Counting Permutations that Avoid Many Patterns
Yonah Biers-Ariel, Haripriya Chakraborty, John Chiarelli, Bryan Ek, Andrew Lohr, Jinyoung Park, Justin Semonsen, Richard Voepel, Mingjia Yang, Anthony Zaleski, Doron Zeilberger
本文提出了一个关于排列模式避免的实验结果的集合，重点是有“许多”模式要避免的情况。
This paper presents a collection of experimental results regarding permutation pattern avoidance, focusing on cases where there are "many" patterns to be avoided.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Counting stabilized-interval-free permutations
在[n]={1，2，.，n}是一个不稳定的任何适当的子区间[n]。通过将任意置换分解为一列SIF置换，证明了SIF置换的母函数A（x）满足定义性质：[x^（n-1）] A（x）^n = n！.我们也给出了一个有效的递归计数SIF置换。
Counting permutations by their runs up and down
我们找到一个公式的排列数的$[n]$，正好有$s$运行向上和向下。该公式是一次终止，渐近，和准确的。
Counting occurences of 132 in a permutation
本文研究了n个字母上的置换数的母函数，其中$r\gs0$的个数恰好为132。它示出，找到这个功能为一个给定的r相当于一个例行检查的所有排列在$S_{2r}$。
Counting occurrences of 132 in an even permutation
我们研究的生成函数的偶数（或奇数）排列的n个字母包含正好$r\gs0$出现132。它示出，找到这个功能为一个给定的r相当于一个例行检查的所有排列在$S_{2r}$。
Counting pop-stacked permutations in polynomial time
在弹出堆栈操作符的图像中的排列被称为弹出堆栈。我们给出了一个多项式时间算法来计数pop-stacked排列到一个固定的长度，我们用它来计算相应的计数序列的前1000项。以前只计算了前16项。用这1000项证明了一些关于pop-stacked置换生成函数性质的否定结果。我们还预测了计数序列的渐近行为使用微分近似。
Counting Signed Vexillary Permutations
我们证明了避免1234的符号置换的数量等于避免2143的符号置换的数量（也称为vexillary符号置换），解决了Anderson和Fulton的一个猜想。我们使用的主要工具是West开发的生成树。最后还提到了许多进一步的方向。
Counting fixed-point-free Cayley permutations
通过双种类方法得到Cayley排列的函数有向图的微分方程，推导出无不动点Cayley排列的显式公式，并证明其比例趋于1/e，与排列和自映射一致。
Recurrence relations in counting the pattern 13-2 in flattened permutations
利用递归关系和核方法，证明了模式13-2的出现次数为给定次数的平坦排列数的母函数是有理数.
Counting crucial permutations with respect to monotone patterns
最近，Avgustinovich，Kitaev和Taranenko定义了五种类型的$(k, \ell)-$关键排列，它们是不包含长度为$k$的递增子序列或长度为$\ell$的递减子序列的最大排列。此外，Avgustinovich、Kitaev和Taranenko开始枚举最小长度和下一个最小长度的$(k, \ell)-$关键排列，以及五种$(k,\ell)-$关键排列中每一种的所有长度的$(k, 3)-$关键排列。在本文中，我们完成了Avgustinovich，Kitaev和Taranenko开始的枚举。
Counting genus one partitions and permutations
我们证明了M.叶指出，计数属一分区的数量，其元素和部分的产量，直到一个移动的指数，相同的数组的数字计数属一根超单极。我们的证明涉及代表每个属一个置换的四色不相交分区。对于不包含平凡循环的置换，可以以唯一的方式选择该表示。结论来自于一个一般的生成函数公式，该公式适用于任何一类在去除和重新插入平凡循环下闭合的置换。我们的方法还提供了一种新的方法来计算有根超单极的亏格1，并把聚光灯一类亏格1的置换，是不变的下一个明显的扩展的Kreweras对偶映射亏格1的置换。
A new refinement of Euler numbers on counting alternating permutations
在微积分和组合学的交叉点，正割数和正切数（欧拉数）的生成函数提供了交替排列的枚举。在这篇文章中，我们提出了欧拉数的一个新的改进，以回答Heneghan-Petersen证明的关于欧拉数的某些特定关系的组合问题，幂级数用于上下最小-最大排列，College Math. Journal，Vol.45，No.2（2014），83-91。
Counting Fixed-Length Permutation Patterns
我们考虑的问题包装固定长度的模式到一个排列，并开发之间的连接的大模式的数量和债券的数量排列。改进了Kaplansky和Wolfowitz的结果，得到了随机排列中大模式个数的期望和方差的精确值。最后，我们能够概括债券的想法，以获得任何大小的固定长度的模式的结果，并提出了一个建设，最大限度地提高了不同的大模式的数量。
Counting permutations by runs
在他的博士学位。在论文中，Ira Gessel证明了一个非交换对称函数的互易公式，该公式使人们能够计算单词和排列，并限制其增加运行的长度。我们推广Gessel定理，允许更广泛的各种限制，增加运行长度，并用它来完成枚举的排列奇偶校验限制的峰和谷，并给出一个系统的方法来获得生成函数的排列统计，可表示在增加运行。我们的方法也可以用来获得类似的结果交替运行排列。
Bijective counting of involutive Baxter permutations
我们根据不同的参数对射地列举了对合Baxter置换族，特别地，我们得到了一个初等的证明，证明了大小为$2n$且没有不动点的对合Baxter置换的个数是$\frac{3\cdot 2^{n-1}}{(n+1)(n+2)}\binom{2n}{n}$，这是M.使用生成函数的Bousquet-Mélou。相同的系数还枚举具有$n$边的平面映射，赋予具有唯一源的非循环取向，并且使得源和汇都入射到外面。
Counting King Permutations on the Cylinder
我们称一个置换$σ=[σ_1,\dots,σ_n] \in S_n$为{ \em柱面王置换}，如果对于每个$1\leq i \leq n-1$和$|σ_1-σ_n|>1$都有$ |σ_i-σ_{i+1}|>1$。我们给出了一些关于圆柱型国王排列的分布的结果，包括一些有趣的递归。我们还计算了它们在“王置换”集合中的渐近比例，即只满足上述两个条件中的第一个的置换。为此，我们定义了一个新的参数排列，即，{ \em环状债券}，这是一个修改的债券的数量。此外，我们提出了一些关于这个参数的分布结果。
On counting permutations by pairs of congruence classes of major index
对于一个固定的正整数n，设S_n表示n的对称群！在一个实施例中，将n个符号上的置换设为0，并且令maj（sigma）表示置换sigma的主索引。对于不大于n的正整数k<m和非负整数i和j，给出了Sn中maj（sigma）同余于i mod k和maj（sigma^（-1））同余于j mod m的置换集sigma的基数的计数公式.当m整除n-1，k整除n时，我们证明对于所有i，j，这个基数等于（n！）/（公里）。
Counting permutations by alternating descents
我们发现的指数母函数的置换与所有的山谷甚至和所有的高峰奇，并用它来确定其系数的渐近，回答了一个问题提出的利维乌尼古拉斯库。生成函数可以表示为涉及欧拉数的和的倒数。给出了该公式的两个证明。第一种方法使用一个微分方程系统。第二个证明得出的生成函数直接从一般置换枚举技术，使用非交换对称函数。生成函数是大卫和巴顿的生成函数的“交替”类似物，用于没有增加长度为3或更长的排列。我们的一般结果给出了置换计数公式的进一步交替类似物，包括Chebikin和Remmel的结果。
Counting up-up-or-down-down permutations
本文回答了Donald Knuth的问题，通过分析奇数长度上-上或下-下排列的最后一个元素，求出了其双变量指数生成函数，刻画了峰和谷均位于奇数位置的排列结构。
Counting pairs of cycles whose product is a permutation with restricted cycle lengths
本文研究乘积循环长度受限时 $N$-循环对的计数，给出精确与渐近公式，并据此证明与恒等排列块转置距离至少为 $(n+1)/2$ 的排列数量具有较高下界。
Counting Permutations in $S_{2n}$ and $S_{2n+1}$
本文针对Stanley提出的对称群中完全平方置换计数猜想，给出组合证明，并揭示两类对称群中含偶数个偶循环的置换的三类对应分类关系。
Inversion-descent enumerators of $\underline{32}1$-avoiding permutations
该研究针对避免$\boldsymbol{321}$ vincular模式的排列，推导了涉及逆序、降序的计数多项式递推关系与$q$-指数生成函数，并从受限增长单词角度提供了新解释。
Counting permutations avoiding two flat partially ordered patterns
研究同时避免两个平坦部分有序模式的排列计数问题，通过建立与k-斐波那契数的联系和双射方法，推导生成函数并扩展了单个平坦POPs的计数结果。
Counting alternating permutations with restricted prefix and suffix
该研究借助 Hasse 图与生成函数，枚举长度3、4的前缀或后缀满足模式及数值约束的交错排列，并处理前后缀同时受限情形。
Counting (3+1) - Avoiding permutations
一个偏序集是{ \it $(\3+\1)$ -free}的，如果它不包含同构于一个3元链和一个1元链的不交并的导出子集.这些偏序集是有趣的，因为它们与区间序的联系以及它们在Stanley和Stembridge的$(\3+\1)$ -free猜想中的出现。2维偏序集$P$恰好是具有相关置换$π$的偏序集，其中$P$中的$i\prec j$当且仅当$i<j$为整数，并且在$π$的单行符号中$i$位于$j$之前。所以我们说一个置换$π$是{ \it $(\3+\1)$ -free}或{ \it $(\3+\1)$ -avoiding}，如果它的偏序集是$(\3+\1)$ -free的。这相当于$π$在模式避免的语言中避免了排列2341和4123。我们给出了一个完整的结构表征这样的排列。这使我们能够找到它们的生成函数。
A recursive bijective approach to counting permutations containing 3-letter patterns
我们提出了一种方法，说明了几个例子，找到明确的计数排列包含一个给定的多集的三个字母的模式。该方法是递归的，取决于双射减少到一个较小的多集的情况下，并涉及到一个单独的情况下，根据模式重叠的考虑。具体地说，我们使用的方法（i）提供的博纳的公式{2n-3}选择{n-3}的数目的n-排列包含一个132模式和努南的公式3/n {2n}选择{n+3}的一个123模式的组合证明，（ii）表示的数目的n-排列包含正好k123模式的选票数k<=4，以及（iii）将恰好包含k个132个模式的避免123个n排列的数量表示为2的幂的线性组合，k<=4。结果加强了猜想，计数是代数的所有k。
Counting subwords in flattened permutations
本文研究了Callan最近在有限集划分研究中提出的降序、升序、123-子字、321-子字、峰和谷在扁平排列中的出现次数。对于下降和上升，我们利用核的方法，并获得一个明确的公式（在欧拉多项式）的分布在$\mathcal{S}_n$在平坦的意义。对于其他四种模式的问题，我们开发了一个统一的方法来获得明确的公式可比的分布。我们发现，对于123-和321-子字，所得到的公式可以用第二类切比雪夫多项式表示，而对于峰和谷，所得到的公式则更接近于欧拉多项式.我们还提供了一个双射，显示在一个给定的长度与大的下降在通常意义上的相同长度的排列的扁平排列的下降的均匀分布。
Counting occurrences of a pattern of type (1,2) or (2,1) in permutations
Babson和Steingr 'ımsson引入了广义排列模式，允许要求模式中的两个相邻字母在排列中必须相邻。Claesson提出了一个完整的解决方案的数量排列避免任何单一的模式类型$(1,2)$或$(2,1)$。对于这12种模式中的8种，答案由贝尔数给出。对于其余四个，答案由加泰罗尼亚数字给出。关于均匀分布，存在三种不同类型的$(1,2)$或$(2,1)$型图案。我们提出了一个递归的排列数包含正好一次出现的模式的第一或第二个上述类，我们也发现了一个普通的生成函数，这些数字。我们证明这些结果组合和分析。最后，我们给出了第三类模式的连分数分布，并给出了当$r\in\{1,2,3\}$为第三类模式时，包含该模式的$r$出现的排列数的显式公式.
Almost avoiding permutations
我们研究了几乎避免置换的概念：如果可以从$π$中移除单个条目以获得$β$ -避免置换，则$π$几乎避免$β$。
Counting permutations by alternating runs via Hetyei-Reiner trees
本文通过Hetyei-Reiner树作用，提出新的方法解释Bóna商多项式，并扩展到B和D类型排列，获得相关恒等式组合证明。
Consecutive patterns in circular permutations
在他们对循环模式包容性的研究中，Domagalski等人猜想了避免长度为3的连续模式的循环排列的生成函数的微分方程。本文证明并推广了这些定理。我们表明，对于每个连续模式$σ$开始于1，二元生成函数计数出现的$σ$在循环排列可以得到从生成函数计数出现的$σ$（线性）排列。这包括后一种生成函数已知的所有模式。
Permutations that strongly avoid 132
本文研究了避免132模式的排列，通过枚举证明了此类排列的增长率猜想为2。
The complexity of counting poset and permutation patterns
我们引入了一个概念的模式发生，推广了经典的置换模式以及偏序集包含。关于模式统计和避免的许多问题自然地推广到这种设置，我们专注于功能复杂性问题-特别是那些通过约束模式和文本偏序集的顺序维度而产生的问题。我们证明了2维偏序集的诱导内射计数是P-困难的，2维偏序集的实现子的线性扩张的计数可以在多项式时间内完成，而对于无约束维数的线性扩张的计数是GI-完全的，2维偏序集的诱导内射计数是P-困难的;计算一维文本中任意模式的内射或不一定内射出现是P-困难的，尽管如果模式偏序集被约束为具有有界的内在宽度，则它是FP中的;并且在任意文本中计算一维模式的单射出现次数是P困难的，而在有限维文本中计算单射出现次数是FP困难的。这个框架很容易导致一些开放的问题，其中主要是（1）是它#P-hard计数的数量出现的2维模式在1维文本，和（2）是它#P-hard计数的文本，避免了给定的模式的数量？
A Complete Enumeration of Ballot Permutations Avoiding Sets of Small Patterns
本文完全枚举了避免两个或三个长度为3模式的选票排列，建立了相应的递推关系与公式，并发现了避免132和312的选票排列与Dyck路径左因子间的双射，同时完成了相关的Wilf分类。
Subword counting and the incidence algebra
帕斯卡矩阵$P$是一个上对角矩阵，其元素是二项式系数。1993年，Call和Velleman证明了它满足一个美丽的关系式$P=\exp(H)$，其中$H$在其超对角线上有1、2、3等，在其他地方有0。我们将这个恒等式推广到关联代数$I(A^*)$和$I(\mathcal{S})$的功能字和排列，分别。在$I(A^*)$中，$P$和$H$的条目计数子字;在$I(\mathcal{S})$中，它们计数排列模式。受vincular排列模式的启发，我们定义了一个子字被一个辅助索引集$R$限制的含义;这个定义包含了因子和（分散的）子字。我们推导出一个定理的字对应的互惠定理的模式排列：直到符号，系数在马勒展开的功能计数子字限制的集合$R$是由一个功能计数子字限制的补集$R^c$。
Pattern avoiding permutations are context-sensitive
我们建立一个双射从所有的排列（给定长度），避免了模式$q$和上下文敏感的语言。
Permutations avoiding sets of patterns with long monotone subsequences
我们列举的排列，避免所有的$k$模式，但一个长度$k$开始的长度$k-1$单调递增的子序列。我们比较这样的置换类的大小，避免单调增加的子序列长度$k-1$的置换类的大小。
A new record for $1324$-avoiding permutations
改进现有的计数参数，我们提供了一个改进的上界的数量1324-避免给定长度的排列。
Counting descent pairs with prescribed colors in the colored permutation groups
本文在着色置换群Z_r \wr S_n上定义了新的统计量（c，d）-下降，并计算了这些统计量在群中元素上的分布.我们使用一些组合的方法，递归，和生成函数的操作，以获得我们的结果。
Alternating, pattern-avoiding permutations
研究了避免包含132个置换模式的交替置换的计数问题。我们在132-避免排列的集合S_n（132）和交替的132-避免排列的集合A_{2n + 1}（132）之间构造了一个双射。对于每个集合p_1，...，p_k的模式和某些相关模式q_1，.，q_k，我们的双射限制为S_n（132，p_1，...，p_k）、避免132和p_i的置换集合，以及A_{2n + 1}（132，q_1，.，q_k）、交替置换避免集合132和q_i.这将后一个集合的枚举减少为前一个集合的枚举。
Pattern avoiding permutations and involutions with a unique longest increasing subsequence
我们研究的置换和对合，避免了长度为3的模式，并有一个{ \em唯一}最长的增加子序列。
Pattern avoidance in permutations and their rotations
研究排列及其旋转中的模式避免问题，给出前\(k\geq2\)次旋转都避免给定长度为三的模式的排列数等精确公式，所研究的威尔夫等价类由补和反转决定，还对前两次旋转避免不同模式的排列进行分类枚举。
The enumeration of permutations avoiding 2143 and 4231
我们列举了模式类Av（2143，4231）并完整地描述了它的排列.主要工具是简单排列和单调网格类。
On the Best Upper Bound for Permutations Avoiding A Pattern of a Given Length
数值证据表明，某些长度为k的排列模式比任何其他相同长度的模式更容易避免。我们证明了这些模式可以通过不超过（2.25k^2）^n个长度为n的置换来避免。有鉴于此，我们推测，长度为k的模式不会被多于那么多的长度为n的排列所避免。
Flexible Schemes for Pattern-Avoiding Permutations
我们修改了Zeilberger和Vatter的枚举方案，使他们可以有效地枚举许多新的类的模式，避免置换，包括所有这样的类与一个定期插入编码。
Pattern-Avoiding Permutation Powers
最近，Bóna和Smith定义了强模式回避，称如果$π$和$π^2$都回避$τ$，则置换$π$强烈地回避模式$τ$。他们证明，对于每个正整数$k$，$S_{k^3}$中存在一个置换，它强烈地避免了$123\cdots (k+1)$。我们利用Robinson-Schensted-Knuth对应解决了这个猜想，证明了这种排列的个数至少为$k^{k^3/2+O(k^3/\log k)}$，至多为$k^{2k^3+O(k^3/\log k)}$ .我们列举了$3$阶的$231$ -避免置换，并进一步给出了两个关于强模式避免的计数结果.我们也考虑排列的权力都避免了一个模式$τ$。最后，我们研究了对称群的子群，其元素都避免某些模式。这导致了几个新的开放的问题连接的对称群的群结构与模式避免。
The Enumeration of Permutations Avoiding 3124 and 4312
我们找到了避免模式3124和4312的所有排列的类的生成函数，表明它是两个几何网格类的并集的膨胀。
Sorting Cayley permutations with pattern-avoiding machines
模式避免机最近介绍了Claesson，法拉利和当前的作者，以获得更好地理解经典的$2$ -stacksort问题。在本文中，我们通过允许重复元素的排列（也称为凯莱排列）来推广这些设备。主要的结果是这些模式的描述，使相应的一组可排序的排列是一个类。我们还显示了一个新的对合的凯莱置换集，通过将模式避免堆栈作为一个操作员。最后，我们分析了两个推广的弹出栈排序的凯莱置换。在这两种情况下，我们描述排序排列的模式避免。
Powers of permutations that avoid chains of patterns
本文推广强回避为链回避，枚举平方回避模式的单峰排列，并给出相关排列数量的下界，最后探讨更长链的回避。
Counting Permutations Modulo Pattern-Replacement Equivalences for Three-Letter Patterns
我们研究了$S_n$上的一个等价关系族，这个等价关系族是$n$字母上的一组排列，它是以类似于Knuth关系和遗忘关系的方式建立的。为了我们的目的，如果一个排列可以通过一系列模式替换从另一个排列到达，则两个排列在相同的等价类中，所述模式替换使用其顺序排列在$S_c$的预定分区的相同部分中的模式。当划分是$S_3$，并有一个非平凡的部分，该部分的大小是大于2，我们提供的公式中创建的类的数量在每个以前未解决的情况。当划分是$S_3$的，并且有两个非平凡部分，每个部分的大小为2（Knuth和遗忘关系也是如此）时，我们枚举$14$未解决情况的$13$的类。在其中两种情况下，出现了与克努特和被遗忘的关系所产生的枚举相同的枚举。这种现象的原因在很大程度上仍然是一个谜。
Pattern avoidance in circular permutations
循环排列{1，2，.，n}对应于以n结束的普通（线性）排列，并且避免了该模式的所有循环旋转。在循环排列中，三个字母的模式几乎是不可避免的，在这里我们给出了避免一个四个字母的模式的循环排列的数量的显式公式。在三种基本上不同的情况下，计数如下：斐波那契数F_{2n-3}用于模式1324，2^{n-1}-（n-1）用于1342，2^{n}+1-2n-{n}选择{3}用于1234。
Counting Permutations Where The Difference Between Entries Located $r$ Places Apart Can never be $s$ (For any given positive integers $r$ and $s$)
给定正整数$r$和$s$，我们使用包含-排除，加权计数的平铺，和动态规划，为了枚举，半有效地，在标题中提到的置换类。在这个过程中，我们重温了Enrique Navalante，Robert Tauraso，David Robbins（本文献给他们的记忆）和John Riordan的美丽的先前工作。我们还提出了两个新的证明约翰Riordan的复发（从1965年）的序列计数排列没有上升和下降的继承（$r = 1$，$s = 1$情况下的标题在绝对值的意义）。第一个是使用（连续的）Almkvist-Zeilberger算法完全自动化的，而第二个是通过优雅的组合参数纯人工生成的。我们继续提出一些开放性问题，并承诺向OEIS捐款，以纪念解决者。最后，我们以后记描述松尾林太郎的有趣想法作为结束，我们在第一个版本写好后才意识到这一点，并宣布其中一个挑战得到了解决。
Signed Countings of types B and D permutations and $t,q$-Euler Numbers
一个经典的结果是，如果$n$是奇数（分别是偶数），则长度为$n$的所有排列（分别是无序排列）的弱超越数的奇偶平衡是符号交替的欧拉数$E_n$。Josuat-Vergès得到了一个$q$ -模拟的结果尊重交叉数的排列。本文的目标之一是在Corteel，Josuat-Vergès和Kim得到的关于超数、交叉数和负元数的联合分布的基础上，将结果推广到B型和D型排列（分别为无序排列）.斯普林格数是类似的欧拉数，它计算B型交替排列，称为蛇形排列。Josuat-Vergès通过连续的$q$ -导数和在$t$中的多项式上乘以$t$导出二元多项式$Q_n(t,q)$和$R_n(t,q)$作为广义欧拉数。本文的另一个目的是给出$Q_n(t,q)$和$R_n(t,q)$作为带限制蛇的枚举数的组合解释。
Generating trees and pattern avoidance in alternating permutations
我们扩展了同一作者的早期工作，列举交替排列，避免排列模式2143。我们使用生成树的方法来构造长度为2n的交替排列的集合A_{2n}（2143）与形状为（n，n，n）的标准Young表之间以及长度为2n + 1的交替排列的集合A_{2n + 1}（2143）与形状为（n，n，n）的移位的标准Young表之间的递归双射（n + 2，n + 1，n）。我们还给出了一些关于交替排列及其推广中的模式回避的解释和公开问题。
Counting Parking Sequences and Parking Assortments Through Permutations
停车序列（停车功能的概括）通过指定汽车长度并要求汽车尝试在其首选项之后的第一个可用位置停车来定义。如果它不适合那里，然后发生碰撞，汽车无法停车。相比之下，停车场规划通过允许汽车（也是各种长度的汽车）从他们的偏好中向前寻找，以确定一组他们适合的连续未占用的停车位，从而概括了停车序列（和停车功能）。我们认为，停车序列和停车位，并建立一个固定的停车顺序$σ$的偏好的数量是相关的汽车的长度索引的某些约束$σ$。所有停车顺序上的这些数字的总和（即，$[n]$的排列）产生用于停车序列和停车调度的总数的新公式。
Permutations Containing and Avoiding 123 and 132 Patterns
证明了避免132-模式而恰好有一个123-模式的排列数等于（n-2）2^（n-3）。然后，我们给出了双射到一组排列，避免123-模式，只有一个132-模式。最后证明了包含一个123-模式和一个132-模式的排列的个数为（n-3）（n-4）2^（n-5）。
Permutations Which Avoid 1243 and 2143, Continued Fractions, and Chebyshev Polynomials
几位作者研究了避免132的排列、连分数和第二类切比雪夫多项式之间的联系。在本文中，我们证明了类似的一些结果的置换，避免1243和2143。使用开发的工具来证明这些类似物，我们给出枚举和生成函数的排列，避免1243，2143，和某些额外的模式。我们还给出了生成函数的排列，避免1243和2143，并包含某些额外的模式正好一次。在所有情况下，我们用第二类切比雪夫多项式表示这些生成函数。
Applying the Cluster Method to Count Occurrences of Generalized Permutation Patterns
我们应用聚类方法的思想，根据巴布森和Steingrimsson定义的某些广义模式的出现次数，对多集的排列进行q计数。特别是，我们认为这些模式与三个字母和一个内部破折号，以及排列统计组成的计数的出现次数的多个这样的模式。计数是通过递归来完成的，这在置换的情况下是简化的。本文还提供了一系列实现这些递归的Maple过程。
Combinatorics of simple marked mesh patterns in 132-avoiding permutations
我们提出了一些组合的解释系数出现在一系列分区的排列，避免132沿标记的网格模式。我们确定的模式，其中只有一个参数是非零的组合家庭双射与132-避免排列，并保留统计计数的标记网格模式。
On permutations avoiding the dashed patterns 32-41 and 41-32
我们证明了避免虚线模式32-41和41-32的大小为$n$的排列与大小为$n+1$的不可分解集合划分是等数的，并推导出一个相关的结果。
Distributions of Statistics over Pattern-Avoiding Permutations
我们考虑分布的上升，下降，高峰，低谷，双上升，双下降排列避免一组模式。这些统计量中的许多已经在避免长度为3的单个模式的排列集合上进行了研究。然而，超过321-避免排列的峰的分布是新的，我们将其统计Dyck路径。我们还获得了一些著名的组合序列的新的解释，通过研究这些统计的排列，避免两个模式的长度为3。
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