Tiered Sampling: An Efficient Method for Approximate Counting Sparse Motifs in Massive Graph Streams
我们介绍了分层采样，一种新的技术，用于近似计数稀疏图案在大规模的图形，其边缘观察到的流。我们的技术只需要一个单一的数据通过，并使用固定大小的内存$M$，这可以是幅度小于边缘的数量。我们的方法解决了具有挑战性的任务，计数稀疏图案-子图模式，有低概率出现在一个样本的$M$边缘的图形，这是最大量的数据可用于算法在每一步。为了获得计数的无偏和低方差估计，我们将可用存储器划分为储层样本的层（层）。虽然基础层是边缘的标准储集层样本，但其他层是所需基序的子结构的储集层样本。通过存储主题的更频繁的子结构，我们增加了检测到我们正在计数的稀疏主题的出现的概率，从而降低了估计的方差和误差。我们证明了我们的方法的优势，在具体的应用程序中计数稀疏4和5团在大量的图形。我们提出了一个完整的分析和广泛的实验结果，使用合成和真实世界的数据。我们的研究结果表明，我们的方法在获得高质量的近似的4和5团的大型图形使用非常有限的内存量，显着优于单边样本方法计数稀疏图案在大规模的图形。
2017-10-05 cs.DS
Approximate counting with a floating-point counter
在当代应用中，内存成为一个限制因素，例如Webgraph和分子序列分析，当许多对象需要同时计数时。Robert Morris [Communications of the ACM，21：840- 842，1978]提出了一种非常节省空间的近似计数的概率技术。基本思想是以概率$2^{-X}$递增包含值$X$的计数器。因此，计数器包含存储在$\lg\lg n$位中的$n$概率更新之后的$\lg n$的近似值。在这里，我们重新审视莫里斯的原始想法，并介绍一个二进制浮点计数器，它使用一个$d$位有效数结合一个二进制指数。计数器产生一个简单的公式，用于$n$的无偏估计，标准偏差约为$0.6\cdot n2^{-d/2}$，并使用$d+\lg\lg n$位。我们分析了浮点计数器的性能，适用于任何概率计数器的一般框架，并推导出实用的公式来评估其准确性。
2009-08-24 cs.DS
Efficient Algorithms for Approximate Triangle Counting
计算图中三角形的数量在网络分析中有许多重要的应用。几个经常计算的指标，如聚类系数和传递率，需要计算网络中三角形的数量。此外，三角形是网络挖掘中考虑的最重要的图类之一。本文提出了一种新的近似三角形计数的随机算法。该算法可以采用不同的采样方法，并给出了有效的三角形计数方法。特别地，我们提出了两种采样方法，称为\textit{$q$-optimal sampling}和\textit{edge sampling}，分别给出了具有良好误差界的$O(sm)$和$O(sn)$时间算法（$m$和$n$分别是图中的边和顶点的数目，$s$是样本的数目）。除其他外，我们表明，例如，如果一个上限$\widetilde{Δ^e}$是已知的三角形入射到每个边缘的数量，所提出的方法提供了一个$1\pm ε$近似运行在$O( \frac{\widetilde{Δ^e} n \log n}{\widehat{Δ^e} ε^2} )$时间，其中$\widehat{Δ^e}$是三角形入射到一个边缘的平均数。最后，我们表明，该算法可以采用流。然后，例如，它将在数据上执行2遍（如果图的大小已知，则需要3遍），并将使用$O(sn)$空间。
2013-04-23 cs.DS
Approximately Counting and Sampling Hamiltonian Motifs in Sublinear Time
本文针对亚线性时间下标准查询模型与增强模型之间的“范围差距”，提出基于均匀采样的框架，首次在标准模型中实现对任意哈密顿模体的近似计数与近均匀采样，并简化了星形、三角形和团簇的已有算法。
2025-03-12 cs.DS
Approximate Spanning Tree Counting from Uncorrelated Edge Sets
本研究提出一种基于不相关边集移除的生成树计数近似算法，借助Schild-Rao-Srivastava电流局域化定理筛选边集，在稀疏图上的时间复杂度优于此前最优结果，可高概率得到指定误差的计数结果。
2025-05-20 cs.DS
When is Approximate Counting for Conjunctive Queries Tractable?
连接查询是数据库系统中最常用的一类查询，也是文献中研究得最多的一类查询。Grohe，Schwentik，and Segoufin（STOC 2001）的一个开创性的结果表明，对于每一类$G$图，当且仅当$G$具有有界树宽时，其基础图在$G$中的所有合取查询的求值是易处理的。在这项工作中，我们扩展了这种特性的计数问题的合取查询。具体来说，对于每一类$C$的有界树宽的合取查询，我们引入了第一个完全多项式时间随机近似方案（FPRAS）计数的答案查询$C$，和第一个多项式时间算法采样答案均匀从查询$C$。作为一个推论，它遵循的是，对于每一个类$G$的图，计数问题的合取查询，其基础图是在$G$承认一个FPRAS当且仅当，$G$有界树宽（除非$\text{BPP} \neq \text{P}$）}。事实上，我们的FPRAS更通用，也适用于具有有界超树宽度的合取查询以及此类查询的联合。在我们的证明中的关键成分是从自动机理论的基本计数问题的决议。具体来说，我们证明了第一FPRAS和多项式时间采样器的树的大小$n$接受树自动机，这改善了以前的准多项式时间随机逼近方案（QPRAS）和采样算法的戈尔，Jerrum，Kannan，Sweedyk和Mahaney '97。我们演示了如何使用该算法可以得到一个FPRAS的许多迄今开放的问题，如计数解决方案，约束满足问题（CSP）有界超树宽度，计数错误线程的数量…
2020-11-20 cs.DS
Approximate Counting of Matchings in Sparse Hypergraphs
本文给出了一类稀疏一致超图中所有匹配个数的全多项式随机逼近方案。我们的方法是基于推广的典型路径方法的情况下，一致超图。
2012-04-05 cs.DM cs.DS
Count-Min-Log sketch: Approximately counting with approximate counters
Count-Min Sketch是大规模处理中广泛采用的近似事件计数算法。然而，Count-Min-Sketch（CMS）的原始版本存在一些缺陷，特别是如果对低频项目感兴趣，例如文本挖掘相关任务。已经提出了CMS的几种变体来补偿低频事件的高相对误差，但是所提出的解决方案倾向于校正误差而不是防止误差。在本文中，我们提出了Count-Min-Log的草图，它使用基于递归的近似计数器，而不是线性计数器，以改善CMS的平均相对误差在恒定的内存占用。
2015-02-17 cs.DS cs.IR
Approximately counting and sampling small witnesses using a colourful decision oracle
本文设计了有效的算法来近似计数给定的$k$ -超图的边数，并对近似均匀的随机边进行采样。超图没有显式给出，只能通过它的彩色独立预言机来访问：彩色独立预言机返回是或否，这取决于给定的顶点子集是否包含相对于给定的顶点着色是彩色的边。我们的研究结果扩展和/或加强了Beame等人（ITCS 2018），Dell和Lapinskas（STOC 2018）和Bhattacharya等人（ISAAC 2019）在图形预言文献中的最新结果。我们的结果有近似计数/采样的后果：我们可以把某些类型的决策算法近似计数/采样算法，而不会导致太多的开销在运行时间。我们将这种近似计数/采样到决策的简化应用于细粒度复杂性（如$k$ -SUM，$k$ -OV和加权$k$ -Clique）和参数化复杂性（如CSP的大小$k$或权重- $k$解决方案的诱导子图）中的关键问题。
2022-03-07 cs.CC cs.DS
Differentially Private High-Dimensional Approximate Range Counting, Revisited
基于局部敏感过滤器，本文为差分隐私下的近似近邻计数问题提出了具有时空与效用权衡参数的数据结构，在纯 $\varepsilon$-DP 下提供更高效算法，并改进了公平近邻搜索的先前结果。
2025-05-02 cs.DS
Improved Space-Efficient Approximate Nearest Neighbor Search Using Function Inversion
本文利用函数求逆技术提出黑盒式方法降低LSH空间占用，并改进ALRW数据结构的查询时间，证明点列表数据结构对欧氏和曼哈顿ANN并非最优。
2024-07-02 cs.DS
Approximate Triangle Counting via Sampling and Fast Matrix Multiplication
有一个简单的$O(\frac{n^3}{T})$时间算法用于近似三角形计数，其中$T$是图中三角形的数量，$n$是顶点的数量。同时，可以使用时间上的快速矩阵乘法$\tilde{O}(n^ω)$来精确地计数三角形。是否有可能在保持$n^ω$对$n$的依赖性的同时，获得对三角形$T$数量的负依赖性？我们积极回答这个问题，提供了一个算法，运行在时间$O\big(\frac{n^ω}{T^{ω- 2}}\big) \cdot \text{poly}(n^{o(1)}/ε)$。这是最佳的，因为只要$T$的指数独立于$n, T$，它就不能在保持对$n$的依赖性的同时得到改善;这是根据Eden和Rosenbaum的下限得出的[APPROX/RANDOM 2018]。我们的算法改进了现有技术，当$T = ω(1)$和$T = o(n)$。我们还考虑了稀疏图中近似三角形计数的问题，参数化的边缘$m$的数量。最著名的算法在时间上运行$\tilde{O}\big(\frac{m^{3/2}}{T}\big)$ [Eden等人，SIAM Journal on Computing，2017]。还有一个众所周知的算法，用于精确的三角形计数，它在时间上运行$\tilde{O}(m^{2ω/(ω+ 1)})$。我们再次得到了一个算法，保留了$m$的指数，同时在具有大量三角形的图上运行得更快。具体来说，我们的算法在…
2021-05-16 cs.DS
ExaLogLog: Space-Efficient and Practical Approximate Distinct Counting up to the Exa-Scale
本文提出ExaLogLog数据结构，用于近似去重计数，具备HyperLogLog的实用特性，支持艾级规模，且节省43%空间达到相同估计误差。
2025-02-27 cs.DB cs.DS
Approximate Range Counting Revisited
我们研究范围搜索的彩色对象，其中一个计数（大约）的颜色存在于查询范围内的数量。研究的问题主要涉及二维、三维正交范围搜索和点对矩形刺的对偶设置。我们提出了这些问题的最佳和接近最佳的解决方案。大部分的结果是通过减少到近似的无色版本，并为他们改进的数据结构。这项工作的另一个贡献是引进嵌套浅切削。
2017-03-20 cs.CG cs.DS
Tight Streaming Lower Bounds for Deterministic Approximate Counting
本文研究流式 $k$-计数器近似计数，通过新势函数证明确定性最坏情况需 $Ω(k\log(n/k))$ 比特空间，并推出 Misra-Gries 算法空间最优。
2024-06-17 cs.CC cs.DS
$k$-Cut: A Simple Approximately-Uniform Method for Sampling Ballots in Post-Election Audits
我们提出了一个近似的抽样框架，并讨论如何风险限制审计可以弥补这些近似值，同时保持其“风险限制”的属性。我们的框架是通用的，可以弥补审计过程中的计数错误。此外，我们提出并分析了一个简单的近似抽样方法，”$k$ -cut”，用于从一堆选票中随机抽取选票，而不计数。我们的方法涉及到做$k$“切割”，每次都涉及到将选票的随机部分从堆栈的顶部移动到底部，然后选择顶部的选票。与传统的随机抽取选票的方法不同，$k$ -cut不需要选票上的识别号码，也不需要每次抽取计算许多选票。我们分析了选择选票的分布与均匀分布的接近程度，并设计了不同的缓解程序。我们表明，$k=6$削减是足够的风险限制选举审计，根据经验数据，这将提供一个显着的效率提高。
2019-01-02 cs.DS
Approximate counting of permutation patterns
Technion – Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文针对排列模式计数问题，为所有 k≤5 设计了确定性近线性时间 (1+ε)-近似算法，首次实现近似与精确计数分离，并开发了近最优的递增对范围查询数据结构。
2025-10-24 cs.DS
Approximately counting independent sets in dense bipartite graphs via subspace enumeration
本研究提出一种随机算法，为稠密正则二部图上的#BIS问题提供FPRAS，填补了低温稠密图近似计数的研究空白，方法基于子空间枚举与图的小集扩张性质，补充了组合优化领域的相关研究。
2023-07-18 cs.DS math.CO
Fast sampling and counting k-SAT solutions in the local lemma regime
我们给出了新的算法基于马尔可夫链的采样和近似计数满足$k$ -一致CNF公式，其中每个变量出现在最多$d$倍的分配。对于满足$kd<n^{o(1)}$和$k\ge 20\log k + 20\log d + 60$的任何$k$和$d$，新的采样算法以接近线性时间运行，并且计数算法以接近二次时间运行。我们的方法受到Moitra（JACM，2019）的启发，Moitra在近似计数中显著地利用了Lovász局部引理。我们的主要技术贡献是使用本地引理绕过传统的马尔可夫链方法中的连接障碍，这使得发达的MCMC方法适用于不连通的状态空间，如SAT解决方案。我们的方法的好处是避免了局部结构的枚举，并获得固定的多项式运行时间，即使$k=ω(1)$或$d=ω(1)$。
2019-11-04 cs.DS
FPTAS for Weighted Fibonacci Gates and Its Applications
Fibonacci门问题作为全息算法求解其它问题的计算基元，在Holant和CSP框架的精确计数二分法中起着重要作用。我们将它们推广到加权的情况，并允许每个顶点函数有不同的参数，这是一个更广泛的家庭和#P-难以精确计数。我们设计了一个完全多项式时间近似方案（FPTAS）的相关衰减技术的推广。这是第一个确定性的FPTAS近似计数在一般Holant框架没有一个度的界限。我们还正式介绍全息约简在近似计数的研究和这些加权Fibonacci门问题作为计算原语近似计数。在全息约化下，我们得到了其他Holant问题和自旋问题的FPTAS。其中一个重要的应用是为大范围的铁磁两态自旋系统开发FPTAS。这是第一个确定性的FPTAS在铁磁范围内的两个状态的自旋系统没有度约束。除了这些算法，我们还开发了一些新的工具和技术来建立相关衰减特性，这是适用于其他问题。
2014-02-18 cs.DS
Approximate Counting of Matchings in $(3,3)$-Hypergraphs
我们设计了一个全多项式时间近似方案（FPTAS），用于计算任意最大度为3的3-一致超图（称为$(3,3)$ -超图）中匹配（填充）的数目。这是该问题的第一个多项式时间近似方案，其中还包括，作为特殊情况，3-participate $(3,3)$ -超图的3D匹配计数问题。本文的证明技术使用了一般的相关衰减技术和一种新的交图底层结构的组合分析。证明方法也可以是独立的。
2017-10-25 cs.DS math.CO
On the Hardness Hierarchy for the $O(n \sqrt{\log n})$ Complexity in the Word RAM
该研究在字RAM模型下，通过新问题String Nesting建立字典匹配与多类$O(n\sqrt{\log n})$复杂度问题的归约关联，揭示该难度层级的统一难度根源，还证明字符串问题字母表可高效约简为二进制。
2026-11-02 cs.DS
Quantum Approximate Counting, Simplified
1998年，BHMT给出了一个近似计数的量子算法。给定一个$N$项目列表，其中的$K$被标记，他们的算法通过仅进行$O\left( \frac{1}{\varepsilon}\sqrt{\frac{N}{K}}\right) $查询来估计$K$在相对误差$\varepsilon$内。虽然这种加速是“Grover”类型的，但BHMT算法具有依赖于量子傅立叶变换（QFT）的奇怪特性，更常见的是与Shor算法相关联。有这个必要吗？本文提出了一个简化的算法，我们证明了实现相同的查询复杂度使用Grover迭代。我们还推广到一个QFT的振幅估计算法。近似计数的相关方法先前由Grover，Abrams和Williams，Suzuki等人概述，和魏（后两个，因为我们写这篇论文），但在所有情况下没有严格的分析。
2021-11-03 cs.DS quant-ph
Approximate Counting, the Lovasz Local Lemma and Inference in Graphical Models
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在本文中，我们介绍了一种新的方法近似计数的有界度系统与高阶约束。我们的主要结果是一个算法来近似计数的数量的解决方案的CNF公式$Φ$的宽度是对数的最大程度。这关闭了已知上限和下限之间的指数差距。此外，我们的算法直接扩展到近似采样，这表明在Lovász局部引理条件下，它不仅可以找到一个令人满意的分配，也可以从所有满意的分配集合中随机产生一个近似均匀的分配。我们的方法是一个显着的偏离早期的技术近似计数，是基于一个框架，引导一个预言计算边际概率对个别变量。最后，我们给出了我们的结果的应用程序，表明它是算法上可能的后验分布中的一类有趣的图形模型的样本。
2017-03-16 cs.CC cs.DS cs.LG
Approximate Counting of Matchings in Sparse Uniform Hypergraphs
本文给出了交图含爪少的k-一致超图的匹配数的一个全多项式随机逼近方案。我们的方法给出了一个推广的标准路径方法的Jerrum和Sinclair的超图满足局部限制。我们的证明方法依赖于应用欧拉巡回技术的规范路径的基础马尔可夫链。另一方面，我们证明了在没有上述限制的情况下，即使对于k-一致、2-正则和线性超图类，对所有k >= 6，也是NP-难的。
2012-04-24 cs.DM cs.DS
Data Structures for Approximate Range Counting
本文提出了一种新的数据结构，用于近似计算正交范围内的点数。有一种确定性的线性空间数据结构，它支持O（1）时间内的更新，并在$O(\log \log U\cdot\log \log n)$时间内将一维范围内的元素数量近似为加性项$k^{1/c}$，其中$k$是答案中的元素数量，$U$是论域的大小，$c$是任意固定常数。对于任何$ρ>0$，我们可以在$O(\log \log U+ (1/ρ)\log\log n)$时间内估计二维正交范围内的点的数量，直到添加项$ k^ρ$。对于$v=\log \frac{1}ρ/\log {3/2}+2$，我们可以在$O(\log \log U + (\log\log n)^3+ (3^v)\log\log n)$时间内估计三维正交范围内的点的数量，直到添加项$k^ρ$。
2009-10-05 cs.CG cs.DS
Quantum Approximate Counting for Markov Chains and Application to Collision Counting
将量子近似计数推广到马尔可夫链，基于量子游走搜索框架构建算法，应用于碰撞计数，查询复杂度优于经典随机采样算法。
2022-04-07 cs.DS quant-ph
Tight Space Lower Bound for Pseudo-Deterministic Approximate Counting
该研究针对流算法中的近似计数问题，分析其伪确定性复杂度，证明了紧的Ω(log N)空间下界，解决了Goldwasser等人提出的相关问题，补充了伪确定性流算法的空间复杂度理论。
2024-10-05 cs.CC cs.DS
Approximately counting semismooth integers
一个整数$n$是$(y,z)$ -半光滑的，如果$n=pm$，其中$m$是一个整数，所有的素因子$\le y$和$p$是1或一个素数$\le z$。大量的半光滑整数被用在现代整数分解算法中，例如数域筛子（NumberFieldSieve），其结合了所谓的大素数变体。因此，能够估计$Ψ(x,y,z)$的值，即$(y,z)$ -半光滑整数的数量，直到$x$，这对于因子分解从业者是有用的，以便他们可以更好地设置算法参数并最小化运行时间，这在集群超级计算机上可能是几周或几个月。在本文中，我们探讨了几种算法来近似$Ψ(x,y,z)$使用推广的Buchstab的身份与数值积分。
2013-04-24 cs.DS math.NT
Approximate Triangle Counting
三角形计数是图挖掘中的一个重要问题。在复杂网络分析中，顶点的聚类系数和图的传递率是两个常用的度量。此外，三角形已成功地用于几个现实世界的应用。然而，精确的三角形计数是一个昂贵的计算。在本文中，我们提出了一个实用的抽样算法计数三角形图的分析。我们的分析产生的采样率的最佳值，从而导致巨大的加速范围从\emph{2800} x到\emph{70000} x时，应用于现实世界的网络。同时，估计的准确性是极好的。我们的贡献包括在具有数百万个节点和边的图上进行实验，在那里我们展示了我们提出的方法的实用性。最后，我们的算法的实现是\pegasus库的一部分（代码和数据集可在（http：//www.cs.cmu.edu/jpctsourak/）获得。）一个在Hadoop中实现的Peta-Graph Mining库，Hadoop是Mapreduce的开源版本。
2009-06-30 cs.DM cs.DS
Approximate Model Counting, Sparse XOR Constraints and Minimum Distance
本文研究近似模型计数中短稀疏 XOR 约束的可用界限，证明其与模型集几何及最小 Hamming 距离相关，并通过实验讨论改进方向。
2019-07-11 cs.DS cs.LO
Fine-grained reductions from approximate counting to decision
在本文中，我们介绍了一个一般框架细粒度约简近似计数问题的决策版本。(Thus我们使用一个决定是否存在任何见证人的预言机，以最小的开销乘性地近似见证人的数量。这反映了Sipser（STOC 1983）和Stockmeyer（SICOMP 1985）在多项式时间设置下的基本结果，以及Müller（IWPEC 2006）在FPT设置下的类似结果。使用我们的框架，我们获得了一些最重要的细粒度复杂性问题的减少：正交向量问题，3SUM，和负权重三角形问题（这是密切相关的所有对最短路径）。我们还提供了从近似#SAT到SAT的细粒度减少。假设强指数时间假设（SETH）为假，则对于某些$1<c<2$和所有$k$，存在用于k-SAT的$O(c^n)$时间算法。然后证明了对于所有的$k$，存在一个近似于# $k$ -SAT的$O((c+o(1))^n)$ -时间算法.特别是，我们的结果意味着指数时间假设（ETH）等价于一个非常弱的陈述，即没有算法可以在时间上将#3-SAT近似到$1+ε$的因子$2^{o(n)}/ε^2$（将$ε> 0$作为输入的一部分）。
2020-11-23 cs.CC cs.DS
Scalable Algorithms for Approximate DNF Model Counting
Research Directorate, National Security Agency（国家安全局研究处）；Department of Computer Science, University of Maryland（马里兰大学计算机科学系）
本文提出了一种新的蒙特卡洛算法，通过自适应停止规则和短路公式评估，实现更高效的近似DNF模型计数。
2026-09-16 cs.AI cs.DS
Exact and Approximate Pattern Counting in Degenerate Graphs: New Algorithms, Hardness Results, and Complexity Dichotomies
研究了$d$ -退化$n$-顶点图$G$中的$k$ -顶点图$H$的同态计数、副本计数和诱导副本计数问题.我们的主要结果建立了详尽和明确的复杂性分类计数子图和诱导子图。我们发现，$G$中的$H$（不一定是诱导的）拷贝可以在时间$f(k,d)\cdot n^{\max(\mathsf{imn}(H),1)}\cdot \log n$中计数，其中$f$是一些可计算的函数，$\mathsf{imn}(H)$是$H$的最大诱导匹配的大小。只要允许模式类具有无界的诱导匹配数，该算法本质上是最优的：除非指数时间假设（ETH）失败，否则对于任何函数$f$，没有算法在时间上运行$f(k,d)\cdot n^{o(\mathsf{imn}(H)/\log \mathsf{imn}(H))}$。在计数诱导子图的情况下，我们得到了一个类似的分类：我们可以在时间$f(k,d)\cdot n^{α(H)}\cdot \log n$上计数$G$中的诱导子图$H$的拷贝数，如果允许模式类具有无界的独立数，则在时间$f(k,d)\cdot n^{o(α(H)/\log α(H))}$上运行的算法是不可能的，除非ETH失败.在语言的参数化的复杂性，我们的结果产生二分法在固定参数易处理和$\#\mathsf{W}[1]$ -硬的情况下，如果我们参数化的模式和退化的主机图的大小。我们的结果意味着，除非ETH失败，否则几…
2021-06-01 cs.CC cs.DS
Near-Optimal Parallel Approximate Counting via Sampling
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）；Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学技术研究所）；Nanjing University（南京大学）
本文提出非适应性算法和两轮适应性算法，实现近似计数的最优样本复杂度，适用于多种经典模型的并行计数。
2026-07-14 cs.DS math.PR
Efficient Sampling Algorithms for Approximate Motif Counting in Temporal Graph Streams
从通信网络中的用户交互到金融市场中的交易，各种各样的复杂系统都可以建模为由一组顶点和一系列带时间戳的有向边组成的时态图。时态基序是从静态图中的子图模式中概括出来的，除了拓扑结构外，静态图还考虑了边的排序和持续时间。时间模体出现次数的计算是时间网络分析的一个基本问题。然而，现有的方法要么不能支持时间图案或遭受性能问题。此外，它们不能在流模型中工作，其中边缘随着时间的推移而逐渐观察。在本文中，我们专注于通过随机抽样近似时间模体计数。首先，我们提出了两个采样算法的时间模体计数在离线设置。第一种是边缘采样（ES）算法，用于估计任何时间主题的实例数。第二种是一种改进的边缘-楔形采样（EWS）算法，该算法将边缘采样和楔形采样相结合，用于计算具有$3$顶点和$3$边缘的时间模体。此外，我们提出了两个算法来计算时间图案增量时间图流扩展ES和EWS算法称为SES和SEWS。我们提供了全面的分析，我们提出的算法的理论界限和复杂性。最后，我们对我们提出的算法在几个真实世界的时间图进行了广泛的实验评估。结果表明，ES和EWS具有更高的效率，更好的准确性，和更大的可扩展性比国家的最先进的采样方法在离线设置的时间模体计数。此外，SES和SEWS实现了三个数量级的加速ES和EWS，同时具有可比的估计误差的时间基序计数在流设置。
2022-11-22 cs.DS cs.SI
Optimal bounds for approximate counting
存储计数器递增的$N$次数将消耗$O(\log N)$位的内存。1978年，莫里斯描述了第一个流算法：“莫里斯计数器”。他的算法的空间边界是一个随机变量，并且已经证明它是$O(\log\log N + \log(1/\varepsilon) + \log(1/δ))$位，期望提供一个概率为$1-δ$的$(1+\varepsilon)$ -近似到计数器的值。我们提供了一个新的简单的算法，一个简单的分析表明，随机空间$O(\log\log N + \log(1/\varepsilon) + \log\log(1/δ))$位足够的相同的任务，即指数改善的依赖性的逆故障概率。然后，我们提供了一个新的分析表明，原来的莫里斯计数器本身，经过一个轻微的，但必要的调整，实际上也享有同样的改进上限。最后，我们证明了一个新的下界，显示我们的上限的最优性。因此，我们完全解决了近似计数的渐近空间复杂度。此外，我们所有的常数是明确的，我们的下限和最严格的上限相差最多$3+o(1)$的乘法因子。
2022-03-30 cs.DM cs.DS
Spatial Mixing and Deterministic Approximate Counting of Multi-spin Systems beyond Bounded Degree Graphs
School of Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）；John Hopcroft Center for Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学约翰·霍普克罗夫特计算机科学中心）
本文提出一个确定性近似计数框架，通过递归构造有理多胞形和线性分数规划，在多项式连通常数图上实现强空间混合与FPTAS，并将正常着色的计数常数从3改进到2。
2026-11-03 cs.DS math.PR
Counting with the quantum alternating operator ansatz
Université de Sherbrooke（舍布鲁克大学）
本文提出VQCount算法，利用量子交替算子假设解决计算困难的计数问题，通过减少样本数量提升近似计数效率，实验显示其在浅层电路下对两类#P难问题表现优异。
2026-04-14 cond-mat.stat-mech cs.DS quant-ph
Approximate Counting in Local Lemma Regimes
University of Technology Sydney（悉尼科技大学）
本文提出基于聚类展开方法的高效近似算法，用于解决局部勒维恒定理范围内的计数问题，包括事件交集概率和子空间交集维度的近似计算。
2025-12-10 cs.DS math.CO math.PR
Efficient Sampling Algorithms for Approximate Temporal Motif Counting (Extended Version)
Hunan University（湖南大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Singapore Management University（新加坡管理大学）；Alibaba-Zhejiang University Joint Research Institute of Frontier Technologies（阿里巴巴-浙江大学前沿技术联合研究院）
从通信网络中的用户交互到金融市场中的交易，各种各样的复杂系统都可以建模为时态图，它由一组顶点和一系列带时间戳的有向边组成。时态图中的时态基序是从静态图中的子图模式中推广而来的，它除了考虑结构外，还考虑了边的排序和持续时间。时间模体出现次数的计算是时间网络分析的一个基本问题。然而，现有的方法要么不能支持时间图案或遭受性能问题。在本文中，我们专注于通过随机抽样近似时间模体计数。首先，我们提出了一个通用的边缘采样（ES）算法估计的任何时间主题的实例数。此外，我们设计了一个改进的EWS算法，边缘采样与楔形采样的混合计数的时间图案与3顶点和3边缘。我们提供了全面的分析，我们提出的算法的理论界限和复杂性。最后，我们进行了广泛的实验在几个真实世界的数据集上，结果表明，我们的ES和EWS算法具有更高的效率，更好的准确性，和更大的可扩展性比国家的最先进的采样方法的时间模体计数。
2020-07-28 cs.DS cs.LG cs.SI
Efficient deterministic approximate counting for low-degree polynomial threshold functions
本文给出了一个近似计数次数$d$多项式阈值函数（PTF）满足赋值的确定性算法.给定次数$d$输入多项式$p(x_1,\dots,x_n)$ over $R^n$和参数$ε> 0$，我们的算法在时间上将$\Pr_{x \sim \{-1,1\}^n}[p(x) \geq 0]$近似到加性$\pm ε$内$O_{d,ε}(1)\cdot \mathop{poly}(n^d)$。(Any即使对于假定$NP\not=RP$的随机化算法，也不可能有一种有效的乘法近似。）请注意，我们的算法的运行时间（作为$n^d$的函数，$d$ PTF的系数数量）是一个\emph{fixed}多项式。这个问题的最快的以前的算法（由于凯恩），基于度$d$ PTF的无条件伪随机生成器的构造，对所有$c > 0$在时间上运行$n^{O_{d,c}(1) \cdot ε^{-c}}$。这项工作的关键新贡献是：一个新的多元中心极限定理，使用Malliavin演算和Stein方法的工具证明。这个新的CLT表明，任何集合的高斯多项式与小特征值必须有一个联合分布，这是非常接近的多维高斯分布。高斯输入下低次多线性多项式的一种新分解。粗略地说，我们表明，（一些小的错误）任何这样的多项式可以分解成一个有界的多线性多项式，所有这些都有极小的特征值。我们使用这些新的成分，给出一个确定性算法的高斯空间版本的近似计数问题，然后采用标准的技…
2013-11-28 cs.CC cs.DS math.PR
Counting Triangulations and other Crossing-Free Structures Approximately
本文研究平面上给定的$n$点集$P$的直边三角剖分的计数问题。直到最近，人们还不知道$P$的三角剖分的确切数目是否可以比枚举所有三角剖分更快地渐近计算。我们现在知道$P$的三角剖分数可以在$O^{*}(2^{n})$时间内计算出来，这个时间小于$Ω(2.43^{n})$关于任何点集的三角剖分数的下界。在本文中，我们解决的问题，是否可以近似计数三角在次指数时间。本文提出了一种具有次指数运行时间和次指数逼近比的算法，即用$Λ$表示算法的输出，用$c^{n}$表示$P$的精确三角剖分数，对一定的正常数$c$，证明了$c^{n}\leqΛ\leq c^{n}\cdot 2^{o(n)}$ .这是第一个算法，在次指数时间计算$(1+o(1))$ -近似的基础上的数量的三角，更准确地说，$c\leqΛ^{\frac{1}{n}}\leq(1 + o(1))c$。我们的算法可以适用于近似计数$P$上的其他无交叉结构，保持近似质量和运行时间不变。在本文中，我们将展示如何做到这一点的匹配和生成树。
2014-04-01 cs.CG cs.DS
Approximate Model Counting: Is SAT Oracle More Powerful than NP Oracle?
本研究探讨近似模型计数中SAT预言机与NP预言机的相对能力，通过新方法证明SAT预言机并不比NP预言机更强大。
2023-06-17 cs.CC cs.DS cs.IT
Efficient Approximate Temporal Triangle Counting in Streaming with Predictions
University of Padova（帕多瓦大学）；KTH Royal Institute of Technology（瑞典皇家理工学院）
针对现有算法难以处理大规模时间图三角形计数的问题，提出结合预测与采样的流式算法STEP，可亚线性内存下无偏准确估计全部八种时间三角形数量，效率优于现有最优方法。
2025-06-16 cs.DS cs.LG cs.SI
Approximately Counting Embeddings into Random Graphs
设H是一个图，C_H（G）是图G中包含的H的（子图同构）副本数.本文研究了估计C_H（G）的基本问题。以前的结果只涵盖了这个一般问题的几个具体实例，例如，H的程度最多为1（单体-二聚体问题）的情况。本文给出了子图同构计数问题的第一个一般子情形，它几乎总是有效可逼近的。结果依赖于一种新的图分解技术。非正式地，分解是顶点的标记，使得每条边都在具有不同标签的顶点之间，并且对于每个顶点，具有更高标签的所有邻居都具有相同的标签。标签隐式生成一个序列的二分图，这使我们能够打破的问题，计数嵌入的大子图的计数嵌入的小的子图。利用这种方法，我们提出了一个简单的随机算法的计数问题。对于所有可分解图H和所有图G，该算法是一个无偏估计。此外，对于所有的图H具有分解，其中每个生成的二分图是小的，几乎所有的图G，该算法是一个完全多项式随机逼近方案。我们表明，我们获得了一个完全多项式随机逼近计划几乎所有G的H的图形类包括图的度最多为2，有界度森林，有界长度的网格图，有界度图的细分，和主要子类的外平面图，串并行图和平面图，而无界长度的网格图被排除在外。
2013-06-21 cs.DM cs.DS
Approximately counting independent sets in bipartite graphs via graph containers
通过实现算法版本的Sapozhenko的图容器的方法，我们给出了新的算法近似的独立集的数量在二分图。我们的第一个算法适用于$d$ -正则，二部图满足弱扩展条件：当$d$是常数，和图形是一个二部$Ω( \log^2 d/d)$ -扩展，我们得到一个FPTAS的独立集的数量。以前这样的结果$d>5$是已知的，只有图满足更强的扩展条件的随机二部图。该算法也适用于加权独立集：对于一个$d$ -正则，二分$α$ -扩展，与$α>0$固定，我们给出了一个FPTAS的硬核模型配分函数在逸度$λ=Ω(\log d / d^{1/4})$。最后，我们提出了一个算法，适用于所有$d$ -定期，二部图，运行在时间$\exp\left( O\left( n \cdot \frac{ \log^3 d }{d } \right) \right)$，并输出一个$(1 + o(1))$ -近似的独立集的数量。
2021-09-08 cs.DS math.CO
On the amortized complexity of approximate counting
单纯地将计数器存储到值$n$将需要$Ω(\log n)$位的存储器。Nelson和Yu [NY 22]在[Morris 78]的工作之后表明，如果查询答案仅需要是$(1+ε)$ -近似，概率至少为$1 - δ$，则$O(\log\log n + \log\log(1/δ) + \log(1/ε))$位就足够了，并且实际上这个界限是紧的。Morris研究这个问题的最初动机，以及现代应用，不仅需要维护一个计数器，而且需要$k$大的$k$计数器。这引发了以下问题：对于大型$k$，是否可以使用逐渐少于$k$乘以单个计数器成本的内存来同时维护$k$计数器？也就是说，这个问题是否受益于改进的{ \it摊销}空间复杂度界限？我们对这个问题的回答是否定的。具体来说，我们证明了一个下界，几乎所有的参数显示，在内存使用方面，有没有渐近的好处可能通过摊销时存储多个计数器。我们的主要证明利用了Braverman，Garg和Woodruff最近在FOCS 2020中引入的“信息成本”的概念来证明流算法的下界。
2022-11-08 cs.CC cs.DS
Approximating partition functions of bounded-degree Boolean counting Constraint Satisfaction Problems
研究了有限度下近似计数约束满足问题的复杂性.具体地说，给定一个布尔约束语言$Γ$和一个度界$Δ$，我们研究了#CSP $_Δ(Γ)$的复杂性，即计算满足$Γ$约束且其变量最多出现$Δ$次的CSP实例的赋值问题.我们的主要结果表明：（i）如果$Γ$中的每个函数都是仿射的，则#CSP $_Δ(Γ)$对于所有$Δ$都在FP中，（ii）否则，如果$Γ$中的每个函数都在称为IM $_2$的类中，则对于所有足够大的$Δ$，#CSP $_Δ(Γ)$在近似保持（AP）约简下等价于计数问题#BIS（二分图中独立集的计数问题）（iii）否则，对于所有足够大的$Δ$，即使在指数因子内，也是NP-困难的，以近似#CSP $_Δ(Γ)$的实例的满意分配的数目。我们的结果扩展了以前的结果，只适用于所谓的“保守”的情况。
2020-08-20 cs.CC cs.DS
Approximate counting using Taylor's theorem: a survey
在这篇文章中，我们考虑一些著名的多项式与图，包括独立多项式和色多项式。这些多项式计算图中的某些对象：独立多项式情况下的独立集和色多项式情况下的适当着色。在统计物理学中，它们也被解释为配分函数。（近似）计算这些类型的多项式的算法问题已经研究了近50年，特别是使用马尔可夫链技术。大约八年前，Barvinok基于泰勒定理设计了一种新的算法方法来计算某些矩阵的永久性，并且该方法从那时起已应用于各种图形多项式。这篇文章的目的是作为一个温和的介绍的方法，以及相关的技术和结果的部分调查。
2022-12-15 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate Counting via Correlation Decay in Spin Systems
当系统参数满足无穷正则树上的唯一性条件时，给出了计算任意图上两态自旋系统配分函数的第一个确定性全多项式时间近似方案（FPTAS）.这个条件具有物理意义，被认为是可逼近和不可逼近之间的正确边界。FPTAS基于Bandyopadhyay和Gamarnik [SODA 06]和Weitz [STOC 06]介绍的相关衰减技术。经典的相关性衰减是相对于图距离定义的。虽然这个定义具有自然的物理意义，但它并不直接支持任意图上系统的FPTAS，因为对于具有无界度的图，通过相关性衰减提供期望精度的局部计算可能需要超多项式时间。我们引入了一个概念的计算效率的相关性衰减，其中的相关性衰减是衡量在一个完善的度量，而不是图形的距离。我们使用一种潜在的方法来分析这种相关性衰减的摊销行为，并建立一个相关性衰减，保证多项式时间的局部计算的逆多项式精度。这给了我们一个任意图上自旋系统的FPTAS。这种新的概念的相关衰减正确地反映了自旋系统的算法方面，并可用于设计其他计数问题的FPTAS。
2011-11-08 cs.DS math.PR
Adaptive Simulated Annealing: A Near-optimal Connection between Sampling and Counting
我们提出了一个接近最佳的减少，从近似计数的基数的离散集近似采样元素的集合。我们的工作的一个重要应用是近似的分配函数$Z$的离散系统，如伊辛模型，匹配或着色的图。在某个期望的逆温度$β^*$下估计配分函数$Z(β^*)$的典型方法是定义一个序列，我们称之为{ \em冷却计划}，$β_0=0<β_1<...<β_\ell=β^*$，其中Z（0）对于计算来说是微不足道的，并且通过从对应于$Z(β_i)$的分布中采样来容易地估计比率$Z(β_{i+1})/Z(β_i)$。先前的方法需要长度为$O^*(\ln{A})$的冷却时间表，其中$A=Z(0)$，从而确保每个比率$Z(β_{i+1})/Z(β_i)$是有界的。我们提出了一个长度为$\ell=O^*(\sqrt{\ln{A}})$的冷却时间表。对于一些研究得很好的问题，比如估计伊辛模型的配分函数，或者近似一个图的着色或匹配的数量，我们的冷却时间表的长度是$O^*(\sqrt{n})$，这意味着近似计数算法的运行时间总体上节省了$O^*(n)$（因为估计每个比率大约需要$\ell$样本）。
2006-12-10 cs.DM cs.DS
Counting hypergraph matchings up to uniqueness threshold
研究了有界最大度和最大超边数超图中匹配的近似计数问题。利用活动参数$λ$，每个匹配的$M$被分配权重$λ^{|M|}$。计数问题被公式化为计算一个分区函数，该分区函数给出了超图中所有匹配的权重之和。这个问题统一了近似计数中两个广泛研究的统计物理模型：硬核模型（图独立集）和单体-二聚体模型（图匹配）。对于该模型，临界活动$λ_c= \frac{d^d}{k (d-1)^{d+1}}$是无限$(d+1)$ -均匀$(k+1)$ -正则超树上Gibbs测度唯一性的阈值.考虑最大度至多为$k+1$且超边的最大长度至多为$d+1$的超图。我们表明，当$λ< λ_c$，有一个FPTAS计算的分区函数;和当$λ= λ_c$，有一个PTAS计算的日志分区函数。这些算法是基于吉布斯分布的相关性衰减（强空间混合）属性。当$λ> 2λ_c$时，配分函数或对数配分函数没有PRAS，除非NP $=$ RP。为了得到近似计数计算复杂性的一个急剧转变，我们研究了从有限超图序列到具有特定对称性的无限格的局部收敛性。我们展示了一个令人惊讶的连接之间的局部收敛性和可逆性的自然随机游动。这导致我们对硬度结果的一个障碍：无限吉布斯测度的非唯一性不能通过任何有限gadget实现。
2017-01-06 cs.DS math.CO
Deterministic counting Lovász local lemma beyond linear programming
给出了一个简单的组合算法来确定性地近似计算一般约束满足问题（CSP）的满意指派数。假设CSP具有域大小$q=O(1)$，每个约束包含至多$k=O(1)$变量，与至多$Δ=O(1)$约束共享变量，并且通过均匀随机分配以至多$p$的概率被违反。该算法在改进的局部引理机制中以多项式时间返回：\[ q^2\cdot k\cdot p\cdotΔ^5\le C_0\quad\text{for a suitably small absolute constant }C_0. \]这里的关键项$Δ^5$改进了以前最知名的一般CSP的$Δ^7$ [JPV 21 b]和$k$ -CNF的特殊情况的$Δ^{5.714}$ [JPV 21 a，HSW 21]。我们的确定性计数算法是[HWY 22]中最近的快速采样算法的去随机化。该算法与以往的基于线性规划的确定性计数Lovász局部引理算法有很大不同，给出了一种确定性近似计数算法，该算法直接去随机化了快速采样算法，从而将快速采样和确定性近似计数统一在同一算法框架中.为了获得改进的制度，在我们的分析中，我们开发了一个细化的$\{2,3\}$ -树，在以前的分析中使用的计数/采样LLL。类似的技术可以应用到以前的基于LP的算法，以获得相同的改进制度，并可能是独立的利益。
2022-12-30 cs.DM cs.DS math.PR
