Complex multiplication in twistor spaces
尽管扭量结构具有超越性质，但K3曲面的扭量空间的代数纤维具有某些算术性质。证明了对于一个具有复乘的极化K3曲面，其扭量空间中远离赤道的所有代数纤维也具有复乘。
2020-03-11 math.AG
New lower bounds for the rank of matrix multiplication
nxn矩阵乘法算子的秩是代数复杂性理论中研究最多的量之一。我证明了秩至少是n^2-o（n^2）。更准确地说，对于任何整数p \leq n-1，秩至少为（3- 1/（p+1））n^2-（1+ 2 p \binom{2p}{p-1}）n。由于布拉泽的贡献，先前的下限是5n^2/2- 3 n（p=1的情况）。新的界改进了Blaser的界，对于所有n>84。我还证明了矩形矩阵的下界明显优于以前的界限。
2013-10-29 cs.CC math.AG math.RT
Subrank and Optimal Reduction of Scalar Multiplications to Generic Tensors
自从Strassen和Valiant的开创性工作以来，理解代数问题的相对复杂性一直是代数复杂性理论的中心主题，也就是说，理解哪些代数问题（无论是Strassen工作中的双线性映射，如矩阵乘法，还是Valiant工作中的行列式和永久多项式）可以相互约简（在适当的约简概念下）。在本文中，我们精确地确定有多少独立的标量乘法可以减少到一个给定的双线性映射（这个数字被称为子秩，并扩展矩阵对角化的概念张量），基本上所有（即通用）双线性映射。也就是说，我们证明了一般的双线性映射$T : V \times V \to V$，其中$\dim(V) = n$，$θ(\sqrt{n})$独立的标量乘法可以减少到$T$。我们的结果显著改进了Strassen（1991）和Bürgisser（1990）工作的上界，即$n^{2/3 + o(1)}$。我们的完整结果是更一般的，不仅适用于双线性映射和3张量，但也$k$张量，我们发现，通用子秩是$θ(n^{1/(k-1)})$。作为应用，证明了子秩在直和下是不可加的。子秩在复杂性理论（矩阵乘法算法，障碍结果）和组合学（例如，帽集问题和向日葵问题）。由于我们的结果，我们得到了几个大的分离之间的子秩和张量的方法，最近收到了很大的兴趣，特别是切片秩（陶，2016），分析秩（高尔斯-沃尔夫，2011年;洛维特，2018年; Bhrushundi-Harsha-Hatami…
2022-06-09 cs.CC math.AG
Real multiplication through explicit correspondences
我们通过代数对应计算亏格为2的曲线的除数类上的实乘方程。我们这样做是通过实施范瓦梅伦的方法计算方程的自同态的雅可比矩阵的例子从代数模型计算的希尔伯特模块化表面的埃尔基和库马尔。我们还计算了判别式5的Hilbert模曲面在泛族上的对应关系，并用我们的方程证明了A.赖特关于黎曼曲面的模空间的动力学。
2016-05-31 math.AG math.DS math.NT
The moment polytope of matrix multiplication is not maximal
本文证明矩阵乘法张量的矩多胞形严格包含于克罗内克多胞形，即非极大，并推广至迭代情形，同时给出渐近限制下包含关系的不可行性结果，并利用新证明方法得到矩阵乘法最优边界子秩界。
2025-03-28 cs.CC math.AG math.RT
Polynomials and the exponent of matrix multiplication
我们定义张量，对应于三次多项式，具有相同的指数$ω$作为矩阵乘法张量。特别地，我们研究了由$sM_n(A)=trace(A^3)$定义在$n\times n$矩阵$A$上的对称化矩阵乘法张量$sM_n$。多项式的使用使得能够在矩阵乘法指数$ω$的研究中从代数几何引入额外的技术。
2017-06-15 math.AG
Secant varieties and the complexity of matrix multiplication
这是一个主要关于确定张量的边界秩的综述，特别是那些与矩阵乘法复杂性研究相关的张量。这是一个一方面在理论计算机科学中具有重要意义的主题，另一方面涉及代数几何中许多美丽的主题，例如关于割线簇方程的经典和最近的结果（例如，通过向量丛和表示论方法）以及零维格式的几何和变形理论。
2022-08-01 math.AG
New lower bounds for the border rank of matrix multiplication
n × n矩阵的矩阵乘法算子的边界秩是其复杂性的标准度量。利用代数几何和表示论的技巧，我们证明了边界秩至少为2n^2-n。我们的界优于之前的下界（由于Lickteig在1985年）3/2 n^2+ n/2 - 1，对所有n>2。通过寻找小边界秩的双线性映射必须满足的新方程，即，新方程的割线品种的三重Segre产品，矩阵乘法无法满足。
2013-06-02 cs.CC math.AG
Motivic Modularity of CM K3 Surfaces
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院理学研究科）
本文显式构造了定义在数域上具有复乘的K3曲面的代数Hecke特征，并特别给出了与具有复乘的简单阿贝尔曲面相关的Kummer曲面的代数Hecke特征的显式确定。
2026-06-25 math.AG math.NT
Geometric rank of tensors and subrank of matrix multiplication
本文提出几何秩这一新工具，证明其可上界张量子秩与超图独立数，并用于给出矩阵乘法张量（边界）子秩的紧上界。
2023-04-26 cs.CC math.AG math.CO
Computing moment polytopes -- with a focus on tensors, entanglement and matrix multiplication
本文提出一种基于Franz数学描述的新算法，用于计算张量矩多面体，首次确定性地算出C^3⊗C^3⊗C^3及高概率算出C^4⊗C^4⊗C^4中的全部矩多面体，推动量子纠缠与代数复杂度研究。
2025-10-09 cs.CC cs.SC math.AG
Equivariant quantum cohomology of cotangent bundle of $G/P$
设$G$表示复半单线性代数群，$P$表示$G$和$\mathcal{P}=G/P$的抛物子群.利用Maulik和Okounkov提出的稳定基，我们证明了$T^*\mathcal{P}$中的量子除数乘法.利用这一公式和稳定基的限制公式，我们证明了$T^*\mathcal{P}$中的$G\times\mathbb{C}^*$ -等变量子乘法公式与Braverman的限制公式是共轭的.
2015-03-03 math.AG math.CO math.RT
Algebraic Geometric Rook Codes for Coded Distributed Computing
针对有限域上工作节点数受域大小限制的问题，本文提出代数几何Rook码，支持一般矩阵乘法的分布式容错计算，并给出与亏格相关的恢复阈值界。
2024-10-28 cs.DC cs.DM cs.IT
Variations of Hodge structures of a Teichmueller curve
Teichmueller曲线是Teichmueller空间中的测地圆盘，其投影到模空间$M_g$中的代数曲线。我们证明，对于所有$g \geq 2$，Teichmueller曲线都映射到阿贝尔簇模空间中实乘法的轨迹。注：McMullen已经证明，对于$g=2$，实乘法的轨迹在重言式丛$Ω\M_g$上的$\SL_2(\RR)$ -作用下是稳定的。我们还表明，Teichmueller曲线的定义在数域，我们提供了一个完全代数描述的Teichmueller曲线的希格斯包。作为结果，我们表明，绝对伽罗瓦群的Teichmueller曲线集上的作用。
2005-07-19 math.AG
Diviseurs de la forme 2D-G sans sections et rang de la multiplication dans les corps finis (Divisors of the form 2D-G without sections and bilinear complexity of multiplication in finite fields)
设X是定义在完满域上的代数曲线，G是X上的因子.如果X有足够多的点，我们展示了如何在X上构造一个除数D，使得l（2D-G）=0，基本上是任何次数的，使得这是相容的Riemann-Roch定理。我们还将这种构造推广到有限个约束l（k_i.D-G_i）=0的情况，其中|k_i| \leq 2。Shparlinski-Tsfasman-Vladut先前声称了这样的结果，与用于基于曲线上的插值来估计有限域中乘法的双线性复杂度的Chudnovsky-Chudnovsky方法有关;不幸的是，如Cascudo等人所指出的，他们的证据有缺陷因此，我们的工作修正了Shparlinski-Tsfasman-Vladut的证明，并证明了他们的估计m_q \leq 2（1+1/（A（q）-1））成立，至少当A（q）\geq 5。我们还修复了Ballet的一个语句，它也存在同样的问题，然后我们指出了其他一些可能的应用程序。
2011-03-24 cs.CC cs.IT math.AG
Lecture Notes on Noncommutative Algebraic Geometry and Noncommutative Tori
这些笔记的第一部分给出了一个介绍非交换射影几何后，阿廷-张。第二部分提供了一个概述的工作Polishchuk调和非交换的两个环面具有真正的乘法与阿廷-张设置。
2017-04-02 math.AG math.QA
Algebraic cycles on Jacobian varieties
设J是亏格为g的平滑曲线C的Jacobian，A（J）是J上模代数等价的代数圈环，用Q张量.本文研究了A（J）中包含C的最小Q-向量子空间R，它在A（J）的自然运算（交、庞特里亚金积、整数乘下的拉回和下推）下是稳定的.我们证明了这个重言子环是（在Q上）由子簇W_1=C，W_2=C+C，. W_{g-1}。如果C允许到P^1上的d次态射，我们证明最后的d-1类是足够的。
2002-04-15 math.AG
Algebraic models and arithmetic geometry of Teichmüller curves in genus two
Teichmüller曲线是一条代数曲线在黎曼曲面的模空间中的代数等距浸入。给出了正亏格Teichmüller曲线的第一个显式代数模型。我们的方法是基于一定的希尔伯特模形式的研究和使用Ahlfors的变分公式，以确定实乘法的特征形亏格两雅可比。我们还提出了证据表明，Teichmüller曲线承认一个丰富的算术几何展示的例子与小素数的坏约化和显着的除数支持在他们的尖点。
2016-09-05 math.AG math.GT
Quelques bords irrationnels de varietes de Shimura
我们正在寻找一个制定的Manin的真正的乘法问题在更高的排名。这个问题comports，在我们看来，至少有两个步骤：1.一个正式的线性代数方面的故事在形态的代数群类似志村和德利涅的观点的理论复乘。2.非交换代数几何的著作。我们只对第一步感兴趣，并回顾文献中关于第二步的已知结果。我们的观点也许太天真了，在寻找非交换阿贝尔簇的好概念之前，我们必须知道它们的周期是什么，以及我们想对它们做什么。
2004-10-11 math.AG math.NT math.QA
Algebraic Model Selection and Experimental Design in Biological Data Science
提出统一实验设计与模型选择的数据驱动计算框架，利用线性变换解决生物数据科学中识别已知相互作用与可识别相互作用的问题，并应用于EGFR信号传导模型。
2021-01-23 math.AG q-bio.QM
HerA Scheme: Secure Distributed Matrix Multiplication via Hermitian Codes
提出HerA方案，利用Hermitian码及其对偶码编码矩阵，在更小有限域上实现安全分布式矩阵乘法，并提升安全性能。
2023-05-15 cs.CR cs.DC cs.IT
Numerical algebraic geometry for model selection and its application to the life sciences
San José State University（圣何塞州立大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文利用数值代数几何方法解决数学模型中的参数估计、验证和选择问题，通过概率一多项式连续方法计算目标函数的所有临界点，并过滤以恢复全局最优解，应用于细胞信号传导、合成生物学和流行病学等领域。
2016-04-01 cs.NA math.AG math.NA
