Wave Equations with three-inverse square potential on $R_+^3$
Yehdhih Mohamed Abdelhaye, Badahi Mohamed, Mohamed Vall Ould Moustapha
本文给出了$R_+^3$上三反平方势薛定谔算子的波动方程的显式解
In this note we give explicit solutions to the wave equation associated to the Schrödinger operator with three-inverse square potential on $R_+^3$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Scattering theory for nonlinear Schroedinger equations with inverse-square potential
研究了具有平方反比临界粗糙势的非线性Schroedinger方程解的长时间行为。新的成分是相互作用Morawetz型不等式和Sobolev范数性质与Lapalacian平方反比势。利用这些性质，我们得到了能量空间中具有平方反比势的离焦能量亚临界非线性Schroedinger方程的散射理论。
On Schrödinger equation with square and inverse-square potentials
针对含时间衰减谐振子与反平方势的线性及非线性 Schrödinger 方程，论文利用模型的尺度不变性，建立波算子渐近完备性与线性传播子的 Strichartz 估计。
Resolvent Estimates for the 3D Schrödinger Operator with Inverse-Square Potential
本文研究具有平方反比势的薛定谔算子的酉群.我们适应Combes-Thomas估计表明，当限制到非径向函数，运营商享有更好的估计，镜像拉普拉斯算子。
$L^2$ concentration of blow-up solutions for the mass-critical NLS with inverse-square potential
在本文中，我们证明了一个紧致引理的改进版本，并利用它建立了具有平方反比势的聚焦非线性薛定谔方程的质量集中。
Fundamental solutions for Schrodinger operators with general inverse square potentials
本文对一类Schrodinger算子的基本解进行了分类。
Inverse Observability Inequalities for Integrodifferential Equations in Square Domains
在本文中，我们将考虑振动的正方形粘弹性膜添加到波动方程的另一项，其中考虑到记忆。为此，我们将研究一类正方形区域上的积分微分方程。利用积分微分算子谱性质的精确估计，我们将证明一个逆能观性不等式。
The reflector problem and the inverse square law
我们引入一个模型来设计反射器，考虑到辐射的平方反比定律。我们证明存在的解决方案，无论是在近场和远场的情况下，当输入和输出能量规定。
Decay estimates for Schrödinger heat semigroup with inverse square potential in Lorentz spaces
令$H:=-Δ+V$是$L^2({\bf R}^N)$上的非负薛定谔算子，其中$N\ge 2$和$V$是平方反势。本文得到了Lorentz空间中$e^{-tH}$和$\nabla e^{-tH}$算子范数的强衰减估计.
The energy-critical NLS with inverse-square potential
考虑三维空间中带平方反比势$iu_t = -Δu + a|x|^{-2}u + |u|^4u$的离焦能量临界非线性薛定谔方程.我们证明了$a>-\frac14 +\frac1{25}$的整体适定性和散射。我们还进行了变分分析需要治疗的聚焦情况。
The cubic NLS on the line with an inverse square potential
本研究针对带排斥反平方势的直线上三次NLS小局域初值解，通过对比自由与畸变伽利略向量场并结合波包变换，建立了修正散射理论。
On the existence of ground state solutions to nonlinear Schoedinger equations with multisingular inverse-square anisotropic potentials
研究了一类具有临界幂非线性项和多个各向异性反平方奇性势的非线性Schroedinger方程。强度，位置和方向的奇异性的条件给出了最小的相关瑞利商要实现的，无论是在整个$\R^N$和有界域。
Operateur de Schrodinger avec potentiel singulier multi-polaire (Schrodinger operator with a potential including several inverse-square singularities)
设P是R^d上的算子$-Δ+V$，其中$V$是一个具有多个平方反奇点的实势.利用半经典测度给出了关于$P$截断预解式的一个非陷型高频不等式.这个不等式隐含了相应的薛定谔方程的局部光滑效应。
Strichartz estimates for the Wave and Schrodinger Equations with the Inverse-Square Potential
我们证明了具有平方反比势的薛定谔方程和波动方程的时空加权L^2估计。然后，我们推导出这些方程的哈茨估计。
Classification of local asymptotics for solutions to heat equations with inverse-square potentials
研究了具有空间奇异平方反比势的热方程解的渐近性态。将抛物型Almgren型单调性公式与Blow-up方法相结合，研究了具有Hardy型位势的线性和亚临界半线性抛物型方程解在奇异点附近的精确性态.作为一个显着的副产品，一个独特的连续性得到。
Threshold dynamics for the $3d$ radial cubic NLS with repulsive inverse-square potential
研究在排斥反平方势下，三维径向立方非线性薛定谔方程在径向基态阈值处的解动力学分类。
Scattering and blow-up dichotomy of the energy-critical nonlinear Schrödinger equation with the inverse-square potential
本文考虑具有排斥反平方势的能量临界非线性薛定谔方程。特别地，我们处理径向初始数据，其能量等于相应的非线性薛定谔方程的静态解的能量，没有潜在的。我们调查的径向解的时间行为与这样的初始数据。
Spherical Averaged Endpoint Strichartz Estimates for The Two-dimensional Schrodinger Equations with Inverse Square Potential
二维薛定谔方程的端点薛定谔估计是由陶对L^2中角变量的解求平均得到的。对于具有离焦平方反比势的薛定谔方程，我们证明了齐次端点估计在此情形下成立。特别是，原始版本的终点估计值适用于径向数据。
Local smoothing and Strichartz estimates for the Klein-Gordon equation with the inverse-square potential
我们证明了加权$L^2$估计的Klein-Gordon方程的奇异位，如平方反比位扰动。然后，我们推导出这个方程的柯西问题的适定性与小扰动，并继续讨论局部平滑和改进先前已知的Eschenhartz估计。
Weighted Hardy inequalities and Ornstein-Uhlenbeck type operators perturbed by multipolar inverse square potentials
本文给出了一类Kolmogorov算子在多极平方反位势扰动下的抛物问题关于高斯概率测度弱解存在的充要条件，高斯概率测度是Ornstein-Uhlenbeck型算子唯一的不变测度.我们状态的常数，然后，不存在的正指数有界解的抛物问题的最优性。
The energy-critical nonlinear wave equation with an inverse-square potential
研究了三维和四维空间中存在平方反比势时的能量临界非线性波动方程。在散焦的情况下，我们证明了在能量空间中的任意初始数据会导致分散的全局解。在聚焦的情况下，我们证明散射低于基态阈值。
Global existence and blowup for Choquard equations with an inverse-square potential
本文研究了具有平方反比势的Choquard方程在能量亚临界区的聚焦和散焦非线性。对于所有的情况，建立了局部适定性结果在$H^1(\mathbb{R}^N)$。此外，在散焦情形下证明了任意初始值的整体存在性，而在聚焦情形下建立了基态以下的整体存在/爆破二分法。
The focusing cubic NLS with inverse-square potential in three space dimensions
研究了三维空间中带平方反比势的聚焦立方非线性薛定谔方程。我们确定了一个尖锐的阈值之间的散射和爆破，建立一个类似的结果Duyckaerts，霍尔默，和Roudenko的标准聚焦立方NLS。我们还证明了在阈值处一致空间-时间界的失效。
Stability and instability of radial standing waves to NLKG equation with an inverse-square potential
本文研究了一类具有反平方排斥势的非线性Klein-Gordon方程的径向驻波。对于非线性Klein-Gordon方程的定态问题，已知存在一个“径向”基态。这里，“径向”基态是稳态问题的径向解中能量最小的解。我们处理的稳定性和不稳定性的驻波的“径向”基态。
Scattering theory for nls with inverse-square potential in 2d
本文研究了具有奇异位势的非线性薛定谔方程解的长时间行为。证明了二维$$iu_t+Δu-\frac{a u}{|x|^2}= -|u|^pu$$中具有平方反比势的径向非线性光学系统在基态以下的散射，当$2<p<\infty$和$a>0$。本文将文献[13，14，16]的结果推广到二维。关键点是Arora-Dodson-Murphy方法的修改版本[2]。
Existence and orbital stability of standing waves to a nonlinear Schrödinger equation with inverse square potential on the half-line
研究了具有平方反比势的非线性薛定谔方程在射线上的驻波性质.我们首先证明驻波的存在。然后，通过基态的变分表征，我们建立了质量亚临界非线性驻波的轨道稳定性。由于问题的非紧性和平移不变性的情况下，我们申请的轮廓分解参数。我们通过将问题与“无穷大”处的问题（即，不含平方势的倒数的方程）。最后，我们建立了轨道不稳定性的质量超临界非线性爆破参数。
Strichartz estimates for wave equation with inverse square potential
本文研究了具有平方反比势的线性波动方程解的Eschhartz型估计。假设初始数据具有附加的角正则性，特别是径向初始数据，改进了可容许对的范围。作为应用，当初始数据为径向数据时，我们证明了具有平方反比势的半线性波动方程$\partial_t^2 u-Δu+\frac{a}{|x|^2}u=\pm|u|^{p-1}u$的整体适定性，其中幂函数$p$处于一定的区域.这个结果推广了Planchon，Stalker和Tahvildar-Zadeh的适定性结果。
Weighted estimates for powers and Smoothing estimates of Schrödinger operators with inverse-square potentials
设$\mathcal{L}_a$是一个薛定谔算子，其平方势为$a|x|^{-2}$上的平方反比.本文的主要目的是证明$\mathcal{L}_a$的分数阶幂的加权估计。该证明基于与$\mathcal{L}_a$相关的平方函数的加权Hardy不等式和加权不等式。作为应用，我们得到了关于传播子$e^{it\mathcal{L}_a}$的平滑估计.
Scattering in $H^1$ for the intercritical NLS with an inverse-square potential
研究了$3\leq d \leq 6$维中具有平方反比势的非线性薛定谔方程.我们认为在质量超临界和能量亚临界制度的聚焦和散焦非线性。在聚焦的情况下，我们证明了散射/爆破二分性低于基态。在散焦的情况下，我们证明散射在$H^1$的任意数据。
Modified scattering for inhomogeneous nonlinear Schrödinger equations with and without inverse-square potential
研究了具有临界长程非线性项的非齐次非线性薛定谔方程的终态问题。给定一个规定的渐近轮廓，它有一个对数相位校正相比，自由的发展，我们构造了一个唯一的整体解决方案，收敛到该轮廓。作为结果，修正的波算子的存在性局部小散射数据。我们还研究了径向对称下临界平方反比势的情形。特别地，我们构造了三维空间中具有临界平方反比势的长程非线性薛定谔方程在径向对称下的修正波算子.
Global-in-time smoothing effects for Schrödinger equations with inverse-square potentials
本文的目的是证明具有临界奇点势的薛定谔方程的整体时间光滑效应。容许电位的典型例子是具有$a>-(n-2)^2/4$的平方反比电位$a|x|^{-2}$。这特别对Bui-D 'Ancona-Duong-Li-Ly [4]提出的一个问题给出了肯定的回答。该证明采用了一个由Eschió-Vega-Zubeldia [1]证明的一致预解式估计和一个由Bouclet-Mizutani [3]证明的抽象扰动法。
Focusing NLS with inverse square potential
本文利用Dodson-Murphy [4]中的方法，在$d\geq3$维能量空间$H^1_a(\R^d)$中建立了具有平方反势$i\pa_tu-\la u=-|u|^{p-1}u$的聚焦非线性薛定谔方程的径向散射结果，将[10，11]中的结果推广到高维情况，但初始数据为径向.新的内容是建立径向函数的色散估计，克服了$a<0$时的弱色散估计。
Sobolev spaces adapted to the Schrödinger operator with inverse-square potential
研究了具有平方反比势$a|x|^{-2}$的薛定谔算子$\mathcal L_a$的$L^p$ -理论.我们的主要结果描述了当由算子$(\mathcal L_a)^{s/2}$定义的基于$L^p$的索伯列夫空间与由$(-Δ)^{s/2}$定义的索伯列夫空间一致时的情形.我们考虑所有的双$0<s<2$。为了使本文自成一体，我们还审查（与证明）乘数定理，Littlewood-Paley理论，并与运营商$\mathcal L_a$ Hardy型不等式。
Focusing nonlinear Hartree equation with inverse-square potential
本文利用\cite{Dodson2016}的方法，在能量空间$H^{1}(\mathbb{R}^d)$中研究了具有平方反比势的聚焦能亚临界Hartree方程径向解的散射理论.主要困难是方程是\emph{not}空间平移不变的，非线性是非局部的。使用径向Sobolev嵌入和维里-Morawetz型估计，我们可以排除原点附近的质量浓度。此外，利用\cite{zheng}建立的频散估计，可以克服$a<0$的弱频散估计.
Boundary controllability for a one-dimensional heat equation with a singular inverse-square potential
分析了具有奇异平方反比势的一维热传导方程$$ u_t-u_{xx}-\fracμ{x^2}u=0,\;\;\; (x,t)\in(0,1)\times(0,T).$$的能控性，证明了对于任意的$$ u_t-u_{xx}-\fracμ{x^2}u=0,\;\;\; (x,t)\in(0,1)\times(0,T).$$，通过边界控制$f\in H^1(0,T)$作用于奇点$x=0$，方程是零能控的.这个结果是由Fattorini和Russell利用矩量法得到的。
On instability of radial standing waves for the nonlinear Schrödinger equation with inverse-square potential
我们证明了具有平方反比势\[ i\partial_t u + Δu + c|x|^{-2} u = - |u|^α u, \quad (t,x)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d, \]的聚焦$L^2$ -超临界非线性薛定谔方程的径向基态驻波的强不稳定性，其中$d\geq 3$，$u: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{C}$，$c\ne 0$满足$c<λ(d):=\left(\frac{d-2}{2}\right)^2$和$\frac{4}{d} <α<\frac{4}{d-2}$ .这一结果推广了Bensouilah-Dinh-Zhu [{ \it On stability and instability of standing waves for the nonlinear薛定谔方程with inverse-square potential}，\url{arXiv:1805.01245} ]的最近结果，其中驻波的稳定性和不稳定性在$L^2$ -subcritical和$L^2$ -critical情况下得到了证明.
Soliton resolution for the energy critical wave equation with inverse-square potential in the radial case
本文建立了具有平方反比势的能量临界波方程在径向情形下的孤子解和在所有维$N\geq3$中的孤子解。径向线性算子$\mathcal{L}_a :=-Δ+\frac{a}{|x|^2}=A^*A$的结构对于能量通道是必不可少的，其中$A$是一阶微分算子，而$A^*$是它的伴随算子。在与$\mathcal{L}_a$相关的函数空间$\dot{H}^1_a(\Bbb R^N)\times L^2(\Bbb R^N)$中对多孤子进行调制和分析。
Scattering theory for subcritical wave equation with inverse square potential
本文研究具有反平方势的散焦能量次临界波动方程，通过能量通量法、特征线法及Morawetz估计，证明了径向有限能量解在光锥外散射到自由波，并建立了有限加权能量初始数据的散射理论。
The cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation with inverse-square potential
本文研究带反平方势的三维三次-五次非线性薛定谔方程，在质量-能量平面位力泛函为正的区域建立散射理论，结果与标准三次-五次NLS的已知散射结论相平行。
Blow-up for the 3D intercritical inhomogeneous NLS with inverse-square potential
本文针对质量超临界、能量次临界区域中带反平方势的聚焦非齐次三维非线性薛定谔方程，建立了临界空间中的局部适定性，并证明了径向及非径向解的标度不变Lebesgue范数爆破。
Diffractive Theorems for the Wave Equation with Inverse Square Potential
我们首先在二维欧几里得空间中建立了直接δ初始条件的波算子的基本解中衍射波前的存在性，该衍射波前是由球面拉普拉斯算子上的位势扰动引起的。这激发了一个结果，该结果限制了具有更一般势的波算子的奇点的奇性传播到精确地这些衍射前沿的高维欧几里得空间。这是证明使用微本地能量估计。
Note on the multiplicity of solutions for nonlinear scalar field equations with a critical inverse-square potential
本文研究了非线性标量场方程在临界反平方势下的解的乘积问题，证明了无限多个径向和非径向解的存在性。
Orbital Stability for the Schrödinger Operator Involving Inverse Square Potential
本文证明了临界薛定谔算子的轨道稳定驻波的存在性，其中涉及$\left(\frac{N-2}{2}\right)^2|x|^{-2}$形式的势。该方法是纯变分的，是基于任何最小化序列的预紧性相对于相关的能量。此外，我们讨论的情况下，存在的Hardy能量项，结合在奇点处的驻波的行为。
On inhomogeneous heat equation with inverse square potential
研究了具有平方反比势的非齐次热方程，即\[\partial_tu + \mathcal{L}_a u= \pm |\cdot|^{-b} |u|^αu,\]，其中$\mathcal{L}_a=-Δ+ a |x|^{-2}.$我们在Lebesgue空间中建立了与非齐次非线性$|\cdot|^{-b}$相关的$e^{-t\mathcal{L}_a}$的固定时间衰减估计.然后，我们在$L^q-$缩放临界和超临界制度和小数据的全球适定性临界Lebegue空间的局部理论。在初始值满足一定界的条件下，我们利用自相似解进一步研究了整体解的渐近性态。我们的证明方法受到Slimene-Tayachi-Weissler（2017）工作的启发，他们考虑了经典情况，即$a=0$。
Long time existence for semilinear wave equations with the inverse-square potential
本文研究了具有平方反比势的半线性波动方程。通过将原方程转化为分数维波动方程，并分析其基本解的性质，在充分小的球对称初值条件下，我们建立了一个长时间存在的结果.结合已知的爆破结果，我们确定了划分整体存在性和有限时间爆破的临界指数。除某些临界情况外，还得到了寿命的精确下界。此外，我们的技术使我们能够处理一个极端的情况下的潜力，这在文献中几乎没有讨论过。
On Schrödinger operators with multisingular inverse-square anisotropic potentials
研究了一类具有多个各向异性反平方奇点的Schroedinger算子的正性、结合局部化和本质自伴性，包括多个偶极势的情形.
Construction of type II blow-up solutions for the energy-critical wave equation with an inverse-square potential in dimension 3
该研究基于 Krieger-Schlag-Tataru 框架，通过近似解构造与线性化算子谱分析，建立三维带反平方势聚焦能量临界波动方程的有限时间 II 型爆破解。
Controllability of parabolic equations with inverse square infinite potential wells via global Carleman estimates
本文通过全局Carleman估计，首次在多维空间中解决了抛物方程在逆平方无限势阱中的可控性问题。
Minimal mass blow-up solutions for the $L^2$ critical NLS with inverse-square potential
研究了具有平方反比势的聚焦型$L^2$临界非线性薛定谔方程、\[ i\partial_t u + Δu + \frac{c}{|x|^2}u+|u|^{\frac{4}{N}}u = 0, \] with $N\geqslant 3$和$0<c<\frac{(N-2)^2}{4}$的最小质量爆破解.我们首先证明了一个尖锐的全球适定性的结果：所有$H^1$解决方案的质量（即$L^2$规范）严格低于基态是全球性的。注意，与自由空间中的方程不同，我们不知道在平方反比势的情况下基态是否唯一。然而，所有基态都有相同的最小质量。然后，我们构造和分类有限时间爆破解决方案在最小质量阈值。直到方程的对称性，每一个这样的解决方案是一个伪保角变换的基态解决方案。
Decay estimates for Schrödinger heat semigroup with inverse square potential in Lorentz spaces II
设$H:=-Δ+V$是$L^2({\bf R}^N)$上的非负薛定谔算子，其中$N\ge 2$和$V$是径向对称的平方反势.令$\|\nabla^αe^{-tH}\|_{(L^{p,σ}\to L^{q,θ})}$为从洛伦兹空间$L^{p,σ}({\bf R}^N)$到$L^{q,θ}({\bf R}^N)$的$\nabla^αe^{-tH}$的算子范数，其中$α\in\{0,1,2,\dots\}$。建立了$\|\nabla^αe^{-tH}\|_{(L^{p,σ}\to L^{q,θ})}$的上、下衰减估计，并研究了$\|\nabla^αe^{-tH}\|_{(L^{p,σ}\to L^{q,θ})}$的锐衰减估计.此外，我们还从$\|\nabla^αe^{-tH}\|_{(L^{p,σ}\to L^{q,θ})}$的衰变的角度刻画了Laplace算子$-Δ$。
Hot spots of solutions to the heat equation with inverse square potential
研究了具有位势$\partial_t u-Δu+V(|x|)u=0$的热方程Cauchy问题解的热点的大时间行为，其中$V=V(r)$以$r\to\infty$的形式二次衰减.本文在[K. Ishige和A. Mukai，预印本（arXiv：1709.00809）]中，我们对$u$的热点的大时间行为进行分类，并揭示了热点的行为与$-Δ+V$的调和函数之间的关系。
On stability and instability of standing waves for the nonlinear Schrödinger equation with inverse-square potential
考虑具有平方反比势\[ i\partial_t u + Δu + c|x|^{-2} u = - |u|^αu, \quad u(0) = u_0 \in H^1, \quad (t,x) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^d, \]的聚焦非线性薛定谔方程，其中$d \geq 3$，$c\ne 0$，$c<λ(d)=\left(\frac{d-2}{2}\right)^2$和$0<α\leq \frac{4}{d}$ .使用最近由第一作者\cite{Bensouilah}得到的剖面分解，我们表明，在$L^2$ -亚临界的情况下，即$0<α<\frac{4}{d}$，基态驻波的集合是轨道稳定的。在$L^2$临界情况下，即$α=\frac{4}{d}$，我们表明，基态驻波是强烈不稳定的爆破。
Scattering theory for 3d cubic inhomogeneous NLS with inverse square potential
本文研究了三维三次非均匀薛定谔方程组的散射理论，方程组为具有反平方势的$iu_t+Δu-\frac{a}{|x|^2}u=λ|x|^{-b}|u|^2u$，方程组为$a>-\frac14$和$0<b<1$.在散焦的情况下（即$λ=1$），我们建立了全球适定性和散射的任何初始数据在能量空间$H^1_a(\mathbb R^3)$。而对于聚焦情况（即$λ=-1$），我们通过利用Dodson-Murphy [Proc. Amer. Math. Soc.，145（2017），4859-4867.]和Campos-Cardoso [arXiv：2101.08770v1.]这避免了相互作用Morawetz估计的使用。
Damping Effects on Global Existence and Scattering for an Inhomogeneous NLS Equation with Inverse-Square Potential
本文研究带时间依赖阻尼项、逆平方势和非齐次非线性的 NLS 方程，利用 Strichartz 估计等工具在次临界及临界情形下建立能量空间整体适定性，并揭示大阻尼下各因素相互作用对动力学的影响。
Maximal estimates for Schroedinger equation with inverse-square potential
本文考虑了具有奇异位势的线性Schroedinger方程的一个初值问题解的最大估计。本文给出了这类特殊的变系数Schroedinger方程的解的逐点收敛性的一个结果，当$u_0\in H^{s}(\R^n)$为$s>1/2$或$u_0\in H^{s}(\R^n)$为$s\geq1/4$时，其解不收敛.
Mass concentration and characterization of finite time blow-up solutions for the nonlinear Schrödinger equation with inverse-square potential
本文考虑具有平方反比势$$ i \partial_t u +Δu + c|x|^{-2} u = -|u|^{\frac{4}{d}} u, \quad u(0) = u_0, \quad (t,x) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^d, $$的$L^2$ -临界NLS，其中$d\geq 3$和$c\ne 0$满足$c<λ(d) := \left(\frac{d-2}{2}\right)^2$ .利用精化紧性引理，将第一作者在[Bensouilah]中建立的吸引情形下有限时间爆破解的质量集中推广到$c<λ(d)$ .利用一个简单而简短的极限轮廓定理，我们得到了与Csobo和Genoud在[CsoboGenoud]中对$0<c<λ(d)$得到的相同的分类结果.它还使我们能够将分类扩展到$c<λ(d)$。
Threshold Scattering for the Energy-Critical NLS with a Repulsive Inverse Square Potential
研究能量临界NLS在有排斥反平方势下的阈值散射问题，证明在无势情况下基态确定的能量表面上，即使没有基态，低于动能阈值的解仍为全局且散射至零。
Decay estimates for Nonlinear Schrödinger equation with the inverse-square potential
针对带逆平方势的三维能量临界非线性薛定谔方程，建立解的一致正则性与Lorentz-Strichartz估计，并通过自举论证得到色散衰减估计。
Observability and unique continuation inequalities for the Schrödinger equations with inverse-square potentials
该研究将自由 Schrödinger 方程的能观性与唯一延拓不等式推广到半轴上的反平方势情形，并利用解表示、Hankel 变换不确定性原理及紧支集插值不等式完成证明。
On Schoedinger operators with multipolar inverse-square potentials
讨论了一类具有多极平方反势的Schroedinger算子的正性、本质自伴性和谱性质。特别是一个充要条件的质量奇点的存在，至少有一个配置的极点，确保相关的二次型的积极性建立。
Null controllability for a heat equation with a singular inverse-square potential involving the distance to the boundary function
研究了定义在有界$C^2$区域$Ω\subset\mathbb{R}^N$上的具有奇异位势的热方程$μ/δ^2$的控制性质，其中$δ$是到边界函数的距离.更准确地说，我们表明，对于任何$μ\leq 1/4$的系统是完全零可控的使用分布控制位于任何开放的$Ω$子集，而对于$μ>1/4$没有办法防止方程的解决方案爆破。该结果是应用一个新的Carleman估计得到的。
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