A note on Johnson, Minkoff and Phillips' algorithm for the Prize-Collecting Steiner Tree Problem
原始-对偶格式已被用来为许多问题提供近似算法。Goemans和Williamson给出了一个（2-1/（n-1））-近似的奖金收集Steiner树问题，运行时间为O（n^3 log n）。它对图的N个顶点中的每一个应用原始-对偶方案一次。Johnson、Minkoff和Phillips提出了一个更快的Goemans和Williamson算法的实现。我们给出了一个证明，这种实现的近似比正好是2。
2010-06-18 cs.DM cs.DS
A 2-approximation for the $k$-prize-collecting Steiner tree problem
我们考虑了$k$获奖施泰纳树问题。一个实例由一个整数$k$和一个图$G$组成，图的边有代价，顶点有惩罚。我们的目标是找到一棵树，它至少有$k$顶点，使树中的边的代价加上不在树中的顶点的代价最小。这是一个最基本的网络设计问题，是一个共同的推广奖收集斯坦纳树和$k$ -最小生成树问题。我们的主要结果是一个2-近似算法，它提高了目前最好的近似因子3.96，并具有更快的运行时间。该算法建立在修改的原始对偶框架的Goemans和Williamson，并揭示了有趣的属性，可以应用到其他类似的问题。
2019-11-20 cs.CC cs.DS
Prize-collecting Network Design on Planar Graphs
在本文中，我们减少奖励收集Steiner TSP（PCTSP），奖励收集漫步（PCS），奖励收集Steiner树（PCST），奖励收集Steiner森林（PCSF）和更一般的子模块奖励收集Steiner森林（SPCSF）在平面图（和更一般的有界亏格图）上相同的问题有界树宽的图。更确切地说，我们显示任何$α$ -近似算法，这些问题的有界树宽图给出了一个$(α+ ε)$ -近似算法，这些问题的平面图（更一般的有界属图），任何常数$ε> 0$。由于PCS，PCTSP和PCST可以解决图的有界树宽使用动态规划，我们得到PTAS这些问题的平面图和有界亏格图。相比之下，我们表明PCSF是APX-难以近似串并联图，这是平面图的树宽最多为2。这个结果本身就很有趣，因为它给出了第一个可证明的奖品收集和非奖品收集（常规）版本的问题之间的硬度分离：常规斯坦纳森林已知是多项式可解的串并行图，并承认有界树宽图的PTAS。对于欧几里德PCSF，可以显示类似的硬度结果。这结束了普遍认为，奖金收集变种不应该增加任何新的困难的问题。
2010-06-22 cs.DM cs.DS
Approximation algorithms for Node-weighted Steiner Problems: Digraphs with Additive Prizes and Graphs with Submodular Prizes
在\emph{budgeted rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个图$G$与$n$节点，一个预定义的节点$r$，两个权重与每个节点建模成本和奖励。目的是在$G$中找到一棵以$r$为根的树，使得其节点的总成本至多是给定的预算$B$，并且总奖金最大化。在\emph{quota rooted node-weighted Steiner tree}问题中，我们给出了一个实值配额$Q$，而不是预算，我们的目标是最小化成本的树扎根于$r$的总奖金至少是$Q$。对于有向图的情况下，添加剂奖励功能，我们开发了一种技术，诉诸于一个标准的基于流的线性规划松弛计算树与奖金和成本之间的良好权衡，这使我们能够提供非常简单的多项式时间近似算法的预算和配额问题。对于\emph{budgeted}问题，我们的算法实现了双准则$(1+ε, O(\frac{1}{ε^2}n^{2/3}\ln{n}))$ -近似，对于任何$ε\in (0, 1]$。对于\emph{quota}问题，我们的算法保证双准则近似因子为$(2, O(n^{2/3}\ln{n}))$。接下来，通过使用基于流的LP，我们提供了一个令人惊讶的简单的多项式时间$O((1+ε)\sqrt{n} \ln {n})$近似算法的节点加权版本的有向斯坦纳树问题，任何$ε>0$。对于无向图的情况下，单调的子…
2022-11-12 cs.CC cs.DS
On the performance of a cavity method based algorithm for the Prize-Collecting Steiner Tree Problem on graphs
我们研究了图上奖品收集Steiner树（PCST）问题的一个由空腔方法导出的算法的行为。该算法是基于零温度限制的空腔方程，因此是形式简单（一个固定点方程解决迭代）和分布式（可并行）。我们提供了一个详细的比较与国家的最先进的算法在广泛的现有基准网络和随机图。具体而言，我们认为一个增强的衍生物的Goemans-Williamson的proximistics和DHEA求解器，一个分支和切割线性/非线性规划为基础的方法。结果表明，在大多数大型算例中，腔体算法无论是在运行时间上还是在解的质量上都优于两种算法。最后，我们证明了算法解的一些最优性性质，包括在Goemans-Williamson导数中定义的两个后处理过程下的最优性和在某些极限情况下的全局最优性.
2013-09-02 cond-mat.stat-mech cs.DS
On the Integrality Gap of the Prize-Collecting Steiner Forest LP
在奖金收集斯坦纳森林（PCSF）问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，边成本$\{c_e\geq 0\}_{e\in E}$，终端对$\{(s_i,t_i)\}_{i=1}^k$，以及每个终端对的惩罚$\{π_i\}_{i=1}^k$;目标是找到一个森林$F$，以最小化$c(F)+\sum_{i: (s_i,t_i)\text{ not connected in }F}π_i$。Steiner森林问题可以看作是$π_i=\infty$对所有$i$的特殊情况.人们普遍认为，自然（和充分研究）的线性规划（LP）松弛PCSF的完整性差距是最多2。我们通过证明这个LP的完整性缺口至少是$9/4$来消除这种信念。这甚至适用于平面图。我们还表明，使用此LP，不能设计一个拉格朗日乘子保持（LMP）算法的近似保证比$4$。因此，我们的结果显示了奖励收集和非奖励收集的LP弛豫的完整性间隙之间的分离（即，标准）Steiner森林，以及通过PCSF的LMP和非LMP近似算法相对于最优LP解可实现的近似比。对于奖金收集Steiner树（PCST）的特殊情形，证明了自然LP松弛存在基本可行解，且所有边变量都为正，所有值坐标至多为$1/3$.因此，我们排除了使用直接迭代舍入方法近似PCST的可能性，保证比$3$更好。
2017-06-20 cs.DM cs.DS math.OC
Prize-Collecting Forest with Submodular Penalties: Improved Approximation
针对带子模罚金的收集森林问题，提出一种2-近似算法，匹配约束森林问题的近似因子，显著改进此前2.54的近似比。
2025-04-21 cs.DS
Approximating Node-Weighted k-MST on Planar Graphs
本文研究了在平面结点赋权图上寻找至少包含$k$顶点的最小权连通子图的问题。我们给出了该问题的一个$(4+\eps)$ -近似算法。我们通过利用Byrka等人（SWAT'16）最近的节点加权奖品收集Steiner树问题的LMP原始-对偶$3$近似并采用Chudak等人（Math.\程序\ 04）关于边缘加权变体的拉格朗日松弛。特别地，我们通过采取恒定数量的递归步骤并利用Arora和Karakostas的有限猜测过程（Math.\）来改进Sadeghian（2013）给出的拾取附加顶点的过程（树合并过程）。程序\ '06）。更一般地说，我们的方法很容易给出任何图类的$(\nicefrac{4}{3}\cdot r+\eps)$ -近似，其中Byrka等人的算法。对于获奖版本给出了一个$r$ -近似。我们认为，这可以解释为一个类似的结果的推广Könemann等人。再加上梅斯特（STACS'08）的部分覆盖的下界构造，这意味着我们的界基本上是最好的算法，利用LMP算法的拉格朗日松弛作为一个黑盒子。除此之外，我们认为，一个更涉及下界的建设，即使使用LMP算法Byrka等人。当树合并步骤仅依赖于由LMP算法输出的解时，以\emph{non-black-box}方式不能击败因子$\nicefrac{4}{3}\cdot r$。
2018-05-08 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for (Budgeted) Node-weighted Steiner Problems
Moss和Rabani[12]研究约束节点加权Steiner树问题，每个节点有两个独立的权重值，即成本和奖励（或惩罚）。给出了奖金收集节点加权Steiner树问题（PCST）的O（log n）-近似算法.他们使用PCST的算法，以获得一个双准则（2，O（log n））-近似算法的简化节点加权Steiner树问题。他们的解决方案可能会花费两倍的预算，但收集了一个最佳奖励的因子Omega（1/log n）。我们至少从两个方面改进了这些结果。我们的第一个主要结果是一个原始-对偶O（log h）-近似算法的一个更一般的问题，奖金收集节点加权Steiner森林，其中我们有（h）的要求，每个要求一对顶点的连接。我们的算法可以被看作是一个贪心算法，它通过选择一个具有最小成本减少比的结构来减少需求的数量。这种自然的论证风格（也被Klein和Ravi[10]和Guha et al. [8])导致了一个比Moss和Rabani[12]的PCST算法简单得多的算法。我们的第二个主要贡献是改进的节点加权Steiner树问题，这也是对[12]和[8]的改进。在无根情况下，我们改进了[8]的O（log^2（n））-近似，并给出了一个O（logn）-近似算法，且没有任何预算冲突.对于有根的情况，其中指定的顶点必须出现在解树中，我们将[12]的双准则结果改进为对于任何正（可能是次常数）（eps）的双准则近似比（1…
2013-04-28 cs.DM cs.DS
Bicriterial Approximation for the Incremental Prize-Collecting Steiner-Tree Problem
本文研究预算增长的增量式带奖励收集斯坦纳树问题，提出双准则近似框架，并针对树图与一般图分别给出密度贪心算法和容量缩放算法，证明其近似比与根离心率或路径长度相关。
2024-07-05 cs.DM cs.DS
Approximation Schemes for Steiner Forest on Planar Graphs and Graphs of Bounded Treewidth
我们给出了平面图上Steiner森林问题的第一多项式时间近似方案（PTAS），更一般地说，在有界亏格的图上。作为第一步，我们将展示如何建立一个施泰纳森林的图。这个过程的关键是一个称为奖品收集聚类的聚类过程，它将输入实例分解为更容易处理的单独的子实例;此外，不同子实例中的终端彼此相距甚远。每个子实例都有一个相对便宜的Steiner树连接它的所有终端，并且子实例可以（几乎）单独求解。另一个构建块是有界树宽图上的Steiner森林的PTAS。令人惊讶的是，斯坦纳森林是NP-困难的，即使在树宽为3的图。因此，我们的有界树宽图的PTAS需要一个非平凡的组合的近似参数和动态规划的树分解。我们进一步表明，斯坦纳森林可以解决在多项式时间的串并行图（图的树宽最多为2）的动态规划和最小割计算的一种新的组合，完成我们彻底的复杂性研究斯坦纳森林的范围内有界树宽图，平面图，有界亏格图。
2009-11-26 cs.DS
Approximation Algorithm for Unrooted Prize-Collecting Forest with Multiple Components and Its Application on Prize-Collecting Sweep Coverage
本文针对无根多组件带奖励收集森林问题提出多项式时间2-近似算法，采用无根生长与剪枝策略避免指数复杂度，并将PCMinSSC的近似比从8改进到5。
2023-10-29 cs.DM cs.DS
Stronger adversaries grow cheaper forests: online node-weighted Steiner problems
本文研究在线节点加权 Steiner 森林及有奖收集推广，借助半自适应对手模型下的集合覆盖与非度量设施定位算法，获得本质最优的 $O(\log k\log n)$ 随机竞争比及首个确定性非度量设施定位算法。
2024-10-28 cs.DS
LP-based algorithms for multistage minimization problems
我们考虑最近引入的多阶段框架，其中，给定时间范围t = 1，2，.，T，输入是（静态）组合优化问题I_1，I_2，.的实例序列，I_T，（每个时间步一个），目标是找到一系列解S_1，S_2，.，S_T（每个时间步一个），在每个时间步中的解的质量和连续时间步中的解的稳定性/相似性之间达到折衷。对于几个多项式时间可解的问题，如最小成本完美匹配，多阶段变量变得难以近似（即使对于最小成本完美匹配的两个时间步长）。本文研究了一些重要的离散极小化问题（包括最小割、顶点覆盖、集合覆盖、有奖Steiner树、有奖旅行商）的多级变式。我们专注于自然的问题，是否线性规划为基础的方法可能有助于开发良好的近似算法在这个框架。我们首先表明，最小割仍然polytime可解的多阶段的变种，和顶点覆盖仍然2-近似，作为一个更一般的声明，很容易从工作（Hochbaum，EJOR 2002）单调和IP2问题的特殊情况。然后，我们解决其他问题，为此，我们引入了一个新的两个阈值舍入方案，为多级问题量身定制。作为第一个应用程序，我们表明，这种舍入方案给出了一个2 $f$-近似算法的多级变量的f-集覆盖问题，其中每个元素属于最多f集。更有趣的是，我们能够使用我们的四舍五入计划，以提出一个3.53-近似算法的多级变量的奖品收集斯坦纳树问题，和一个3.034-近似算法的多级变量的奖品收集旅行商问题。
2019-09-23 cs.DS
Budgeted Out-tree Maximization with Submodular Prizes
我们考虑一个变种的奖金收集斯坦纳树问题，在其中，我们给出了一个\emph{directed graph} $D=(V,A)$，一个单调的子模块奖金函数$p:2^V \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$，成本函数$c:V \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$，一个根顶点$r \in V$，和一个预算$B$。目的是找到一个外子树$T$的$D$植根于$r$，成本最多$B$和最大化的奖励功能。我们称这个问题为\emph{Directed Rooted Submodular Tree}（\textbf{DRSO}）。最近，Ghugge和Nagarajan [SODA\ 2020]给出了一个最优准多项式时间$O\left(\frac{\log n'}{\log \log n'}\right)$ -近似算法，其中$n'$是最优解中的顶点数，用于成本与边相关联的情况。在本文中，我们给出了一个多项式时间算法\textbf{DRSO}，保证了近似因子$O(\sqrt{B}/ε^3)$的成本的预算违反一个因素$1+ε$，任何$ε\in (0,1]$。同样的结果适用于边成本的情况下，据我们所知，这是第一个多项式时间近似算法这种情况下。我们进一步证明了\textbf{DRSO}的无根版本可以近似为$O(Δ\sqrt{B})$的一个因子而不违反预算，这是对…
2022-10-01 cs.DS
A cutting-plane algorithm for the Steiner team orienteering problem
团队定向问题（TOP）是一个NP难的路径问题，其中一个车队的目标是在给定的地点收集奖励（奖品），同时满足旅行时间的限制。在TOP中，每个位置最多只能有一辆车访问，目标是在给定的时间限制内最大化车辆收集的奖励总和。在本文中，我们提出了一个推广的TOP，即施泰纳团队定向问题（STOP）。在STOP中，我们还提供了强制性位置的子集。从这个意义上说，STOP也旨在最大限度地提高在时限内收集的奖励总额，但现在，必须访问每个强制性地点。在这项工作中，我们提出了一个新的商品为基础的制定停止，并使用它在一个切割平面计划。该算法受益于所提出的制定和工程的紧凑性和强度分离的三个家庭的有效的不等式，其中包括一些一般的连接约束，经典的提升覆盖不等式的基础上的对偶边界和一类冲突削减。据我们所知，最后一类不等式也介绍了这项工作。一个国家的最先进的分支和切割算法从TOP的文献中被改编为STOP和作为基线，以评估性能的切割平面。大量的计算实验表明了新算法在求解STOP和TOP实例时的竞争力。特别是，它能够解决，在总数，14个以上的TOP实例比任何其他以前的精确算法，并找到8个新的最优性证书。相对于这项工作中引入的新STOP实例，我们的算法比基线多解决了30个实例。
2020-01-03 cs.DS
The cavity approach for Steiner trees packing problems
置信传播近似，或腔方法，最近已被应用到几个组合优化问题的零温度实现，最大和算法。特别是，最近的事态发展，以解决边不相交的路径问题和奖品收集斯坦纳树问题的图已经显示出显着的结果，几类图和基准实例。在这里，我们提出了一个概括这些技术的两个变种的斯坦纳树包装问题，多个“相互作用”的树必须寻求在一个给定的图形。根据树之间的相互作用，我们区分顶点不相交的斯坦纳树问题，树不能共享节点，从边不相交的斯坦纳树问题，边不能共享树，但节点可以是多个树的成员。网络设计中的一些实际问题可以映射到这两种变体中，例如，超大规模集成（VLSI）芯片的物理设计。这里描述的形式主义依赖于两个组件的边缘变量，使我们能够制定一个消息传递算法的V-DStP和两个算法的E-DStP不同的计算时间的缩放相对于一些相关的参数。我们将表明，用于边缘不相交的变体的两个形式主义之一，允许我们映射到适当的二分图的加权最大匹配问题的最大和更新方程。我们开发了一个启发式的最大和方程的基础上，表现出优异的性能，在合成网络（特别是超过标准的多步贪婪程序的大利润率）和大型基准的VLSI的最佳解决方案是已知的情况下，该算法发现在两种情况下的最佳和最优的差距从来没有大于4%。
2019-01-03 cond-mat.stat-mech cs.DS
Solving the Maximum-Weight Connected Subgraph Problem to Optimality
最大权连通子图问题（Maximum-Weight Connected Subgraph Problem，MWCS）是指给定一个无向结点赋权图，确定一个结点的权值和最大的子集，从而导出一个连通子图。MWCS与已被广泛研究的Prize Collecting Steiner Tree问题密切相关，在计算生物学、网络设计和计算机视觉等领域有着广泛的应用。这个问题是NP难的，甚至很难在一个常数因子内近似。在这项工作中，我们描述了一个算法方案，解决MWCS可证明的最优性，这是基于预处理规则，新的结果分解成一个实例的二连接和三连接组件和分支和切割方法结合原始启发式。我们证明了我们的方法的性能的基准实例的第11个DIMACS实施的挑战，包括MWCS以及转换的PCST实例。
2014-12-01 cs.DS
An Approximation Algorithm for the Connected Maximum Coverage Problem in Directed Graphs
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）
本文针对有向图的有根带预算最大覆盖问题（DRCC）提出一种近似算法，获预算违反因子1+ε的近似比，还改进了其特例带预算节点赋权施泰纳问题的近似比。
2026-08-06 cs.DS
Approximate Min-Sum Subset Convolution
本文首次研究$(1+\varepsilon)$近似的最小和子集卷积，提出弱多项式和强多项式两种近似算法，为最小代价$k$-着色、带奖励Steiner树等NP难问题提供指数时间近似方案，复兴了热带子集卷积研究。
2024-08-09 cs.DS
Online Network Design Algorithms via Hierarchical Decompositions
我们开发了一种新的在线网络设计方法，并获得了几个问题的竞争比改善。我们的方法给出了自然的确定性算法和简单的分析。在我们的工作的核心是一个新的应用程序嵌入到分层良好分离的树（HST）的分析在线网络设计算法-我们收取的成本算法的成本的最佳解决方案上的任何HST嵌入的终端。这种分析技术广泛适用于许多问题，并为在线网络设计提供了一个统一的框架。从某种意义上说，我们的工作汇集了在线网络设计的两种主要方法。第一种使用贪婪算法，并使用双重拟合来分析它们。第二个使用树嵌入和随机$O(\log n)$竞争算法的结果，其中$n$是图中的顶点总数。我们的方法使用确定性贪婪的算法，但通过HST嵌入的终端分析它们。我们的证明是简单的，因为我们不需要仔细构造对偶解决方案，我们得到$O(\log k)$竞争比，其中$k$是终端的数量。在本文中，我们应用我们的方法来获得确定性的$O(\log k)$竞争在线算法以下问题。- 带边复制的Steiner网络。以前，只有一个随机的$O(\log n)$竞争算法是已知的。- 租或买。以前，只有Awerbuch、Azar和Bartal（2004）的确定性$O(\log^2 k)$竞争算法和随机化$O(\log k)$竞争算法是已知的。- 连接的设施位置。以前，仅已知San Felice、Williamson和Lee（2014）的随机$O(\log^2 k)$竞争算法。- 获…
2014-10-15 cs.DS
The Weighted Maximum-Mean Subtree and Other Bicriterion Subtree Problems
我们考虑这样的问题，即给定一棵有根树作为输入，并且必须找到一个具有相同根的子树，优化子树中节点的目标函数。当这个函数是常数节点权重之和时，问题在线性时间内得到了平凡的解决。当目标函数是参数的线性函数的权值之和时，我们展示了如何在O（nlog n）时间内列出所有可能的参数值的所有最优解;该参数优化问题可用于解决许多双临界优化问题，其中每个节点具有与其相关联的两个值xi和yi，并且目标函数是双变量函数f（SUM（xi），SUM（yi））这两个值之和。一个特殊的情况下，当f是两个总和的比率，是加权最大均值子树问题，或等价的分数奖金收集Steiner树问题的树;对于这种特殊情况下，我们提供了一个线性时间算法，这个问题的所有权重是积极的，改善以前的O（n log n）的解决方案，并证明了该问题是NP-完全时，允许负权重。
2005-12-06 cs.CG cs.DS
The Price of Information in Combinatorial Optimization
考虑一个网络设计应用，我们希望在给定的图中建立一个最小成本生成树;然而，我们只有关于边成本的随机信息。为了了解任何优势的精确成本，我们必须进行一项研究，从而产生一个价格。我们的目标是找到一个生成树，同时最小化负效用，这是树的成本和我们花在研究上的总价格的总和。在不同的应用中，每条边给出随机奖励值。我们的目标是找到一棵生成树，同时最大化效用，也就是树的奖励减去我们支付的价格。在实践中，我们希望找到一个优化问题的好的解决方案，但我们开始时只对问题的参数有一些部分的了解，这两种情况经常出现。只有付出探测的代价，我们称之为信息的价格，才能找到缺失的信息。我们应该采取什么策略来优化我们的预期效用/负效用？上述设置的一个经典例子是Weitzman的“潘多拉盒子”问题，其中我们给出了$n$独立随机变量值的概率分布。我们的目标是选择一个值很大的单一变量，但只有在付出代价之后，我们才能找到实际的结果。我们的工作是一个推广这个模型的其他组合优化问题，如匹配，集覆盖，设施的位置，和奖品收集斯坦纳树。我们给出了一种技术，减少这些问题，他们的非价格同行，并用它来设计精确/近似算法，以优化我们的效用/负效用。我们的技术扩展到的情况下，有什么参数可以探测或当我们可以同时探测的参数的子集的额外的约束。
2017-11-01 cs.DS
To buy or not to buy: deterministic rent-or-buy problems on node-weighted graphs
研究节点和边加权图上在线 Steiner forest 问题的租或买变体，提出多个确定性和随机化竞争算法，并利用针对在线 prize-collecting set cover 的新型收费方案改进了竞争比。
2025-07-11 cs.DS
