A Galois-Theoretic Complexity Measure for Solving Systems of Algebraic Equations
本研究受代数几何应用启发，提出刻画受限计算模型下代数方程求解复杂度的伽罗瓦宽度，证明实用启发式方法可给出其下界，并探讨其在多领域对改进或排除求解技术的作用。
2025-03-22 cs.CC math.AG
Complexity of Triangular Representations of Algebraic Sets
三角分解是表示多项式理想根的标准方法之一。A.桑托在本文中，我们给出了第一完全界的多项式的次数和组件的数量在该算法的输出，提供明确的公式，这些界限。
2018-09-17 math.AC math.AG
Equivariant deformations of algebraic varieties with an action of an algebraic torus of complexity 1
设$X$是一个三维仿射簇，其忠实作用为一个二维环面$T$ .利用$T$的特征标对一阶无穷小形变空间$T^1(X)$进行分次，得到了零分次分量$T^1(X)_0$由所有等变的一阶（无穷小）形变组成.假设利用文献[1]中的这类簇的构造，可以从$\mathbb P^1$上的一个适当的多面体因子$\mathscr D$得到$X$，使得所用多面体的尾锥是尖的和全维的，并且所有多面体的所有顶点都是格点。然后我们计算了$\dim T^1(X)_0$，并找到了$X$的形式上的等变变形。我们还建立了我们的公式之间的联系$\dim T^1(X)_0$和已知的公式的尺寸的复曲面品种的$T^1$的分级组件。
2015-09-04 math.AG
Symplectic complexity of reductive group actions
设复代数约化群$\bf G$作用在复代数流形$\bf X$上.对于幂零锥$\mathcal{N}(\mathfrak{g}^*)\subset \mathfrak{g}^*$的$\bf G$ -不变子簇$Ξ$，我们定义了$\bf X$的$Ξ$ -辛复杂度的概念.这个概念推广了[Vin 86]中定义的复杂性概念。我们证明了这个概念的几个性质，并将其与[AG]中定义的$Ξ$ -复杂性的概念联系起来，这是由于它与表示论的关系。
2023-03-20 math.AG math.RT math.SG
Towards an algebraic natural proofs barrier via polynomial identity testing
我们观察到，某种代数证明-它基本上涵盖了所有已知的代数电路下界的日期-不能用来证明下界对VP当且仅当我们所谓的简洁击中集存在VP。这类似于布尔电路复杂性中的Razborov-Rudich自然证明障碍，因为我们在去随机化假设下排除了一大类下界技术。我们还讨论了这个代数自然证明障碍，几何复杂性理论和（代数）证明复杂性之间的联系。
2017-01-06 cs.CC math.AG
Homogeneous Algebraic Complexity Theory and Algebraic Formulas
本文在齐次线性投影下研究代数复杂度类，首次给出VF类在齐次线性投影下的完全多项式，并证明更简单变体对VF大子类拓扑闭包困难，涉及三元乘积门电路研究。
2023-11-28 cs.CC math.AG
A Goppa-like bound on the trellis state complexity of algebraic geometric codes
对于长度为$n$且维数为$k$的线性码$\cC$，Wolf注意到$\cC$的网格状态复杂度$s(\cC)$的上界为$w(\cC):=\min(k,n-k)$。本文给出了$s(\cC)$的一些新的下界.特别地，如果$\cC$是代数几何码，则为$s(\cC)\geq w(\cC)-(g-a)$，其中$g$是基础曲线的亏格，而$a$是代码的丰度。
2002-12-03 cs.IT math.AG math.IT
Algebraic Complexity and Neurovariety of Linear Convolutional Networks
该研究针对带一维滤波器和任意步长的线性卷积网络，提出递归算法生成对应神经流形Zariski闭包的多项式方程，借助度量代数几何发现其优化复临界点数量远超同参数量的全连接线性网络。
2024-01-29 cs.LG math.AG
On the minimal algebraic complexity of the rank-one approximation problem for general inner products
Friedrich-Schiller-Universität Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）；Laboratoire J.-A. Dieudonné Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学J.-A. 迪厄多内实验室）；Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)（坎皮纳斯州立大学）；Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC)（数学、统计和科学计算研究所）；Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e da Natureza Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学精确与自然科学学院数学系）；INRIA and CMAP, École Polytechnique, IP Paris, CNRS（法国国家信息与自动化研究所与巴黎理工学院CMAP，CNRS）；Department of Mathematics, KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院数学系）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学数学研究所）
本文研究了在一般内积下秩一近似问题的最小代数复杂度，通过验证弗罗贝尼乌斯内积为ED度数的局部最小值并探讨其全局最小性，结合奇点理论、莫尔斯理论和代数几何工具进行分析。
2025-10-13 math.AG math.OC
On homotopy types of limits of semi-algebraic sets and additive complexity of polynomials
证明了由闭有界半代数集构成的单参数半代数族的极限的不同同伦类型的个数在定义该族的任意无量词一阶公式的加法复杂度中是单指数有界的.作为一个重要的结果，我们得到的不同同伦类型的数目定义的半代数子集的$\mathbb{R}^k$的一个无量词的一阶公式$Φ$，其中的总和出现在$Φ$的多项式的加法复杂性至多是$a$，是有界的$2^{(k+a)^{O(1)}}$。这证明了一个猜想所作的巴苏和Vorobjov [在一些同伦类型的纤维的一个可定义的地图，J。（2）2007，757- 776]。
2012-06-19 math.AG math.AT math.LO
Grassmann and Flag Varieties in Linear Algebra, Optimization, and Statistics: An Algebraic Perspective
本文从代数视角研究格拉斯曼簇与旗簇，将线性代数与统计问题转化为其上的优化问题，以复临界点数量衡量代数复杂度，阐述流形的代数簇实现并计算了多类优化问题的代数复杂度。
2025-10-01 math.AG math.OC math.ST
An introduction to geometric complexity theory
我调查的方法，从微分几何，代数几何和表示论相关的永久v.行列式的问题，从计算机科学，一个代数模拟的P v. NP问题。
2015-09-08 cs.CC math.AG math.DG
Finiteness results concerning algebraic power series
利用有限维可构造集构造了代数幂级数环的一个显式滤子，并度量了这些级数的复杂性。作为应用，我们给出了定义在幂级数域上的代数簇上的有界复杂度代数幂级数集的维数的一个界。
2020-02-19 math.AC math.AG math.NT
Applications of singularity theory in applied algebraic geometry and algebraic statistics
本文综述了拓扑学与奇点理论在研究应用代数几何和代数统计中具体优化问题的代数复杂度方面的近期应用。
2023-05-31 math.AG
Algebraic pairs of isometries
我们考虑由多项式湮灭的交换等距对。我们证明了多项式必须是内环面的，这是它的零点集上的一个几何条件。我们证明了交换等距的循环对若被同一个极小多项式零化，则它们几乎酉等价。
2009-04-20 math.AG math.FA
Bit complexity for computing one point in each connected component of a smooth real algebraic set
本文分析了光滑实代数集的每个连通分支中至少有一个点的计算算法的比特复杂度。这项工作是我们对超曲面情况的分析的延续（关于在光滑实超曲面的连通分量中寻找点的位复杂性，ISSAC'20）。在本文中，我们将分析扩展到更一般的情况。设$\mathbb{Z}[X_1, ... , X_n]^p$中的$F=(f_1,..., f_p)$是一个多项式序列，其中$V = V(F) \subset \mathbb{C}^n$是光滑的等维簇，$\langle F \rangle \subset \mathbb{C}[X_1, ..., X_n]$是根理想.为了计算$V \cap \mathbb{R}^n$的每个连通分量中的至少一个点，我们的起点是Safey El Din和Schost的算法（Polar varieties and computation of one point in each connected component of a smooth real代数集，ISSAC'03）。该算法使用被证明一般确保某些理想的几何特性的变量的随机变化。算法的代价在一个代数复杂度模型中给出，在这里，我们分析了比特复杂度和错误概率，我们提供了一个定量分析的泛型语句。特别是，我们被引导使用拉格朗日系统来描述极品种，因为它们使它更容易依赖于技术，如弱横截性和有效的零星。
2022-07-09 cs.SC math.AG
Bounding the trellis state complexity of algebraic geometric codes
设C是构造在$F_q$上的曲线X上的维数为k，长度为n的代数几何码.设s（C）为C的状态复杂度，设w（C）：=min{k，n-k}，s（C）的Wolf上界.引入一个依赖于X的角性序列的数值函数R，证明了s（C）\geq w（C）-R（2 g-2），其中g是X的亏格.事实上，R（2 g-2）\leq g-（γ_2-2），其中γ_2是X在F_q上的共角性，因此特别地，我们有s（C）\geq w（C）-g+γ_2-2.
2003-03-08 cs.IT math.AG math.IT
Complexity of actions over perfect fields
设$G$是完全域$k$上作用于代数簇$X$的连通约化群，$P$是$G$的极小抛物子群.对于$k$ -球面$G$ -簇，我们证明了含有$k$ -点的$P$ -轨道的有限性结果.这是$P$-$X$的复杂性和$P$ -不变$k$-$X$中稠密子簇的复杂性的一个等式的结果，它推广了E.B.Vinberg在代数闭域$k$的情况下的相应结果。在$W$和所有$k$-稠密$P$ -轨道的集合上，证明了在代数闭域情形下F.Knop引入的对$B$ -轨道的作用。我们还引入了与此作用相关的一个小Weyl群，并利用$W$的生成元描述了它的生成元，推广了M.Brion在代数闭域情况下的描述.
2020-06-20 math.AG math.RT math.SG
On intersection cohomology with torus actions of complexity one
研究了具有环面作用的代数簇的交上同调。给定一个代数环面$\mathbb{T}$，我们的一个结果确定了任何正规投射$\mathbb{T}$ -簇的交上同调贝蒂数，该簇允许一条代数曲线作为整体商.计算表示在一个组合的描述，涉及一个divisorial风扇，这是类似的定义风扇的复曲面品种。我们的主要工具，以获得这种计算是在这种情况下的分解定理的描述。
2020-05-06 math.AG
Moduli of Brill-Noether pairs on algebraic curves
我们构造了Brill-Noether对的粗模空间。这样的一对由代数曲线$X$上的无挠层$E$和它的截面空间$H^0(E)$的向量子空间$Λ$组成。该构造适用于纯维数的任意奇异曲线$X$和正有理参数$α$在稳定条件下的所有值。(Hard副本可应要求提供。）
1994-08-10 alg-geom math.AG
Nevanlinna Pair and Algebraic Hyperbolicity
我们引入了对$(X, D)$的$\textit{Nevanlinna pair}$的概念，其中$X$是一个投射簇，$D$是$X$上的一个有效Cartier因子.这个概念联系并统一了Nevanlinna理论，复双曲性（Brody和Kobayashi双曲性），大皮卡德型扩张定理（更一般的Borel双曲性），以及代数双曲性。关键是使用Nevanlinna理论的抛物黎曼曲面最近开发的Pabriun和Sibony。
2021-02-09 math.AG math.CV
A New Algebraic Algorithm for LWE
University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
本研究针对后量子密码核心的Search-LWE问题，提出一种结合线性代数与格罗比纳基S-多项式方法的新型代数算法，通过直接复杂度分析避免半正则性假设，复杂度较同类方法实现多项式级改进。
2026-09-01 cs.CR math.AG
Classification of affine homogeneous spaces of complexity one
约化代数群G在代数簇X上作用的复杂度是X中一般B-轨道的余维数，其中B是G的博雷尔子群.对复杂度为1的仿射齐性空间G/H进行了分类。这些结果是球面仿射齐性空间分类的自然延续，即，复杂度为零的空间
2004-08-08 math.AG math.SG
Harish-Chandra pairs and affine algebraic group schemes in the Verlinde category, revisited
本文修正并完善了Venkatesh关于正特征Verlinde范畴中仿射代数群与Harish-Chandra对范畴等价的不完整证明，并给出更简洁的群概形构造及交换Hopf代数张量积分解的新结果。
2025-05-10 math.AG math.RA
The Algebraic Complexity of Maximum Likelihood Estimation for Bivariate Missing Data
本文研究了在数据为随机缺失（MAR）的假设下，正态和多项式随机变量的二元缺失数据的一般模式的极大似然估计问题.对于正态数据，分数方程有九个复杂的解，其中至少有一个是真实的和统计上显著的。我们的计算表明，真正的解决方案的数量有关的MAR假设是否得到满足。在多项式的情况下，分数方程的所有解都是实数，并且实数解的数量随着基础随机变量的状态数呈指数增长，尽管总是有一个统计上显著的局部最大值。
2007-09-06 math.AG math.ST stat.CO
Sur les opérations de tores algébriques de complexité un dans les variétés affines
本文主要研究具有代数环面作用的仿射代数簇的几何性质。它来自三个预印本，对应于所示的点（1），（2），（3）。设$X$是一个仿射簇，它具有代数环面$\mathbb{T}$的作用。$\mathbb{T}$ -作用在$X$上的复杂性是一般$\mathbb{T}$ -轨道的余维。在正规性假设下，当基域特征为0的代数闭时，簇$X$可以用凸几何进行组合描述。Altmann和Hausen在2006年获得的描述概括了复曲面变种的经典描述。我们的目的是研究当$X$上的$\mathbb{T}$ -作用的复杂性为1时，簇$X$的代数和几何性质的新问题。(1)在第一部分中，给出了一个利用Altmann-Hausen的组合刻划确定特征为0的代数域上任意具有复杂度为1的$\mathbb{T}$ -作用的仿射簇的整闭包的有效方法。(2)第一部分的计算证明了Altmann-Hausen在任意基域上的复杂度为1的情况下的表示的有效性。这是在第二部分完成的。(3)在第三部分中，当基域是完全的时，我们对$X$上的加群的所有动作进行分类，这些动作被复杂度为1的$\mathbb{T}$ -动作规范化。这种分类概括了经典作品的弗伦纳和Zauberberg在表面的情况下，Liendo时，基场是代数封闭的特征0。
2020-05-25 math.AG
The algebraic Green-Griffiths-Lang conjecture for complements of very general pairs of divisors
本文证明了 $\mathbb{P}^n$ 中总次数为 $2n$ 的非常一般除子对之补集在模去真闭子簇后代数双曲，从而为 Lang-Vojta 与 Green-Griffiths 猜想提供新证据，并部分推广了已有结果。
2024-10-01 math.AG math.NT
Efficient computation of a semi-algebraic basis of the first homology group of a semi-algebraic set
设$\mathrm{R}$是实闭域，$\mathrm{C}$是$\mathrm{R}$的代数闭包.本文给出了一个计算由闭公式定义的半代数集合$S \subset \mathrm{R}^k$的第一个同调群$\mathrm{H}_1(S,\mathbb{F})$的半代数基的算法，该同调群的系数在域$\mathbb{F}$中。算法的复杂度是单指数有界的。对于具有单指数复杂度的高阶同调群，如何计算这样的基是未知的。作为算法的中间步骤，我们构造了给定半代数集$S$的半代数子集$Γ$，使得对于$q=0,1$，$\mathrm{H}_q(S,Γ) = 0$。我们涉及到这个建设的一个基本定理在复杂的代数几何说明，任何仿射品种$X$的尺寸$n$，存在Zerenki闭子集\[ Z^{(n-1)} \supset \cdots \supset Z^{(1)} \supset Z^{(0)} \]与$\dim_{\mathrm{C}} Z^{(i)} \leq i$，和$\mathrm{H}_q(X,Z^{(i)}) = 0$为$0 \leq q \leq i$。我们猜想这个结果的定量版本的半代数范畴，$X$和$Z^{(i)}$取代封闭的半代数集。通过证明$Z^{(0)}$和$Z^{(1)}$的存在性，我们在这个猜想上取得了初步的进展，其复杂性是单指数有界的（以前，这样的算法只用于构造$Z_0$）。
2021-07-19 math.AG math.AT
Computing the Betti numbers of semi-algebraic sets defined by partly quadratic systems of polynomials
设$\R$是实闭域，$ {\mathcal Q} \subset \R[Y_1,...,Y_\ell,X_1,...,X_k], $具有$ °_{Y}(Q) \leq 2, °_{X}(Q) \leq d, Q \in {\mathcal Q}, #({\mathcal Q})=m$，$ {\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k] $具有$°_{X}(P) \leq d, P \in {\mathcal P}, #({\mathcal P})=s$。设$S \subset \R^{\ell+k}$是一个由布尔公式定义的半代数集合，其原子为$P=0, P \geq 0, P \leq 0, P \in {\mathcal P} \cup {\mathcal Q}$ .我们描述了一个计算$S$的贝蒂数的算法。该算法的复杂度由$(\ell s m d)^{2^{O(m+k)}}$限制。该算法的复杂性插值之间的双指数的时间界的已知算法在一般情况下，和多项式的复杂性的情况下，半代数集定义的几个二次不等式已知的。此外，对于固定的$m$和$k$，该算法具有多项式时间复杂度的其余参数。
2008-06-24 math.AG math.GT
On the Complexity of Computing with Planar Algebraic Curves
本文给出了平面代数曲线计算复杂性的改进界。更具体地，对于任意互质多项式$f$、$g \in \mathbb{Z}[x,y]$和任意多项式$h \in \mathbb{Z}[x,y]$，每个多项式的总次数小于$n$，并且具有绝对值小于$2^τ$的整数系数，我们证明了以下问题中的每一个都可以用由$\tilde{O}(n^6+n^5τ)$限定的多个位操作以确定性方式来解决，其中我们忽略$n$和$τ$中的多对数因子：（1）计算系统$f = g = 0$的所有复解在$\mathbb{C}^2$中的隔离区域，（2）计算$f = g = 0$的解的分离形式，（3）计算$f = g = 0$的所有实值解的$h$的符号，（4）定义为多项式$f$的实值消失集的平面代数曲线$\mathcal{C}$的拓扑计算。我们的边界改善了目前已知的最好的边界的前三个问题的一个因素的$n^2$或更多，并关闭了差距，最后一个问题的最先进的随机复杂性。
2014-07-31 cs.NA cs.SC math.AG
Some NP Complete Problems Based on Algebra and Algebraic Geometry
本文提出用有限域元素图着色的思路，将图着色问题转化为着色簇成员资格问题，进一步把NP与P问题关联到有限域高次多项式的乘法复杂度研究，为计算复杂性问题提供代数几何新视角。
2025-03-18 math.AC math.AG
Complexity of linear circuits and geometry
我们使用代数几何来研究矩阵的刚性，更一般地说，计算矩阵向量积的复杂性，继续库马尔等发起的研究。我们（一）展示了许多非显而易见的方程测试（边界）刚性，（二）计算度的品种相关的刚性，（三）描述代数簇相关的家庭的矩阵，预计有超线性刚度，和（四）证明结果的理想和程度的锥感兴趣的是在自己的权利。
2015-03-10 cs.CC math.AG
A baby step-giant step roadmap algorithm for general algebraic sets
设$\mathrm{R}$是实闭域，$\mathrm{D} \subset \mathrm{R}$是有序域.我们给出了一个算法，作为输入的多项式$Q \in \mathrm{D}[X_1,\ldots,X_k]$，并计算一个路线图的零，$\mathrm{Zer}(Q,\mathrm{R}^k)$，$Q$在$\mathrm{R}^k$的集合的描述。该算法的复杂性，在有序域$\mathrm{D}$的算术运算的数量来衡量，是由$d^{O(k \sqrt{k})}$，其中$d = \mathrm{deg}(Q)\ge 2$界定。因此，存在用于计算实代数集的半代数连通分量的数目的算法，$\mathrm{Zer}(Q,\mathrm{R}^k)$，其复杂性也由$d^{O(k \sqrt{k})}$限定，其中$d = \mathrm{deg}(Q)\ge 2$。用于构造由次数多项式$d$定义的$\mathrm{R}^k$的实代数子集的路线图的最佳先前已知算法具有复杂度$d^{O(k^2)}$。
2014-05-29 cs.SC math.AG
Efficient algorithms for computing the Euler-Poincaré characteristic of symmetric semi-algebraic sets
设$\mathrm{R}$是实封闭的域，$\mathrm{D} \subset \mathrm{R}$是有序域.考虑了$\mathrm{R}^k$的实代数和半代数子集的广义Euler-Poincaré特征的算法问题，这些子集由$\mathrm{D}$中系数的对称多项式定义.我们给出了计算这类集合的广义Euler-Poincaré特征的算法，假设输入多项式的次数由一个常数限制，其复杂性由$\mathrm{D}$中算术运算的次数来衡量，根据$k$和输入多项式的数目是多项式有界的。这是在对比的最佳复杂性的已知算法的相同的问题，在非对称的情况下，这是单指数。后一个问题的单指数复杂性不太可能得到改善，因为来自离散复杂性理论的硬度结果（$\#\mathbf{P}$ -硬度）。
2017-07-11 cs.SC math.AG
Algebraic fundamental groups of fake projective planes
本文证明假射影平面的代数基本群仅有四十六个同构类而非五十个，并首次构造出秩一半单李群中可公度但不同构且具有同构有限商完备化的格。
2024-02-27 math.AG math.GR math.GT
Functional norms, condition numbers and numerical algorithms in algebraic geometry
在数值线性代数中，一个行之有效的做法是选择一个规范，利用手头的问题的结构，以优化精度或计算复杂性。在数值多项式代数中，单一范数（归因于Weyl）主导着文献。这篇文章开始使用$L_p$规范的数值代数几何，重点是$L_{\infty}$。这个经典的想法产生强大的改进，在分析的步骤数进行了许多迭代算法。特别地，我们展示了三种算法，其中，尽管计算$L_{\infty}$ -范数的复杂性，但使用$L_p$ -范数显著降低了计算复杂性：实代数几何中用于计算半代数集的同调的基于细分的算法，计算几何中众所周知的网格化算法，以及复二次多项式系统零点的计算（Smale第17问题的一个特例）。
2022-01-18 cs.CC cs.CG cs.NA
Decomposition into pairs-of-pants for complex algebraic hypersurfaces
众所周知，黎曼曲面可以分解成所谓的裤子。每一条裤子都是一个黎曼球面减去3个点的同构。我们证明了任意维的光滑复射影超曲面也有类似的分解。n维裤子对与复射影n-空间减n+2超平面同构。或者，这些分解可以被视为超曲面上的某些纤维化。我们证明了在以n维多面体复形为基，以实n-环面为纤维的超曲面上存在奇异纤维化。超曲面V的底包含超曲面V的几何亏格。它的同伦类型是h^{n，0}（V）球面S^n的楔形。
2003-11-19 math.AG math.GT math.SG
