The weighted 2-metric dimension of trees in the non-landmarks model
设T=（V，E）是一个树图，其顶点具有非负权.顶点z称为u和v的分离顶点，如果z到u和v的距离不相等。顶点集L \subseteq V是非地标模型（NL）的可行解，如果对于每对不同的顶点u，v \in V \setminus L，存在L的至少两个顶点将它们分开。这种可行的解决方案被称为“界标集”。我们分析了树的地标集的结构，并设计了一个线性时间算法，为给定的树图找到一个最小成本的地标集。
2015-01-21 cs.DS
Connected searching of weighted trees
本文研究了加权树的连通边搜索问题。本文证明了对于边和顶点具有任意权值的有界度树，存在一个多项式时间算法来寻找最优连通搜索策略。对于一般的结点加权树（每条边的权为1），该问题是NP完全的。
2010-01-25 cs.DM cs.DS
An LMP O(log n)-Approximation Algorithm for Node Weighted Prize Collecting Steiner Tree
在节点加权奖励收集Steiner树问题（NW-PCST）中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，每个$v \in V$的非负代价$c(v)$和惩罚$π(v)$.目标是找到一棵树$T$，该树使$T$跨越的顶点的总成本加上不在$T$中的顶点的总惩罚最小化。这个问题是众所周知的集合覆盖难以近似。Moss和Rabani（STOC'01）提出了一种求解该问题的保原-对偶拉格朗日乘子的$O(\ln |V|)$ -近似算法。我们展示了一个严重的问题，该算法，并提出了一个新的，根本不同的原始对偶方法实现相同的性能保证。我们的算法引入了几个新的功能的原始-对偶方法，可能是独立的利益。
2013-04-10 cs.DS
A Better-Than-2 Approximation for Weighted Tree Augmentation
提出了一种带逼近因子$1+\ln 2 + \varepsilon < 1.7$的加权树近似算法。这是第一个击败长期存在的$2$因素的算法，它可以通过许多标准技术实现。
2021-04-14 cs.DS math.OC
Parameterized Algorithms for Red-Blue Weighted Vertex Cover on Trees
\textproc{Weighted Vertex Cover}是一个被广泛研究的NP完全问题\textproc{Vertex Cover}的一个变体，在这个问题中我们给出了一个图$G = (V,E,w)$，其中函数$w:V \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$和参数$k$。目标是确定是否存在顶点覆盖$S$，使得$\sum_{v \in S}w(v) \leq k$。在我们的工作中，我们首先研究了\textproc{Weighted Vertex Cover}的硬度，然后研究这个问题下的参数化$l$和$k$，其中$l$是分数权重的顶点数。然后，我们详细研究了树上的\textproc{Red-Blue Weighted Vertex Cover}问题。在这个问题中，我们给出一棵树$T=(V,E,w)$，其中函数$w:V \rightarrow \mathbb{Q}^{+}$，函数$c:V \rightarrow \{R,B\}$和两个参数$k$和$k_R$。我们必须确定是否存在顶点覆盖$S$，例如$\sum_{v \in S}w(v) \leq k$和$\sum_{\substack{v \in S\\ c(v) = R}}w(v) \leq k_R$。我们解决这个问题，通过应用不同的减少技术和有意义的参数化。我们还研究了这个问题的一些限制性版本。
2020-03-24 cs.DS
On Small-Depth Tree Augmentations
本文研究了一般链路费用的加权树扩充问题。我们表明，$k$级树实例的（加权）树扩充问题的ODD-LP松弛的完整性间隙至多为$2 - \frac{1}{2^{k-1}}$。对于2层和3层树，这些比率分别是$\frac32$和$\frac74$。我们的证明是建设性的，并产生多项式时间的近似算法与匹配的保证。
2021-10-30 cs.DS
Coloring Down: $3/2$-approximation for special cases of the weighted tree augmentation problem
在本文中，我们研究的加权树扩充问题（TAP），其目标是增加一棵树的最小成本集的边缘，使图成为两个边缘连接。首先，我们表明，在加权TAP，我们可以限制我们的注意力，这是二进制的树和所有的非树边缘之间的两个树叶。然后，我们给出了两个不同的自顶向下着色算法。这两种算法都不同于用于未加权TAP中的3/2近似的已知技术和当前试图达到加权TAP的3/2近似的技术。我们描述的第一个算法总是给出一个2-近似的任何可行的分数的解决方案的自然边缘覆盖LP。当分数阶解使得所有非零权值的边至少为$α$时，该算法实现了$2/(1+α)$ -近似。我们提出了一个新的猜想的极端点的LP松弛的问题，如果是真的，将导致建设性的证明的完整性差距最多3/2加权TAP。在第二个算法中，我们引入简单的有效约束的边缘覆盖LP。在该算法中，我们专注于缺陷边缘，边缘覆盖的程度小于4/3的分数的解决方案。我们表明，分数可行的解决方案，缺乏边缘发生在节点不相交路径的树。当这类路的个数至多为2时，我们给出了一个自顶向下的着色算法，该算法将3/2倍的分数阶解分解为整数阶解的凸组合。我们相信，我们的算法将是有用的，最终解决的完整性差距的线性规划制定TAP。我们还调查了TAP的一个变种，在解决方案中的每个边缘必须由一个周期的长度为3。在加权情形下给出了该问题的一个$Θ(\log n)$ -近似算法，在非加权情形下给出了一个4-近似算法.
2017-07-17 cs.DS
Generation of weighted trees, block trees and block graphs
本文提出一个通用框架，通过推广质心概念和质心根规范加权树生成带颜色和权重的树，并实现线性输出延迟枚举，成功应用于生成与连通块图一一对应的加权块树。
2024-01-18 cs.DM cs.DS
Approximation algorithms for the vertex-weighted grade-of-service Steiner tree problem
给定图$G = (V,E)$和终端的子集$T \subseteq V$，$G$的\emph{Steiner tree}是跨越$T$的树。在顶点加权Steiner树（VST）问题中，每个顶点都被赋予一个非负的权值，目标是计算$G$的最小权Steiner树。我们研究由多级图构造激发的VST问题的自然推广，\emph{vertex-weighted grade-of-service Steiner tree problem}（V-GSST），其可以表述如下：给定图$G$和终端$T$，其中每个终端$v \in T$需要最小服务等级$R(v)\in \{1,2,\ldots\ell\}$的设施，通过在顶点子集上安装设施来计算Steiner树$G'$，使得需要特定服务等级的任何两个顶点通过$G'$中具有最小服务等级或更好服务等级的路径连接。高等级的设施比低等级的设施更昂贵。像这样的多级变量在网络设计问题中可能很有用，其中顶点可能需要不同优先级的设施。虽然类似的问题已经在边加权的情况下进行了研究，但在更一般的顶点加权的情况下也没有进行研究。我们首先描述了一个简单的启发式的V-GSST问题，其近似比取决于$\ell$，服务等级的数量。然后，我们推广的贪婪算法[Klein \& Ravi，1995]，以表明V-GSST问题承认一个$(2 \ln |T|)$ -近似，其中$T$是一组终端需要一些设施。…
2019-05-03 cs.DS
Tight Bounds for Online Weighted Tree Augmentation
加权树扩充问题（WTAP）是网络设计中的一个基本问题。在本文中，我们考虑这个问题的在线设置。我们给出了一个$n$ -顶点生成树$T$和一个附加的边集$L$（称为链路）的成本。然后，终端对一个接一个地到达，我们的任务是维护链路$F$的低成本子集，使得到目前为止到达的每个终端对在$T \cup F$中是$2$ -边缘连接的。这个在线问题首先由Gupta，Krishnaswamy和Ravi（SICOMP 2012）研究，他们将其用作在线可生存网络设计问题的子例程。他们给出了一个确定性的$O(\log^2 n)$ -竞争算法，并给出了随机算法竞争比的$Ω(\log n)$下界。当$T$是一条路径时的情况也很有趣：这正是在线区间集覆盖问题，这也是Meyerson研究的停车许可问题的一个特例（FOCS 2005）。本文的贡献是给紧的结果在线加权树和路径扩充问题。这项工作的主要结果是一个确定性的$O(\log n)$竞争算法在线WTAP，这是紧到常数的因素。
2019-04-26 cs.DS
Flow-weighted Layered Metric Euclidean Capacitated Steiner Tree Problem
本文提出流加权分层度量欧几里得容量约束斯坦纳树问题，证明其 NP 难近似性，并在受限条件下给出多项式时间近似动态规划，扩展至凸多边形源点情形。
2025-08-27 cs.DS
Computing a tree having a small vertex cover
我们考虑一个新的Steiner树问题，称为顶点覆盖加权Steiner树问题。该问题定义Steiner树的权为树中顶点覆盖的最小权，并在给定的顶点加权无向图中寻找最小权Steiner树。由于它包含在Steiner树激活问题中，因此在一般的n阶图中，该问题的近似算法为O（log n）-近似算法.这个近似因子是紧到一个常数，因为它是NP-困难的实现一个o（log n）-近似的顶点覆盖加权Steiner树问题的一般图，即使给定的顶点权重是均匀的，需要一个生成树，而不是一个Steiner树。在本文中，我们提出了常数因子的近似算法的问题与单位圆盘图和图不包括一个固定的子。对于后一类图，我们的算法也可以应用于Steiner树激活问题。
2018-08-07 cs.DS
Weighted dynamic finger in binary search trees
它示出的在线二叉搜索树数据结构GreedyASS执行渐近以及在一个足够长的搜索序列的任何静态二叉搜索树，其中每个搜索开始从以前的搜索（而不是根）。已知该界限等同于为搜索树中的每个项目$i$分配正权重$w_i$，并且通过分摊的$$O\left(1+ \log \frac{\displaystyle \sum_{\min(s_{i-1},s_i) \leq x \leq \max(s_{i-1},s_i)}w_x}{\displaystyle \min(w_{s_i},w_{s_{i-1}})} \right)$$来限制搜索序列$s_1,\ldots,s_m$中的项目的搜索成本。这个结果是二叉搜索树要证明的最强的指型界。通过将权重设置为相等，可以观察到我们的界限意味着动态手指界限。与以前的证明相比，我们的结果显着更短，更强，更简单，并具有合理的常数。
2018-10-03 cs.DS
Weighted Edit Distance Computation: Strings, Trees and Dyck
给定两个长度为$n$/字母表$Σ$的字符串，以及它们的编辑距离的上界$k$，Myers（Mystica '86）和Landau和Vishkin（JCSS'88）的算法在$\mathcal{O}(n+k^2)$时间内计算未加权的字符串编辑距离。到目前为止，它仍然是精确编辑距离计算的最快算法，并且在强指数假设（STOC'15）下是最优的。多年来，这一结果激发了许多发展，包括字符串编辑距离的快速近似算法以及类似的$\tilde{\mathcal{O}}(n+$聚$(k))$ -时间算法，用于推广到树和Dyck编辑距离。令人惊讶的是，所有这些结果只适用于未加权的情况。虽然未加权的编辑距离在理论上是基本的，但几乎所有现实世界的应用都需要加权的编辑距离，其中不同的权重被分配给不同的编辑操作，并且可能随正在编辑的字符而变化。给定权重函数$w: Σ\cup \{\varepsilon \}\times Σ\cup \{\varepsilon \} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$（使得对于具有$a\ne b$的所有$a,b\in Σ\cup \{\varepsilon\}$的$w(a,a)=0$和$w(a,b)\ge 1$），目标是找到使编辑的总权重最小化的比对。除了普通的$\mathcal{O}(n^2)$ -时间动态编程算法及其几乎微不足道的$\mathcal{O…
2023-02-08 cs.DS
On weighted depths in random binary search trees
继模型介绍了Aguech，Lasmar和马哈茂德[Probab。工程通知。Sci. 21（2007）133-141]，标记的有根树中的节点的加权深度是连接节点到根的路径上的所有标记的总和。我们分析了加权深度的节点与给定的标签，最后插入的节点，节点排序访问的深度优先搜索过程中，加权路径长度和加权维纳指数在一个随机二叉搜索树。我们建立三个政权的节点取决于他们的加权深度的二阶行为是否遵循从波动的路径上的键，节点的深度，或两者兼而有之。最后，我们研究了单位区间上的广义过程函数，该函数作为至多有一个子节点的加权深度的标度极限。
2017-07-01 cs.DS math.PR
Maximizing the Weighted Number of Spanning Trees: Near-$t$-Optimal Graphs
设计良好连接的图是一个基本问题，经常出现在科学和工程的各种背景下。作为连通性度量的加权生成树数出现在许多问题中，并在以下方面发挥关键作用，例如，随机边失效下的网络可靠性，网络上的估计和D-最优试验设计。本文讨论了在各种约束条件下，设计具有最大权生成树数的图的开放问题。我们揭示了几个新的结构，如对数子模块的连接图的加权生成树的数量。然后，我们利用这些结构和设计一对高效的近似算法的性能保证和近最优证书。我们的结果可以很容易地应用到广泛的应用程序，涉及图合成和图稀疏化的情况。
2016-04-12 cs.DS cs.SI
Hyper-Minimization for Deterministic Weighted Tree Automata
超最小化是一种允许语义有限变化的状态约简技术。给出了确定性加权树自动机的超极小化理论。与未加权的情况相比，加权的存在使情况稍微复杂化。此外，第一超最小化算法的确定性加权树自动机，加权交换半域，提供了一些实施意见，使一个有效的实施。实际上，得到了与未加权情况相同的运行时O（mlog n），其中m是确定性加权树自动机的大小，n是其状态数。
2014-05-22 cs.CC cs.DS cs.FL
Partitioning algorithms for weighted trees and cactus graphs
本文考虑了加权树和仙人掌图的不同约束划分问题。我们专注于（l，u）-划分问题，这是一个加权图划分成连接的集群，使每个集群满足的下限和上限的重量限制l和u的问题。划分成最小、最大或固定数量的簇通常是NP难的，但在树上是多项式时间可解的。我们证明了这三个变种的（l，u）-分区问题可以解决仙人掌图，以及通过提出一个多项式时间算法。此外，我们提出了一个有效的方法来计算相应的分区。对于其他优化目标或附加约束，划分问题在树上变得NP-难-甚至对于等于零的较低权重界限。我们表明，我们的方法可以作为一个算法框架来解决其他分区问题的加权树和仙人掌图的伪多项式运行时。
2022-03-02 cs.CG cs.DS
Optimization of the directed spanning trees using the weighted matroid intersection algorithm
研究给定样本树权重等变化时更新有向最小生成树的问题，核心方法是用加权拟阵交算法，通过维护动态辅助图实现迭代更新，贡献是给出算法实现及实验分析。
2026-07-29 cs.DS math.CO
Computing Minimum Cycle Bases in Weighted Partial 2-Trees in Linear Time
本文提出了一种线性时间算法，用于计算加权部分2-树中最小循环基（MCB）的隐式线性空间表示，即，树宽为2的图。隐式表示可以在与MCB的大小成比例的运行时间中显式化。我们的算法改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen [Min $st$ -cut Oracle for Planar Graphs with Near-Linear Preprocessing Time，FOCS 2010]的结果--它为所有平面图计算了MCB在$O(n \log^5 n)$时间上的隐式$O(n \log n)$空间表示--对于部分2-树的特殊情况，通过polylog因子。这种改进以前仅针对外平面图实现[Liu和Lu：Minimum Cycle Bases of Weighted Outerplanar Graphs，IPL 110：970- 974，2010]。
2014-01-10 cs.DM cs.DS
Minimum weight spanning trees of weighted scale free networks
在本讲座中，我们将考虑最小权重生成树（MST）问题，即，最简单且最重要的组合优化问题之一。我们将讨论一个特殊的贪心算法，允许计算无向加权图的MST，即Kruskal算法，我们将研究加权无标度随机图的MST的结构。这意味着澄清MST的结构是否对底层无标度图的边权重和拓扑之间的相关性敏感。
2012-09-20 cs.DS physics.comp-ph
Weighted proper orientations of trees and graphs of bounded treewidth
给定一个简单的图$G$，一个权函数$w:E(G)\rightarrow \mathbb{N} \setminus \{0\}$，和一个$G$的方向$D$，我们定义$μ^-(D) = \max_{v \in V(G)} w_D^-(v)$，其中$w^-_D(v) = \sum_{u\in N_D^{-}(v)}w(uv)$。当$u$和$v$相邻时，如果$w^-_D(u) \neq w^-_D(v)$是$G$的加权真方位，我们称$D$是$G$的加权真方位.我们引入参数加权适当的取向数$G$，表示为$\overrightarrowχ(G,w)$，这是最小的，在所有加权适当的取向$G$ $D$，$μ^-(D)$。当所有的权重都等于1时，这个参数等于$G$的真方向数，这是最近研究的对象，其确定一般是NP困难的，但在树上是多项式时间可解的。这里，我们证明了加权适当定向数（即，$\overrightarrowχ(G,w) \leq k$？）是（弱）NP-完全的树，但可以解决的伪多项式时间算法的运行时间依赖于$k$。此外，我们提出了一个动态规划算法，以确定是否一个一般图$G$上$n$顶点和树宽最多${\sf tw}$满足$\overrightarrowχ(G,w) \leq k$，运行在时间$O(2^{{\sf tw}^2}\cdot k^{3{\sf tw}}\cdot {\sf tw} \cd…
2018-04-11 cs.CC cs.DS
Local Search for Weighted Tree Augmentation and Steiner Tree
我们提出了一种技术，允许改善一些相对贪婪的程序精心挑选（非遗忘）的局部搜索算法。相对贪婪过程是一种特殊类型的贪心算法，它从一个简单但较弱的解开始，并迭代地用较强的分量替换该初始解的一部分。相对贪心算法的一些著名应用包括Steiner树的近似算法，以及最近的连通性增强问题。我们的技术的主要应用导致$(1.5+ε)$ -近似加权树增强，改进最近的相对贪婪的方法与近似因子$1+\ln 2 + ε\approx 1.69$。此外，我们展示了如何我们的本地搜索技术可以应用到斯坦纳树，导致另一种方法来获得目前最知名的近似因子的$\ln 4 + ε$。与以前的方法相反，我们的方法是纯粹的组合，而不需要解决LP。尽管如此，解决方案的价值仍然可以在著名的hypergraphic LP方面的限制，导致一个替代的，可以说是更简单的，技术来限制其完整性差距的$\ln 4$。
2021-07-15 cs.DS math.OC
Weighted and locally bounded list-colorings in split graphs, cographs, and partial k-trees
对于一个固定数量的颜色，我们表明，在节点加权分裂图，cographs，和有界树宽的图，可以确定在多项式时间是否一个适当的列表着色图的顶点，使每种颜色的顶点的总重量等于一个给定的值，在每个部分的一个固定的分区的顶点存在。我们还表明，这一结果在某种意义上是紧的，通过提供硬度的情况下，任何一个假设不成立的结果。还研究了边着色变体，以及上图和分裂图的特殊情况。
2017-09-23 cs.DM cs.DS
The Restricted Inverse Optimal Value Problem under Weighted Bottle-neck Hamming distance on trees
本文研究树上加权瓶颈汉明距离下的受限逆最优值问题，提出$O(n\log n)$时间算法，并进一步解决去除路径长度约束后的最小成本最短路径阻断问题，实验验证了算法的高效性。
2025-01-03 cs.DS math.OC
Sampling Tree-Weighted Partitions Without Sampling Trees
Claremont McKenna College（克莱蒙特麦肯纳学院）；Yale University（耶鲁大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文提出一种新的算法，用于大规模平面图的树加权划分采样，无需先采样树。算法在平面图上具有线性时间复杂度，优于现有方法。
2026-05-07 cs.DM cs.DS math.CO
The Sparsest Additive Spanner via Multiple Weighted BFS Trees
生成器是基本的图结构，它以较小的拉伸为代价使图稀疏化。特别是近年来，许多构造可加全对子图的顺序算法被设计出来，提供了非常稀疏的小拉伸子图。值得注意的是，然后证明了已知的（+6）-稀疏结构本质上是稀疏可能的，也就是说，更大的加法拉伸不能保证更稀疏的稀疏，这使得拉伸-稀疏性权衡达到了极限。分布的空间结构也很丰富。然而，对于加性空间，虽然有算法构造（+2）和（+4）-所有对空间，但（+6）-空间的稀疏情况仍然难以捉摸。我们通过设计一个新的顺序算法来弥补这一点，该算法用于构造具有大致O（n^{4/3}）条边的本质最优稀疏度的（+6）-图。然后，我们展示了我们算法的分布式实现，回答了[Censor-Hillel et al.，DISC 2016]。在我们的分布式算法的一个主要成分是一个有效的多个加权BFS树的建设。加权BFS树是加权图中的BFS树，它由从根到每个节点的所有最短路径中最轻的路径组成。提出了一种在CONGEST模型下的分布式算法，该算法在|S| +D-1轮中构造多个加权BFS树，其中S是源集，D是网络图的直径。
2020-06-02 cs.DC cs.DS
DPMC: Weighted Model Counting by Dynamic Programming on Project-Join Trees
Rice University（莱斯大学）
我们提出了一个统一的动态规划框架来计算精确的文字加权模型计数的公式合取范式。在我们的框架的中心是项目连接树，它指定了有效的项目连接顺序，以应用加法投影（变量消除）和连接（子句乘法）。在这个框架中，模型计数分两个阶段进行。首先，计划阶段从公式构造项目连接树。第二，执行阶段计算公式的模型计数，采用由项目连接树引导的动态规划。我们经验评估规划阶段的各种方法，并比较约束满意度算法与树分解工具。我们还调查了不同的数据结构的执行阶段的性能和比较代数决策图与张量。我们表明，我们的动态编程模型计数框架DPMC是最先进的精确加权模型计数器cachet，c2d，d4和miniC2D的竞争力。
2020-08-20 cs.AI cs.DS cs.LO
Fast approximation of search trees on trees with centroid trees
树上搜索树（STT）推广了基本的二叉搜索树（BST）数据结构：在STT中，底层搜索空间是一棵任意树，而在BST中，它是一条路径。对于给定的查询分布，可以在$O(n^2)$时间内计算出大小为$n$的最佳BST [Knuth 1971]，而质心BST提供了一个近似最佳的替代方案，可以在$O(n)$时间内计算[Mehlhorn 1977]。相比之下，已知最佳STT在多项式时间内不可计算，最快常数近似算法在$O(n^3)$时间内运行[Berendsohn，Kozma 2022]。类似于BST，可以为STT定义质心树，并且它们已被广泛用于算法应用中。在未加权的情况下（即，对于查询的均匀分布），可以在$O(n)$时间内计算质心树[Brodal et al. 2001; Della Giustina et al. 2019]。然而，这些算法不容易扩展到加权的情况。此外，没有近似保证以前已知的质心树在未加权或加权的情况下。在本文中，我们重温质心树一般，加权设置，我们解决了算法的复杂性，构建它们，和他们的近似质量。为了构造加权质心树，我们给出了一个输出敏感的$O(n\log h)\subseteq O(n\log n)$时间算法，其中$h$是生成的质心树的高度。如果权重具有多项式复杂度，则运行时间为$O(n\log\log n)$。我们表明，这些界限是最佳的，在一般的决策树模型的计算。近似，我们证明…
2022-09-16 cs.DS math.CO
Parameterized Complexity of Weighted Multicut in Trees
边多割问题是经典的割问题，其中给定无向图$G$、顶点对集合$\mathcal{P}$和预算$k$，目标是确定是否存在至多$k$边的集合$S$，使得对于每个$(s,t) \in \mathcal{P}$，$G-S$没有从$s$到$t$的路径。边缘多切最近被证明是固定参数易处理的（FPT），由$k$、Marx和Razgon [SICOMP 2014]以及Bousquet等人[SICOMP 2018]独立参数化。在问题的加权版本中，称为加权边缘多切，另外给出权重函数$\mathtt{wt} : E(G) \to \mathbb{N}$和权重界限$w$，目标是确定是否存在大小至多为$k$且权重至多为$w$的解。Marx等人和Bousquet等人的边缘多切FPT算法都不能推广到加权设置。事实上，加权问题即使在树上也是不平凡的，并且确定树上的加权边多割是否是FPT被Bousquet等人明确提出为开放问题。[STACS 2009]。在这篇文章中，我们通过设计一种算法来积极回答这个问题，该算法使用Kim等人[STOC 2022]关于定向流增强的最新结果作为子程序。我们还研究了这个问题的一个变体，其中没有约束的解决方案的大小，但参数是输入的结构属性，例如，树的叶子的数量。我们加强我们的结果，说明他们更一般的顶点删除版本。
2022-05-20 cs.CC cs.DS
