Oscillating minimizers of a fourth order problem invariant under scaling
利用变分方法证明了不等式：$$ \int_{\mathbb{R}} u''{}^2 dx-\int_{\mathbb{R}} u'' u^2 dx\geq I \int_{\mathbb{R}} u^4 dx\quad \forall u\in L^4({\mathbb{R}}) {such that} u''\in L^2({\mathbb{R}}) $$对某个常数$I\in (-9/64,-1/4)$ .这个不等式是连接到Lieb-Thirring型问题，并有有趣的标度性质。最佳常数是通过改变周期函数上的问题的最小值的符号来实现的，但不依赖于周期。此外，我们完全刻画的周期问题的极小。
2003-11-12 math-ph math.AP math.MP
Regularity of two-phase free boundary minimizers in periodic media
本文研究周期介质中两相能量泛函极小元的正则性，建立了大尺度Lipschitz估计，并通过非退化极小元的平坦性改进，最终得到Liouville性质。
2025-05-22 math.AP
Periodic waves of the modified KdV equation as minimizers of a new variational problem
修正的Korteweg-de Vries（mKdV）方程的周期波被确定在一个新的变分问题的上下文中有两个约束。这个变分问题的优点是它的非退化局部极小在mKdV方程的时间演化中是稳定的，而鞍点是不稳定的。我们探讨了Jacobi椭圆函数给出的周期波的解析表示，并数值计算了约束变分问题的临界点。发现了三个光滑解族的一个分叉，其中两个解族表示约束变分问题的（稳定）极小解，另一个解族表示（不稳定）鞍点。
2021-12-09 math-ph math.AP math.DS
Large scale regularity of almost minimizers of the one-phase problem in periodic media
该研究针对周期介质中的单相自由边界能量泛函，证明其极小元与几乎极小元满足大尺度Lipschitz估计及自由边界平坦蕴含Lipschitz估计的性质，采用De Silva和Savin提出的均匀介质相关技术推导。
2023-04-30 math.AP
On periodic critical points and local minimizers of the Ohta-Kawasaki functional
在本文中，我们收集了一些新的观察周期临界点和局部极小的非局部等周问题，在建模中出现的嵌段共聚物。在主要结果中，通过一个纯粹的变分过程，我们表明，它是可能的构造（局部极小化）周期临界点的形状类似于任何给定的严格稳定的常数中曲率（周期）超曲面。在此过程中，我们建立了几个独立兴趣的辅助结果。
2017-11-17 math.AP
Minimizers for a fractional Allen-Cahn equation in a periodic medium
我们的目的是研究周期介质中分数介观相变模型的解。在研究了相关极小解的界面的几何性质后，我们构造了位于一个具有指定方向和普适宽度的带上的极小界面。
2017-09-25 math.AP
Existence, non-existence and blow-up behavior of minimizers for the mass-critical fractional nonlinear Schrödinger equations with periodic potentials
研究了具有周期势的分数阶非线性薛定谔方程在给定质量约束下的能量泛函的极小化问题。利用集中紧性原理，我们给出了一个完整的分类的存在性和不存在的极小问题。在质量临界情形下，在适当的势假设下，我们详细描述了极小元在质量趋于临界值时的爆破行为。
2019-12-18 math.AP
Properties of periodic Dirac--Fock functional and minimizers
本文研究周期 Dirac–Fock 极小元的结构，通过泛函与收缩复合的二阶展开证明在 α/c 受显式常数约束时 Fermi 能级全空或全满，故极小元为投影。
2023-07-18 math-ph math.AP math.MP
Plane-like minimizers for a non-local Ginzburg-Landau-type energy in a periodic medium
考虑周期介质中的非局部相变方程组，构造出界面位于具有规定方向和普遍宽度的平板上的解。构造的解决方案也享有一个局部极小的属性，相对于一个合适的非局部能量泛函。
2018-11-21 math.AP
Volume-constrained minimizers for the prescribed curvature problem in periodic media
我们建立了周期介质中具有体积约束的指定中曲率问题的紧极小解的存在性。作为结果，我们构造紧凑的近似解指定的中曲率方程。我们还表明收敛后，重新缩放的体积约束极小值对一个合适的武尔夫形状，当体积趋于无穷大。
2013-03-15 math.AP math.DG math.OC
Planelike minimizers of nonlocal Ginzburg-Landau energies and fractional perimeters in periodic media
在这里，我们考虑一个非局部的相变能量在周期性介质中，我们构造的解决方案，其接口位于从任何给定的超平面有界距离。这些解是周期的或准周期的，取决于法线方向对参考超平面的有理依赖性。值得注意的是，相对于参考超平面的界面的振荡是由一个普遍常数乘以介质的周期尺度所限定的。这种几何性质使我们能够在极限下证明周期结构中存在类平面非局部极小曲面。证明依赖于新的最优密度和能量估计。具体地说，粗略地说，相变最小化器的能量由一维过渡层的能量从上方和下方控制。
2018-02-05 math.AP
Non-local planelike minimizers and $Γ$-convergence of periodic energies to a local anisotropic perimeter
The University of Western Australia（西澳大学）
本文研究了非局部界面能量的同调问题，证明了平面状极小解的存在性，并展示了能量序列Γ收敛到局部各向异性周长。
2026-01-16 math.AP math.DS
On the shape of minimizers for the periodic nonlocal perimeter in $\mathbb{R}^2$
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究了二维周期非局部周长极小解的形状，通过分支分析和计算证明非局部Delaunay集在特定条件下不稳定，并支持极小解在大区域范围内为直线带的猜想。
2026-02-20 math.AP
Energy minimizers in a periodic phase transition model of light-matter interaction in nematic liquid crystals
University of Athens（雅典大学）；Universidad de Chile（智利大学）
本文研究向列液晶光–物质相互作用的一维非自治周期相变模型，分析双周期强迫下全局极小扭结的阈值、零点数及结构，并验证其与原 Oseen-Frank 模型定性一致。
2026-10-20 math.AP
Symmetry breaking for local minimizers of a free discontinuity problem
本文研究二维自由间断问题中局部极小化子的对称性破缺，通过改编校准方法证明存在水平集非简单条纹的奇异极小化子。
2025-06-19 math.AP math.OC
New variational characterization of periodic waves in the fractional Korteweg-de Vries equation
分数阶Korteweg-de Vries方程中的周期波先前已被表征为受固定动量和质量约束的能量极小化。在这里，我们将这些周期波的特点作为受约束的最小值的二次型的能量受到固定的立方部分的能量和零均值。这种新的变分表征使我们能够展开的存在区域的旅行周期波，并给出了一个尖锐的标准谱稳定性的周期波相对于扰动的同一时期。类似于孤波的稳定性判据，由从波速到波动量的映射的单调性给出了尖锐的稳定性判据。
2020-01-03 math-ph math.AP math.DS
Periodic Minimizers of a Ternary Non-Local Isoperimetric Problem
我们研究了一个二维三元抑制系统作为一个尖锐的界面极限的Nakazawa Ohta密度泛函理论的三嵌段共聚物。这种自由能泛函结合了有利于微畴生长的界面能和阻止微畴无限扩展的库仑型长程相互作用能。在这里，我们考虑一个极限，其中两个物种都非常小，但相互作用相应地很大，以保持一个非平凡的极限。在这个限制两个能级被区分：最高阶限制编码的信息的几何结构的局部结构作为一个两个组件的等周问题，而第二个层次描述的组件在全球最小的空间分布。我们提供了一个尖锐的严格推导的渐近极限，无论是极小和伽玛收敛的背景下。极限配置的几何描述推导出;在其他结果中，我们将表明，相当意外，可以出现单，双气泡共存。二分量等周问题的最优解是一个难点：与二进制相比，二分量等周问题不仅没有明确的求解公式，更重要的是，二分量等周问题的局部区域既不能是凹的，也不能是凸的.
2019-12-19 math.AP
Uniqueness results for critical points of a non-local isoperimetric problem via curve shortening
使用面积保持曲线缩短流，和一个新的不等式所产生的潜在的一组其曲率，我们研究了一个非局部的等周问题，出现在研究的二嵌段共聚物熔体，也被称为Ohta-Kawasaki能量。我们能够表明，唯一连接的临界点是球的边界上的温和的假设下，在小能量/质量制度。特别是这个类包括所有可求长，连接1-流形在$\mathbb{R}^2$。我们还分类在这个政权的环面上的简单连接的临界点，显示唯一的可能性是条纹图案和球。在$\mathbb{R}^2$中，这可以被看作是Fraenkel \cite{Fraenkel}对于牛顿势能的临界点的唯一性和Alexandrov对于周长泛函\cite{alexandrov}的众所周知的结果的部分联合，然而仅限于平面。证明结果在$\mathbb{R}^2$是类似的曲线缩短的结果，由于盖奇\cite{Gage2}，但涉及到一个非局部的周长功能，因为我们表明的能量凸集严格减少沿流动。使用相同的技术，我们得到一个稳定的结果，最小的$\mathbb{R}^2$和条纹图案的环面上，后者最近被证明是全球最小的能量时，非本地性是足够小的\cite{sternberg}。
2012-06-26 math-ph math.AP math.MP
Minimizers of the Lawrence-Doniach Functional with Oblique Magnetic Fields
我们研究了层状结构超导体的Lawrence-Doniach能量的极小化，假定Floquet-周期边界条件。具体地说，我们考虑了在超导平面上倾斜施加恒定磁场的影响，在假设$s=\eps^α$与$0<α<1$的条件下，将其作为层间距$s\to 0$和Ginzburg-Landau参数$κ=\eps^{-1}\to\infty$。通过导出极小元能量的精确匹配上下界，我们确定了下临界场和通量格的方向，使之在参数$\eps$中达到最优阶.对于首阶，诱导场用$\RR^3$中的凸极小化问题表征。我们观察到一个“磁通锁定过渡”，其中磁通线被钉扎到水平方向的小倾角的应用领域，这是不存在于各向异性的金兹伯格-朗道模型的极小化。我们获得的能量分布表明存在“阶梯涡”，这在物理学文献中已定性描述。
2010-09-08 math-ph math.AP math.MP
Boundary regularity for minimizers of the micromagnetic energy functional
受三维Landau-Lifshitz-Gilbert方程在软铁磁颗粒和小铁磁颗粒情况下的时间周期解的构造的启发，我们研究了微磁能能泛函在边界处极小值的正则性.特别是，我们表明，极小是经常提供的粒子的体积是足够小的。该方法使用的反射建设在边界和适应著名的正则性理论最小化谐波映射到球。
2010-06-24 math.AP
Optimal periodic structures with general space group symmetries in the Ohta-Kawasaki problem
我们考虑严格计算Ohta-Kawasaki能量的周期极小的问题。我们开发了一种方法来证明解的存在性，并确定严格的界限之间的距离我们的数值逼近和真正的无限维的解决方案，也对能量。我们使用规定的对称性的方法来探索的相空间，计算候选极小和不实验观察到的对称性。当远离弱分凝极限时，我们发现Ohta-Kawasaki能相图与自洽域论有质的区别。
2019-11-29 math.AP math.DS
Stochastic-Periodic Homogenization of a Class of Minimization Problems in Orlicz-Sobolev Spaces
University of Bamenda（班达马大学）；University of Maroua（马里瓦大学）
本文在Orlicz-Sobolev空间中发展随机双尺度收敛方法，证明一类高振荡极小化问题的极小化子收敛到均匀化问题的极小化子。
2025-10-16 math.AP math.PR
The periodic Wulff problem in two dimensions
University of Trento（特伦托大学）
本文研究平坦环面上面积约束下的各向异性周长极小化问题，发现极小化元随面积经历液滴、层状相和气泡两次相变，并探讨了特殊表面张力下相变行为的差异。
2026-09-09 math.AP
The Ginzburg-Landau equation in the Heisenberg group
我们考虑海森堡群框架下与相变模型相关的一个泛函。我们证明了局部极小的水平集满足一定的密度估计，即它们表现为“余维1”集。因此，我们推导出这些水平集的一致收敛性性质的接口与最小面积。然后将这些结果应用于构造（准）周期的平面极小化器，即，我们的泛函的极小化器，其水平集包含在一个在规定方向上具有普遍大小的空间板中。作为一个极限情况，我们得到了存在的超曲面包含在这样的板，最小化表面积相对于一个给定的周期度量。
2006-01-11 math.AP
Minimizers of Dirichlet functionals on the n-torus and the Weak KAM Theory
给定$n-$环面$T^n$上的概率测度$μ$和旋转向量$k\in R^n$，我们问是否存在积分$\int_{T^n} |\gradϕ+k|^2 dμ$的极小元。这个问题导致，自然，一类椭圆型偏微分方程和最佳运输（蒙格-康托洛维奇）类问题的环面。它也与高维奥布里-马瑟理论有关，处理周期拉格朗日量的不变集，被称为“弱KAM理论”。
2007-11-17 math.AP math.DS
$Γ$-convergence for functionals depending on vector fields. II. Convergence of minimizers
给定$\mathbb{R}^n$上的一类局部Lipschitz向量场$X(x)=(X_1(x),\dots,X_m(x))$，$m\leq n$，研究了依赖于$X$的积分泛函.利用\cite{MPSC1}中的结果，我们研究了这些泛函的极小、极小元和动量的收敛性。此外，我们将这些结果应用于Carnot群中的周期均匀化，并证明了依赖于$X$的二阶线性微分算子的$H$ -紧性定理。
2021-04-26 math.AP math.FA
Stripe patterns in a model for block copolymers
我们考虑由能量G_e定义的二维空间中的图案形成系统。泛函G_e模型描述了AB型两嵌段共聚物熔体中的强相分离，其模式由{0，1}值函数表示，其中0和1分别对应于A相和B相。参数e是本征材料长度尺度与畴尺度之间的比率。我们证明了在极限下（当e趋于0时），任何具有一致有界能量G_e（u_e）的图案序列u_e都变成了条状：图案变成局部一维的，类似于周期为O（e）的周期性条纹图案。在极限情况下，条纹的宽度变得均匀，并且越来越直。我们的结果被表述为一个收敛定理，即泛函G_e γ-收敛于极限泛函G_0。该极限泛函定义在表示条纹图案的局部方向的秩一投影的域上。泛函G_0只有在投影场解了程函方程的一个版本时才是有限的，在这种情况下，它是投影场的散度的L^2范数，或者等价地是场的曲率的L^2范数。在模式层次上，收敛对象是跳测度|梯度（u_e）|与对应于跳跃集合的切线的投影场相结合。Peletier & Roeger的中心不等式（Archive for Rational Mechanics and Analysis）提供了初始估计，并导致弱测度函数对收敛。利用跳集的不交性，我们得到了强收敛性。
2009-02-16 math.AP
Wasserstein-infinity stability and mean field limit of discrete interaction energy minimizers
本文针对多维环面上的周期Riesz势，证明了离散交互能量的定量稳定性：当粒子数大且能量低时，粒子分布在Wasserstein-无穷距离下必接近均匀分布，并由此导出了能量极小子的定量平均场极限。
2024-07-25 math.AP math.CA
Limit shapes of local minimizers for the Alt-Caffarelli energy functional in inhomogeneous media
本文考虑周期介质中的Alt-Caffarelli自由边界问题。这是一个方便的模型出现在粗糙表面上的接触线，钉扎，滞后和小平面的形成的研究中的几个有趣的现象。我们证明了在每个方向$e \in S^{d-1}$上存在一个有效固定斜率区间。在$d=2$，我们的特点的钉扎间隔的正常方向，包括可能的不连续性在合理的方向方面的规律性。这些结果需要一个仔细的研究家庭的平面样的解决方案与给定的斜率。使用相同的技术，我们也得到了强，在某些情况下最佳的，在$d=2$的局部极小的极限形状的类上的界限，并在$d \geq 3$的初步结果。
2018-10-12 math.AP
Quantitative homogenization of principal Dirichlet eigenvalue shape optimizers
我们应用新的结果的自由边界正则性的单相几乎极小在周期性介质中获得定量的收敛速度的形状优化的第一Dirichlet特征值在周期均匀化。我们得到了一个线性的（与对数因子）收敛速度的最佳特征值。利用几乎极小元的大规模Lipschitz自由边界正则性，将最优$L^2$均匀化理论应用于Kenig，Lin和Shen的Lipschitz域.一个关键的想法，以处理对体积的硬约束，是一个大规模的几乎膨胀不变性与选择原则的论点相结合。
2022-09-03 math.AP
Minimizers for nonlocal perimeters of Minkowski type
我们研究了一个非局部的周边功能的启发Minkowski内容，其主要特点是，它插值之间的经典周长和体积功能。这个问题是由一个广义的coarea公式的Dirichlet能量泛函，其中的能量密度是一个函数的局部振荡。这两个非局部泛函出现在具体的应用中，因为问题的非局部特征和能量在不同尺度上的不同行为允许在去除白噪声的过程中保留图像的细节和不规则性，从而在不丢失相关特征的情况下提高图像的质量。本文给出了极小解的存在性、刚性和分类、紧性结果、等周不等式、Poincaré-Wirtinger不等式和密度估计等一系列结果.此外，我们提供了一个小的和周期性的体积扰动下，这个广义周长的类平面极小的建设。
2018-03-03 math.AP
