Maximizing a Monotone Submodular Function with a Bounded Curvature under a Knapsack Constraint
考虑了背包约束下单调次模函数的极大化问题。我们表明，对于任何固定的$ε> 0$，存在一个多项式时间算法的近似比$1-c/e-ε$，其中$c \in [0,1]$是（总）曲率的输入函数。对于任何$c \in [0,1]$，该近似比接近$ε$。据我们所知，这是第一个结果的背包约束，结合曲率，以获得比$1-1/e$，这是紧一般的次模函数的近似比。作为我们的结果的应用，我们提出了一个多项式时间算法的预算分配问题的改进的近似比。
2016-07-15 cs.DS
Nearly Linear Time Deterministic Algorithms for Submodular Maximization Under Knapsack Constraint and Beyond
在这项工作中，我们研究了经典的次模最大化问题下的背包约束和超越。我们首先提出了一个$(7/16-\varepsilon)$-近似算法的单背包约束，这需要$O(n\cdot\max\{\varepsilon^{-1},\log\log n\})$查询，并在流设置两个通行证。这提供了近似比、查询复杂度和流上的传递次数的改进。接下来，我们表明，存在一个$(1/2-\varepsilon)$-近似确定性算法的常数数量的二进制包装约束，实现了查询复杂度为$O_{\varepsilon}(n\cdot\log \log n)$。我们的确定性算法的一个显著特点是，它的近似比和时间复杂度是独立的约束的数量。最后给出了$p$-系统与$d$背包约束求交的近似线性时间算法，得到了$(1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对单调目标和$(p/(p+1)(2p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对非单调目标的逼近比。
2020-12-21 cs.DS
Approximations for Monotone and Non-monotone Submodular Maximization with Knapsack Constraints
次模最大化推广了离散优化中的许多基本问题，包括有向/无向图的最大割、最大覆盖、最大设施位置和社交网络上的营销。本文研究了在$d$背包约束下的子模函数的最大化问题，其中$d$是一个固定常数.我们建立了一个强大的关系之间的离散问题和它的连续松弛，通过{ \em扩展的期望}的次模函数。形式上，我们表明，对于任何非负的子模函数，$α$ -近似算法的连续松弛意味着一个随机的$(α- \eps)$ -近似算法的离散问题。我们使用这个关系，以提高最好的已知的逼近比的问题$1/4- \eps$，任何$\eps > 0$，并获得一个接近最佳的$(1-e^{-1}-\eps)-$逼近比的单调情况下，任何$\eps>0$。我们进一步表明，由连续解定义的概率域可以减少到产生一个多项式大小的域，给出一个预言的期望扩展。这导致我们的技术的确定性版本。
2011-01-15 cs.DM cs.DS
Fair Submodular Maximization over a Knapsack Constraint
本文研究背包约束下带颜色公平约束的子模最大化问题，证明颜色数为常数时存在高概率常数近似的多项式算法，且约束松弛为期望满足时可达到紧的(1-1/e-ε)期望近似比。
2025-05-17 cs.DS
A new exact approach for the Bilevel Knapsack with Interdiction Constraints
我们认为，双层背包与拦截约束，经典的0-1背包问题的扩展制定为Stackelberg游戏与两个代理，领导者和追随者，选择项目从一个共同的集合，并持有自己的私人背包。首先，领导者选择一些项目被拦截的追随者，同时满足能力约束。然后跟随者根据他的背包约束打包一组剩余的物品，以最大化利润。领导者的目标是使追随者的利润最小化。两个决策层的存在使得这个问题在实践中很难解决：目前最先进的算法最多只能解决50-55个项目的最优性实例。我们推导出有效的下界，并提出了一个新的精确的方法，利用诱导跟随器的问题的结构。该方法在最坏的情况下在一秒内成功解决了所有基准测试实例，并在60秒内解决了多达500个项目的较大实例。
2018-11-12 cs.DS cs.GT
An Almost Optimal Approximation Algorithm for Monotone Submodular Multiple Knapsack
研究了多背包约束下单调次模函数的极大化问题。输入是一组项目$I$，每个项目具有非负权重，以及一组任意容量的箱。此外，我们给出了一个子模，单调和非负的功能$f$的子集的项目。目标是找到箱子中的项目子集$A \subseteq I$的包装，使得$f(A)$最大化。我们的主要结果是一个几乎最优的多项式时间$(1-e^{-1}-\varepsilon)$ -近似算法的问题，任何$\varepsilon>0$。该算法依赖于一种结构化技术，该技术将一般的多背包约束转换为一个约束，在该约束中，箱被划分成指数增加的基数组，每个组由均匀容量的箱组成。我们得出的结果，结合结构的子模块优化技术的背包约束的精细分析。
2021-04-16 cs.DS
A Nearly-linear Time Algorithm for Submodular Maximization with a Knapsack Constraint
考虑了背包约束下单调次模函数的极大化问题。我们的主要贡献是一个算法，实现了接近最佳，$1 - 1/e - ε$近似，使用$(1/ε)^{O(1/ε^4)} n \log^2{n}$功能评价和算术运算。我们的算法是不切实际的，但在理论上是有趣的，因为它克服了一个基本的运行时间瓶颈的多线性扩展松弛框架。这是为重要的约束类获得接近最优近似保证的主要方法，但它会导致$Ω(n^2)$运行时间，因为评估多线性扩展是昂贵的。我们的算法维护了一个分数解，其中只有恒定数量的严格分数条目，这使我们能够克服这个障碍。
2018-11-19 cs.DS
Adversarially Robust Submodular Maximization under Knapsack Constraints
Indiana University（印第安纳大学）；MIT（麻省理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
我们提出了第一个adversarially强大的算法，单调子模块最大化下的单个和多个背包的约束，可扩展的实现在分布式和流媒体设置。对于一个单一的背包约束，我们的算法输出一个强大的总结几乎最佳（多对数因子）的大小，从中可以构建一个常数因子近似的最优解。对于多个背包约束，我们的近似是在一个常数因子的最佳已知的非鲁棒解决方案。我们评估我们的算法的性能比较现有的非鲁棒算法的自然鲁棒性下两个目标：1）支配集从Facebook和Twitter收集的斯坦福网络分析项目（SNAP），2）电影推荐的数据集MovieLens的大型社交网络图。实验结果表明，我们的算法给出了最好的目标，为大多数的输入，并显示出强大的性能，即使离线算法，预先给定的一组删除。
2019-05-07 cs.DS cs.LG
Dependent randomized rounding for clustering and partition systems with knapsack constraints
本文研究带背包与分区约束的公平聚类，提出依赖随机舍入算法，为多背包中位数和中心问题给出新的近似与伪近似保证，并建立无界方差随机变量和的新尾界。
2024-05-11 cs.DS
Submodular Optimization with Submodular Cover and Submodular Knapsack Constraints
University of Washington（华盛顿大学）
我们研究了两个新的优化问题-最小化submodular函数的submodular下限约束（submodular覆盖）和最大化submodular函数的submodular上限约束（submodular背包）。我们的动机是在机器学习中的一些实际应用，包括传感器放置和数据子集选择，这需要最大化某个子模块功能（如覆盖或多样性），同时最小化另一个（如合作成本）。这些问题通常被提出来最小化子模函数之间的差异[14，35]，这在最坏的情况下是不可近似的。然而，我们表明，通过措辞这些问题的约束优化，这是更自然的许多应用程序，我们实现了一些有界近似的保证。我们还表明，这两个问题是密切相关的，一个近似算法解决一个可以用来获得一个近似保证其他。我们提供了硬度的结果，从而表明我们的近似因子是紧对数因子的问题。最后，我们实证证明了我们的算法的性能和良好的可扩展性。
2013-11-08 cs.AI cs.DM cs.DS
Correlated Stochastic Knapsack with a Submodular Objective
研究了具有任意附加约束的次模目标函数的相关随机背包问题。我们利用子模函数的多线性扩展，并将其与Ma [Mathematics of Operations Research，第43卷（3），2018]中关于相关随机背包问题的放松线性约束的适应捆绑在一起。然后通过随机连续贪心算法求解松弛，并通过一种新方法进行舍入，以适应争用解决方案（Feldman等人[FOCS 2011]）。我们获得了一种伪多项式时间$(1 - 1/\sqrt{e})/2 \simeq 0.1967$近似算法，无论是否存在这些附加约束，消除了关键假设的需要，并改进了Fukunaga等人的$(1 - 1/\sqrt[4]{e})/2 \simeq 0.1106$近似[AAAI 2019]。
2022-08-03 cs.DS
Deterministic Algorithm for Non-monotone Submodular Maximization under Matroid and Knapsack Constraints
Institute of Computing Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算技术研究所）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
本文提出确定性算法，在Matroid和Knapsack约束下最大化非单调子模函数，分别达到0.385-ε和0.367-ε的近似比，优于现有结果。
2026-03-16 cs.CC cs.DS math.OC
Competitive Algorithms for the Online Multiple Knapsack Problem with Application to Electric Vehicle Charging
我们介绍和研究了一个一般版本的分数在线背包问题，多个背包，异构的限制，哪些项目可以分配给哪个背包，和速率限制的限制，分配项目的背包。这个问题概括了背包问题和单向交易问题的变化，以前已被单独处理，并另外发现应用到电动汽车（EV）充电的实时控制。我们引入了一种新的算法，实现了竞争比的一个最佳可实现的竞争比的一般问题和匹配或改进后，最知名的竞争比的背包和单向交易文献中的特殊情况下的一个添加剂因子。此外，我们的分析提供了一种新的方法，在线算法设计的基础上，连接识别最坏情况下的算法设计的实例相关的原始-对偶分析。最后，我们说明了所提出的算法，通过跟踪为基础的实验电动汽车充电。
2020-10-17 cs.DS
An Exact Solver for Submodular Knapsack Problems
针对子模函数背包约束最大化的 NP 难精确求解需求，提出定制分支定界算法及加速技术，并在人工与真实实例上验证其优于现有强求解器。
2025-10-20 cs.DM cs.DS
Streaming Algorithms for News and Scientific Literature Recommendation: Submodular Maximization with a d-Knapsack Constraint
Texas A&M University（德克萨斯A&M大学）
次模极大化问题属于组合优化问题族，有着广泛的应用。在本文中，我们专注于最大化单调子模函数的问题受到$d$ -背包约束，为此，我们提出了一个流算法，实现了$\left(\frac{1}{1+2d}-ε\right)$ -近似的最优值，而它只需要一个单一的通过数据集，而不存储在内存中的所有数据。在我们的实验中，我们广泛评估我们提出的算法的有效性，通过两个应用程序：新闻推荐和科学文献推荐。据观察，所提出的流算法实现了执行加速和内存节省了几个数量级，与现有的方法相比。
2016-07-05 cs.DS cs.LG
Knapsack: Connectedness, Path, and Shortest-Path
Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院卡哈拉格普尔分校）
本文研究带图论约束的背包问题，证明连通背包在最大度为四的图和星图上具有NP完全性，并基于树宽给出精确算法和近似算法，同时比较了连通、路径与最短路径背包的计算难度。
2024-01-24 cs.AI cs.DS
Efficient Branch-and-Bound for Submodular Function Maximization under Knapsack Constraint
针对子模背包问题需要精确解的需求，提出一种具有最坏情况紧度保证的新型上界和最小化重复计算的对偶分支方法的高效最优分支定界算法，实验证明其远比传统方法高效。
2025-07-15 cs.DS
Non-monotone submodular maximization under matroid and knapsack constraints
次模函数最大化是组合优化中的一个中心问题，它概括了许多重要的问题，包括有向/无向图和超图中的最大割、某些约束满足问题、最大熵抽样和最大设施位置问题。与次模最小化不同，次模最大化是NP-难的。对于最大化非单调次模函数的问题，Feige、Mirrokni和Vondrák最近开发了一个$2\over 5$ -近似算法\cite{FMV07}，然而，他们的算法不处理边约束。本文给出了求多个拟阵或背包约束下非负次模函数最大值的第一个常因子逼近算法。我们强调，我们的结果是对{ \em非单调}次模函数。特别是，对于任何常数$k$，我们提出了一个$({1\over k+2+{1\over k}+ε})$ -近似的子模极大化问题下的$k$拟阵约束，和$({1\over 5}-ε)$ -近似算法，这个问题受到$k$背包约束（$ε>0$是任何常数）。对于$k\ge 2$划分拟阵的约束，我们将算法的近似保证改进为${1\over k+1+{1\over k-1}+ε}$.这个想法也给出了一个$({1\over k+ε})$ -近似最大化的{ \em单调}子模函数的$k\ge 2$分区拟阵，这改善了以前最好的已知的保证$\frac{1}{k+1}$。
2009-02-02 cs.CC cs.DS
Beyond Pointwise Submodularity: Non-Monotone Adaptive Submodular Maximization subject to Knapsack and $k$-System Constraints
The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文研究了带有背包和$k$ -系统约束的非单调自适应次模极大化问题。我们的问题的输入是一组项目，其中每个项目都有一个特定的状态，从一个已知的先验分布。然而，一个项目的状态最初是未知的，必须选择一个项目，以揭示该项目的状态。有一个效用函数是定义在项目和状态上的。我们的目标是顺序选择一组项目，以最大化预期效用。虽然基数约束非单调自适应次模极大化问题在文献中得到了很好的研究，但背包约束或$k$ -系统约束的自适应次模极大化问题是否存在常数近似解仍然是一个悬而未决的问题.事实上，它只解决了点态子模性的额外假设。在本文中，我们删除了点态子模性的共同假设，并提出了第一常数近似解决方案的两种情况。最近的两项研究的启发，非单调自适应子模块最大化，我们开发了一个基于采样的随机算法，实现了一个背包约束的情况下的$\frac{1}{10}$近似，并实现了$\frac{1}{2k+4}$近似比的情况下的$k$系统约束。
2021-09-28 cs.DS cs.LG
A Faster FPTAS for Knapsack Problem With Cardinality Constraint
我们研究$K$ -item背包问题（即，$1.5$ -维KP），这是著名的0-1背包问题（即，$1$ -维KP），其中上限$K$被强加于所选择的项目的数量。这个问题具有根本的重要性，并且已知在各个领域中具有广泛的应用。众所周知，对于$d$维背包问题，当$d\geq 2$，除非P $=$ NP，否则不存在FPTAS。虽然已知$K$ -项目背包问题允许FPTAS，但是所有现有的FPTAS的复杂性都高度依赖于基数界限$K$和近似误差$\varepsilon$，这可能导致效率低下，特别是当$K$和$\varepsilon^{-1}$增加时。目前最好的结果是由于Mastrolilli和Hutter（2006），其中提出了两个方案，展示了空间-时间权衡-一个方案具有时间复杂度$O(n+Kz^{2}/\varepsilon^{2})$和空间复杂度$O(n+z^{3}/\varepsilon)$，而另一个方案需要$O(n+(Kz^{2}+z^{4})/\varepsilon^{2})$运行时，但只需要$O(n+z^{2}/\varepsilon)$空间，其中$z=\min\{K,1/\varepsilon\}$。在本文中，我们关闭的空间-时间的权衡表现在国家的最先进的设计一个新的FPTAS与运行时间的$\widetilde{O}(n+z^{2}/\varepsilon^{2})$，同时达到$O(n…
2020-12-12 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximation Schemes for Multiperiod Binary Knapsack Problems
多周期二进制背包问题（MPBKP）的一个实例由时域长度$T$、背包大小的非减向量$(c_1, \ldots, c_T)$（其中$c_t$表示周期$1,\ldots,t$的累积大小）和$n$项的列表给出。每个项目都是一个三元组$(r, q, d)$，其中$r$表示项目的奖励，$q$表示其大小，$d$表示其时间索引（或截止日期）。我们的目标是选择，对于每个截止日期$t$，哪些项目包括最大化的总回报，受到的约束，所有$t=1,\ldots,T$，最多$t$的截止日期所选择的项目的总大小不超过背包的累积容量的时间$t$。我们还考虑了多周期二进制背包问题与软容量约束（MPBKP-S）的容量限制被允许违反支付罚款是线性的违规。目标是使总利润最大化，即，所选项目的总奖励减去总惩罚。最后，我们考虑具有软随机容量约束的多周期二元背包问题（MPBKP-SS），其中背包大小的非减向量$(c_1, \ldots, c_T)$遵循某种任意联合分布，但我们可以访问利润作为预言，我们选择一个子集的项目以最大化总期望利润，即，总奖励减去总预期惩罚。对于MPBKP，我们展示了一个完整的多项式时间近似方案，运行时$\tilde{\mathcal{O}}\left(\min\left\{n+\frac{T^{3.25}}{ε^{2.25}},n+\frac{T^{2}}{ε^{3}},\frac{nT}{ε^2},\f…
2021-03-31 cs.DS
Boolean function analysis meets stochastic optimization: An approximation scheme for stochastic knapsack
随机背包问题是经典背包问题的随机变体，在经典背包问题中，算法设计者被赋予具有给定容量和物品集合的背包，其中每个物品与利润和其大小的概率分布相关联。目标是选择具有最大利润的项目的子集，并且以至多$p$的概率（称为溢出概率）违反容量约束。虽然几个近似算法已经开发了这个问题，大多数这些算法放宽了背包的容量约束。在本文中，我们设计了有效的近似计划，这个问题没有放松的能力约束。(i)我们的第一个结果是在项目大小是伯努利随机变量的情况下。在这种情况下，我们设计了一个（几乎）完全多项式时间近似方案（FPTAS），它只放宽了溢出概率。(ii)我们的第二个结果将第一个结果推广到所有项目大小都支持一个（公共）恒定大小集的情况。(iii)我们的第三个结果是在项目大小是所谓的“超收缩”随机变量的情况下，即，二阶矩和四阶矩在彼此的常数因子内的随机变量。换句话说，随机变量的峰度的上限是一个常数。至关重要的是，我们所有的算法都完全满足容量约束，这一结果以前只有当项目大小是泊松或高斯随机变量时才知道。我们的研究结果依赖于布尔函数分析和随机优化之间的新的连接。我们相信，这些想法和技术可能被证明是有用的，以及在其他随机优化问题。
2017-12-04 cs.DS
Revisiting Modified Greedy Algorithm for Monotone Submodular Maximization with a Knapsack Constraint
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；State University of New York at Buffalo（纽约州立大学布法罗分校）
带背包约束的单调子模最大化问题是NP-难的。已经设计了各种近似算法来解决这个优化问题。在本文中，我们重温了广为人知的修改贪心算法。首先，我们表明，该算法可以实现$0.405$的近似因子，这显着提高了已知的因素$0.357$由Wolsey和$(1-1/\mathrm{e})/2\approx 0.316$由Khuller等人给出。更重要的是，我们的分析关闭了Khuller等人的差距。的证明广泛提到的近似因子的$(1-1/\sqrt{\mathrm{e}})\approx 0.393$在文献中澄清了长期存在的误解，在这个问题上。其次，我们改进了改进的贪心算法，得到了一个依赖于数据的最优上界。我们经验证明了我们的上限与现实世界的应用程序的紧密性。该界限使我们能够获得一个数据相关的比率通常远高于$0.405$之间的修改后的贪心算法的解决方案的价值和最佳的。它还可以用来显著提高分支定界等算法的效率。
2021-01-13 cs.AI cs.DM cs.DS
Enhanced Deterministic Approximation Algorithm for Non-monotone Submodular Maximization under Knapsack Constraint with Linear Query Complexity
Phenikaa University（范尼卡大学）；ORLab（OR实验室）
本研究针对背包约束下的非单调子模极大化问题，通过优化阈值贪链子程序与候选不相交集构建，将最快确定性算法的近似比从$6+ε$提升至$5+ε$，同时保持$O(n)$线性查询复杂度。
2024-05-20 cs.AI cs.DS
Approximation Algorithms for Generalized Multidimensional Knapsack
我们研究了具有几何约束和向量约束的背包问题的推广。输入是一组矩形项目，每个项目都有一个相关的利润和$d$非负权重（$d$维向量），以及一个正方形背包。目标是找到一个非重叠的轴平行包装的一个子集的项目到给定的背包，使向量约束不被违反，即，在任何$d$维度中的所有包装物品的重量之和不超过1。我们考虑问题的两个变体：$(i)$不允许旋转项目，$(ii)$项目可以旋转90度。我们给这个问题的一个$(2+ε)$ -近似算法（两个版本）。在此过程中，我们还研究了最大广义指派问题（Max-GAP）的一个变种，称为向量最大-GAP，并设计了一个PTAS。
2021-02-11 cs.CG cs.DS
Submodular Maximization under the Intersection of Matroid and Knapsack Constraints
State Key Laboratory for Novel Software Technology, Nanjing University（南京大学计算机软件新技术国家重点实验室）
针对现实中多约束下的子模最大化问题，本文提出融合部分枚举与同步贪心的SPROUT算法，获更优多项式近似保证，进一步优化得到的SPROUT++在电影推荐等任务中表现更优。
2023-07-18 cs.DS cs.LG math.OC
Fractionally Subadditive Maximization under an Incremental Knapsack Constraint
研究随时间增长的背包约束下分数次可加函数最大化问题，提出竞争比至多为 $\max\{3.293\sqrt{M},2M\}$ 的增量算法并给出下界，同时证明该框架适用于基于势的流及经典流增量最大化。
2023-05-24 cs.DM cs.DS math.CO
Group Fairness for Knapsack Problems
研究了具有群体公平性约束的背包问题。问题的输入由一个有界容量的背包和一组物品组成，每个物品属于一个特定的类别，并具有相关的权重和值。这个问题的目标是选择一个子集的项目，使所有类别都公平地表示，所选项目的总重量不超过背包的容量，总价值最大化。我们研究的公平性参数，如从每个类别的项目的总价值的界限，从每个类别的项目的总权重，从每个类别的项目的总数。我们给出了这些问题的近似算法。这些公平的概念也可以扩展到最小背包问题。公平背包问题包含了参与式预算、公平预算分配、广告等重要问题。
2021-01-16 cs.DS
Multiple Knapsack-Constrained Monotone DR-Submodular Maximization on Distributive Lattice --- Continuous Greedy Algorithm on Median Complex ---
考虑分配格上多阶一致背包约束下单调DR-次模函数的极大化问题。由于分配格是用来表示依赖约束，该问题可以表示一个依赖约束版本的子模最大化问题的集合。我们提出了一个$1 - 1/e$近似算法。为了实现这个结果，我们将连续贪心算法推广到分配格：本文选择一个中值复形作为分配格的连续松弛，定义了它的多重线性扩张，证明了中值复形存在一条特殊的曲线，称为一致线性运动，使得DR-次模函数的多重线性扩张沿正的一致线性运动是凹的，这是连续贪心算法的关键属性。
2019-07-09 cs.DS
Approximation Algorithms for the Incremental Knapsack Problem via Disjunctive Programming
在增量背包问题（$\IK$）中，我们给出了一个背包，其容量作为时间的函数弱增长。存在$T$周期的时间范围，并且背包的容量是对于$t = 1, \ldots, T$的周期$t$中的$B_t$。我们还得到了一套$S$的$N$项目放置在背包。项目$i$的值为$v_i$，权重为$w_i$，与时间段无关。在任何时间段$t$，背包中物品的重量之和不能超过背包容量$B_t$。此外，一旦物品被放置在背包中，它就不能在稍后的时间段从背包中取出。我们寻求最大化的总和（折扣）背包价值随着时间的推移受到的能力限制。我们首先给出了$\IK$的常数因子近似算法，在对$B_t$的增长率的温和限制下（常数因子依赖于增长率）。然后，我们给出了一个PTAS $\IIK$，$\IK$的特殊情况下，没有折扣，当$T = O(\sqrt{\log N})$。
2013-11-18 cs.DS
Differentially Private Submodular Maximization with a Knapsack Constraint
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究带背包约束的子模最大化问题在差分隐私下的算法，针对单调目标提出最优(1-1/e)-近似算法，非单调目标首次给出1/4-近似算法。
2026-06-16 cs.CR cs.DS
Maximum Coverage with Cluster Constraints: An LP-Based Approximation Technique
布局问题是一类重要的优化问题，因为它们具有很高的实用性和理论吸引力。然而，尽管在文献中已经研究了大量的变体，大多数包装问题只包括一个单一的层的容量限制。例如，在多背包问题中，我们将物品分配给多个背包，以使其容量不被超过。但是，如果这些背包被划分为集群，每个集群对集群中包含的背包施加额外的容量限制，那会怎么样呢？本文研究了簇约束的最大覆盖问题（MCPC），它通过引入簇约束推广了背包约束的最大覆盖问题（MCPK）。我们的主要贡献是一个一般的LP为基础的技术，以获得集群容量限制问题的近似算法。我们的技术使我们能够减少集群容量限制的问题，各自的原始包装问题。通过使用基于LP的近似算法的原始问题，我们可以得到一个有效的舍入方案的问题，它只失去了一小部分的近似保证。我们应用我们的技术来获得近似算法MCPC。为此，我们开发了一个基于LP的$\frac12(1-\frac1e)$ -近似算法的MCPK通过调整的pipage舍入技术。结合我们的约简技术，我们得到了MCPC的一个$\frac13(1-\frac1e)$ -近似算法.我们还得到了改进的结果，MCPC的一个特殊情况下，集群约束的多背包问题（MKPC）。基于一个简单的贪心算法，我们的方法产生一个$\frac13$ -近似算法。通过结合我们的技术与一个更复杂的迭代舍入方法，我们得到了$\frac12$ -近似算法的某些特殊情况下的MKPC。
2020-12-08 cs.DS math.OC
On Guillotine Separable Packings for the Two-dimensional Geometric Knapsack Problem
在二维的【形】几何背包问题中，我们给出了一组n个轴向对齐的矩形项和一个轴向对齐的正方形背包。每个项目都有积分宽度，积分高度和相关的积分利润。我们的目标是找到一个（非重叠轴对齐）包装的最大利润子集的矩形到背包。在实践中，一个被充分研究和经常使用的约束是只允许可截断分离的填料，即，可以通过递归地应用一系列边到边的轴平行切割来获得填充中的每个矩形，所述切割不与解的任何项相交。本文研究了截断约束下的几何背包问题的近似算法。假设所有输入数值数据在n中多项式有界，我们给出了允许旋转90度和不允许旋转90度两种情况下的多项式时间（1 + ε）-近似算法.相比之下，这种设置的最著名的近似因子是3 + ε [Jansen-Zhang，SODA 2004]，即使在所有项目具有相同利润的基数情况下。我们的主要技术贡献是一个结构引理，它表明任何一种截断填料都可以转化为另一种结构化截断填料，而且几乎可以获得相同的利润。在这种包装中，每个物品都完全包含在一个恒定数量的盒子和L形区域中，物品通过简单的贪婪例程放置在其中。特别是，我们提供了一个干净的充分条件时，这样的包装遵守断头台切割约束，这可能是有用的其他设置，这些约束。
2021-03-17 cs.CG cs.DS
Preemptive Two-stage Goal-Programming Formulation of a Strict Version of the Unbounded Knapsack Problem with Bounded Weights
有界权重的无界背包问题是传统二进制背包问题的一个变体;关键的变化是放松二进制约束，并允许每个项目的单位权重落在一个范围内。在本文中，我们制定了这个问题的一个变种，我们称之为严格无界背包问题与有界的重量，通过取代的不等式约束的总重量与一个等式。我们表明，这个问题可以分解成两个阶段，先发制人的目标规划问题，第一阶段是一个2维背包问题，第二阶段是一个线性可行性方案（每规范制定）或简单的线性约束程序在一般情况下。这种重新被证明是相当于原来的配方，但允许使用良好的研究，高效的多维背包问题的算法。此外，它将围绕背包中放置什么的建模工作与应该为每个物品类型分配什么单位重量的考虑分开，为建模者提供了更大的灵活性，而不会增加背包配置选择的复杂性。最后，我们表明，对于第二阶段的可行性版本，可以立即得到第一阶段的解决方案的可行解。
2021-09-26 cs.DS math.OC stat.OT
Near-Tight Approximation Algorithms for Bottleneck Multiple Knapsack Problems
Zhejiang University（浙江大学）；Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学）；Zhejiang University of Water Resources and Electric Power（浙江水利水电学院）
本文提出针对瓶颈多重背包问题的近似算法，当背包容量相同时，给出(2/3 - ε)近似算法；当背包容量不同时，提出(1/2 - ε)近似算法并证明(1/2 + ε)的硬度界限。
2026-04-30 cs.DS
Constrained Submodular Maximization via Greedy Local Search
本文提出了一种简单的组合$\frac{1 -e^{-2}}{2}$ -近似算法，用于求解背包和拟阵约束下的单调次模函数最大化问题。已知这个经典问题很难在因子内比$1 - 1/e$更好地近似。我们表明，该算法可以扩展到产生一个比率的$\frac{1 - e^{-(k+1)}}{k+1}$的问题与一个单一的背包和交叉的$k$拟阵约束，任何固定的$k > 1$。我们的算法，结合了贪心算法的[Khuller，Moss和Naor，1999年]和[Sviridenko，2004年]与本地搜索，显示了这种自然的框架，在子模最大化与组合约束的权力。
2018-01-15 cs.DM cs.DS
A Knapsack Intersection Hierarchy Applied to All-or-Nothing Flow in Trees
我们引入了一个自然的背包交叉层次，以加强包装整数规划的线性规划松弛，即，$\max\{w^Tx:x\in P\cap\{0,1\}^n\}$，其中$P=\{x\in[0,1]^n:Ax \leq b\}$和$A,b,w\ge0$。$t^{th}$级$P^{t}$对应于添加与任何$t$背包约束（约束矩阵的行）的交集的整数外壳相关联的切割。该模型捕获了“$t$ -行切割”的最大可能强度，这是一种经常被求解器用于小$t$的方法。如果$A$是$m \times n$，则$P^m$是$P$的整数外壳，$P^1$对应于为每个关联的单行背包问题添加切割。因此，即使在$P^1$上分离也是NP难的。然而，对于固定的$t$和任何$ε>0$，Pritchard的结果意味着存在$P^{t}$的多时间$(1+ε)$ -近似。然后，我们调查的层次结构的强度的上下文中研究的全有或全无流问题的树木（也称为不可分割的流树）。对于这个问题，我们证明了$P^t$的完整性间隙是$O(n/t)$，并给出了间隙是$Ω(n/t)$的例子。然后，我们研究了更强的配方$P_{\text{rank}}$，其中所有的秩约束。对于$P_{\text{rank}}^t$，对于任何$c>0$，我们的最佳下限在$t=n^c$水平下降到$Ω(1/c)$。此外，在Friggstad和Gao提出的一类众所周知的“坏实例”上，我们证明我们可以实现这种…
2022-01-11 cs.DS
Linear-Query Deterministic Approximation for Non-monotone Submodular Maximization under a Knapsack Constraint
Fuzhou University（福州大学）
针对背包约束下的非单调子模最大化，提出确定性线性查询算法，达到$(1/4-\varepsilon)$近似比，并通过双准则方法改进查询复杂度。
2026-09-23 cs.DS
Constrained episodic reinforcement learning in concave-convex and knapsack settings
University of Maryland（马里兰大学）；Microsoft Research（微软研究院）；Princeton University（普林斯顿大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Cornell University（康奈尔大学）
我们提出了一种带约束的表格式情景强化学习算法。我们提供了一个模块化的分析与强有力的理论保证设置凹奖励和凸约束，并设置硬约束（背包）。在约束强化学习中，以前的大多数工作都局限于线性约束，剩下的工作集中在可行性问题或单集设置上。我们的实验表明，该算法显着优于这些方法在现有的约束情景环境。
2021-06-06 cs.AI cs.DS cs.LG
The Competitive Ratio of Threshold Policies for Online Unit-density Knapsack Problems
本文将批发供应链订购问题建模为在线单位密度背包问题，提出了最优随机阈值算法以最大化库存利用率，并给出了单背包与多背包场景下的竞争比及上界证明。
2025-04-07 cs.DS
Non-Monotone Submodular Maximization with Multiple Knapsacks in Static and Dynamic Settings
Hasso Plattner Institute（哈索普拉特纳研究所）；The University of Adelaide（阿德莱德大学）
研究了多背包约束下非单调次模函数的最大化问题。我们提出了一个简单的离散贪心算法来解决这个问题，并证明了它产生强逼近保证的功能有界曲率。与其他算法相比，这不需要问题松弛到连续域，并且在问题大小上保持恒定因子近似保证。在单背包的情况下，我们的分析表明，标准的贪婪可以用于非单调设置。此外，我们研究这个问题在一个动态的设置，背包的变化过程中的优化过程。我们修改我们的贪心算法，以避免在每个约束更新完全重新启动。这种修改保留了静态情况下的近似保证。我们评估我们的实验结果的视频摘要和传感器的位置任务。我们表明，我们提出的算法竞争与国家的最先进的静态设置。此外，我们表明，在动态设置与紧张的计算时间预算，我们修改后的贪婪产生显着的改善从零开始的贪婪，在解决方案的质量。
2020-02-18 cs.DS cs.LG
Fast Adaptive Non-Monotone Submodular Maximization Subject to a Knapsack Constraint
University of Essex（埃塞克斯大学）；University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Sapienza University of Rome（罗马智慧大学（罗马第一大学））
针对背包约束下非单调次模最大化问题，提出运行时间为O(n log n)的随机贪心算法，实现5.83近似比，并在随机版本中首次为非单调目标取得9近似比。
2023-10-23 cs.DS cs.LG
Logarithmic regret in the dynamic and stochastic knapsack problem with equal rewards
我们研究了一个动态的和随机的背包问题，其中的决策者顺序提出的项目到达根据伯努利过程在$n$离散时间段。项目具有从已知的非负连续分布$F$中得出的相等奖励和独立权重。决策者寻求最大化的预期总回报的项目，她包括在背包中，同时满足容量约束，而终端的决定，只要每个项目的重量是揭示。在温和的规则性条件下的权重分布$F$，我们证明了遗憾-最好的顺序算法的性能和先知谁看到所有的重量之前，作出任何决定的预期差异-是，最多，对数在$n$。我们的证据是有建设性的。我们设计了一个重新优化的启发式，实现这个遗憾的界限。
2019-10-28 cs.DM cs.DS math.OC
Sum-of-Max Partition under a Knapsack Constraint
序列划分问题在序列数据分析、信息传输、并行计算等领域都有广泛的应用。在本文中，我们研究了以下分区问题的变种：给定一个序列的$n$项目$1,\ldots,n$，其中每个项目$i$是与权重$w_i$和另一个参数$s_i$，分区序列分为几个连续的序列，使每个子序列的总重量不超过一个阈值$w_0$，并在每个子序列中最大的$s_i$的总和是最小的。这个问题承认一个简单的解决方案的基础上动态规划，这花费$O(n^2)$的时间，可以改善到$O(n\log n)$时间很容易。我们的贡献是一个$O(n)$时间算法，这是平凡的，但易于实现。我们还研究了相应的树划分问题。我们证明了问题的树是NP-完全的，我们提出了一个$O(w_0 n^2)$时间（$O(w_0^2n^2)$时间，分别）算法的单位重量（整数重量，分别）的情况下。
2022-10-11 cs.DS math.OC
Approximation Algorithms for The Generalized Incremental Knapsack Problem
我们介绍和研究了离散多期扩展的经典背包问题，被称为广义增量背包。在此设置中，我们给出了一组$n$项，每个项与非负权重相关联，以及具有非递减容量$W_1 \leq \dots \leq W_T$的$T$时间段。当项目$i$在时间$t$插入时，我们获得$p_{it}$的利润;然而，该项目在所有后续期间都保留在背包中。我们的目标是决定是否以及何时插入每个项目，受时间依赖的能力限制，以最大化我们的总利润为目标。有趣的是，这种设置包含了一些最近研究的增量背包问题的特殊情况下，所有已知的强NP-难。我们的第一个贡献是在多项式时间$(\frac{1}{2}-ε)$的形式-近似的广义增量背包问题。这一结果是基于一个单机排序问题，这是解决混合动态规划技术和经典的Shmoys-Tardos算法的广义分配问题的重新制定。结合基于枚举的自增强思想和新发现的近似最优解的结构性质，我们把我们的基本算法转化为一个准多项式时间近似方案（QPTAS）。因此，在广泛认为的复杂性假设下，这一发现排除了广义增量背包是APX困难的可能性。
2020-09-15 cs.DS
Solving Hard Instances from Knapsack and Bounded Knapsack Problems: A new state-of-the-art solver
Institute of Computing, University of Campinas（坎皮纳斯大学计算研究所）；Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás（戈亚斯联邦大学数学与统计学院）
本文提出RECORD求解器，通过改进核心动态规划和弱上界等方法，有效提升求解效率，尤其在难题实例上表现优异，超越现有状态最先进求解器。
2026-04-06 cs.DS
Linear Query Approximation Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization under Knapsack Constraint
Phenikaa University（菲尼卡大学）；VNU University of Engineering and Technology（越南国立大学工程技术大学）；University of Florida（佛罗里达大学）
本文首次提出两个线性查询复杂度的常数因子近似算法DLA和RLA，用于求解背包约束下非单调次模最大化问题，并通过实验验证其在保证结果质量的同时显著减少查询次数。
2023-07-10 cs.AI cs.DS
Performance of the Extended Ising Machine for the Quadratic Knapsack Problem
本文提出利用扩展伊辛机（EIM）处理二次无约束二元优化（QUBO）难以求解的二次背包问题（QKP），通过与多种传统和先进求解器对比，证明了EIM的优越性。
2025-08-09 cond-mat.stat-mech cs.DS
Efficient and Effective Local Search for the Set-Union Knapsack Problem and Budgeted Maximum Coverage Problem
集并背包问题（SUKP）和最大覆盖问题（BMCP）是背包问题的两个密切相关的变体问题。给定一组加权元素和一组具有非负值的项目，其中每个项目涵盖几个不同的元素，这两个问题的目标都是找到一个子集的项目，最大化的目标函数，同时满足背包容量（预算）约束。针对这两个问题，我们提出了一种高效的局部搜索算法E2LS。据我们所知，这是第一次，一个算法已经提出了这两个。E2LS通过应用所提出的新算子ADD $^*$来遍历细化的搜索区域，从而折衷了搜索区域和搜索效率。这种折衷机制允许E2LS广泛而快速地探索解决方案空间。在E2LS算法中还引入了禁忌搜索方法，以避免陷入局部最优。在168个不同规模的公共实例上进行的大量实验表明，该算法对SUKP和BMCP都具有良好的性能。
2022-07-02 cs.DS
An FPTAS for Budgeted Laminar Matroid Independent Set
针对预算层状拟阵独立集问题，论文利用层状拟阵的树状结构设计简单动态规划，给出优于既有 EPTAS 的 FPTAS，并推广相关背包结果。
2023-04-27 cs.DS
Submodular maximization with uncertain knapsack capacity
研究了不确定背包约束下单调次模函数的最大化问题。具体来说，该问题是讨论的情况下，背包容量没有明确给出，只能通过一个预言机，回答当前的解决方案是否是可行的，当一个项目被添加到解决方案中。假设最后一项溢出背包容量时允许取消，我们讨论了该问题的自适应策略的鲁棒性比，这是最坏情况下的输出解达到的目标值与最优目标值的比率。提出了鲁棒性比$(1-1/e)/2$的随机化策略和鲁棒性比$2(1-1/e)/21$的确定性策略。我们还考虑了一个通用的政策，选择项目的预先计算的序列。提出了一种鲁棒性比$(1-1/\sqrt[4]{e})/2$的随机通用策略。当不允许取消时，没有随机自适应策略实现恒定的鲁棒性比。由于这种困难，我们假设背包容量的概率分布是给定的，并考虑计算一个序列的项目，最大化预期的目标值。对任意小常数$ε>0$，提出了一个多项式时间的逼近比$(1-1/\sqrt[4]{e})/4-ε$的随机算法.
2018-03-07 cs.DS
The Knapsack Secretary Problem is Strictly Harder Than the Secretary Problem
Columbia University（哥伦比亚大学）；NTUA and Archimedes, Athena RC（雅典国立技术大学与阿基米德、阿瑞斯研究中心）
研究背包秘书问题是否能达到经典秘书问题的最优1/e竞争比，通过构造困难实例族分析得出不存在(1/e - 0.0001)竞争比的算法，并给出一种将最佳已知竞争比从0.153提高到0.178的算法。
2026-07-28 cs.DS
Online Knapsack Problem and Budgeted Truthful Bipartite Matching
两个相关的在线问题：背包和真实的二分匹配被认为是。对于这两个问题，共同的主题是如何“匹配”到达的左顶点在一个在线的方式与任何可用的右顶点，如果有的话，以便最大化的值的总和匹配的边缘，满足对匹配的左顶点的总重量约束。假设左顶点按均匀随机顺序到达（秘书模型），分别给出了两个几乎相似的算法：$2e$竞争算法和$24$竞争算法.建议的在线二分匹配算法也被证明是真实的：没有任何左顶点误报其出价/权重的动机。这些问题的直接应用包括具有负载均衡的作业分配、广义广告词、众包拍卖以及使能设备到设备通信的蜂窝网络中的无线用户与协作中继的匹配。
2016-11-28 cs.DS
Optimal Online Algorithms for One-Way Trading and Online Knapsack Problems: A Unified Competitive Analysis
本文研究了两个容量/预算约束下的经典在线优化问题：分数单向交易问题（OTP）和无穷小假设下的积分在线背包问题（OKP）。在竞争分析框架下，这两个问题具有相同的最优竞争比。然而，在文献中，这两个问题在不同的背景下通过不同的方法进行了研究。在理解这两个问题之间的联系以及它们的在线算法设计的性质方面存在差距。本文为这两个问题的在线算法设计、分析和最优性证明提供了一个统一的框架。我们发现OKP的无穷小假设是连接在线算法分析和最坏情况实例构建的OTP的关键。有了这个统一的理解，我们的框架显示了它的潜力，以更系统的方式分析OKP和OTP的其他扩展。
2020-09-22 cs.DS
