A PTAS for Packing Hypercubes into a Knapsack
研究了d维超立方体背包问题，其中给定一组具有相关利润的d维超立方体，以及一个单位d维超立方体的背包。我们的目标是找到一个轴对齐的非重叠包装的一个子集的超立方体，使包装的超立方体的利润最大化。对于这个问题，Harren（ICALP'06）给出了一个近似比为（1+1/2 ^d + n）的算法。对于d=2，Jansen和Solis-Oba（IPCO'08）表明该问题允许多项式时间近似方案（PTAS）; Heydrich和Wiese（SODA'17）进一步改进了运行时间并给出了有效的多项式时间近似方案（EPTAS）。这两个结果都使用了2-D填充的结构性质，但不能推广到更高的维度。当d>2时，仍然有可能得到PTAS，事实上，自Harren的结果以来，没有任何改进。我们通过提供PTAS来解决这个问题。我们的主要技术贡献是一个结构引理，它表明，任何包装的超立方体可以转换成另一个结构化包装，使一个高利润的子集的超立方体包装成一个常数的特殊超立方体，称为V盒和N盒。作为一个侧面的结果，我们给出了一个几乎最优的算法在更高的维度带包装问题的一个变种。这可能有其他多维几何包装问题的应用。
2022-04-26 cs.DS
Packing a Knapsack of Unknown Capacity
我们研究在不知道背包容量的情况下背包的装箱问题。每当我们试图包装一件不合适的物品时，该物品就会被丢弃;如果该物品合适，我们必须将其包括在包装中。我们表明，总是有一个政策，包装的最佳包装的因素2内的值，无论实际容量。如果所有的项目都有单位密度，我们得到一个等于黄金比例的因子。这两个因素被证明是最好的可能。事实上，我们使用包装策略获得上述因素，这些包装策略是通用的，因为它们固定了物品的特定顺序，并试图按照该顺序包装物品，而与包装时所做的观察无关。我们给出了有效的算法计算这些政策。另一方面，我们证明了，对于任何α>1，决定给定的通用策略是否实现α因子的问题是coNP完全的。如果alpha是输入的一部分，则对于具有单位密度的项目，相同的问题被证明是coNP完全的。最后，我们表明，这是NP难的决定，对于给定的α，是否一组项目承认一个普遍的政策与因子α，即使所有的项目有单位密度。
2013-07-10 cs.DS
About the Structure of the Integer Cone and its Application to Bin Packing
考虑了具有$d$不同项目大小的装箱问题，并重新讨论了Goemans和Rothvovich [6]给出的关于整数锥解的结构定理.我们提出了新的技术，解决方案可以被修改，并给出了一个新的结构定理，依赖于一组顶点的基础整数多面体。作为新的结构定理的结果，我们得到了求解装箱问题的一个带运行时间的算法$|V|^{2^{O(d)}} \cdot enc(I)^{O(1)}$，其中$V$是整数背包多面体的顶点集，$enc(I)$是装箱实例的编码长度.该算法是固定参数易处理的，参数是整数背包多面体$|V|$的顶点数。这表明，装箱问题可以有效地解决时，底层的整数背包多面体具有简单的结构，即具有少量的顶点。此外，我们证明了结构定理的界是渐近紧的。我们给出了一个建设装箱的情况下，使用新的结构的见解和经典的数论定理，产生所需的下限。
2016-12-08 cs.CG cs.DM cs.DS
Packing Linear Programs and Fractional Knapsack using Comparison Oracles
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Microsoft Research, India（微软研究院印度分部）
研究在仅能访问最优解比较信息时恢复装箱线性规划目标的问题，聚焦分数背包问题，开发多项式时间算法，用$O(n \log(1/\delta)+B^2)$次比较查询恢复物品价值，给出下界，还扩展算法到利润最大化。
2026-07-23 cs.DS cs.GT
Approximation Algorithms for Generalized Multidimensional Knapsack
我们研究了具有几何约束和向量约束的背包问题的推广。输入是一组矩形项目，每个项目都有一个相关的利润和$d$非负权重（$d$维向量），以及一个正方形背包。目标是找到一个非重叠的轴平行包装的一个子集的项目到给定的背包，使向量约束不被违反，即，在任何$d$维度中的所有包装物品的重量之和不超过1。我们考虑问题的两个变体：$(i)$不允许旋转项目，$(ii)$项目可以旋转90度。我们给这个问题的一个$(2+ε)$ -近似算法（两个版本）。在此过程中，我们还研究了最大广义指派问题（Max-GAP）的一个变种，称为向量最大-GAP，并设计了一个PTAS。
2021-02-11 cs.CG cs.DS
On Two Dimensional Orthogonal Knapsack Problem
在本文中，我们研究了背包问题：给定一个列表的正方形的利润，我们被要求包装的一个子列表，他们到一个矩形箱（不是一个单位正方形箱），使利润在箱尽可能大。我们首先观察到对于大资源的矩形箱中的加权平方的装箱问题存在一个多项式时间近似算法（PTAS），然后将PTAS应用于具有利润的矩形箱中的加权平方的装箱问题，得到一个$\frac65+ε$近似算法。
2008-03-29 cs.CC cs.DS
Fully Dynamic Algorithms for Knapsack Problems with Polylogarithmic Update Time
背包问题是最优化中最基本的问题之一。在多背包问题中，我们有多个具有不同容量的背包和具有值和大小的物品。任务是找到一个子集的项目最大的总价值，可以装进背包，而不超过容量。我们调查这个问题及其特殊情况下的动态算法和设计数据结构，有效地保持近最佳的背包解决方案的动态变化的输入。更准确地说，我们处理的到达和离开的个别项目或背包在执行的算法与最坏情况下的更新时间polylogarithmetic的项目的数量。由于最优解和任何近似解都可能发生剧烈变化，因此我们只保留隐式解，并支持多对数时间内的某些查询，例如项目的包装和解决方案值。虽然动态算法在图问题的上下文中得到了很好的研究，但几乎没有任何关于包装问题的工作，通常在非图问题上更少。考虑到背包问题的理论兴趣及其实际意义，这是有点令人惊讶的是，背包还没有得到解决的背景下，动态算法和我们的工作桥梁这一差距。
2021-10-04 cs.DS
A parameterized approximation scheme for the 2D-Knapsack problem with wide items
针对不允许旋转的原始二维背包问题的参数化近似方案这一开放难题，本文在边长整数多项式有界、物品为宽型、包围盒纵横比常数有界的假设下，结合颜色编码、舍入与动态规划技术，提出了对应的参数化近似方案。
2023-07-20 cs.DS
Counting and Enumerating Independent Sets with Applications to Knapsack Problems
我们介绍的方法来计数和枚举所有的最大独立，所有的最大独立集，所有的独立集的阈值图和k-阈值图。在阈值图和k-阈值图中，独立集对应于相关背包实例中的可行解。我们给出了几个特征的背包实例和多维背包实例，允许一个等价的图。这使我们能够解决特殊的背包实例，以及特殊的多维背包实例固定数量的维度在多项式时间。我们还得出结论，在几个装箱问题的必要箱数的下限。
2017-10-24 cs.DS
Improved Approximation Algorithms for Three-Dimensional Knapsack
针对三维背包问题，提出基于容器装箱的改进近似算法，将近似比从7+ε降至4.794，旋转情形降至4.286，并覆盖基数与均匀利润密度变体。
2025-03-25 cs.DS
On contention resolution for the hypergraph matching, knapsack, and $k$-column sparse packing problems
本文将竞争解决框架应用于超图匹配、背包和k列稀疏装箱问题，证明了相关间隙下界并构造了多个单调平衡竞争解决方案，从而改进了k-CS-PIP的近似比。
2024-03-24 cs.DS math.OC
Covering and packing mixed-integer linear programs with a fixed number of constraints: Approximation and convex hull
Research Center for Operations Research & Statistics, KU Leuven（鲁汶大学运筹学与统计学研究中心）
本文提出了一种针对固定数量约束的覆盖混合整数线性规划问题的近似算法，并改进了背包覆盖问题的近似算法。
2026-02-11 cs.DS
Solving Packing Problems with Few Small Items Using Rainbow Matchings
组合优化的一个重要领域是研究装箱和覆盖问题，如装箱问题、多背包问题和装箱覆盖问题。这些问题已经从近似算法的角度得到了广泛的研究，但它们的参数化复杂性却很少被研究。对于不包含“小”项的问题实例，经典的匹配算法在多项式时间内产生最优解。在本文中，我们接近他们的距离，从平凡，测量问题的复杂性的小项目的数量$k$。我们的主要成果是固定参数的矢量版本的装箱，多背包，箱覆盖$k$参数化的算法。这些算法是随机的，具有单侧误差，并在时间$4^{k} \cdot k! \cdot n^{O(1)}$中运行。为了实现这一点，我们引入了一个彩色匹配的问题，我们减少所有这些包装问题。颜色匹配问题本身是自然的，我们希望它对其他应用程序是有用的。我们还提出了一个确定性的固定参数装箱运行时间$(k!)^{2}\cdot k \cdot 2^{k}\cdot n\cdot \log(n)$。
2020-07-06 cs.DS
Convolution and Knapsack in Higher Dimensions
本文将背包问题与$(\max,+)$-卷积的联系推广至高维，证明了多维卷积变体的次平方算法等价性，并基于一维凹序列卷积归约提出了高效的高维背包及带上界整数线性规划参数化求解算法。
2025-08-10 cs.DS
A Faster FPTAS for the Unbounded Knapsack Problem
无界背包问题（UKP）是著名的0-1背包问题（0-1 KP）的著名变体。与0-1 KP相比，UKP中每个项目可以取任意数量的副本。由于UKP是NP-难的，全多项式时间近似格式（FPTAS）引起了人们极大的兴趣。这样的算法找到任意接近最优$\mathrm{OPT}(I)$的解，即对于$\varepsilon > 0$至少为$(1-\varepsilon) \mathrm{OPT}(I)$的值，并且在输入长度和$\frac{1}{\varepsilon}$中具有运行时间多项式。三十多年来，最好的FPTAS是由Lawler提出的，它的运行时间是$O(n + \frac{1}{\varepsilon^3})$，空间复杂度是$O(n + \frac{1}{\varepsilon^2})$，其中$n$是背包项的数量。我们提出了一个改进的FPTAS的运行时间在$O(n + \frac{1}{\varepsilon^2} \log^3 \frac{1}{\varepsilon})$和空间限制在$O(n + \frac{1}{\varepsilon} \log^2 \frac{1}{\varepsilon})$。这直接提高了运行时间的最快的已知近似计划装箱和带包装，近似解决UKP实例作为子问题。
2015-11-09 cs.DS
Simple Deterministic Approximation for Submodular Multiple Knapsack Problem
针对子模多背包问题，本文提出了一种近似比达(1-e^{-1}-ε)的简单确定性组合算法，采用与已有随机复杂算法截然不同的思路，填补了该问题简单确定性近似方案的研究空白。
2023-07-19 cs.DS
The Competitive Ratio of Threshold Policies for Online Unit-density Knapsack Problems
本文将批发供应链订购问题建模为在线单位密度背包问题，提出了最优随机阈值算法以最大化库存利用率，并给出了单背包与多背包场景下的竞争比及上界证明。
2025-04-07 cs.DS
Inclusion-wise extremal knapsack problems are (mostly) hard to approximate
Sapienza University of Rome（罗马大学）；University of Graz（格拉茨大学）
本文研究两种包含式极值背包问题，证明其大多难以近似，确定了可恢复可近似性的限制条件，并为部分限制情形给出近似方案或改进了已有结果。
2026-10-19 cs.DS math.OC
Approximation Schemes and Structural Barriers for the Two-Dimensional Knapsack Problem with Rotations
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文研究了带有旋转的二维装箱问题，提出了一种在数量限制下的PTAS，并改进了无旋转情况下的近似比。
2026-07-30 cs.CG cs.DS
Maximum Coverage with Cluster Constraints: An LP-Based Approximation Technique
布局问题是一类重要的优化问题，因为它们具有很高的实用性和理论吸引力。然而，尽管在文献中已经研究了大量的变体，大多数包装问题只包括一个单一的层的容量限制。例如，在多背包问题中，我们将物品分配给多个背包，以使其容量不被超过。但是，如果这些背包被划分为集群，每个集群对集群中包含的背包施加额外的容量限制，那会怎么样呢？本文研究了簇约束的最大覆盖问题（MCPC），它通过引入簇约束推广了背包约束的最大覆盖问题（MCPK）。我们的主要贡献是一个一般的LP为基础的技术，以获得集群容量限制问题的近似算法。我们的技术使我们能够减少集群容量限制的问题，各自的原始包装问题。通过使用基于LP的近似算法的原始问题，我们可以得到一个有效的舍入方案的问题，它只失去了一小部分的近似保证。我们应用我们的技术来获得近似算法MCPC。为此，我们开发了一个基于LP的$\frac12(1-\frac1e)$ -近似算法的MCPK通过调整的pipage舍入技术。结合我们的约简技术，我们得到了MCPC的一个$\frac13(1-\frac1e)$ -近似算法.我们还得到了改进的结果，MCPC的一个特殊情况下，集群约束的多背包问题（MKPC）。基于一个简单的贪心算法，我们的方法产生一个$\frac13$ -近似算法。通过结合我们的技术与一个更复杂的迭代舍入方法，我们得到了$\frac12$ -近似算法的某些特殊情况下的MKPC。
2020-12-08 cs.DS math.OC
Improved Analysis of two Algorithms for Min-Weighted Sum Bin Packing
本文研究了 Min-Weighted Sum Bin Packing 问题，证明了 knapsack-batching 算法的近似比至多为 17/10，并给出了两种简单算法近似比的改进下界和上界。
2023-04-05 cs.DS math.OC
An Almost Optimal Approximation Algorithm for Monotone Submodular Multiple Knapsack
研究了多背包约束下单调次模函数的极大化问题。输入是一组项目$I$，每个项目具有非负权重，以及一组任意容量的箱。此外，我们给出了一个子模，单调和非负的功能$f$的子集的项目。目标是找到箱子中的项目子集$A \subseteq I$的包装，使得$f(A)$最大化。我们的主要结果是一个几乎最优的多项式时间$(1-e^{-1}-\varepsilon)$ -近似算法的问题，任何$\varepsilon>0$。该算法依赖于一种结构化技术，该技术将一般的多背包约束转换为一个约束，在该约束中，箱被划分成指数增加的基数组，每个组由均匀容量的箱组成。我们得出的结果，结合结构的子模块优化技术的背包约束的精细分析。
2021-04-16 cs.DS
Just-in-Time Batch Scheduling Problem with Two-dimensional Bin Packing Constraints
本文介绍并近似解决了一个多部件的问题，小的矩形项目生产的大型矩形箱通过断头台切割。一个项目的特征在于它的宽度、高度、到期日以及单位时间内的提前和迟到惩罚。每一个项目都会产生一个成本，这个成本与它的提前和延迟成正比。从同一个料箱中切割的物料形成一个批次，其处理和完成时间取决于其分配的物料。批次中的项目具有其仓位的完成时间。目标是找到一个最小化提前和拖期惩罚的加权和的切割计划。我们解决这个问题，通过约束规划为基础的启发式（CP）和基于代理的建模启发式（AB）。CP是一种基于影响的搜索策略，在通用求解程序IBM CP Optimizer中实现。AB是建设性的。它通过代表物品的代理集和代表箱子的代理集之间的反复协商来构建解决方案。代理合作，以尽量减少加权提前-拖期惩罚。计算结果表明，CP优于AB小尺寸的情况下，而相反的情况下，大的实例。
2017-07-27 cs.DS
Nearly Linear Time Deterministic Algorithms for Submodular Maximization Under Knapsack Constraint and Beyond
在这项工作中，我们研究了经典的次模最大化问题下的背包约束和超越。我们首先提出了一个$(7/16-\varepsilon)$-近似算法的单背包约束，这需要$O(n\cdot\max\{\varepsilon^{-1},\log\log n\})$查询，并在流设置两个通行证。这提供了近似比、查询复杂度和流上的传递次数的改进。接下来，我们表明，存在一个$(1/2-\varepsilon)$-近似确定性算法的常数数量的二进制包装约束，实现了查询复杂度为$O_{\varepsilon}(n\cdot\log \log n)$。我们的确定性算法的一个显著特点是，它的近似比和时间复杂度是独立的约束的数量。最后给出了$p$-系统与$d$背包约束求交的近似线性时间算法，得到了$(1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对单调目标和$(p/(p+1)(2p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$对非单调目标的逼近比。
2020-12-21 cs.DS
Harmonic Algorithms for Packing d-dimensional Cuboids Into Bins
我们探讨了$d$维几何装箱问题（$d$ BP）的近似算法。Caprara（MOR 2008）给出了$d$ BP的基于谐波的算法，其渐近近似比（AAR）为$T_{\infty}^{d-1}$（其中$T_{\infty} \approx 1.691$）。然而，他们的算法不允许旋转项目。这与$d$ BP的一些常见应用（如将包装箱装入集装箱）不同。我们给近似算法$d$ BP项目时，可以正交旋转轴的所有或一个子集。我们首先给出了一个快速和简单的基于谐波的算法具有AAR $T_{\infty}^{d}$。接下来，我们给出一个更复杂的基于谐波的算法，我们称之为$\mathtt{HGaP}_k$，具有AAR $T_{\infty}^{d-1}(1+ε)$。这给出了具有旋转的3BP的大致为$2.860 + ε$的AAR，其改进了最著名的$4.5$的AAR。此外，我们研究了多选择装箱问题，推广旋转的情况下。在这里，我们给出了$d$维立方体项的$n$集合，我们必须从每个集合中选择一个项，然后打包所选的项。我们的算法也适用于多选择装箱问题。我们还给出了快速和简单的近似算法的多选择版本的$d$ D带包装和$d$ D几何背包。
2021-09-25 cs.CG cs.DS
Approximation Algorithms for Norm-Budgeted Packing Problems
Univ. Waterloo（滑铁卢大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
研究范数预算打包问题，通过涉及单调、对称范数的范数预算约束建模资源，将多种经典打包问题纳入框架，开发框架获得常数因子近似保证及相关问题的PTAS，并为子模版本开发常数因子近似算法。
2026-07-15 cs.DS
Sequential and Parallel Algorithms for Mixed Packing and Covering
混合填充和覆盖问题是可以用非负系数表示为线性规划的问题。例如多商品网络流、TSP的Held-Karp下界、集合覆盖的分数松弛、装箱、背包、调度问题、最小权三角剖分等。本文给出了一般问题的近似算法。顺序算法是一种简单的贪心算法，它可以在O（n ^-2 log m）线性时间迭代中找到ε近似解。并行算法做类似的工作，但在多对数时间内完成。这些结果推广了Michael Luby和Noam Nisan（1993）以及Naveen Garg和Jochen Konemann（1998）以前关于纯填充和覆盖（约束都是“小于”或“大于”的特殊情况）的工作。
2002-05-18 cs.DS
An Approximation Algorithm for Covering Linear Programs and its Application to Bin-Packing
我们给出了一个求解覆盖LP的$α(1+ε)$ -近似算法，假设对某个优化问题存在一个$(1/α)$ -近似算法.我们的算法是基于Plotkin-Shmoys-Tardos算法（MOR 1995）的一个简单的修改。然后，我们将我们的算法$α(1+ε)$ -近似解决的配置LP为一大类装箱问题，假设存在一个$(1/α)$ -近似算法为相应的背包问题（KS）。之前的结果为我们提供了使用KS的PTAS的配置LP的PTAS。这些结果并不延伸到KS是很差的近似的情况下。然而，我们的算法，即使是多项式大的$α$。
2020-12-17 cs.DS
Approximating the Geometric Knapsack Problem in Near-Linear Time and Dynamically
针对d维几何背包问题，论文提出近线性时间近似算法及多对数开销动态算法，并借助易猜测装填改进立方体与矩形情形的运行时间和近似保证。
2024-03-01 cs.DS
A Fully Polynomial Time Approximation Scheme for Packing While Traveling
了解不同的组合优化问题在现实世界中的应用之间的相互作用是一项具有挑战性的任务。最近，旅行小偷问题（TTP），作为一个经典的旅行推销员问题和背包问题的组合，已被引入到研究这些相互作用的一个系统的方式。我们调查的基本非线性包装，而旅行（PWT）问题的TTP项目必须选择沿固定的路线。我们给出了一个精确的动态规划方法，这个问题和一个完全的多项式时间近似计划（FPTAS）时，最大限度地提高效益，可以获得超过基线旅行成本。我们的实验研究表明，我们的新方法优于目前国家的最先进的方法在广泛的基准实例。
2017-02-17 cs.DS
Improved Online Algorithms for Knapsack and GAP in the Random Order Model
背包问题是组合优化中的经典问题之一：给定一组物品，每个物品由其大小和利润指定，目标是找到一个最大利润的包装到一个有界容量的背包中。在在线设置中，项目是一个接一个地显示和决定，如果当前项目是包装或永远丢弃，必须立即和可追溯地完成后到达。研究了随机序模型中的在线变量，其中输入序列是项目集的均匀随机排列。我们为这个问题开发了一个随机（1/6.65）竞争算法，优于目前竞争比为1/8.06的最佳算法[Kesselheim et al. SIAM J. Comp. 47（5）]。我们的算法是基于两个新的见解：我们引入了一种新的算法方法，采用两个给定的算法，优化的限制项目类，依次输入序列。此外，我们还研究和探索了背包问题与2-秘书问题之间的关系。广义指派问题（GAP）除了背包问题外，还包括与调度和匹配相关的几个重要问题。我们表明，在相同的在线设置，应用建议的顺序方法产生（1/6.99）的竞争随机算法的GAP。同样，我们提出的算法优于竞争比1/8.06的当前最佳结果[Kesselheim et al. SIAM J. Comp. 47（5）]。
2020-12-01 cs.DS
Lower bounds on the performance of online algorithms for relaxed packing problems
我们证明了新的下界适当的竞争比措施的两个宽松的在线包装问题：在线可移动多背包，最近推出的在线最小峰值预约调度问题。这两个问题的高层次目标是尽可能有效地将尺寸至多为1的到达物品包装到容量为1的箱子中，但确切的形式化不同。在约会调度问题中，每个项目都必须分配到一个位置，这可以看作是一个工作日长度为1的时间间隔。也就是说，物品不被分配到箱子，而是只有当所有物品都被处理后，才确定服从所选位置的箱子的最佳数量，这就是在线算法的成本。另一方面，在可移动背包问题中，有固定数量的箱子，包装物品的目标是为每个包装的物品选择一个特定的箱子（没有其他东西），是尽可能包装有价值的子集。在最后一个问题中，可以拒绝物品，也就是说，故意不包装它们，以及在任何稍后的时间点移除包装的物品，这增加了问题的灵活性。
2022-01-16 cs.DM cs.DS math.CO
Maximizing a Submodular Function with Bounded Curvature under an Unknown Knapsack Constraint
本文针对未知背包约束下的单调子模函数最大化问题，提出一种鲁棒性因子随曲率递减的策略，在曲率极端情况下分别达到1/2和约0.35，显著改进了已有结果。
2024-10-24 cs.DM cs.DS
Online Multidimensional Packing Problems in the Random-Order Model
我们研究在线多维变量的广义分配问题，用于模拟突出的现实世界的应用程序，如分配的虚拟机与多个资源需求的物理基础设施在云计算。这些问题可以看作是众所周知的秘书问题的延伸，因此标准的在线最坏情况模型不能提供任何性能保证。在这种情况下，流行的模型是随机顺序模型，它提供了一个有用的现实和强大的替代方案。利用这个模型，我们研究了$d$维广义指派问题，在这里我们引入了一种新的技术，实现了一个$O(d)$ -竞争算法，并证明了一个匹配的下界$Ω(d)$。此外，我们的算法改进了最有名的竞争比的在线（一维）广义分配问题和在线背包问题。
2019-07-01 cs.DS
Vector Bin Packing with Multiple-Choice
我们考虑一个变种装箱称为多选择向量装箱。在这个问题中，我们给出了一组项目，其中每个项目可以在几个$D$维化身中选择一个。我们还给出了$T$ bin类型，每个都有自己的成本和$D$维大小。我们的目标是将物品包装在一组总成本最低的箱子中。该问题的动机是在网络中的调度与保证服务质量（QoS），但由于其一般配方，它也有许多其他应用。我们提出了一个近似算法，保证产生的解决方案，其成本约为$\ln D$倍的最佳。为了使运行时间为多项式，我们需要$D=O(1)$和$T=O(\log n)$。这扩展了以前的向量装箱结果，其中每个项目都有一个化身，并且只有一个bin类型。为了获得我们的结果，我们还提出了一个PTAS的多选择版本的多维背包，在那里我们只给一个bin和目标是包装一个最大的重量集（化身）的项目在该bin。
2009-10-29 cs.DS
Near-Optimal Sparsifiers for Stochastic Knapsack and Assignment Problems
University of Southern California（南加州大学）
本文提出了一种多面体稀疏化框架，用于解决随机背包和分配问题，证明其在多项式度下可实现近似最优解。
2025-12-01 cs.DS
A Knapsack Intersection Hierarchy Applied to All-or-Nothing Flow in Trees
我们引入了一个自然的背包交叉层次，以加强包装整数规划的线性规划松弛，即，$\max\{w^Tx:x\in P\cap\{0,1\}^n\}$，其中$P=\{x\in[0,1]^n:Ax \leq b\}$和$A,b,w\ge0$。$t^{th}$级$P^{t}$对应于添加与任何$t$背包约束（约束矩阵的行）的交集的整数外壳相关联的切割。该模型捕获了“$t$ -行切割”的最大可能强度，这是一种经常被求解器用于小$t$的方法。如果$A$是$m \times n$，则$P^m$是$P$的整数外壳，$P^1$对应于为每个关联的单行背包问题添加切割。因此，即使在$P^1$上分离也是NP难的。然而，对于固定的$t$和任何$ε>0$，Pritchard的结果意味着存在$P^{t}$的多时间$(1+ε)$ -近似。然后，我们调查的层次结构的强度的上下文中研究的全有或全无流问题的树木（也称为不可分割的流树）。对于这个问题，我们证明了$P^t$的完整性间隙是$O(n/t)$，并给出了间隙是$Ω(n/t)$的例子。然后，我们研究了更强的配方$P_{\text{rank}}$，其中所有的秩约束。对于$P_{\text{rank}}^t$，对于任何$c>0$，我们的最佳下限在$t=n^c$水平下降到$Ω(1/c)$。此外，在Friggstad和Gao提出的一类众所周知的“坏实例”上，我们证明我们可以实现这种…
2022-01-11 cs.DS
Approximation Algorithms for Correlated Knapsacks and Non-Martingale Bandits
在随机背包问题中，我们给定一个大小为B的背包，以及一组工作，其大小和报酬来自已知的概率分布。然而，我们只有在工作完成时才知道实际的大小和奖励。我们应该如何安排工作以最大化预期的总回报？当我们假设（i）奖励和规模是独立的随机变量，并且（ii）我们不能过早地取消作业时，我们知道O（1）近似。当这两个假设中的一个或两个都改变时，我们能说什么呢？随机背包问题是在其本身的权利感兴趣，但它的技术开发适用于其他随机包装问题。实际上，这个问题的想法对于预算学习问题是有用的，在预算学习问题中，一个人被给予几个手臂，这些手臂在每次拉动时以指定的随机方式进化，目标是拉动手臂总共B次，以最大化获得的奖励。最近关于这个问题的许多工作都集中在武器的演变遵循鞅的情况下，即，当来自未来的期望奖励与当前状态的奖励相同时。当报酬不构成鞅时，我们能说什么？本文对具有相关性和/或可消性的随机背包问题以及不满足鞅条件的预算学习问题给出了常因子近似算法。事实上，我们可以证明，以前提出的LP松弛有很大的完整性差距。我们提出了新的时间索引的LP松弛，并将分数的解决方案转换为分布的战略，然后使用LP值和时间排序信息，从这些战略，设计一个随机自适应调度算法。我们希望我们的LP制定和分解方法可以提供一种新的方式来解决其他相关的强盗问题更一般的情况下。
2011-02-18 cs.DS
Tight Vector Bin Packing with Few Small Items via Fast Exact Matching in Multigraphs
我们在$O^*(2^k)$时间内解决装箱问题，其中$k$是小于或等于箱子容量的三分之一的物品数量。该参数测量从多项式可解的情况仅大（即，三分之一以上）。我们的算法实际上是为更一般的向量装箱问题而设计的，其中的项目是多维向量。我们改进了以前最快的$O^*(k! \cdot 4^k)$时间算法。我们的算法的工作原理是通过减少问题找到一个确切的重量完美匹配的（多）图与$O^*(2^k)$边，其权重是整数的顺序$O^*(2^k)$。为了在所需的时间内解决匹配问题，我们给出了经典Mulmuley-Vazirani-Vazirani算法的一个变体，该算法仅对边缘权重和边缘数量具有线性依赖性，这可能是独立的兴趣。此外，我们给出了一个严格的下界，在强指数时间假设（SETH），表明常数$2$的基础上的指数不能进一步改善矢量装箱。我们的技术还导致改进算法的向量多背包，向量箱覆盖，完美匹配命中约束。
2022-07-18 cs.DS
The Support of Bin Packing is Exponential
Kiel University（基尔大学）
研究证明装箱问题支持下界为2^{Ω(d)}，并提出整合约束的ILP技术，影响多项算法时间复杂度。
2026-03-30 cs.DS
The Packing While Traveling Problem
本文将旅行中的Packing问题作为一个新的非线性背包问题引入。给定一组城市，这些城市具有一组具有不同利润和重量的物品，以及可以在以固定顺序访问所有城市时收集物品的车辆。每个选定的项目都贡献了利润，但产生了与其重量相关的运输成本。这个问题要求找到一个子集的项目，使总增益最大化。我们调查约束和无约束版本的问题，并表明，这两个是NP-困难的。我们提出了一个预处理方案，减少了实例的大小，使它们更容易计算。采用分段线性逼近的思想，基于混合整数规划（MIP）给出了最优解的上下界。此外，我们介绍了两种精确的方法：一种是基于MIP采用线性化技术，另一种是分支推断和定界（BIB）的混合方法，化合物的上限过程与约束规划模型加强定制的约束。我们的实验结果表明，我们的精确和近似解决方案的解决方案的质量和计算时间方面的有效性。
2017-03-21 cs.DS
The Stochastic Bilevel Continuous Knapsack Problem with Uncertain Follower's Objective
我们考虑一个双层连续背包问题，其中领导者控制背包的容量，而追随者选择一个可行的包装最大化自己的利润。领导者的目标是优化一个线性目标函数的能力和追随者的解决方案，但相对于不同的项目价值。我们解决这个问题的随机版本的追随者的利润是不确定的领导者的角度来看，只有一个概率分布是已知的。假设领导者的目标是优化她的目标函数的期望值，我们首先观察到，只要明确给出可能的场景作为输入的一部分，随机问题是容易处理的，这也允许使用样本平均近似来处理一般分布。对于独立和均匀分布的项目值的情况下，我们表明，该问题是P-硬的一般情况下，同样是真实的，甚至评估领导者的目标函数。然而，我们提出了伪多项式时间算法，在这种情况下，运行在时间线性的项目的总大小。在此基础上，我们得到了一个附加的近似计划的一般情况下，独立分布的项目的价值观，它运行在伪多项式时间。
2022-07-18 cs.DM cs.DS math.OC
Stochastic Combinatorial Optimization via Poisson Approximation
研究了几种随机组合问题，包括期望效用最大化问题、随机背包问题和随机装箱问题。在这些问题中，一个常见的技术挑战是优化一组随机变量之和的某个函数。困难主要是由于和的概率分布是一组分布的卷积，这不是一个容易处理的目标函数。为了解决这个困难，我们引入泊松近似技术。该技术是基于泊松近似定理发现的Le Cam，它使我们能够近似分布的总和的一组随机变量使用复合泊松分布。我们首先研究最近引入的期望效用最大化问题[Li and Despande，FOCS11]。对于单调和Lipschitz效用函数，我们得到一个加性PTAS，如果有一个多维PTAS的多目标版本的问题，严格推广了以前的结果。对于随机装箱问题（在[Kleinberg、Rabani和Tardos，STOC 97]中介绍），我们证明了存在一个多项式时间算法，如果我们放宽每个箱的大小和溢出概率，则该算法最多使用最佳箱数eps。对于随机背包，我们展示了一个1+ eps近似使用eps额外容量，即使每个项目的大小和奖励可能是相关的，并允许取消项目。这概括了以前的工作[Balghat，Goel和Khanna，SODA 11]的情况下没有相关性和取消。我们的算法也更简单。我们还提出了一个因子2+eps近似算法的随机背包取消。目前已知的近似因子为8 [Gupta，Krishnaswamy，Molinaro and Ravi，FOCS11]。
2013-03-19 cs.DS
Adversarial Bandits with Knapsacks
Microsoft Research（微软研究院）；Facebook（脸书公司）；University of Maryland（马里兰大学）
我们考虑背包强盗（以下简称BwK），这是在供给/预算约束下多武器强盗的一般模型。特别是，强盗算法需要解决一个众所周知的背包问题：找到一个最佳的包装项目到一个有限大小的背包。BwK问题是众多激励性示例的常见概括，其范围从动态定价到重复拍卖到动态广告分配到网络路由和调度。虽然之前的工作BwK集中在随机版本，我们开拓了另一个极端，其中的结果可以选择对抗。这是一个相当困难的问题，与随机版本和“经典”对抗土匪相比，因为遗憾最小化不再可行。相反，目标是最小化竞争比：基准奖励与算法奖励的比率。我们设计了一个算法的竞争比O（log T）相对于最好的固定分布的行动，其中T是时间范围，我们还证明了一个匹配的下限。关键的概念贡献是一个新的视角随机版本的问题。我们提出了一个新的算法的随机版本，它建立在框架上的遗憾最小化重复游戏，并承认一个大大简单的分析相比，以前的工作。然后，我们分析了这个算法的对抗版本，并将其用作解决后者的子例程。
2023-03-07 cs.DS cs.LG stat.ML
Hardness of approximation for strip packing
条形包装是一个经典的包装问题，其目标是将一组矩形物体包装成给定宽度的条带，同时最小化包装的总高度。该问题有多种应用，例如在调度和库存切割，并已被广泛研究。当允许对象的维度在总输入大小中为指数时，已知问题不能在比$3/2$更好的因子内近似，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。然而，对于多项式有界的输入数据没有相应的下限。事实上，Nadiradze和Wiese [SODA 2016]最近针对该变体提出了一种$(1.4 + ε)$近似算法，从而表明，与允许输入数据中的指数大值相比，可以更好地近似多项式有界数据的条带填充。他们的结果随后被两个独立的研究小组改进为$(4/3 + ε)$近似值[FSTTCS 2016，arXiv：1610.04430]。这就提出了一个问题是否带包装多项式有界的输入数据承认准多项式时间近似计划，是相关的二维包装问题，如最大独立集的矩形或二维背包的情况。在本文中，我们回答这个问题的否定证明，它是NP-困难的近似带包装内的一个因素优于$12/11$，即使只允许多项式有界的输入数据。特别地，这表明，带包装问题不允许准多项式时间近似方案，除非$\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$。
2016-10-25 cs.CC cs.DS
The robust bilevel continuous knapsack problem with uncertain coefficients in the follower's objective
我们考虑一个双层连续背包问题，其中领导者控制背包的容量，追随者根据自己的利润选择最优包装，这可能不同于领导者。对于这个双层问题，我们以一种自然的方式添加了不确定性，假设领导者对追随者的问题没有充分的了解。更确切地说，采用鲁棒优化方法，并假设追随者的利润属于一个给定的不确定性集，我们的目标是计算一个解决方案，优化最坏情况下的追随者的反应，从领导者的角度来看。通过研究这个问题的复杂性，就不同类型的不确定性集，我们更好地理解双层优化和鲁棒组合优化的组合迈出了第一步。我们发现，这个问题可以解决在多项式时间离散和区间的不确定性，但同样的问题成为NP-困难时，每个系数可以独立地假设只有有限数量的值。特别是，这表明，取代不确定性集的凸包可能会改变问题显着，在经典的单级鲁棒优化的情况下。对于一般的多面体不确定性，这个问题再次被证明是NP困难的，即使在不相关的情况下，椭球不确定性也是如此。所有提出的硬度结果已经适用于领导者的目标函数的评价。
2022-01-11 cs.DM cs.DS math.OC
Pack, Remove, Reserve -- Online Knapsack with Second Thoughts
Department of Computer Science, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院计算机系）
研究具有两种付费形式的在线比例背包问题，确定每对成本参数\((\alpha, \beta)\)竞争比率的上下界，揭示三种情况，发现参数空间核心有共生区域，其最优算法是两种单机制策略融合。
2026-07-16 cs.DS
Approximation Algorithms for Rectangle Packing Problems (PhD Thesis)
在矩形填充问题中，我们的任务是将轴对齐的矩形放置在给定的平面区域中，使它们彼此不重叠。在矩形的最大权独立集（MWISR）中，它们的位置是给定的，我们只能选择要选择的矩形，同时试图最大化它们的总重量。在条形包装（SP）中，我们必须将所有给定的矩形包装在一个固定宽度的矩形区域中，同时最小化其高度。在二维几何背包（2DGK）中，目标区域是给定大小的正方形，我们的目标是选择和包装给定矩形的最大权重的子集。我们研究了MWISR的推广，并使用它来提高近似的资源分配问题称为bagUFP。我们重新审视了SP和2DGK的一些经典结果，提出了一个框架，基于更小的容器，包装有更简单的规则;虽然这个计划的变化确实是在这方面的标准技术，我们抽象出一些特定问题的差异，获得更简单的算法，适用于不同的问题。我们得到了改进的近似SP在伪多项式时间，并为2DGK的一个变种，其中可以旋转90°的矩形。对于后者，我们提出了第一个算法的近似因子优于2。对于2DGK的主要变体（没有旋转），基于容器的方法似乎在近似因子中面临2的自然障碍。因此，我们考虑一种广义的包装，它将容器包装与另一个包装问题结合起来，我们称之为L-包装问题，其中我们必须在平面的L形区域中包装矩形。通过找到该问题的一个（1 + ε）-近似，并利用2DGK的组合结构，我们得到了第一个突破该问题的近似因子为2的障碍的算法.
2017-11-21 cs.DS
Approximation Algorithms for Interdiction Problem with Packing Constraints
本文研究了一个两层优化问题，它是一个零和Stackelberg对策。在这个问题中，有两个参与者，一个领导者和一个追随者，他们从一个公共集合中挑选物品。领导者和追随者都有各自的（多维）预算。每个项目都与一个利润相关联，这对领导者和追随者都是一样的，如果领导者（追随者）选择了它，它将消耗领导者（追随者）的预算。领导者和追随者将以顺序的方式选择项目：首先，领导者选择领导者预算内的项目。然后，追随者从追随者预算内的剩余项目中选择项目。领导者的目标是使跟随者所能获得的最大利润最小化。设$s_A$和$s_B$分别为领导者和追随者预算的维度。我们的问题的一个特殊情况是Caprara等人研究的双层背包问题。[SIAM Journal on Optimization，2014]，其中$s_A=s_B=1$。当$s_A$和$s_B$都是常数时，我们考虑了一般问题，得到了一个$(s_B+ε)$-近似算法.特别地，如果$s_B=1$，我们的算法意味着一个PTAS的双层背包问题，这是第一个O（1）-近似算法。我们还补充我们的结果表明，不存在任何$(4/3-ε)$-近似算法，即使$s_A=1$和$s_B=2$。我们还考虑了一个变种，我们的问题与资源增加时，$s_A$和$s_B$都是输入的一部分。我们得到了一个O（1）-资源扩充的O（1）-近似算法，也就是说，我们给出了一个算法，该算法返回的解超出给定的领导者预…
2022-04-23 cs.CC cs.DS
A PTAS for Non-Adaptive Stochastic Top-$k$ Sum under General Combinatorial Constraints
该研究针对一般组合约束下的非自适应随机Top-k和问题，利用近似最大和预言机与打包LP等技术，为固定维打包族（含背包问题）构造了PTAS，并证明其为通用最优方案
2026-09-04 cs.CC cs.DS
A Stochastic Probing Problem with Applications
本文研究定义在论域V上的一般随机探测问题，其中V中的每个元素e以概率p_e独立地“活跃”.元素具有权重{w_e}，并且目标是最大化活动元素的所选子集S的权重。然而，我们只给出了p_e值--为了确定元素e是否是活动的，我们的算法必须探测e。如果元素e被探测并且碰巧是活动的，那么e必须被合理地添加到所选择的集合S中;如果e不是活动的，那么它不包括在S中。此外，以下条件必须在每个随机实例化中保持：（1）被探测元素的集合Q满足“外部”填充约束，以及（2）被选择元素的集合S满足“内部”填充约束。我们考虑的包装约束是拟阵和背包的交集。我们的结果提供了一个简单的和统一的视图的结果在随机匹配和贝叶斯机制设计，也可以处理更一般的约束。作为应用，我们得到了第一个多项式时间$Ω(1/k)$ -近似的“顺序公布价格机制”下的k-拟阵相交的可行性约束。
2013-02-24 cs.DS
Equivalent Instances for Scheduling and Packing Problems
Kiel University（基尔大学）
本文为调度和背包问题提供静态等价实例，改进了相关范数的界限，并展示了其在整数线性规划中的应用。
2025-12-19 cs.CC cs.DS
Generalized Assignment via Submodular Optimization with Reserved Capacity
我们研究了一个变形的\emph{generalized assignment problem}（{ \sf GAP}）与组的限制。{ \sf Group GAP}的一个实例是一组$I$项，被划分为$L$组和一组$m$统一（单位大小）箱。每个项目$i \in I$有一个大小$s_i >0$，和利润$p_{i,j} \geq 0$，如果包装在斌$j$。如果一组项目的所有项目都已打包，则该组项目为\emph{satisfied}。我们的目标是找到一个可行的包装箱中的一个子集的项目，使总利润最大化满意组。我们指出了{ \sf Group GAP}在视频点播服务、移动设备到设备网络缓存和5G网络中的基站协作中的中心应用。我们的主要结果是一个$\frac{1}{6}$ -近似算法{ \sf组间隙}的实例中，每个组的总大小是最多$\frac{m}{2}$。在我们的算法的核心在于一个有趣的推导子模块功能从经典的LP制定{ \sf GAP}，这有利于建设一个高利润的解决方案，利用最多一半的总箱容量，而另一半是\emph{reserved}供以后使用。特别是，我们给出了一个算法submodular最大化的背包约束，找到一个解决方案的利润至少$\frac{1}{3}$的最佳，使用最多一半的背包容量，在温和的限制下，元素的大小。我们的新方法的子模块优化受背包\emph{with reserved capa…
2019-09-16 cs.DS
A Framework for the Design of Efficient Diversification Algorithms for Packing and Covering Problems
Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Queens College of CUNY（纽约市立大学皇后学院）；University of Chile（智利大学）；CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生院）；Academia Sinica（中央研究院）；Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）
本文提出通用多样化算法设计框架，将其用于具备经典动态规划单解算法的 NP 难问题，为背包、MWIS、顶点覆盖等变体给出 poly(n,k) 或 f(k)poly(n) 时间近似算法。
2026-10-09 cs.CG cs.DS
