Incremental Dominating Set
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
针对在线顶点到达的增量支配集问题，提出确定性O(Δ)竞争比和随机化O(log²Δ)竞争比算法，并扩展至连通支配集，证明最优性。
2026-06-29 cs.DS
Maximum matching width: new characterizations and a fast algorithm for dominating set
我们给出了最大匹配宽度的替代定义，例如，图$G$具有$\operatorname{mmw}(G) \leq k$当且仅当它是弦图$H$的子图，并且对于$H$的每个最大团$X$，都存在具有$A \cup B \cup C=X$和$|A|,|B|,|C| \leq k$的$A,B,C \subseteq X$，使得作为$H$的最小分隔符的$X$的任何子集都是$A, B$或$C$的子集。树宽和分支宽度通过子树的交叉点有不同的定义，其中树宽关注于节点，分支宽度关注于边。我们发现，毫米宽度结合了这两个方面，专注于节点和边缘。在此基础上，我们证明了给定一个图$G$和一个mm宽$k$的分支分解，我们可以在时间$O^*({8^k})$上求解支配集，从而无论何时$\operatorname{tw}(G) > \log_3{8} \times k \approx 1.893 k$都能击败$O^*(3^{\operatorname{tw}(G)})$。注意，$\operatorname{mmw}(G) \leq \operatorname{tw}(G)+1 \leq 3 \operatorname{mmw}(G)$和这些不等式是紧密的。如果只给定图$G$，并使用最好的算法来寻找分解，则最大匹配宽度将更好地用于求解支配集，只要$\operatorname{tw}(G) > 1.549 \times \op…
2015-07-09 cs.DM cs.DS math.CO
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
2014-03-12 cs.DM cs.DS math.CO
n-Level Graph Partitioning
我们提出了一个多层次的图划分算法的基础上的极端的想法，合同只有一个单一的边缘上的层次结构的每一级。这消除了对匹配算法的需要，并保证了非常好的分割质量，因为两个级别之间的变化非常少。使用一个有效的数据结构和新的灵活的方法来打破局部搜索的改进早期，我们得到了一个算法，规模大的输入，并产生最好的已知的分区结果为许多输入。例如，在Walshaw著名的基准表中，我们实现了155项改进，这些改进主导了大型图的条目。
2010-04-22 cs.DS
Connected Domatic Packings in Node-capacitated Graphs
一个图中的顶点集是一个支配集，如果这个集外的每个顶点都有一个邻居在这个集中。一个支配集是连通的，如果它的顶点诱导的子图是连通的。连通域划分问题要求将节点划分为连通支配集。图的连通域数是最大连通域划分的大小，它是一个研究得很好的图参数，在无线网络设计中有应用。本文研究了\emph{node-capacitated}图中连通域划分问题的分数阶对应问题。令$n$为图中节点的数量，令$k$为$G$中节点分隔符的最小容量。我们的算法构造的填充集的大小与$k$成正比，并且我们的算法最多可以填充$k$连通控制集，这取决于节点的容量.我们的一些主要贡献如下：\begin{itemize} \item An algorithm for constructing a fractional connected domatic packing of size $Ω(k)$ for node-capacitated planar and minor-closed families of graphs. \item An algorithm for constructing a fractional connected domatic packing of size $Ω(k / \ln{n})$ for node-capacitated general graphs. \end{itemize}
2013-07-05 cs.DM cs.DS
Linear-Time Algorithms for the Paired-Domination Problem in Interval Graphs and Circular-Arc Graphs
在图$G$中，如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的顶点相邻，则称顶点子集$S\subseteq V(G)$是$G$的支配集。如果图$G$的导出子图$G[S]$包含完美匹配，则称图$G$的支配集$S$为成对支配集。配对支配问题涉及到寻找$G$的最小配对支配集。在给定端点排序区间图的交模型$G$的基础上，Cheng等人设计了区间图的$O(m+n)$ -时间算法和圆弧图的$O(m(m+n))$ -时间算法.针对区间图的成对控制问题，提出了一个$O(n)$ -时间算法，该算法以贪心的方式逐步搜索$G$的最小成对支配集.然后，我们扩展的结果，设计一个算法圆弧图，也运行在$O(n)$时间。
2014-01-29 cs.DS
Complexity of fall coloring for restricted graph classes
我们加强了Laskar和Lyle（离散应用数学（2009），330-338）的结果，证明了决定一个二分平面图是否可以划分为三个独立的控制集是NP-完全的。相反，我们表明，这是总是可能的每一个最大的外平面图至少有三个顶点。此外，我们推广了他们以前的结果，证明了决定一个二部图是否可以被划分为$k$独立控制集是NP-完全的每一个$k \geq 3$。我们还加强了Henning等人（离散数学（2009），6451-6458）的结果，通过证明确定一个图是否有两个不相交的独立控制集是NP-完全的，即使该问题仅限于无三角形平面图。最后，对每一个$k \geq 3$，证明了存在一个常数$t$只依赖于$k$，使得判定一个$k$ -正则图是否可划分为$t$独立控制集是NP-完全的.最后，我们得出适度的指数时间算法的问题。
2019-05-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Grouped Domination Parameterized by Vertex Cover, Twin Cover, and Beyond
图$G$的控制集$S$称为$r$ -分组控制集，如果$S$可以划分为$S_1,S_2,\ldots,S_k$，使得每个单元$S_i$的大小为$r$，并且由$S_i$诱导的$G$的子图是连通的. $r$ -分组控制集的概念推广了控制集的几个研究得很好的变体，并要求连通分量的大小，例如普通控制集（$r=1$），成对控制集（$r=2$）和连通控制集（$r$是任意的，$k=1$）。本文研究了$r$ -群控制集的计算复杂性，即判定给定图是否存在最多含$k$单元的$r$ -群控制集的问题.对于一般的$r$，由于连通支配集的硬度是遗传的，所以在各种意义上都很难解决这个问题。因此，我们关注的情况下，$r$是一个常数或参数，但我们看到，每个固定的$r>0$的问题仍然很难解决。从硬度，我们考虑了参数化的复杂性，以及研究图的结构参数。我们首先看到它对于$r$和树宽是固定参数易处理的，因为对于常数$r$的$r$ -分组支配的条件可以表示为一元二阶逻辑（mso 2）。这是个好消息，但运行时间并不实际。然后我们设计了一个$O^*(\min\{(2τ(r+1))^τ,(2τ)^{2τ}\})$ -时间算法的一般$r\ge 2$，其中$τ$是双覆盖数，这是一个参数之间的顶点覆盖数和candle-width。对于成对支配集和三重支配集，即，$r \in \{2,3\}$，可以加快算法的运行速度，使其运行时间变为$O…
2023-02-14 cs.DS
An Efficient Algorithm for the Partitioning Min-Max Weighted Matching Problem
划分最小-最大加权匹配（Partitioning Min-Max Weighted Matching，PMMWM）问题是一个NP难问题，它将二分图的一组顶点划分为大小有限的不相交子集的问题和经典的最小-最大加权匹配（Min-Max Weighted Matching，MMWM）问题结合在一起。Kress等人在2015年提出了这个问题，他们还提供了几种算法，其中MP $_{\text{LS}}$是最先进的。在这项工作中，我们观察到MP $_{\text{LS}}$的匹配阶段存在时间瓶颈。因此，我们优化了匹配迭代过程中的冗余操作，并提出了一种有效的算法称为MP $_{\text{KM-M}}$，大大加快了MP $_{\text{LS}}$。瓶颈时间复杂度从$O(n^3)$优化为$O(n^2)$。利用原对偶方法证明了MP $_{\text{KM-M}}$的正确性。为了测试不同实例的性能，我们生成了各种类型和大小的基准测试，并进行了广泛的计算研究MP $_{\text{KM-M}}$和MP $_{\text{LS}}$的性能。评估结果表明，我们的MP $_{\text{KM-M}}$大大缩短了运行时间相比，MP $_{\text{LS}}$，同时产生相同的解决方案的质量。
2022-01-25 cs.DS
Face-hitting dominating sets in planar graphs: Alternative proof and linear-time algorithm
University of Waterloo（滑铁卢大学）
提出一种构造性证明，通过2-连通分量分解、耳分解和3-正则平面图完美匹配，在线性时间内将平面图顶点划分为两个支配且面覆盖的集合。
2026-07-20 cs.DS math.CO
Output-Polynomial Enumeration on Graphs of Bounded (Local) Linear MIM-Width
图的线性诱导匹配宽度（LMIM-width）是利用集函数在三叉树上的分支分解概念定义的一个宽度参数。本文研究了有界LMIM宽度图和有界局部LMIM宽度图的输出多项式计数算法。特别地，我们证明了有界LMIM-宽度的图的所有1-极小和所有1-极大（σ，ρ）-控制集，从而所有极小控制集都可以用多项式空间的多项式（线性）延迟计数.此外，我们证明了单位平方图的所有最小控制集可以在增量多项式时间内被枚举。
2015-09-15 cs.DS
Red-Blue-Partitioned MST, TSP, and Matching
Arkin等人~ \cite{ArkinBCCJKMM17}最近引入了\textit{partitioned pairs}网络优化问题：给定$n$节点对上的度量加权图，任务是将每对中的一个节点涂成红色，另一个涂成蓝色，然后计算指定排序的两个单独的\textit{network structures}或不相交（节点覆盖）子图，一个在由红色节点诱导的图上，另一个在蓝色节点上。\cite{ArkinBCCJKMM17}已经研究了三种结构-- \textit{spanning trees}、\textit{traveling salesperson tours}和\textit{perfect matchings} --以及在计算这些结构对时要优化的三个目标：\textit{min-sum}、\textit{min-max}和\textit{bottleneck}。我们提供了改进的近似保证和/或加强硬度的结果，这九个NP难的问题设置。
2018-07-25 cs.DS
A Linear-Time Algorithm for the Weighted Paired-Domination Problem on Block Graphs
在图$G = (V,E)$中，如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的顶点相邻，则称顶点子集$S\subseteq V(G)$是$G$的支配集。如果导出子图$G[S]$包含完美匹配，则称$G$的支配集$S$为$G$的成对支配集.本文利用动态规划对块图上的加权成对控制问题提出了一个$O(n+m)$ -时间算法，加强了[Theoret. Comput.科学，410（47- 49）：5063- 5071，2009]和[J. Comb. Optim.，19（4）：457- 470，2010]。如果给出$G$的块割点结构，则该算法可以在$O(n)$时间内完成。
2016-05-02 cs.DS
Fine-Grained Complexity of Multiple Domination and Dominating Patterns in Sparse Graphs
本研究针对稀疏图中的支配问题变体，推导了r-多重k-支配集和三类H-支配集的条件最优算法运行时间，证明其相比经典支配集问题可实现更大加速。
2024-09-12 cs.DS
Improved Bounds for Online Dominating Sets of Trees
在线控制集问题是图的最小控制集问题的在线变体，最小控制集问题是图上最重要的NP-难问题之一。这个问题的定义如下：给定一个无向图$G = (V, E)$，其中$V$是顶点集，$E$是边集.我们说一个顶点集$D \subseteq V$是$G$的一个{ \em支配集}，如果对于每个$v \in V \setminus D$，存在一个顶点$u \in D$使得$\{ u, v \} \in E$。随着时间的推移，顶点被一个接一个地显示给在线算法。当一个顶点被揭示时，顶点和过去揭示的顶点之间的边也被揭示。一个revelaed子树是连接在任何时候。一个在线算法可以在每个顶点显示后立即选择已经显示的顶点，并且必须保持到目前为止显示的图的支配集。算法在给定树上的代价是它所选择的顶点数，其目标是使代价最小化。Eschenbenz（Technical report，Institute of Theoretical Computer Science，ETH Zürich，2002）and Boyar et al. (SWAT 2016）研究了给定图是树的情况。他们设计了一个确定性在线算法，其竞争比最多为3，并证明了任何确定性算法的竞争比的下限为2。在本文中，我们也关注树木。我们建立了一个匹配的下限任何确定性算法。设计了一个竞争比最大为$5/2 = 2.5$的随机化在线算法，并证明了任意随机化算法的竞争…
2017-10-31 cs.DS
Fast Dynamic Programming on Graph Decompositions
在本文中，我们考虑树分解，分支分解和团分解。我们提高了运行时间的动态规划算法对这些图分解为大量的问题作为一个函数的树宽，branchwidth，或campus宽度，分别。在宽度$k$的树分解上，我们将支配集的运算时间改进为$O(3^k)$ .我们将这个结果推广到具有有限或上有限$ρ$和$σ$的$[ρ,σ]$ -控制问题。对于这些问题，我们给出$O(s^k)$ -时间算法，其中$s$是一个顶点的“状态”的数量可以在一个标准的动态规划算法这样的问题。此外，我们给出了一个$O(2^k)$ -时间算法计算完美匹配的数量在一个图中，并推广到$O(2^k)$ -时间算法的许多集团覆盖，包装和分区问题。在宽度$k$的分支分解上，我们给出了支配集的$O(3^{\fracω{2}k})$ -时间算法，完美匹配数的$O(2^{\fracω{2}k})$ -时间算法，以及$s$状态为有限或余有限的$ρ$和$σ$的$[ρ,σ]$ -支配问题的$O(s^{\fracω{2}k})$ -时间算法.最后，在宽度$k$的团分解上，给出了控制集、独立控制集和全控制集的$O(4^k)$ -时间算法。本文中使用的主要技术是快速子集卷积的推广，由Björklund等人介绍，现在应用于图分解的设置中，并且被增强，使得可以使用多个状态和多个等级。最近，Lokshtanov等人证明了本文中得到的一些算法的运行时间，其中指数的基…
2018-06-05 cs.DS
Structural and Algorithmic Results for Stable Cycles and Partitions in the Roommates Problem
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
该研究针对稳定室友问题的稳定划分建立新结构结果，高效枚举其循环，适配最优性准则并给出相关复杂性结果，弥合整数与分数稳定匹配差距，推动稳定划分应用。
2026-09-03 cs.DS cs.GT
Fine-Grained Classification Of Detecting Dominating Patterns
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文针对所有模式图P（除三角形外），定义了图参数ρ(P)，在正交向量假设下给出了检测支配P-模式的细粒度最优运行时间分类，填补了该问题缺乏完整分类的空白。
2025-09-26 cs.CC cs.DS
Partitioning Vectors into Quadruples: Worst-Case Analysis of a Matching-Based Algorithm
考虑一个问题，其中4k个给定向量需要被划分为k个聚类，每个聚类有四个向量。四个向量的集群称为四元组，四元组的成本是四元组中四个向量的分量最大值之和。问题是将给定的4k个向量以最小的总成本划分为k个四边形。我们分析了一个简单的基于匹配的算法，并证明了该算法是一个（3/2）-近似算法。我们进一步分析了该算法在一系列特殊情况下的性能，并证明了在一种特殊情况下，该算法是一个（5/4）-近似算法.我们的分析在所有情况下都是严密的，只有一个例外。
2018-07-05 cs.DM cs.DS
The matching relaxation for a class of generalized set partitioning problems
本文针对一类可由集合分割公式描述的具有填充约束的组合优化问题，提出了一种离散松弛方法。我们提出了两个组合松弛的基础上计算最大加权匹配合适的图。除了提供对偶边界外，松弛还用于变量减少技术和数学上。我们展示了如何，一般的方法可以定制的样本应用程序，也进行了成功的计算评估与基准的例子，在海上物流的问题。
2018-05-11 cs.DS math.OC
Using Ray-shooting Queries for Sublinear Algorithms for Dominating Sets in RDV Graphs
David R. Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学大卫·R·切里顿计算机科学学院）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文利用射线查询数据结构，在O(n log n)时间内解决RDV图的最小支配集问题，并为区间图提供新的O(n)时间证明。
2026-01-08 cs.CG cs.DS
On the Impact of Stability and the Helly Property on the Dominating Set Problem
National Taiwan University（国立台湾大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
研究稳定性和赫利性质对支配集问题的影响，通过简单改变去除稳定性要求，在特定图类上得到固定参数可处理算法，推广相关结果且匹配时间复杂度，还能应用于其他问题。
2026-07-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Structural Parameterization of Locating-Dominating Set and Test Cover
本文研究定位支配集与测试覆盖的结构参数化，设计动态规划方案求解相关问题，证明顶点覆盖数下无树宽类下界、反馈边集数下定位支配集有线性核，并给出亚二次压缩算法的条件不可能性。
2024-11-26 cs.DS
Notes on Equitable Partitions into Matching Forests in Mixed Graphs and into $b$-branchings in Digraphs
本文提出有向图中分支公平划分的两个扩展：混合图中匹配森林的单准则公平划分和数字有向图中 $b$-分支的公平划分，并证明存在性及多面体的整数分解性质。
2022-03-30 cs.DM cs.DS math.CO
Submodular Hypergraph Partitioning: Metric Relaxations and Fast Algorithms via an Improved Cut-Matching Game
本文提出统一有向与无向超图划分的通用模型，引入多态拟阵割函数，通过负型度量松弛实现$O(\sqrt{\log n})$近似，并推广割匹配游戏得到近线性时间$O(\log n)$近似算法。
2023-07-26 cs.DM cs.DS
Complexity of Paired Domination Problems on Circle and $k$-Polygon Graphs
该研究证明圆图最小配对支配集问题是NP完全的，提出$k$-多边形图最小配对支配集求解算法，并改进了该类图最小支配集算法的时间复杂度，还将其扩展至最小全支配集求解。
2025-02-22 cs.CC cs.DS math.CO
Perfect matching cuts partitioning a graph into complementary subgraphs
在划分成互补子图（Comp-Sub）中，我们给出了一个图$G=(V,E)$和一个边集性质$Π$，并问对于某个图$H$，$G$是否可以分解成两个图$H$和它的补图$\overline{H}$，使得边割$[V(H),V(\overline{H})]$满足性质$Π$ .出于以前的工作，我们认为Comp-Sub（$Π$）时，属性$Π=\mathcal{PM}$指定的边缘切割的分解是一个完美的匹配。证明了当图$G$是$\{C_{k\geq 7}, \overline{C}_{k\geq 7} \}$ -free时，Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）是GI-难的.另一方面，我们证明了Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）在$hole$ -free图和$P_5$ -free图上是多项式时间可解的.此外，我们提出了弦，距离遗传和扩展的$P_4$ -载货图的Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）的特征。
2022-10-13 cs.DS math.CO
Dynamic Approximate Maximum Matching in the Distributed Vertex Partition Model
Augusta University（奥古斯塔大学）；Aalto University（阿尔托大学）
研究在分布式顶点分区模型中提出了一种随机算法，以维持近似最大匹配，并在动态更新下保持高效性能。
2025-12-31 cs.DC cs.DS
Scarf's algorithm and stable marriages
Scarf算法给出了一个寻找下单调多面体中特殊顶点--控制顶点的旋转过程。本文研究了Scarf算法在二部图中寻找稳定匹配时的行为。首先，它证明了Scarf的算法可以实现在多项式时间内运行，在重要的设置下，在其运行时显示出第一个积极的结果。其次，它显示了一个无限的家庭的情况下，无论枢转规则和运行时，围巾的算法输出匹配从一个指数小的子集的所有稳定的匹配，从而显示了结构上的弱点的方法。
2023-03-01 cs.DS math.CO
Counting hypergraph matchings up to uniqueness threshold
研究了有界最大度和最大超边数超图中匹配的近似计数问题。利用活动参数$λ$，每个匹配的$M$被分配权重$λ^{|M|}$。计数问题被公式化为计算一个分区函数，该分区函数给出了超图中所有匹配的权重之和。这个问题统一了近似计数中两个广泛研究的统计物理模型：硬核模型（图独立集）和单体-二聚体模型（图匹配）。对于该模型，临界活动$λ_c= \frac{d^d}{k (d-1)^{d+1}}$是无限$(d+1)$ -均匀$(k+1)$ -正则超树上Gibbs测度唯一性的阈值.考虑最大度至多为$k+1$且超边的最大长度至多为$d+1$的超图。我们表明，当$λ< λ_c$，有一个FPTAS计算的分区函数;和当$λ= λ_c$，有一个PTAS计算的日志分区函数。这些算法是基于吉布斯分布的相关性衰减（强空间混合）属性。当$λ> 2λ_c$时，配分函数或对数配分函数没有PRAS，除非NP $=$ RP。为了得到近似计数计算复杂性的一个急剧转变，我们研究了从有限超图序列到具有特定对称性的无限格的局部收敛性。我们展示了一个令人惊讶的连接之间的局部收敛性和可逆性的自然随机游动。这导致我们对硬度结果的一个障碍：无限吉布斯测度的非唯一性不能通过任何有限gadget实现。
2017-01-06 cs.DS math.CO
On Kernelization for Edge Dominating Set under Structural Parameters
在NP-硬边支配集问题（EDS）中，给定一个图$G=(V,E)$和一个整数$k$，需要确定是否存在一个至多由$k$条边组成的集合$F\subseteq E$，该集合与$G$的所有（其它）边关联。这是已知的，这个问题是固定参数易处理的，并承认一个多项式核时，参数由$k$。这个参数的一个警告是它需要很大，即，至少等于$G$的最大匹配的大小的一半，例如不是平凡负的。出于这一动机，我们研究了EDS的多项式核的存在时，可能比$k$小得多的结构参数参数进行参数化。不幸的是，乍一看，这看起来相当无望：即使当通过删除距离参数化到长度为2的路径$P_3$的不相交并集时，也没有多项式核化（在标准假设下），排除了许多较小参数（如反馈顶点集大小）的多项式核。相比之下，有些令人惊讶的是，存在到长度为4的路径$P_5$的不相交并集的删除距离的多项式核化。作为我们的主要结果，我们完全分类的所有有限集$\mathcal{H}$的图形，是否在$|X|$的核大小多项式是可能的，当给定$X$，使每个连接组件的$G-X$是同构的图在$\mathcal{H}$。
2019-01-11 cs.CC cs.DS
A New Perspective on Vertex Connectivity
边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…
2013-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Twin-width and polynomial kernels
我们研究多项式核的存在性，参数化问题没有一个多项式核一般图，当限制到有界的双宽度的图。我们的主要结果是，一个多项式核的$k$ -支配集的图的孪生宽度至多为4将矛盾的标准复杂性理论的假设。减少是相当复杂的，特别是为了使双宽度上界降至4，并且可以调整以适用于连接$k$ -支配集和总$k$ -支配集（尽管双宽度上界更差）。$k$ -独立集问题通过一个更简单的论证承认相同的下限，先前观察到[ICALP '21]，其扩展到$k$ -独立支配集，$k$ -路径，$k$ -诱导路径，$k$ -诱导匹配等。我们得到了有界孪生宽度图上连通$k$ -顶点覆盖和有容量限制的$k$ -顶点覆盖的一个简单的二次点核.有趣的是，内核适用于Vapnik-Chervonenkis密度为1的图，并且不需要见证序列。我们还提出了一个更复杂的$O(k^{1.5})$顶点核连接$k$ -顶点覆盖。最后，我们表明，如果一个图的双宽度最多为1，可以在多项式时间内完成，并观察到，大多数优化/决策图的问题可以解决在多项式时间上的双宽度最多为1。
2021-09-14 cs.CC cs.DM cs.DS
