重图，使得代价为0的边构成一个匹配，求出一个代价最小的2-边连通生成子图（2-ECSS）.最近提出了用于相同问题的$\frac74$ -近似算法，参见Cheriyan等人，“匹配增强问题：一个$\frac{7}{4}$ -近似算法”，{ \em Math. Program.}，182（1）：315- 354，2020; arXiv：1810.07816。我们的改进是基于新的算法技术，其中一些可能会导致相关问题的进展。
2020-12-11 cs.DM cs.DS
Maximum-utility popular matchings with bounded instability
在一个图中，顶点对它们的邻居有偏好，当顶点在匹配之间投票时，如果匹配没有失去任何其他匹配的头对头选举，那么它被称为流行。流行匹配可以被看作是稳定匹配和最大匹配之间的中间类别。在本文中，我们的目标是最大限度地提高效用的匹配，是流行的，但承认只有少数阻塞边缘。对于一般的图，已经找到一个流行的匹配与最多一个阻塞边是NP完全的。对于二分的情况下，我们研究的问题，找到一个最大的效用流行匹配的数量（或更一般地说，成本）的限制，采用多元方法的阻塞边缘。我们展示了经典和参数化的严格限制的情况下的硬度结果。相比之下，我们设计了一个算法的情况下，在一侧的偏好承认一个主列表，并表明，该算法是最佳的。
2022-05-04 cs.DM cs.DS
Matching with Commitments
我们考虑Chen等人在\cite{chen}中首次提出的随机优化问题。我们给出了一个随机图的顶点集，其中每个可能的边都以概率p_e存在。除非我们扫描/探测边缘，否则我们不知道实际存在哪些边缘。然而，每当我们探测到一条边并发现它存在时，我们就被约束去拾取边，并且它的两个端点都从图中删除。我们希望在这个模型中找到最大匹配。我们比较我们的结果对最佳的全知算法，知道图的边缘，并提出了一个0.573因子算法，使用一种新的采样技术。我们还证明，没有算法可以达到一个因子优于0.898在这个模型中。
2012-05-08 cs.DM cs.DS cs.GT
A Near-Linear-Time Algorithm for Finding a Well-Spread Perfect Matching in Bridgeless Cubic Graphs
Computer Science Institute of Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学计算机科学研究所）
本文提出一种近线性时间算法，用于在无桥立方图中找到完美匹配，该匹配与每个3边割恰好相交一次，改进了Boyd等人和之前算法的效率。
2026-05-01 cs.DM cs.DS math.CO
Dominating induced matchings in graphs containing no long claw
一个图$G$中的导出匹配$M$是支配的，如果不是在$M$中的每条边与$M$中的一条边恰好共享一个顶点。支配诱导匹配问题（也称为有效边支配）询问图$G$是否包含支配诱导匹配。这个问题一般是NP-完全的，但对于具有某些特殊性质的图是多项式时间可解的。特别地，对于无爪图，它在多项式时间内是可解的。本文研究了不含长爪的图的诱导子图问题，即不存在由长爪的每条边细分一次而得到的诱导子图。为了解决这类问题，我们把它归结为以下问题：给定一个图$G$和它的顶点的子集，$G$是否包含一个使子集的所有顶点饱和的匹配？我们证明了这个问题可以在多项式时间内得到解答，从而为解决不含长爪的图的主导诱导匹配问题提供了一个多项式时间算法。
2015-05-11 cs.DM cs.DS math.CO
Maximizing Matching Cuts
本文综述了最大匹配割问题，即寻找图中最大的匹配割，并比较了相关匹配割变体，探讨了与最大割和最小割的关系。
2023-12-20 cs.CC cs.DM cs.DS
