Quartic Integral Polynomial Pell Equations
本文分类了所有首一四次整系数多项式 d(x)，刻画其对应 Pell 方程存在整系数多项式非平凡解的情形。
2023-07-10 math.NT
Calculating relative power integral bases in totally complex quartic extensions of totally real fields
前一段时间，我们将幂整基生成元的单调性研究和计算推广到相对情形。到目前为止，我们考虑（通常是全实）复四次域的扩张。本文考虑全实域的相对扩张中的幂整基。全实数域的全复四次扩张似乎是最简单的情况，我们在这里详细介绍。正如我们将看到的，即使在这种情况下，我们也必须克服几个意想不到的困难，然而，我们可以通过适当地（但不是微不足道地）调整标准方法来解决这些困难。我们证明了我们的一般算法上一个明确的例子。我们描述了如何在这种情况下，四次相对扩张的相对指数形式方程的一般方法进行修改。作为一个副产品，我们表明，相对图厄方程在全复扩张的全实领域只能有小的解决方案，我们构建了一个特殊的方法，特殊的单位方程的小的解决方案的计数。这些陈述可以适用于其他丢番图问题，以及。
2020-04-11 math.NT
A positive proportion of locally soluble quartic Thue equations are globally insoluble
对任意固定的非零整数$h$，证明了正比例的整数二元四次形式$F$局部处处表示$h$，但不全局表示$h$ .我们通过$\textrm{GL}_{2}(\mathbb{Z})$ -不变量环的两个生成元对整数二元四次型类进行了排序，经典地表示为$I$和$J$。
2021-07-11 math.NT
Effectively computing integral points on the moduli of smooth quartic curves
我们证明了一个有效的版本的Shafarevich猜想（证明了Faltings）光滑的四次曲线。为了做到这一点，我们建立了一个有效的版本的Scholl的有限性结果光滑del Pezzo表面的程度最多为四。
2016-09-15 math.AG math.NT
Twisted Siegel-Weil formulas for $\mathrm{GL}_2$ over non-Galois quartic CM fields
Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
研究非伽罗瓦四次CM域上\(\mathrm{GL}_2\)的扭曲西格尔 - 韦伊公式，通过联系扭曲西塔积分与赫克积分的土居 - 永野提升，证明雅克比 - 朗兰兹对应基变换是同构，还得出博切尔兹形式扭曲CM值相关结论。
2026-07-21 math.NT
Pairs of diagonal quartic forms: the asymptotic formulae
建立了$26$或多元对角四次方程对有界高度的积分解个数的渐近公式。在某些情况下，可以处理$25$变量中的对。
2022-11-18 math.NT
Minimal Mahler Measure in Quartic Galois Number Fields
本研究聚焦四次伽罗瓦数域中最小整马勒测度与域判别式的关联，推导了有条件依赖ABC猜想的密度结论及若干无条件结论。
2025-09-30 math.NT
Binary quartic forms with bounded invariants and small Galois groups
本文研究了伽罗瓦群同构于八阶二面体群的一个子群的整数和不可约二元四次型。我们首先表明，所有这些形式的集合是一个联盟的家庭索引的整数二进制二次型$f(x,y)$的非零判别式。然后，我们将列举与固定的$f(x,y)$相关联的所有这些形式的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$等价类。
2018-11-10 math.NT
On the proportions of soluble forms in some families of locally soluble binary quartic forms
本文研究了局部可解整二元四次型中可解型的比例，基于已有关于椭圆曲线的结果，估计了某些特定子族中该比例的值。
2023-06-27 math.NT
Computing relative power integral bases in a family of quartic extensions of imaginary quadratic fields
令$M$是具有整数环$\mathbb{Z}_{M}$的虚二次域，并且令$ξ$是多项式$$f\left( x\right) =x^{4}-2cx^{3}+2x^{2}+2cx+1,$$的根，其中$c\in\mathbb{Z}_{M},$ $c\notin\left\{ 0,\pm2\right\}$。我们考虑一个无限族的octic域$K_{c}=M\left( ξ\right)$的整数环$\mathbb{Z}_{K_{c}}.$我们的目标是确定所有的生成元的相对功率积分基$\mathcal{O=}\mathbb{Z}_{M}\left[ ξ\right]$在$\mathbb{Z}_{M}.$我们表明，我们的问题减少到解决系统的相对Pellian方程\[ cV^{2}-\left( c+2\right) U^{2}=-2μ,\ \ cZ^{2}-\left( c-2\right) U^{2}=2μ, \]其中$μ$是一个单位的$\mathbb{Z}_{M}$。我们完全求解了这个系统，发现$\mathbb{Z}_{M}$上的$\mathcal{O}$的幂积分基的所有非等价生成元都由$α=ξ,$ $2ξ-2cξ^{2}+ξ^{3}$给出，对于$\left\vert c\right\vert \geq159108$和$|c|\leq200$ .
2016-07-11 math.NT
Upper bounds for the number of solutions to quartic Thue equations
我们将给出四次图厄方程整数解个数的上界。这里我们的主要工具是对数曲线$ϕ(x, y)$，它允许我们在曲线图中使用线性型理论。这份手稿改进了作者早期与冈崎合作的成果，对表格的签名进行了特殊处理。
2011-08-10 math.NT
Calculating all elements of minimal index in the infinite parametric family of simplest quartic fields
判定一个数域是否是单齐的，即它是否允许幂整基，是代数数论中的一个经典问题。在无限参数数域中考虑这个问题特别有趣。本文考虑由多项式$P_t(x)=x^4-tx^3-6x^2+tx+1$的根$ξ$生成的最简四次域$K$的无限参变量族，假定$t>0$，$t\neq 3$和$t^2+16$没有奇平方因子.除了幂整基的生成元外，我们还计算了这个族中所有域的最小指数和最小指数的所有元素。
2018-09-27 math.NT
Diagonalizable Quartic Thue Equations with Negative Discriminant
应用Thue-Siegel方法导出了Thue方程$F(x,y) = 1$解的个数的上界，其中$F$是具有负判别式的四次可对角化形式.在这个参数中使用计算来处理判别式的绝对值很小的形式。然后，我们将我们的结果，以界定的整数点的数量在某一家庭的椭圆曲线。
2019-02-19 math.NT
The number of quartic $D_4$-fields with monogenic cubic resolvent ordered by conductor
本文通过Birch和Merriman的构造，研究了由整数二元四次形式产生的极大和不可约四次阶，其分式域是四次$D_4$ -域.利用M. Wood，这样的四次阶可以看作是四次$D_4$ -域，其整数环有一个单演的三次预解式。我们将给出这种对象按导体排序时的渐近数，以及估计这种对象按判别式排序时的渐近数。
2022-01-17 math.NT
On the number of monogenizations of a quartic order
我们证明了一个四次域中的一个序作为一个$\mathbb Z$ -代数具有比$3000$少的本质上不同的生成元（如果该序的判别式足够大，则具有比$200$少的生成元）。这显著提高了以前最好的已知的$2^{72}$的结合。类似地，我们表明，在一个四次域的顺序是同构的不变的顺序，最多$10$类的整数二元四次形式（和最多$7$，如果判别式是足够大的）。这显著改善了以前最好的已知$2^{80}$的结合。
2022-10-03 math.NT
Binary quartic forms with vanishing $J$-invariant
得到了$J$ -不变量为零且Hessian与可约或正定二元二次型的平方成正比的整数系数不可约二元四次型的$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$ -等价类个数的渐近公式.这些结果给出了一种情况下，其中一个是能够计数积分轨道内的一个相对开放的实轨道的各种下，至少三度的群作用关闭。
2019-12-19 math.NT
Exceptional Quartics are Ubiquitous
本文构造性地证明了例外四次数域的普遍存在性：既有无穷多个包含给定实二次域的例外四次域，也有无穷多个不含二次子域的例外四次域，并进一步推广到所有大于4的次数。
2023-10-28 math.NT
Integral Basis for quartic Kummer extensions over $\mathbb{Z}[ι]$
本文针对 $\mathbb{Z}[ι]$ 上由 $α=fg^2h^3$ 定义的四次 Kummer 扩张，构造了整数环的规范化整基，并显式给出了基元素分母 $d_i$ 关于 $f$、$g$、$h$ 的表达式。
2024-10-23 math.NT
On the monogenity of quartic number fields defined by $x^4+ax^2+b$
本文研究了由不可约三项式 $x^4+ax^2+b$ 的根生成的四次数域的单生性，刻画了 $Z[α]$ 整闭的条件，给出了 $p=2,3$ 时整除公因子的最高幂次，并证明了此类域中仅存在唯一的幂整基生成元。
2024-02-15 math.NT
Two Families of Monogenic $S_4$ Quartic Number Fields
考虑积分多项式$f_{a,b}(x)=x^4+ax+b$和$g_{c,d}(x)=x^4+cx^3+d$。假设$f_{a,b}(x)$和$g_{c,d}(x)$是不可约的，$b\mid a$，并且整数$b$、$d$、$256d-27c^4$和$\dfrac{256b^3-27a^4}{\gcd(256b^3,27a^4)}$都是无平方的。使用蒙特斯算法，我们证明了根的$f_{a,b}(x)$或$g_{c,d}(x)$定义了一个单演扩展的$\mathbb{Q}$，并作为一个发电机的幂整数环的积分基础。事实上，我们对稍微更一般的家庭表现出单一性。此外，我们得到的多项式生成单演$S_4$领域内的家庭$f_{b,b}(x)$和$g_{1,d}(x)$的密度下界。
2018-08-31 math.NT
Integral points on a certain family of elliptic curves
利用Thue-Siegel方法得到了一类四次Thue不等式的本原积分解个数的上界.这将提供一个整数点的数量上界的一个家庭的椭圆曲线与j不变等于1728。
2015-06-11 math.NT
Binary quartic forms having bounded invariants, and the boundedness of the average rank of elliptic curves
我们证明了一个定理，给出了渐近数的二元四次形式有界不变量，这延伸到四次的情况下，经典的结果高斯和达文波特在二次和三次的情况下，分别。我们的技巧是相当普遍的，并可能适用于计数积分轨道在其他表示的代数群。我们使用这些计数结果证明了$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的平均秩，当按其高度排序时，是有界的。特别地，我们证明了当椭圆曲线按高度排序时，2-Selmer群的平均大小为3。这意味着椭圆曲线的平均秩的limsup至多为1.5。
2013-12-23 math.NT
$K_2$ of families of elliptic curves over non-Abelian cubic and quartic fields
本文给出了非阿贝尔三次和四次域上椭圆曲线族的两种构造，在驯顺符号核中分别获得三个和四个线性无关的“积分”元素，证明了不忽略挠元的新积分性判据，并对90余条曲线数值验证了 Beilinson 猜想。
2024-01-09 math.AG math.KT math.NT
Newton polygons and p-integral bases
设p为素数。在本文中，我们使用旧的技术矿石，牛顿多边形的基础上，在一个有效的方式来构建p-整数基地的数域定义的p-正则方程。为了说明这种结构的潜在应用，我们展示了这个结果如何产生一个任意四次场的p-整基的定义方程的计算。
2009-06-15 math.NT
Integral bases and monogenity of composite fields
考虑由二次域与纯三次、纯四次、纯六次域以及所谓的最简三次、最简四次域构成的高次数域的无限参数族。我们明确地描述了复合场的一个整基。我们构造了指数形式，描述了它们的因子，并证明了复合域的单调性意味着所涉及的参数具有一定的整除性条件。这些条件通常不成立，这就意味着域的非单调性。我们考虑的域是更高度数的数域，度数为6到12。数域的非单调性经常被认为是指数型方程解的不存在性的结果。据我们所知，在这些高次域上求解指数形式方程是完全不可行的，特别是不能用参数形式。另一方面，我们的方法直接意味着在几乎所有的情况下的非单一性。我们得到我们的结果在一个参数的形式，表征这些无限参数族的复合领域。
2018-09-26 math.NT
Counting points on a family of degree one del Pezzo surfaces
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究了一族由方程y²=x³+AxQ(u,v)²+BQ(u,v)³定义的椭圆面上的有理点，通过Mordell参数化方法，证明了特定子集的渐进行为，利用模形式连接二元二次和四次形式的表示数相关和。
2026-04-21 math.NT
A Quantitative Hasse Principle for Weighted Quartic Forms
本文利用 Hardy-Littlewood 方法，在非奇异局部可解条件下，证明了满足特定加权齐次条件的四次型整数零点计数渐近公式，并改进了 Birch 方法的结果。
2023-10-06 math.NT
On the Zariski-Density of Integral Points on a Complement of Hyperplanes in P^n
研究了射影空间中超平面并的补上的S-整点，其中S是数域k的有限集.在经典的情况下，S由阿基米德的位置的集合k，我们完全刻画，在超平面和域k，当（S-）整点是不Zurkiki-稠密的。
2006-01-27 math.NT
On number fields with equivalent integral trace forms
设$K$为数字字段。\textit{integral trace form}是$\text{tr}_{K/\mathbb{Q}}(x^2)|_{O_{K}}.$给出的整二次型。本文研究了具有等价积分迹形式的非共轭数域的存在性。作为本文主要结果之一的推论，我们证明了任何两个具有相同签名和相同素判别式的非全实数域具有等价的积分迹形式。另外，基于作者以前的结果和本文给出的证据，我们猜想：任意两个基本判别式的全实四次域具有等价的迹零形式当且仅当它们是共轭的.
2011-04-26 math.NT
The Eichler--Selberg trace formula for Hilbert cusp forms, the class numbers of quartic CM fields, and their distributions
Sophia University（上智大学）；Chonnam National University（全南国立大学）；Kanazawa University（金泽大学）
利用广义Hurwitz类数（由四次CM域类数定义），建立了窄类数为一的实二次域上Hilbert尖形式的Eichler-Selberg迹公式，并研究了类数分布与关系，进行了Hecke算子迹的数值计算。
2026-07-03 math.NT
The 2-adic valuation of a sequence arising from a rational integral
我们分析了一个整数序列，起源于一个明确的评估四次积分的2-adic值的属性。我们还给出了这个序列的估值的组合解释。与Collatz（3x+1）问题所产生的轨道的连接进行了讨论。
2007-07-14 math.CO math.NT
Counting integral points on universal torsors
关于del Pezzo曲面上有界高的有理点个数的渐近性质的Manin猜想可以通过万有挠量来逼近。我们证明了几个辅助结果，在某些区域的整点的数量估计的通用torsors。作为应用，我们证明了奇异四次del Pezzo曲面的Manin猜想。
2009-02-13 math.AG math.NT
The average number of integral points on the congruent number curves
该研究证明了同余数椭圆曲线族上非挠整点总数的上界为$O(N(\log N)^{-1/4+\varepsilon})$，通过整二元四次型判别式降低法与Heath-Brown方法估计2-Selmer群平均大小完成证明，为数论中整点计数问题提供了新结果。
2023-03-22 math.NT
Bounds on 2-torsion in class groups of number fields and integral points on elliptic curves
本文证明了三次及更高次数域$K$（Brauer-Siegel的平凡界是$O_ε(|{\rm Disc}(K)|^{1/2+ε})$）的子群的2-扭子群的大小的第一个已知的非平凡界.这就相应地改进了：1）Brumer和Kramer关于2-Selmer群的大小和椭圆曲线的秩的界，2）Helfgott和Venkatesh关于椭圆曲线上整点个数的界，3）2-Selmer群的大小和超椭圆曲线的Jacobian的秩的界，4）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界，5）2-Selmer群的大小和Jacobian的秩的界。（4）有界判别式的$A_4$ -四次域的个数的Besides和Wong界。
2017-01-10 math.NT
Integral points on the complement of the branch locus of projections from hypersurfaces
研究了$\mathbb P_ n\setminus D$上的积分点，其中$D$是$\mathbb P_{n+1}$中的超曲面到超平面$H\simeq\mathbb P_n$的投影的分支轨迹.在这样做时，我们按照Zannier在一篇论文中提出的方法，但我们证明了一个更一般的结果，也给出了一个更清晰的界限，可能导致证明积分点的有限性，并有更多的应用。我们在本文中提出的证明是有效的，它们提供了一种方法来实际构建一个包含所有积分点的集合。我们的结果找到一个具体的应用丢番图方程，更具体地说，方程$F(x_0,\dots,x_n)=c$，其中$c$是一个给定的非零值和$F$是一个齐次形式定义的分支轨迹$D$的积分解的问题。
2014-11-09 math.NT
Descent for the punctured universal elliptic curve, and the average number of integral points on elliptic curves
我们证明了椭圆曲线上的整数点的平均数，计数模的自然对合的穿孔椭圆曲线，是有界的$2.1 \times 10^8$从上面。为了证明这一点，我们设计了一个下降映射，其原型至少可以追溯到Mordell，它将一对二进制形式与椭圆曲线上的一个整点相关联。其他成分的证明包括上界的数量的解决方案的图厄方程的Evertse和Akhtari冈崎，和估计的数量的二元四次形式的Bhargava香卡。我们的方法适用于$S$ -整点在一定程度上，虽然我们目前的知识是不够的，以推导出一个上界的平均数。用$S=\{2\}$进行了数值算例。
2015-12-07 math.NT
Metaplectic Theta Functions and Global Integrals
对于合适的$n,n'$，我们将$GL_3$的$n$ -折叠覆盖上的θ函数与$GL_2$的$n'$ -折叠覆盖上的自守形式进行卷积.为此，我们将theta函数引入到$GL_4$的$n$ -折叠覆盖中，并使用Shalika积分。我们表明，特别是当$n=n'=3$这个建设给出了一个新的欧拉积分的自守形式上的3倍覆盖的$GL_2$（第一个这样的积分是由凹凸和Hoffstein），当$n=4$，$n'=2$，它给出了一个狄利克雷级数解析延续和函数方程，涉及的傅立叶系数的自守形式的半积分的重量和四次高斯和。这些情况下的分析是基于Whittaker模型的局部异常表示的唯一性。这里研究的结构可以放在一个更大的家庭的整体积分的背景下，使用覆盖群上的自守表示。我们勾勒出这个更广泛的背景和一些相关的插图。
2014-03-16 math.NT
Towards a generalization of the van der Waerden's conjecture for Sn-polynomials with integral coefficients over a fixed number field extension
范德瓦尔登猜想指出，次数为$n$的一元整数多项式$f(X)$的集合$\mathscr{P}_{n,N}^0(\mathbb{Q})$，具有高度$\le N$使得分裂域$K_f/\mathbb{Q}$的伽罗瓦群$G_{K_f/\mathbb{Q}}$是全对称群，其阶为$|\mathscr{P}_{n,N}^0(\mathbb{Q})|=(2N)^n+O_n(N^{n-1})$为$N\rightarrow+\infty$。这个猜想以前已经被范德瓦尔登、周和迪特曼证明过。随后，Bhargava为$n\ge6$证明了这一点。本文推广了次数$d$的固定有限扩张$K/\mathbb{Q}$的代数整数环$\mathcal{O}_K$中系数多项式的结果，对于$n$和$d$的某些值.
2022-12-22 math.NT
The Dimensions of Integral Points and Holomorphic Curves on the Complements of Hyperplanes
本文完全确定了射影空间中超平面并的补上的整点和全纯曲线的可能维数。我们的主要定理推广的结果Evertse和Gyory，谁决定当所有的整点集（在所有数域）的补充工会的超平面是有限的，和结果的Ru，谁决定当所有的全纯映射的补充工会的超平面是常数。使用的主要工具是S-单位引理及其解析类似物，Borel引理。
2006-01-27 math.CV math.NT
Almost all quadratic twists of an elliptic curve have no integral points
本文证明了在短 Weierstrass 形式下，椭圆曲线的几乎所有二次扭曲都没有整点，在部分 2-挠群情况下条件依赖于 Hall-Lang 猜想的弱形式，核心方法是通过 Mordell 对应与二元四次型约化理论转化问题，并利用特征和估计的抵消性质完成证明。
2024-01-09 math.NT
Integral Points on a del Pezzo Surface over Imaginary Quadratic Fields
本文研究虚二次域上 $\mathbf{A}_3$ 型四次 del Pezzo 曲面的整点，通过 universal torsors 进行高度有界计数并作几何解释，证明了相对奇点和直线的整点版 Manin 猜想类比。
2023-07-24 math.AG math.NT
A remarkable sequence of integers
本文综述了四次定积分计算中出现的系数序列的性质。这些性质是分析，组合和数论性质。
2008-12-17 math.CO math.NT
Integral Hodge conjecture for Fermat varieties
我们描述了一个算法，它验证是否线性代数周期的费马品种产生格的霍奇周期。计算机实现这证实了积分霍奇猜想四次和五次费马fourfolds。我们的算法是基于计算的列表的初等因子的两个格的线性代数循环，和格的霍奇周期写在消失的周期，并观察到这两个列表是相同的。
2019-03-27 math.AG math.AT math.NT
Boundedness of average rank of elliptic curves ordered by the coefficients
本文研究按高度 $h=\max(|A|,|B|)$ 排序的有理椭圆曲线平均秩，通过改进非均匀扩张区域内的整点计数技术，证明其 2-Selmer 群平均大小有界，并得到平均秩不超过 1.5。
2025-06-08 math.NT
On potential density of integral points on the complement of some subvarieties in the projective space
本文研究了数域上 $n$ 维射影空间中特定闭子簇余集上整点的潜在密度，推广了 Corvaja-Zucconi 在低维射影空间中的相关结果。
2024-04-26 math.AG math.NT
Integral points on singular del Pezzo surfaces
本文通过分类弱 del Pezzo 对，研究有界对数反典范高度整点，并在 $\mathbf{A}_1+\mathbf{A}_3$ 型四次奇异 del Pezzo 曲面上证明顾及奇点与直线的 Manin 型结论。
2023-01-11 math.AG math.NT
An Hilbert Irreducibility Theorem for integral points of del Pezzo surfaces
我们证明了积分点是潜在的Zagliki密集的补充减少有效的奇异anticanonical因子在光滑的del Pezzo表面，除了$\mathbb{P}^2$减去三个并发线（潜在的密度不成立）。这肯定地回答了一个问题提出的Hassett和Tschinkel，并结合以前的结果，完成了证明的潜在密度积分点补充anticanonical因子光滑del Pezzo表面。然后，我们分类的补充，这是简单的连接，并为这些我们证明，一组积分点是潜在的不薄，预测的猜想Corvaja和Zannier。
2023-03-21 math.AG math.NT
Finiteness theorems for complements of large divisors
证明了特征为零的非线性生成域上投射簇中大因子补上整点的有限性结果。为此，我们利用Wang的函数域子空间定理证明了Corvaja-Zannier和Levin的算术有限性结果的一个函数域模拟。然后，我们使用的Evertse-Gyverry的方法，从已知的有限性结果在数域上的结论的有限性整点的生成域。
2022-07-12 math.AG math.NT
Integral points over number fields: a Clemens complex jigsaw puzzle
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究院）；Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）；Georg-August-Universität Göttingen（哥廷根乔治·奥古斯特大学）
本文通过 o-最小结构的通用 torsor 方法，研究了数字段上奇异四次德尔皮佐表面的积分点渐进行式，揭示了克莱门斯复形与多面体体积之间的关系。
2026-09-10 math.AG math.NT
On the degeneracy of integral points and entire curves in the complement of nef effective divisors
作为我们最近建立的一般位置上闭子概形的广义Schmidt子空间定理的结果，我们证明了一个关于nef个有效因子并的补上整点的退化定理.我们的结果的一个新的方面是实现一个强退化的结论（算术拟双曲）弱正性假设的因子。证明铰链应用我们最近的定理与一个位置良好的充分除数实现一定的字典极大极小。我们还探讨了与其他作者的早期工作的连接，并提出了一个猜想（最佳）界限的数量必要的因子，包括考虑算术双曲性的问题。在丢番图逼近和Nevanlinna理论中的语句之间的标准对应下，人们得到了整条曲线的类似退化语句。
2020-06-19 math.AG math.CV math.NT
