Solving Billion-Scale Knapsack Problems
Ant Financial Services Group（蚂蚁金融服务集团）
背包问题（Knapsack Problem，KPs）在工业中很常见，但解决KPs是NP难的，并且仅在相对较小的规模上易于处理。本文研究了KP在一个稍微广义的形式，并表明，他们可以通过分布式算法解决规模接近最优。所提出的方法可以用现成的分布式计算框架（例如MPI、Hadoop、Spark）相当容易地实现。作为一个例子，我们的实现导致了迄今为止已知的最有效的KP求解器之一-能够以前所未有的规模求解KP（例如，具有10亿个决策变量和10亿个约束条件的KP可以在1小时内解决）。该系统已部署到生产环境中，并每天被调用，对蚂蚁金服产生了重大的业务影响。
2020-02-02 cs.AI cs.DC cs.DS
Approximation Algorithms for The Generalized Incremental Knapsack Problem
我们介绍和研究了离散多期扩展的经典背包问题，被称为广义增量背包。在此设置中，我们给出了一组$n$项，每个项与非负权重相关联，以及具有非递减容量$W_1 \leq \dots \leq W_T$的$T$时间段。当项目$i$在时间$t$插入时，我们获得$p_{it}$的利润;然而，该项目在所有后续期间都保留在背包中。我们的目标是决定是否以及何时插入每个项目，受时间依赖的能力限制，以最大化我们的总利润为目标。有趣的是，这种设置包含了一些最近研究的增量背包问题的特殊情况下，所有已知的强NP-难。我们的第一个贡献是在多项式时间$(\frac{1}{2}-ε)$的形式-近似的广义增量背包问题。这一结果是基于一个单机排序问题，这是解决混合动态规划技术和经典的Shmoys-Tardos算法的广义分配问题的重新制定。结合基于枚举的自增强思想和新发现的近似最优解的结构性质，我们把我们的基本算法转化为一个准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是APX困难的可能性。
2020-09-15 cs.DS
Approximations for Monotone and Non-monotone Submodular Maximization with Knapsack Constraints
次模最大化推广了离散优化中的许多基本问题，包括有向/无向图的最大割、最大覆盖、最大设施位置和社交网络上的营销。本文研究了在$d$背包约束下的子模函数的最大化问题，其中$d$是一个固定常数.我们建立了一个强大的关系之间的离散问题和它的连续松弛，通过{ \em扩展的期望}的次模函数。形式上，我们表明，对于任何非负的子模函数，$α$ -近似算法的连续松弛意味着一个随机的$(α- \eps)$ -近似算法的离散问题。我们使用这个关系，以提高最好的已知的逼近比的问题$1/4- \eps$，任何$\eps > 0$，并获得一个接近最佳的$(1-e^{-1}-\eps)-$逼近比的单调情况下，任何$\eps>0$。我们进一步表明，由连续解定义的概率域可以减少到产生一个多项式大小的域，给出一个预言的期望扩展。这导致我们的技术的确定性版本。
2011-01-15 cs.DM cs.DS
Modular and Submodular Optimization with Multiple Knapsack Constraints via Fractional Grouping
一组物品上的多背包约束由一组任意容量的箱子和每个物品的权重定义。约束的分配是将项目的子集分配到符合箱容量的箱。在本文中，我们提出了一个统一的算法，产生有效的近似为广泛的一类子模块化和模块化的优化问题，涉及多个背包约束。一个值得注意的例子是多选择多背包的多项式时间近似方案，改进了$2$的最佳已知比率。另一个例子是非单调次模多背包，我们得到了一个$(0.385-\varepsilon)$ -近似，匹配最好的已知比率为一个单一的背包约束。我们的算法的鲁棒性是通过应用一个新的分数变量的经典线性分组技术，这是独立的利益。
2021-06-28 cs.DS
Maximizing a Monotone Submodular Function with a Bounded Curvature under a Knapsack Constraint
考虑了背包约束下单调次模函数的极大化问题。我们表明，对于任何固定的$ε> 0$，存在一个多项式时间算法的近似比$1-c/e-ε$，其中$c \in [0,1]$是（总）曲率的输入函数。对于任何$c \in [0,1]$，该近似比接近$ε$。据我们所知，这是第一个结果的背包约束，结合曲率，以获得比$1-1/e$，这是紧一般的次模函数的近似比。作为我们的结果的应用，我们提出了一个多项式时间算法的预算分配问题的改进的近似比。
2016-07-15 cs.DS
An Almost Optimal Approximation Algorithm for Monotone Submodular Multiple Knapsack
研究了多背包约束下单调次模函数的极大化问题。输入是一组项目$I$，每个项目具有非负权重，以及一组任意容量的箱。此外，我们给出了一个子模，单调和非负的功能$f$的子集的项目。目标是找到箱子中的项目子集$A \subseteq I$的包装，使得$f(A)$最大化。我们的主要结果是一个几乎最优的多项式时间$(1-e^{-1}-\varepsilon)$ -近似算法的问题，任何$\varepsilon>0$。该算法依赖于一种结构化技术，该技术将一般的多背包约束转换为一个约束，在该约束中，箱被划分成指数增加的基数组，每个组由均匀容量的箱组成。我们得出的结果，结合结构的子模块优化技术的背包约束的精细分析。
2021-04-16 cs.DS
A Deterministic Polynomial-time Approximation Scheme for Counting Knapsack Solutions
给定n个具有非负整数权重w1，...的元素，wn和一个整数容量C，我们考虑经典背包问题的计数版本：找到不同子集的数量，这些子集的权重加起来至多等于给定的容量。我们给出了一个确定性的算法，估计的解决方案的数量在相对误差1+-eps在时间多项式n和1/eps（完全多项式逼近方案）。时间复杂度为O（n^3（1/eps）log（n））。我们的算法是基于动态规划。在此之前，随机多项式时间近似方案首先由Morris和Sinclair通过Markov chain Monte Carlo技术已知，随后由Dyer通过动态规划和拒绝采样已知。
2010-08-10 cs.DS
Approximation Algorithms for Generalized Multidimensional Knapsack
我们研究了具有几何约束和向量约束的背包问题的推广。输入是一组矩形项目，每个项目都有一个相关的利润和$d$非负权重（$d$维向量），以及一个正方形背包。目标是找到一个非重叠的轴平行包装的一个子集的项目到给定的背包，使向量约束不被违反，即，在任何$d$维度中的所有包装物品的重量之和不超过1。我们考虑问题的两个变体：$(i)$不允许旋转项目，$(ii)$项目可以旋转90度。我们给这个问题的一个$(2+ε)$ -近似算法（两个版本）。在此过程中，我们还研究了最大广义指派问题（Max-GAP）的一个变种，称为向量最大-GAP，并设计了一个PTAS。
2021-02-11 cs.CG cs.DS
Improved Approximation Algorithms for 2-Dimensional Knapsack: Packing into Multiple L-Shapes, Spirals, and More
在\textsc{2-Dimensional Knapsack}问题（2DK）中，我们给出了一个正方形背包和一个整数大小和利润的$n$矩形项目的集合。我们的目标是找到最有利可图的子集的项目，可以装到背包非强制性。目前已知的2DK的多项式时间近似因子是$17/9+\varepsilon<1.89$，如果允许我们将项目旋转90度，则存在$(3/2+\varepsilon)$近似算法~{[}Gálvez et al.，FOCS 2017{]}。在本文中，我们给出了$(4/3+\varepsilon)$ -近似算法在多项式时间的两种情况下，假设所有的输入数据是{整数多项式有界的$n$ }。Gálvez等人2DK的算法将背包划分为恒定数量的矩形区域加上\emph{one} L形区域，并{以结构化的方式}将物品打包到这些区域中。我们通过允许多达\emph{constant}数量的{ \emph{more general} }区域来推广这种方法，这些区域可以具有L、U、Z、螺旋等形状，因此获得改进的近似比。{In特别是，我们提出了一种算法，计算到这些区域的基本上最优的规整填料。}
2021-03-18 cs.CG cs.DS
The Knapsack Problem with Neighbour Constraints
我们研究了一个约束版本的背包问题，其中项目之间的依赖关系是由一个图的邻接。在1-neighbor背包问题中，只有当一个项目的至少一个邻居也被选择时，该项目才能被选择。在所有邻居背包问题中，只有当所有邻居都被选中时，一个项目才能被选中。当节点具有一致的和任意的权值和利润函数时，以及当依赖图是有向的和无向的时，我们给出了近似算法和硬度结果。
2011-09-27 cs.DM cs.DS
Hybrid Rounding Techniques for Knapsack Problems
我们解决经典的背包问题和一个变种，其中上限是强加的项目，可以选择的数量。我们表明，适当的舍入技术的组合产生新的和强大的舍入方式。作为这些技术的应用，我们提出了一个线性存储多项式时间近似方案（PTAS）和一个完全多项式时间近似方案（FPTAS），计算近似的解决方案，任何固定的精度，在线性时间。这个线性复杂性界给出了一个最好的以前已知的多项式界的实质性改进。
2003-05-02 cs.CC cs.DM cs.DS
A PTAS for the Time-Invariant Incremental Knapsack problem
时不变增量背包问题（IIK）是最大背包问题在离散多周期环境下的推广。在每一次，容量增加和项目可以添加，但不能从背包中删除。目标是在所有时间内最大化利润总和。IIK为各种应用程序建模，包括特定的金融市场和政府决策过程。IIK是强NP-困难的，并且对于某些特殊情况已经有了近似算法。在本文中，我们解决了复杂的IIK设计的PTAS的基础上舍入disjuncive公式，并提供了几个扩展的技术。
2018-01-30 cs.DM cs.DS
Approximations of the Densest k-Subhypergraph and Set Union Knapsack problems
对于任何给定的$ε>0$，我们提供了一个算法的Denise $k$ -子超图问题的逼近比至多$O(n^{θ_m+2ε})$为$θ_m=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}-\frac{1}{2m}$和运行时间至多$O(n^{m-2+1/ε})$，其中的超边有至多$m$顶点。我们利用这个结果给出了一个算法的集合并背包问题的近似比至多$O(n^{α_m+ε})$为$α_m=\frac{2}{3}[m-1-\frac{2m-2}{m^2+m-1}]$和运行时间至多$O(n^{5(m-2)+9/ε})$，其中的子集有至多$m$元素。作者不知道这两个问题的近似的任何以前的结果。
2016-10-17 cs.DS math.CO
Approximation Schemes for Multiperiod Binary Knapsack Problems
多周期二进制背包问题（MPBKP）的一个实例由时域长度$T$、背包大小的非减向量$(c_1, \ldots, c_T)$（其中$c_t$表示周期$1,\ldots,t$的累积大小）和$n$项的列表给出。每个项目都是一个三元组$(r, q, d)$，其中$r$表示项目的奖励，$q$表示其大小，$d$表示其时间索引（或截止日期）。我们的目标是选择，对于每个截止日期$t$，哪些项目包括最大化的总回报，受到的约束，所有$t=1,\ldots,T$，最多$t$的截止日期所选择的项目的总大小不超过背包的累积容量的时间$t$。我们还考虑了多周期二进制背包问题与软容量约束（MPBKP-S）的容量限制被允许违反支付罚款是线性的违规。目标是使总利润最大化，即，所选项目的总奖励减去总惩罚。最后，我们考虑具有软随机容量约束的多周期二元背包问题（MPBKP-SS），其中背包大小的非减向量$(c_1, \ldots, c_T)$遵循某种任意联合分布，但我们可以访问利润作为预言，我们选择一个子集的项目以最大化总期望利润，即，总奖励减去总预期惩罚。对于MPBKP，我们展示了一个完整的多项式时间近似方案，运行时$\tilde{\mathcal{O}}\left(\min\left\{n+\frac{T^{3.25}}{ε^{2.25}},n+\frac{T^{2}}{ε^{3}},\frac{nT}{ε^2},\f…
2021-03-31 cs.DS
Improvements and Generalizations of Stochastic Knapsack and Multi-Armed Bandit Approximation Algorithms: Full Version
研究了具有报酬马氏链的多臂强盗问题。在有限时间内，著名的Gittins指数不适用，精确解是棘手的。我们提供了一个更一般的模型，其中包括马尔可夫决策过程和非单位转移时间的近似算法。当允许抢占时，我们提供了一个（1/2-eps）近似，以及一个例子表明这是紧的。当不允许抢占时，我们提供了1/12近似，当过渡时间为1时，它提高到4/27近似。我们的模型包括古普塔等人的马尔可夫Bandits模型，Dean，Goemans和Vondrak的随机背包模型，以及Guha和Munagala的学习模型，我们的算法改进了所有三个领域的现有结果。在我们的分析中，我们遇到并克服了一个新的障碍-一个算法，可证明存在通过多面体参数，但不能在多项式时间。
2016-09-13 cs.DS
Dynamic programming algorithms, efficient solution of the LP-relaxation and approximation schemes for the Penalized Knapsack Problem
0-1惩罚背包问题（PKP）每个项目都有一个利润，一个权重和一个惩罚，目标是最大化利润减去最大惩罚值的总和。我们提出了一个确切的方法依赖于一个程序，缩小了相关的处罚范围，在确定一个核心问题和动态规划。所提出的方法被证明是非常有效的解决硬PKP的情况下，并比较有利的商业求解器CPLEX 12.5适用于ILP制定的问题，并在文献中的最佳精确算法。然后，我们提出了一个一般的不可逼近的结果，并研究了几个相关的特殊情况下，允许完全多项式时间近似计划（FPTAS）。
2017-02-14 cs.DS
Deterministic Algorithm for Non-monotone Submodular Maximization under Matroid and Knapsack Constraints
Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算技术研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出确定性算法，在Matroid和Knapsack约束下最大化非单调子模函数，分别达到0.385-ε和0.367-ε的近似比，优于现有结果。
2026-03-16 cs.CC cs.DS math.OC
A note on "Approximation schemes for a subclass of subset selection problems", and a faster FPTAS for the Minimum Knapsack Problem
Pruhs和Woeginger证明了FPTAS的存在性的一般类的最小化和最大化子集选择问题。在不失去一般性的情况下，从原来的框架，我们证明了如何更好的渐近最坏情况下的运行时间可以实现，如果一个$ρ$ -近似算法是可用的，特别是我们获得匹配的最大化和最小化子集选择问题之间的运行时间。我们直接将此结果应用于最小背包问题，其中原始框架产生一个FPTAS与运行时间$O(n^5/ε)$，其中$ε$是所需的精度和$n$是项目的数量，并获得一个FPTAS与运行时间$O(n^3/ε)$，从而提高了运行时间的二次因子在最坏的情况下。
2016-07-27 cs.CC cs.DS
Polynomial-Time Approximation Schemes for Knapsack and Related Counting Problems using Branching Programs
Microsoft Research（微软研究院）；UT Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
我们给出了一个确定性的，多项式时间算法近似计数的{0，1}-解决方案的任何情况下的背包问题。在一个长度为n，总权重为W，精度参数为eps的实例上，我们的算法在时间上产生一个（1 + eps）-乘法逼近poly（n，log W，1/eps）。我们还给出了算法相同的保证一般整数背包，多维背包问题（具有恒定数量的约束）和列联表（具有恒定数量的行）。在此之前，只有随机近似计划已知的这些问题，由于工作的莫里斯和辛克莱和工作的戴尔。我们的算法的工作原理是通过构建小宽度，只读一次的分支程序近似的基础解决方案空间下仔细选择的分布。作为这种方法的副产品，我们获得了新的查询算法的学习函数的k半空间关于均匀分布在{0，1}^n。我们的算法的运行时间是多项式的精度参数eps。以前，即使对于k=2的情况，也只知道对eps具有指数依赖性的算法。
2010-08-18 cs.CC cs.DS cs.LG
A parameterized approximation scheme for the 2D-Knapsack problem with wide items
针对不允许旋转的原始二维背包问题的参数化近似方案这一开放难题，本文在边长整数多项式有界、物品为宽型、包围盒纵横比常数有界的假设下，结合颜色编码、舍入与动态规划技术，提出了对应的参数化近似方案。
2023-07-20 cs.DS
Simple Deterministic Approximation for Submodular Multiple Knapsack Problem
针对子模多背包问题，本文提出了一种近似比达(1-e^{-1}-ε)的简单确定性组合算法，采用与已有随机复杂算法截然不同的思路，填补了该问题简单确定性近似方案的研究空白。
2023-07-19 cs.DS
Boolean function analysis meets stochastic optimization: An approximation scheme for stochastic knapsack
随机背包问题是经典背包问题的随机变体，在经典背包问题中，算法设计者被赋予具有给定容量和物品集合的背包，其中每个物品与利润和其大小的概率分布相关联。目标是选择具有最大利润的项目的子集，并且以至多$p$的概率（称为溢出概率）违反容量约束。虽然几个近似算法已经开发了这个问题，大多数这些算法放宽了背包的容量约束。在本文中，我们设计了有效的近似计划，这个问题没有放松的能力约束。(i)我们的第一个结果是在项目大小是伯努利随机变量的情况下。在这种情况下，我们设计了一个（几乎）完全多项式时间近似方案（FPTAS），它只放宽了溢出概率。(ii)我们的第二个结果将第一个结果推广到所有项目大小都支持一个（公共）恒定大小集的情况。(iii)我们的第三个结果是在项目大小是所谓的“超收缩”随机变量的情况下，即，二阶矩和四阶矩在彼此的常数因子内的随机变量。换句话说，随机变量的峰度的上限是一个常数。至关重要的是，我们所有的算法都完全满足容量约束，这一结果以前只有当项目大小是泊松或高斯随机变量时才知道。我们的研究结果依赖于布尔函数分析和随机优化之间的新的连接。我们相信，这些想法和技术可能被证明是有用的，以及在其他随机优化问题。
2017-12-04 cs.DS
A tight 1/3-approximation algorithm and fully polynomial-time approximation schemes for the Colored Knapsack Problem
Sapienza University of Rome（罗马第一大学）
针对彩色背包问题，提出首个近似算法（性能比1/3）及两个FPTAS，通过舍入LP解和利润缩放实现多项式时间近似。
2026-09-17 cs.DS math.OC
Faster Knapsack Algorithms via Bounded Monotone Min-Plus-Convolution
我们提出了新的精确和近似算法0-1-背包和无界背包：* 精确算法0-1-背包：0- 1-背包有已知的算法运行的时间$\widetilde{O}(n + \min\{n OPT, n W, OPT^2, W^2\})$，其中$n$是项目的数量，$W$是重量预算，$OPT$是最佳利润。我们提出了一个在时间上运行的算法$\widetilde{O}(n + (W + OPT)^{1.5})$。这在$n,W,OPT$大致相等的情况下改善了运行时间。* 无界背包的精确算法：无界背包具有在时间上运行的已知算法$\widetilde{O}(n + \min\{n \cdot p_{\max}, n \cdot w_{\max}, p_{\max}^2, w_{\max}^2\})$ [Axiotis，Tzamos '19，Jansen，Rohwedder '19，Chan，He '20]，其中$n$是物品的数量，$w_{\max}$是任何物品的最大重量，并且$p_{\max}$是任何物品的最大利润。我们提出了一个算法运行在时间$\widetilde{O}(n + (p_{\max} + w_{\max})^{1.5})$，给出了类似的改进0-1-背包。* 近似无限背包与资源扩增：无限背包有一个已知的FPTAS与运行时间$\widetilde{O}(\min\{n/\varepsilon, n + …
2022-05-17 cs.DS
Improvable Knapsack Problems
我们考虑背包问题的一个变体，其中物品具有不同的可能权重。对这些项目的改进使用单独的预算，问题是：哪些项目应该改进到何种程度，从而产生的经典背包问题产生最大的利润？我们提出了一个详细的分析，几种情况下的可改进的背包问题，提出常数因子近似算法和两个PTAS。
2016-07-28 cs.DS math.OC
On Two Dimensional Orthogonal Knapsack Problem
在本文中，我们研究了背包问题：给定一个列表的正方形的利润，我们被要求包装的一个子列表，他们到一个矩形箱（不是一个单位正方形箱），使利润在箱尽可能大。我们首先观察到对于大资源的矩形箱中的加权平方的装箱问题存在一个多项式时间近似算法（PTAS），然后将PTAS应用于具有利润的矩形箱中的加权平方的装箱问题，得到一个$\frac65+ε$近似算法。
2008-03-29 cs.CC cs.DS
Nearly Linear Time Deterministic Algorithms for Submodular Maximization Under Knapsack Constraint and Beyond
在这项工作中，我们研究了经典的次模最大化问题下的背包约束和超越。我们首先提出了一个$(7/16-\varepsilon)$-近似算法的单背包约束，这需要$O(n\cdot\max\{\varepsilon^{-1},\log\log n\})$查询，并在流设置两个通行证。这提供了近似比、查询复杂度和流上的传递次数的改进。接下来，我们表明，存在一个$(1/2-\varepsilon)$-近似确定性算法的常数数量的二进制包装约束，实现了查询复杂度为$O_{\varepsilon}(n\cdot\log \log n)$。我们的确定性算法的一个显著特点是，它的近似比和时间复杂度是独立的约束的数量。最后给出了$p$-系统与$d$背包约束求交的近似线性时间算法，得到了$(1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对单调目标和$(p/(p+1)(2p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对非单调目标的逼近比。
2020-12-21 cs.DS
A Better-Than-$3$ Approximation Algorithm for Demand Matching via Knapsack Intersection LP and Contention Resolution
MIT（麻省理工学院）
针对需求匹配问题，通过背包交集线性规划松弛和冲突消解方案，首次给出优于3的随机近似算法，达到约2.914的近似比，二分图情形可达2+ε。
2026-09-17 cs.DM cs.DS math.CO
Enhanced Deterministic Approximation Algorithm for Non-monotone Submodular Maximization under Knapsack Constraint with Linear Query Complexity
Phenikaa University（范尼卡大学）；ORLab（OR实验室）
本研究针对背包约束下的非单调子模极大化问题，通过优化阈值贪链子程序与候选不相交集构建，将最快确定性算法的近似比从$6+ε$提升至$5+ε$，同时保持$O(n)$线性查询复杂度。
2024-05-20 cs.AI cs.DS
Submodular Optimization with Submodular Cover and Submodular Knapsack Constraints
University of Washington（华盛顿大学）
我们研究了两个新的优化问题-最小化submodular函数的submodular下限约束（submodular覆盖）和最大化submodular函数的submodular上限约束（submodular背包）。我们的动机是在机器学习中的一些实际应用，包括传感器放置和数据子集选择，这需要最大化某个子模块功能（如覆盖或多样性），同时最小化另一个（如合作成本）。这些问题通常被提出来最小化子模函数之间的差异[14，35]，这在最坏的情况下是不可近似的。然而，我们表明，通过措辞这些问题的约束优化，这是更自然的许多应用程序，我们实现了一些有界近似的保证。我们还表明，这两个问题是密切相关的，一个近似算法解决一个可以用来获得一个近似保证其他。我们提供了硬度的结果，从而表明我们的近似因子是紧对数因子的问题。最后，我们实证证明了我们的算法的性能和良好的可扩展性。
2013-11-08 cs.AI cs.DM cs.DS
Faster Deterministic Approximation for Counting Knapsack
University of California Berkeley（加州大学伯克利分校）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本研究针对#P难的#Knapsack问题，提出时间复杂度为Õ(n².4/poly(ε))的确定性(1+ε)近似算法，突破了此前确定性算法的n².5时间壁垒，核心创新为确定性模拟平衡技术。
2026-10-14 cs.DS
An Improved FPTAS for 0-1 Knapsack
0-1背包问题是一个重要的NP-难问题，它允许完全多项式时间近似方案（FPTAS）。Chan（2018）之前使用近似因子$1+\varepsilon$的最快FPTAS在$\tilde O(n + (1/\varepsilon)^{12/5})$时间内运行，其中$\tilde O$隐藏了多对数因子。在本文中，我们提出了一种改进的算法在$\tilde O(n+(1/\varepsilon)^{9/4})$时间，只有$(1/\varepsilon)^{1/4}$的差距，从二次条件下界的基础上$(\min,+)$ -卷积。我们的改进来自于Chan数论构造的多级扩展，以及一个贪婪引理，它减少了花费在廉价物品上的不必要的计算。
2019-04-21 cs.DS
An Approximate Dynamic Programming Approach to The Incremental Knapsack Problem
我们研究的增量背包问题，其中一个希望顺序包装物品到背包的容量扩大在有限的规划范围内，与时间平均利润最大化的目标。虽然各种近似算法减轻结构假设下开发，获得非平凡的性能保证，这个问题在其最大的一般性仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们设计了一个多项式时间近似方案的一般情况下的增量背包问题，这是最强的保证可能现有的硬度结果。与以前的工作相比，我们的算法方法利用近似的动态规划制定。从一个简单的指数大小的动态程序，我们证明了一个适当的组合状态修剪的想法产生一个多项式大小的状态空间，最优性损失可以忽略不计。这个配方的分析综合了各种技术，包括新的问题分解，简约的计数参数，有效的舍入方法，可能是更广泛的兴趣。
2020-10-15 cs.DS
Approximating the Incremental Knapsack Problem
我们考虑0-1增量背包问题（IKP）的容量随着时间的推移而增长，如果一个项目被放置在背包在一定时期内，它不能被删除之后。包装物品在每个时间段内的贡献取决于其利润以及反映该时间段在目标函数中的重要性的时间因子。该问题要求在整个时间范围内最大化利润的加权和。在这项工作中，我们提供了近似结果IKP及其限制的变种。在某些结果中，我们依赖于线性规划（LP）来推导近似界，并展示了如何将所提出的基于LP的分析视为更正式的证明系统的有效替代方案。我们首先设法证明目前在文献中的通用算法的一些近似比的紧密性，最初应用于时不变版本的问题。我们还设计了一个多项式时间近似方案（PTAS）时，输入值指示的周期数被认为是一个常数。然后，我们添加了一个温和而自然的假设，即每个项目都可以在第一个时间段内打包。对于这种变体，我们讨论了不同的近似算法适合于任何数量的时间段和特殊情况下，两个周期。
2018-01-15 cs.DS
The Stochastic Bilevel Continuous Knapsack Problem with Uncertain Follower's Objective
我们考虑一个双层连续背包问题，其中领导者控制背包的容量，而追随者选择一个可行的包装最大化自己的利润。领导者的目标是优化一个线性目标函数的能力和追随者的解决方案，但相对于不同的项目价值。我们解决这个问题的随机版本的追随者的利润是不确定的领导者的角度来看，只有一个概率分布是已知的。假设领导者的目标是优化她的目标函数的期望值，我们首先观察到，只要明确给出可能的场景作为输入的一部分，随机问题是容易处理的，这也允许使用样本平均近似来处理一般分布。对于独立和均匀分布的项目值的情况下，我们表明，该问题是P-硬的一般情况下，同样是真实的，甚至评估领导者的目标函数。然而，我们提出了伪多项式时间算法，在这种情况下，运行在时间线性的项目的总大小。在此基础上，我们得到了一个附加的近似计划的一般情况下，独立分布的项目的价值观，它运行在伪多项式时间。
2022-07-18 cs.DM cs.DS math.OC
On the Two-Dimensional Knapsack Problem for Convex Polygons
研究了凸多边形的二维的【形】几何背包问题。给定一组加权凸多边形和一个正方形背包，目标是选择给定多边形中最有利可图的子集，该子集非重叠地适合背包。我们允许旋转多边形的任意角度。我们提出了一个准多项式时间的$O(1)$ -近似算法的一般情况下和多项式时间的$O(1)$-近似算法，如果所有的输入多边形是三角形，都假设多项式有界的积分输入数据。此外，我们给出了一个准多项式时间算法，计算的最优权重下的资源增加，即，对于某些$δ>0$，我们允许将背包的大小增加因子$1+δ$，但是将我们自己与原始背包的最优解进行比较。据我们所知，这些是第一个结果的二维的【形】几何背包中的输入对象是更一般的比轴平行的矩形或圆形，其中输入多边形可以旋转任意角度。
2020-07-31 cs.CG cs.DS
Correlated Stochastic Knapsack with a Submodular Objective
研究了具有任意附加约束的次模目标函数的相关随机背包问题。我们利用子模函数的多线性扩展，并将其与Ma [Mathematics of Operations Research，第43卷（3），2018]中关于相关随机背包问题的放松线性约束的适应捆绑在一起。然后通过随机连续贪心算法求解松弛，并通过一种新方法进行舍入，以适应争用解决方案（Feldman等人[FOCS 2011]）。我们获得了一种伪多项式时间$(1 - 1/\sqrt{e})/2 \simeq 0.1967$近似算法，无论是否存在这些附加约束，消除了关键假设的需要，并改进了Fukunaga等人的$(1 - 1/\sqrt[4]{e})/2 \simeq 0.1106$近似[AAAI 2019]。
2022-08-03 cs.DS
Approximation Algorithms for Correlated Knapsacks and Non-Martingale Bandits
在随机背包问题中，我们给定一个大小为B的背包，以及一组工作，其大小和报酬来自已知的概率分布。然而，我们只有在工作完成时才知道实际的大小和奖励。我们应该如何安排工作以最大化预期的总回报？当我们假设（i）奖励和规模是独立的随机变量，并且（ii）我们不能过早地取消作业时，我们知道O（1）近似。当这两个假设中的一个或两个都改变时，我们能说什么呢？随机背包问题是在其本身的权利感兴趣，但它的技术开发适用于其他随机包装问题。实际上，这个问题的想法对于预算学习问题是有用的，在预算学习问题中，一个人被给予几个手臂，这些手臂在每次拉动时以指定的随机方式进化，目标是拉动手臂总共B次，以最大化获得的奖励。最近关于这个问题的许多工作都集中在武器的演变遵循鞅的情况下，即，当来自未来的期望奖励与当前状态的奖励相同时。当报酬不构成鞅时，我们能说什么？本文对具有相关性和/或可消性的随机背包问题以及不满足鞅条件的预算学习问题给出了常因子近似算法。事实上，我们可以证明，以前提出的LP松弛有很大的完整性差距。我们提出了新的时间索引的LP松弛，并将分数的解决方案转换为分布的战略，然后使用LP值和时间排序信息，从这些战略，设计一个随机自适应调度算法。我们希望我们的LP制定和分解方法可以提供一种新的方式来解决其他相关的强盗问题更一般的情况下。
2011-02-18 cs.DS
Maximum Coverage with Cluster Constraints: An LP-Based Approximation Technique
布局问题是一类重要的优化问题，因为它们具有很高的实用性和理论吸引力。然而，尽管在文献中已经研究了大量的变体，大多数包装问题只包括一个单一的层的容量限制。例如，在多背包问题中，我们将物品分配给多个背包，以使其容量不被超过。但是，如果这些背包被划分为集群，每个集群对集群中包含的背包施加额外的容量限制，那会怎么样呢？本文研究了簇约束的最大覆盖问题（MCPC），它通过引入簇约束推广了背包约束的最大覆盖问题（MCPK）。我们的主要贡献是一个一般的LP为基础的技术，以获得集群容量限制问题的近似算法。我们的技术使我们能够减少集群容量限制的问题，各自的原始包装问题。通过使用基于LP的近似算法的原始问题，我们可以得到一个有效的舍入方案的问题，它只失去了一小部分的近似保证。我们应用我们的技术来获得近似算法MCPC。为此，我们开发了一个基于LP的$\frac12(1-\frac1e)$ -近似算法的MCPK通过调整的pipage舍入技术。结合我们的约简技术，我们得到了MCPC的一个$\frac13(1-\frac1e)$ -近似算法.我们还得到了改进的结果，MCPC的一个特殊情况下，集群约束的多背包问题（MKPC）。基于一个简单的贪心算法，我们的方法产生一个$\frac13$ -近似算法。通过结合我们的技术与一个更复杂的迭代舍入方法，我们得到了$\frac12$ -近似算法的某些特殊情况下的MKPC。
2020-12-08 cs.DS math.OC
Non-monotone submodular maximization under matroid and knapsack constraints
次模函数最大化是组合优化中的一个中心问题，它概括了许多重要的问题，包括有向/无向图和超图中的最大割、某些约束满足问题、最大熵抽样和最大设施位置问题。与次模最小化不同，次模最大化是NP-难的。对于最大化非单调次模函数的问题，Feige、Mirrokni和Vondrák最近开发了一个$2\over 5$ -近似算法\cite{FMV07}，然而，他们的算法不处理边约束。本文给出了求多个拟阵或背包约束下非负次模函数最大值的第一个常因子逼近算法。我们强调，我们的结果是对{ \em非单调}次模函数。特别是，对于任何常数$k$，我们提出了一个$({1\over k+2+{1\over k}+ε})$ -近似的子模极大化问题下的$k$拟阵约束，和$({1\over 5}-ε)$ -近似算法，这个问题受到$k$背包约束（$ε>0$是任何常数）。对于$k\ge 2$划分拟阵的约束，我们将算法的近似保证改进为${1\over k+1+{1\over k-1}+ε}$.这个想法也给出了一个$({1\over k+ε})$ -近似最大化的{ \em单调}子模函数的$k\ge 2$分区拟阵，这改善了以前最好的已知的保证$\frac{1}{k+1}$。
2009-02-02 cs.CC cs.DS
Fair Submodular Maximization over a Knapsack Constraint
本文研究背包约束下带颜色公平约束的子模最大化问题，证明颜色数为常数时存在高概率常数近似的多项式算法，且约束松弛为期望满足时可达到紧的(1-1/e-ε)期望近似比。
2025-05-17 cs.DS
Parameterized Approximation Schemes for Independent Set of Rectangles and Geometric Knapsack
参数化近似的领域试图将近似和参数化算法相结合，以获得，例如，（1+eps）-f（k，eps）n^{O（1）}时间的近似，其中k是输入的某个参数。1）在最大矩形独立集问题（MISR）中，给定一个n轴平行矩形集。我们的目标是选择一个最大基数子集的两两不重叠的矩形。这个问题是NP难的，也是W[1]-难的[Marx，ESA'05]。最著名的多项式时间近似因子是O（loglog n）[Chalermsook和Chuzhoy，SODA'09]，它允许QPTAS [Adamaszek和Wiese，FOCS'13; Chuzhoy和Ene，FOCS'16]。在这里，我们提出了一个参数化近似方案（PAS）MISR，即算法，对于任何给定的常数eps>0和整数k>0，在时间f（k，eps）n^{g（eps）}，要么输出大小至少为k/（1+eps）的解决方案，或声明最佳解决方案的大小小于k。2)在二维几何背包问题（TDK）中，我们给出了一个轴对齐的正方形背包和一个轴对齐的矩形集合。我们的目标是将项目的最大基数子集转换到背包中，以便所选项目不重叠。在带有旋转的TDK（TDKR）版本中，我们可以将项目旋转90度。这两种变体都是NP难的，最著名的多项式时间近似因子分别是558/325+eps和4/3+eps。[Galvez等人，FOCS'17]。这些问题允许多项式有界项目大小的QPTAS [Adamaszek和…
2019-06-26 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Matroid and Knapsack Median Problems and Applications
我们考虑{ \em拟阵中位数}问题\cite{KrishnaswamyKNSS11}，其中我们给出了一组设施的开放成本和拟阵上的设施集，和客户端的需求和连接成本，我们试图打开一个独立集的设施和客户端分配到开放设施，以尽量减少设施开放和客户端连接成本的总和。我们给出了一个简单的基于LP-舍入的8-近似算法，它改进了\cite{KrishnaswamyKNSS11}中的16-近似。我们的技术表明，在\cite{KrishnaswamyKNSS11}的舍入算法中所涉及的大部分工作可以通过首先将LP解转换为半积分解来避免，然后可以使用简单的无容量设施位置（UFL）风格的聚类步骤将其舍入为整数解。我们说明了这些想法的力量，得出：（a）一个24-近似算法的拟阵中位数与处罚，这是一个巨大的改进，在\cite{KrishnaswamyKNSS11}中获得的360-近似;和（b）一个8-近似{ \em两个拟阵中位数}的问题，一个推广的拟阵中位数，我们介绍涉及两个拟阵。我们表明，各种看似不同的设施位置的问题，在文献中考虑-数据放置问题，移动设施的位置，$k$ -中值森林，度量统一的最小延迟UFL-实际上减少到拟阵中位数或两个拟阵中位数的问题，从而获得改进的近似保证所有这些问题。我们的技术也产生了改进的背包中位数问题。
2016-09-29 cs.DS
Approximating Geometric Knapsack via L-packings
我们研究了二维几何背包问题（2DK），其中我们给出了一组n轴对齐的矩形项目，每一个相关的利润，和一个轴对齐的正方形背包。目标是找到背包内物品的最大利润子集的（非重叠）包装（没有旋转物品）。这个问题最著名的多项式时间近似因子（即使只是在基数的情况下）是（2 + ε）[Jansen and Zhang，SODA 2004]。在本文中，我们打破了2近似的障碍，实现了多项式时间的（17/9 + ε）< 1.89近似，在基数情况下提高到（558/325 + ε）< 1.72。基本上所有关于2DK近似的先前工作都将物品包装在恒定数量的矩形容器内，其中每个容器内的物品使用简单的贪婪策略包装。我们偏离了第一次从这个设置：我们表明，存在一个大的利润解决方案，其中项目是装在一个恒定数量的容器加上一个L形区域的边界上的背包，其中包含的项目是高，窄，项目是宽，薄。作为本文的第二个主要和主要的算法贡献，我们提出了一个PTAS这种情况下。我们相信，这将是有用的，在未来的工作中的几何包装问题。我们还考虑了旋转问题的变体（2DKR），其中物品可以旋转90度。此外，在这种情况下，最著名的多项式时间近似因子（即使对于基数情况）是（2 + ε）[Jansen and Zhang，SODA 2004]。利用2DK的部分机制加上一些额外的想法，我们得到了2DKR的多项式时间（3/2 + ε）近似，在基数情况下改进为（4/3…
2017-11-21 cs.CG cs.DS
Non-Monotone Submodular Maximization with Multiple Knapsacks in Static and Dynamic Settings
Hasso Plattner Institute（哈索普拉特纳研究所）；The University of Adelaide（阿德莱德大学）
研究了多背包约束下非单调次模函数的最大化问题。我们提出了一个简单的离散贪心算法来解决这个问题，并证明了它产生强逼近保证的功能有界曲率。与其他算法相比，这不需要问题松弛到连续域，并且在问题大小上保持恒定因子近似保证。在单背包的情况下，我们的分析表明，标准的贪婪可以用于非单调设置。此外，我们研究这个问题在一个动态的设置，背包的变化过程中的优化过程。我们修改我们的贪心算法，以避免在每个约束更新完全重新启动。这种修改保留了静态情况下的近似保证。我们评估我们的实验结果的视频摘要和传感器的位置任务。我们表明，我们提出的算法竞争与国家的最先进的静态设置。此外，我们表明，在动态设置与紧张的计算时间预算，我们修改后的贪婪产生显着的改善从零开始的贪婪，在解决方案的质量。
2020-02-18 cs.DS cs.LG
$(1-ε)$-Approximation of Knapsack in Nearly Quadratic Time
针对背包$(1-ε)$-近似问题，本文提出确定性近似方案，通过递归扩展引理归约问题并运用基于几何的算法，实现了$\tilde O(n+(1/ε)^2)$的运行时间，匹配了下界。
2025-08-10 cs.DS
Constant approximation for fault-tolerant median problems via iterative rounding
本文研究了容错拟阵中值和容错背包中值问题。这两个问题推广了许多基本的聚类和设施定位问题，如一致容错$k$ -中位数，一致容错设施定位，拟阵中位数，背包中位数等，我们提出了一个通用的迭代舍入框架，并得到一个统一的常数因子近似算法。
2022-05-10 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Three-Dimensional Knapsack
针对三维背包问题，提出基于容器装箱的改进近似算法，将近似比从7+ε降至4.794，旋转情形降至4.286，并覆盖基数与均匀利润密度变体。
2025-03-25 cs.DS
Beyond Pointwise Submodularity: Non-Monotone Adaptive Submodular Maximization subject to Knapsack and $k$-System Constraints
The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文研究了带有背包和$k$ -系统约束的非单调自适应次模极大化问题。我们的问题的输入是一组项目，其中每个项目都有一个特定的状态，从一个已知的先验分布。然而，一个项目的状态最初是未知的，必须选择一个项目，以揭示该项目的状态。有一个效用函数是定义在项目和状态上的。我们的目标是顺序选择一组项目，以最大化预期效用。虽然基数约束非单调自适应次模极大化问题在文献中得到了很好的研究，但背包约束或$k$ -系统约束的自适应次模极大化问题是否存在常数近似解仍然是一个悬而未决的问题.事实上，它只解决了点态子模性的额外假设。在本文中，我们删除了点态子模性的共同假设，并提出了第一常数近似解决方案的两种情况。最近的两项研究的启发，非单调自适应子模块最大化，我们开发了一个基于采样的随机算法，实现了一个背包约束的情况下的$\frac{1}{10}$近似，并实现了$\frac{1}{2k+4}$近似比的情况下的$k$系统约束。
2021-09-28 cs.DS cs.LG
A Nearly-linear Time Algorithm for Submodular Maximization with a Knapsack Constraint
考虑了背包约束下单调次模函数的极大化问题。我们的主要贡献是一个算法，实现了接近最佳，$1 - 1/e - ε$近似，使用$(1/ε)^{O(1/ε^4)} n \log^2{n}$功能评价和算术运算。我们的算法是不切实际的，但在理论上是有趣的，因为它克服了一个基本的运行时间瓶颈的多线性扩展松弛框架。这是为重要的约束类获得接近最优近似保证的主要方法，但它会导致$Ω(n^2)$运行时间，因为评估多线性扩展是昂贵的。我们的算法维护了一个分数解，其中只有恒定数量的严格分数条目，这使我们能够克服这个障碍。
2018-11-19 cs.DS
Improved Approximation for Two-dimensional Vector Multiple Knapsack
本文研究二维向量多重背包问题，通过将 Round&Approx 框架适配到最大化问题并结合随机舍入与一维多重背包归约，提出了近似比为 $(1-\frac{\ln 2}{2}-\varepsilon)$ 的改进算法。
2023-07-05 cs.DS
Adversarially Robust Submodular Maximization under Knapsack Constraints
Indiana University（印第安纳大学）；MIT（麻省理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
我们提出了第一个adversarially强大的算法，单调子模块最大化下的单个和多个背包的约束，可扩展的实现在分布式和流媒体设置。对于一个单一的背包约束，我们的算法输出一个强大的总结几乎最佳（多对数因子）的大小，从中可以构建一个常数因子近似的最优解。对于多个背包约束，我们的近似是在一个常数因子的最佳已知的非鲁棒解决方案。我们评估我们的算法的性能比较现有的非鲁棒算法的自然鲁棒性下两个目标：1）支配集从Facebook和Twitter收集的斯坦福网络分析项目（SNAP），2）电影推荐的数据集MovieLens的大型社交网络图。实验结果表明，我们的算法给出了最好的目标，为大多数的输入，并显示出强大的性能，即使离线算法，预先给定的一组删除。
2019-05-07 cs.DS cs.LG
Group Fairness for Knapsack Problems
研究了具有群体公平性约束的背包问题。问题的输入由一个有界容量的背包和一组物品组成，每个物品属于一个特定的类别，并具有相关的权重和值。这个问题的目标是选择一个子集的项目，使所有类别都公平地表示，所选项目的总重量不超过背包的容量，总价值最大化。我们研究的公平性参数，如从每个类别的项目的总价值的界限，从每个类别的项目的总权重，从每个类别的项目的总数。我们给出了这些问题的近似算法。这些公平的概念也可以扩展到最小背包问题。公平背包问题包含了参与式预算、公平预算分配、广告等重要问题。
2021-01-16 cs.DS
Linear Query Approximation Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization under Knapsack Constraint
Phenikaa University（菲尼卡大学）；VNU University of Engineering and Technology（越南国立大学工程技术大学）；University of Florida（佛罗里达大学）
本文首次提出两个线性查询复杂度的常数因子近似算法DLA和RLA，用于求解背包约束下非单调次模最大化问题，并通过实验验证其在保证结果质量的同时显著减少查询次数。
2023-07-10 cs.AI cs.DS
