Elementary resolution of a family of quartic Thue equations over function fields
本文考虑并完全求解了参数化的Thue方程族\begin{eqnarray*}X(X-Y)(X+Y)(X-λY)+Y^4=ξ,\end{eqnarray*}，其中解$x,y$来自环$\mathbb{C}[T]$，参数$λ\in\mathbb{C}[T]$是一个非常数多项式，而$0\neqξ\in\mathbb{C}$ .这是一个功能领域的模拟家庭解决了Mittette，PethIgnand罗斯在整数的情况下。我们的证明的一个特点是，我们避免使用的高度界限，考虑一个较小的相关环，我们可以更容易地确定的单位。正因为如此，证明是短的，参数是非常基本的（特别是与以前的结果参数化图厄方程的函数字段）。
2015-12-18 math.NT
Thue equations over $\mathbb{C}(T)$: The Complete Solution of a Simple quartic family
针对$\mathbb{C}(T)$上的一类简单四次Thue方程族，本文应用ABC定理求出了该族方程在$\mathbb{C}[T] \times \mathbb{C}[T]$上的全部解，完成了该族方程的完全求解。
2025-11-14 math.NT
On the simplest quartic fields and related Thue equations
令$K$为字符$K\neq 2$的字段。对于$a\in K$，作为多预解式多项式的域交问题的特殊情况，我们给出了$K$上最简四次多项式$X^4-aX^3-6X^2+aX+1$的域同构问题的一个显式解答.从这个结果，在一个无限域$K$上，我们看到，对于$K$的无穷多个值$a$，多项式给出了$K$上的相同分裂域。我们还看到西格尔定理亏格为零的曲线，只有许多代数整数$a\in\mathcal{O}_K$在数域$K$可能会给相同的分裂域。通过应用有理数域$\mathbb{Q}$上的结果，我们建立了四次Thue方程\[ X^4-mX^3Y-6X^2Y^2+mXY^3+Y^4=c, \]的参数族的原始解与最简单四次域的同构类之间的对应关系，其中$m\in\mathbb{Z}$是有理数，$c$是$4(m^2+16)$的除数.
2010-04-18 math.NT
On a simple quartic family of Thue equations over imaginary quadratic number fields
令$t$是任意具有$|t|\geq 100$的虚二次整数。证明了不等式\[ |F_t(X,Y)| = | X^4 - t X^3 Y - 6 X^2 Y^2 + t X Y^3 + Y^4 | \leq 1 \]在与$t$相同的虚二次数域的整数中只有平凡解$(x,y)$.此外，我们证明了不等式$|F_t(X,Y)| \leq C|t|$和$|F_t(X,Y)| \leq |t|^{2 -\varepsilon}$的结果。这些结果来自基于超几何方法的近似结果。本文中的证明需要大量的计算，为此提供了代码（Sage）。
2023-03-27 math.NT
Quartic Index Form Equations and Monogenizations of Quartic Orders
通过考虑某些经典的丢番图方程，即四次数域上的指数型方程，以及三次和四次Thue方程，建立了四次单齐化数的上界.
2022-07-29 math.NT
Calculating power integral bases by solving relative Thue equations
在我们最近的文章中，我们给出了一个有效的算法来计算“小”的解决方案的相关图厄方程（其中“小”是指一个上界类型的$10^{500}$的解决方案的大小）。在这里，我们应用该算法计算幂整基在六次域与虚二次子域和计算相对幂整基在纯四次扩张的虚二次域。在这两种情况下，计算的关键点是相对图厄方程的分辨率。我们产生了以前不知道的数字数据。
2018-09-27 math.NT
Integral points on a certain family of elliptic curves
利用Thue-Siegel方法得到了一类四次Thue不等式的本原积分解个数的上界.这将提供一个整数点的数量上界的一个家庭的椭圆曲线与j不变等于1728。
2015-06-11 math.NT
Cubic Thue inequalities with positive discriminant
我们将给出三次不等式解的个数的一个明确的上界|F（x，y）|\leq h，其中F（x，y）是具有整数系数和正判别式D的三次二进制形式。只要h小于D^{1/4}，我们的上界与h无关。
2013-07-22 math.NT
Thue equations and CM-fields
我们得到了定义在全实数域$K$上的Thue方程$F(X,Y) = b$的积分解大小的多项式型上界，假设$F(X,1)$有一个根$α$使得$K(α)$是CM-域.此外，我们给出了计算这类方程的积分解的算法。
2015-01-07 math.NT
Families of cubic Thue equations with effective bounds for the solutions
对于$\Q$的每一个非全实三次扩张$K$和三次域$K$的每一个生成元$α$，我们附加了一族以$K$为单位的三次Thue方程，并通过给出这些解的有效上界，证明了这一族三次Thue方程只有有限个整数解.
2013-12-27 math.NT
Diagonalizable Thue Equations -- revisited
令$r,h\in\mathbb{N}$具有$r\geq 7$，并令$F(x,y)\in \mathbb{Z}[x ,y]$是二进制形式，使得\[ F(x , y) =(αx + βy)^r -(γx + δy)^r, \]，其中$α$、$β$、$γ$和$δ$是具有$αδ-βγ\neq 0$的代数常数。我们建立了Thue不等式$0<|F(x, y)| \leq h$的原始解的个数的上界，改进了Siegel和Akhtari，Saradha & Sharma的一个较早的结果.
2022-04-26 math.NT
Explicit and Mixed Estimates for Thue inequalities with few coefficients
本文针对少系数Thue不等式，在Bombieri、Schmidt和Mueller方法的基础上，给出了三个完全显式的解数上界，解决了此前绝对常数未定的问题。
2025-05-22 math.NT
A modular approach to Thue-Mahler equations
设$h(x,y)$是具有整系数的非退化二元三次型，$S$是任意有限的素数集.根据Mahler的一个经典定理，只有1000对互素整数$x,y$使得$h(x,y)$是一个$S$ -单位.在本文中，我们扭转了一个众所周知的论点，这似乎可以追溯到Shafarevich，并使用$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线的模给出这样的Thue-Mahler方程的解的数量的上界。此外，我们的方法给出了一个有效的方法来确定所有的解决方案，我们使用克雷莫纳的椭圆曲线数据库给出了广泛的数值例子。
2015-01-26 math.NT
Calculating relative power integral bases in totally complex quartic extensions of totally real fields
前一段时间，我们将幂整基生成元的单调性研究和计算推广到相对情形。到目前为止，我们考虑（通常是全实）复四次域的扩张。本文考虑全实域的相对扩张中的幂整基。全实数域的全复四次扩张似乎是最简单的情况，我们在这里详细介绍。正如我们将看到的，即使在这种情况下，我们也必须克服几个意想不到的困难，然而，我们可以通过适当地（但不是微不足道地）调整标准方法来解决这些困难。我们证明了我们的一般算法上一个明确的例子。我们描述了如何在这种情况下，四次相对扩张的相对指数形式方程的一般方法进行修改。作为一个副产品，我们表明，相对图厄方程在全复扩张的全实领域只能有小的解决方案，我们构建了一个特殊的方法，特殊的单位方程的小的解决方案的计数。这些陈述可以适用于其他丢番图问题，以及。
2020-04-11 math.NT
Representation of Small Integers by Binary Forms
建立了Thue不等式$|F(x , y)| \leq m$的整数解个数的上界，其中$F$是二进制形式的次数$n \geq 3$和非零判别式$D$，$m$是一个整数.当$m$小于$|D|^{\frac{1}{4(n-1)}}$时，我们的上界与$m$无关。我们还考虑了Thue方程$|F(x , y)| = m$，并给出了其积分解个数的一些上界.在方程的情况下，我们的上界将与整数$m$无关，当$ m < |D|^{\frac{1}{2(n-1)}}$。
2015-08-14 math.NT
Thue inequalities with few coefficients
设$F(x, y)$是具有整数系数、次数为$n\geq 3$且在有理数上不可约的二元形式.假设$F$的$n + 1$系数中只有$s + 1$非零。证明了Thue不等式$|F(x,y)|\leq m$有$\ll sm^{2/n}$解，只要$F$的判别式$D(F)$的绝对值足够大.我们还给出了$|F(x,y)|\leq m$的解的个数的一个新的上界，对$F$的判别式没有限制，它主要依赖于$s$和$m$，而对$n$有轻微的依赖.当$m<|D(F)|^{2/(5(n-1))}$时，我们的界变得与$m$无关;当$|D(F)|$足够大时，我们的界也与$n$无关.
2020-08-22 math.NT
Familles d'equations de Thue-Mahler n'ayant que des solutions triviales
设$K$是数域，$S$是$K$中包含阿基米德空间的有限空间集，$μ$，$α_1,α_2,α_3$是$K$中的非零元素.用$\OS$表示$S$的环-$K$中的整数，用$\OS^\times$表示$S$ -单位的群。则满足$\Card\{α_1\varepsilon_1,α_2\varepsilon_2,α_3\varepsilon_3\}= 3$的丢番图方程$$ (X-α_1 E_1 Y) (X-α_2E_2 Y) (X-α_3E_3 Y)Z=μE, $$的解$(x,y,z,\varepsilon_1, \varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon)\in\OS^3\times(\OS^\times)^4$的等价类集（即，直到乘以$S$-单位）是有限的。借助这一结果，我们展示了新的家庭的Thue-Mahler方程只有平凡的解决方案。此外，我们产生了一个有效的上限，这些解决方案的数量。本文的证明主要依赖于施密特子空间定理。
2013-12-27 math.NT
Solving effectively some families of Thue Diophantine equations
令$α$是次数为$d\ge 3$的代数数，令$K$是代数数域$\Q(α)$。当$\varepsilon$是$K$的一个单位使得$\Q(α\varepsilon)=K$时，我们考虑不可约多项式$f_\varepsilon(X) \in \Z[X]$使得$f_\varepsilon(α\varepsilon)=0$。令$F_\varepsilon(X,Y)$是在条件$F_{\varepsilon}(X,1)=f_{\varepsilon}(X)$下与$f_{\varepsilon}(X) $相关联的次数$d$的可约二进制形式。对于每一个正整数$m$，我们希望展示丢番图不等式$|F_\varepsilon(x,y)|\le m$的解$(x,y,\varepsilon)$的有效上界。我们实现这一目标，限制自己的一个子集的单位$\varepsilon$，我们证明是足够大，只要$K$的程度是$\geq 4$。
2013-12-27 math.NT
The Number of Solutions to the Trinomial Thue Equation
本文研究了方程$|F(x,y)| = 1$的整数对解的个数，其中$F(x,y) \in \mathbb{Z}[x,y]$是一个不可约的（在$\mathbb{Z}$上）二元形式，其次数为$n \geqslant 3$，且恰好有三个非零和项.特别是，我们改进了埃默里托马斯的明确的上界的数量的解决方案，这个方程。例如，当$n \geqslant 219$，我们表明，有不超过32个整数对解决方案，这个方程时，$n$是奇数和不超过40个整数对解决方案，这个方程时，$n$是偶数，托马斯的工作，其中他表明，有不超过38个这样的解决方案时，$n$是奇数和不超过48个这样的解决方案时，$n$是偶数的改进。
2023-01-27 math.NT
Hermite-Thue equation: Padé approximations and Siegel's lemma
Padé近似和Siegel引理是丢番图逼近理论中广泛使用的工具。这项工作已经从试图改善贝克型线性独立性措施，无论是使用Bjerieri-Vaaler版本的西格尔引理，以提高估计的Padé型近似，或通过寻找完全明确的表达式，但未知的“双类型”厄米-Padé近似。表示两种方法的适当齐次矩阵方程具有$M \times (L+1)$系数矩阵，其中$M \le L$。这个矩阵方程的齐次解向量给出了Padé多项式的候选项。由于Siegel引理的Besili-Vaaler版本，矩阵方程的最小非零解的上界可以通过找到系数矩阵的所有$M \times M$子式的gcd来改进。本文考虑指数函数，证明了$M \times M$子式确实存在一个大的公共因子，从而给出了Siegel引理的Bjerieri-Vaaler形式的应用.此外，在$M=L$的情况下，这个公共因子的存在是一个步骤，了解的性质的“双类型”厄米-帕德逼近的指数函数。
2018-05-02 math.NT
Families of Thue equations associated with a rank one subgroup of the unit group of a number field
将次数$d\ge 3$的二进制形式$F_0(X,Y)\in{\mathbb{Z}}[X,Y]$扭曲代数单位$\upsilon$的幂$\upsilon^a$（$a\in{\mathbb{Z}}$），得到二进制形式$F_a(X,Y)\in{\mathbb{Z}}[X,Y]$。更准确地说，当$K$是一个数域的程度$d$，$σ_1,σ_2,\dots,σ_d$嵌入$\mathbb{C}$，$α$的非零元素$K$，$a_0\in{\mathbb{Z}}$，$a_0>0$和$$ F_0(X,Y)=a_0\displaystyle\prod_{i=1}^d (X-σ_i(α) Y), $$然后为$a\in{\mathbb{Z}}$，我们设置$$ F_a(X,Y)=\displaystyle a_0\prod_{i=1}^d (X-σ_i(α\upsilon^a) Y). $$给定$m\ge 0$，我们的主要结果是一个有效的上限的解决方案$(x,y,a)\in{\mathbb{Z}}^3$丢番图不等式$$ 0<|F_a(x,y)|\le m $$为$xy\not=0$和${\mathbb{Q}}(α\upsilon^a)=K$。我们的估计涉及到一个有效的可计算常数只取决于$d$ ;它是明确的$m$方面，在高度的$F_0$和$\upsilon$方面，并在监管机构的数字字段$K$。
2017-01-05 math.NT
$6$-torsion and integral points on quartic threefolds
该研究证明了二次域类群6-挠点平均值的匹配上下界，并完成了仿射四次三维簇上整数解的数量计数，为数论相关领域提供了新的结论。
2024-10-04 math.NT
$\ell$-torsion in class groups of certain families of $D_4$-quartic fields
证明了$\ell$ -挠在某些$D_4$ -四次域族中几乎所有域的类群中的上界.我们的关键工具是一个新的Chebotarev密度定理，这些家庭的$D_4$ -四次字段和下界的家庭中的字段的数量。
2020-01-30 math.NT
On primes represented by quartic polynomials on average
我们得到了一个上界的素数分布的形式$n^4 + k$到$x$，平均在$k$与小平方满部分的素数。作为推论，我们表明，几乎所有的$k$，有一个预期数量的素数的形式$n^4 +k$到$x$。
2019-08-26 math.NT
Shifted moments of cubic and quartic Dirichlet $L$-functions
School of Mathematical Sciences, Beihang University（北京航空航天大学数学科学学院）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文在广义黎曼猜想下，建立了三次和四次狄利克雷L函数位移矩的上界，并应用此结果给出了三次和四次狄利克雷特征和的矩界。
2026-06-29 math.NT
Bounds for moments of cubic and quartic Dirichlet $L$-functions
研究了三次和四次本原Dirichlet $L$ -函数族中心值的$2k$阶矩.我们建立尖锐的下界所有真正的$k \geq 1/2$无条件的立方的情况下，并根据Lindelöf假设的四次情况。在广义黎曼假设（GRH）下，我们还建立了三次和四次情形下所有实数$0 \leq k<1/2$的精确下界和所有实数$k \geq 0$的精确上界.作为我们的结果的应用，我们建立了相应的$L$值的定量非零结果。
2022-04-15 math.NT
Descent for the punctured universal elliptic curve, and the average number of integral points on elliptic curves
我们证明了椭圆曲线上的整数点的平均数，计数模的自然对合的穿孔椭圆曲线，是有界的$2.1 \times 10^8$从上面。为了证明这一点，我们设计了一个下降映射，其原型至少可以追溯到Mordell，它将一对二进制形式与椭圆曲线上的一个整点相关联。其他成分的证明包括上界的数量的解决方案的图厄方程的Evertse和Akhtari冈崎，和估计的数量的二元四次形式的Bhargava香卡。我们的方法适用于$S$ -整点在一定程度上，虽然我们目前的知识是不够的，以推导出一个上界的平均数。用$S=\{2\}$进行了数值算例。
2015-12-07 math.NT
Computing torsion for plane quartics without using height bounds
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of Bristol（布里斯托大学）
本文提出了一种无需高度界即可计算平面四次曲线雅可比簇有理 torsion 子群的算法，通过模素数降解和小数域搜索实现，已在 Magma 中实现并应用于大量数据集。
2026-01-31 math.NT
Counting rational points on quartic del Pezzo surfaces with a rational conic
上，下界，预期的数量级，得到的数量有理点的有界高度上的任何四次del Pezzo表面上的$\mathbb{Q}$，其中包含一个圆锥曲线定义在$\mathbb{Q}$。
2018-05-23 math.AG math.NT
Estimating of the number of integer (natural) solutions of inhomogeneous algebraic Diophantine diagonal equations with integer coefficients
利用Hardy和Littlewood的圆方法，研究了无自由元的非齐次代数丢番图对角型方程的整数（自然）解个数的上界.本文给出了显式变元非齐次代数丢番图对角方程自然解个数的上界。他在论文中开发了一种方法，该方法允许您对具有整数系数的代数丢番图方程的自然（整数）解的数量进行低估计。作者用这种方法得到了几类任意变量的非齐次代数丢番图对角方程（包括图厄方程）的整数（自然）解个数的下估计.
2016-08-12 math.NT
On Kaprekar's Junction Numbers
一个以b为底的连接数u具有这样的性质：至少有两种方法可以将它写成u = v + s（v），其中s（v）是数v在以b为底的展开式中的位数之和。对于基数为10的情形，Kaprekar在20世纪50年代和60年代研究了寻找K（n）的问题，即最小的u使得方程u=v+s（v）恰好有n个解。他给出了K（2）=101，K（3）=10^13+1，并证明了K（4）=10^24+102。1966年，Narasinga Rao给出了K（5）的上界10^111111111124 +102，以及K（6）、K（7）、K（8）和K（16）的上界。在目前的工作中，我们得到了一组递归的确定K（n）的任何基b，特别是意味着这些固定值的K（n）是正确的。我们方法的关键是F（u）的一个明显新的递归，即u=v+s（v）的解的个数。我们通过计算n <= 16和基b <= 10时K（n）的值来说明我们的方法，并表明对于每个基，K（n）增长为高度与log_2（n）成比例的塔。令人惊讶的是，5进制问题的K（n）值由经典的Thue-Morse序列确定，这导致我们为其他基定义广义Thue-Morse序列。
2022-03-13 math.NT
Effective results for Diophantine equations over finitely generated domains
本文研究了有限生成域上的 Thue 方程及超椭圆和超超椭圆方程，利用数域、函数域的有效结果与交换代数给出了未知数大小的显式上界，证明了这些方程的解在原则上可有效确定，并推广了 Schinzel 和 Tijdeman 定理。
2013-01-30 math.NT
Two explicit divisor sums
我们给出了$d(n)^2$和$d_4(n)$的和的明确界，其中$d(n)$是$n$的约数，$d_4(n)$是将$n$写成四个数的乘积的方法的数目。在这样做时，我们对四次数域的类数的上界作了一点改进。
2019-11-18 math.NT
Progress Towards Counting D_5 Quintic Fields
设$N(5,D_5,X)$是Galois闭包具有伽罗瓦群$D_5$且判别式以$X$为界的五次数域的个数.根据Malle的一个猜想，我们期望对于某个常数$C$，$N(5,D_5,X) \sim C X^{1/2}$.最有名的上限是$N(5,D_5,X)\ll X^{3/4 + ε}$，我们表明，这可以提高计数点上的一定品种定义的规范方程，计算机计算给出了有力的证据，这个数字是$\ll X^{2/3}$。最后，我们展示了如何这样的范数方程可以是有益的，通过重新解释早期的证明黄上界$A_4$四次领域在一个类似的范数方程。
2011-11-06 math.NT
Boundedness of average rank of elliptic curves ordered by the coefficients
本文研究按高度 $h=\max(|A|,|B|)$ 排序的有理椭圆曲线平均秩，通过改进非均匀扩张区域内的整点计数技术，证明其 2-Selmer 群平均大小有界，并得到平均秩不超过 1.5。
2025-06-08 math.NT
On $\ell$-torsion in class groups of number fields
对于每一个整数$\ell \geq 1$，我们证明了一个无条件的上界的大小的$\ell$ -扭转子群的类组，它适用于所有，但一个零密度集的域扩张的$\mathbb{Q}$的程度$d$，任何固定的$d \in \{2,3,4,5\}$（与额外的限制，在这种情况下$d=4$，该领域是非$D_4$）。对于足够大的$\ell$（明确指定），这些结果是作为一个先前已知的约束条件GRH一样强。作为我们的论点的一部分，我们开发了一个概率“切比雪夫筛”，并给出了统一的，节能的误差项的渐近四次（非$D_4$）和五次字段选择分裂类型在一个有限的素数。
2017-09-07 math.NT
On Splitting Types, Discriminant Bounds, and Conclusive Tests for the Galois Group
利用数域正规扩张的伽罗瓦群的作用，我们推广和对称了代数和代数数论中关于素理想的分裂类型、多项式模素数的因子分解类型和多项式的伽罗瓦群的循环类型的各种基本陈述.一个显著的例子是从库默-戴德金定理中删除了所有人为的约束，该定理涉及分裂和因子分解模式。最后，给出了一个初等证明，证明了整系数一元不可约多项式的分裂域的判别式有一个可计算的系数上界.这一结果与Lagarias等人的结果相结合，表明，测试多项式的周期类型的伽罗瓦群是决定性的。特别是，整系数的一元不可约三次群、四次群和五次群的伽罗瓦群可以在许多步骤中完全确定（尽管不一定在一生中）。
2018-07-05 math.NT
Explicit separation of quadratic irrationals from the middle-third Cantor set
该研究通过非退化条件和轨道指数假说，证明了二次无理数与中第三康托集之间的距离下界，给出了显式的分离常数。
2026-09-14 math.NT
