Approximate Counting of Matchings in Sparse Hypergraphs
Marek Karpinski, Andrzej Rucinski, Edyta Szymanska
本文给出了一类稀疏一致超图中所有匹配个数的全多项式随机逼近方案。我们的方法是基于推广的典型路径方法的情况下，一致超图。
In this paper we give a fully polynomial randomized approximation scheme (FPRAS) for the number of all matchings in hypergraphs belonging to a class of sparse, uniform hypergraphs. Our method is based on a generalization of the canonical path method to the case of uniform hypergraphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Approximate Counting of Matchings in Sparse Uniform Hypergraphs
本文给出了交图含爪少的k-一致超图的匹配数的一个全多项式随机逼近方案。我们的方法给出了一个推广的标准路径方法的Jerrum和Sinclair的超图满足局部限制。我们的证明方法依赖于应用欧拉巡回技术的规范路径的基础马尔可夫链。另一方面，我们证明了在没有上述限制的情况下，即使对于k-一致、2-正则和线性超图类，对所有k >= 6，也是NP-难的。
Near-linear time subhypergraph counting in bounded degeneracy hypergraphs
本文研究有界退化超图中的子超图计数，统一多种退化性定义，并通过障碍模式刻画近线性时间可计数与条件下界之间的分界。
Counting Hypergraphs in Data Streams
我们提出了第一个流算法计数的任意超图$H$的恒定大小的大型超图$G$。我们的算法可以处理边插入和边删除，并适用于分布式设置。此外，我们的方法提供了第一个家庭的图多项式的超图计数问题。由于超图与集合系统之间的密切关系，我们的方法可能在研究类似问题中有应用。
Counting Minimal Transversals of $β$-Acyclic Hypergraphs
证明了$β$ -无圈超图的最小断面数可以在多项式时间内计数。因此，我们可以在多项式时间内计算强弦图的最小控制集的个数，继续[M. M. Kanté和T. Uno，Counting Minimal Dominating Sets，TAMC'17]。
Counting hypergraph colorings in the local lemma regime
本文给出了一个计算最大度$Δ$的$k$ -一致超图的$q$ -染色数的完全多项式时间近似方案（FPTAS），如果$k\ge 28$和$q >357Δ^{\frac{14}{k-14}}$是相同的.当$q>931Δ^{\frac{16}{k-16/3}}$为零时，我们还得到了一个多项式时间的几乎均匀采样器.这些是$q\llΔ$体系中的第一近似计数和采样算法（对于大$Δ$和$k$），无需任何附加假设。我们的方法基于Moitra最近的工作（STOC，2017）。我们的一个重要贡献是消除了Moitra方法中对$k$和$Δ$的依赖性。
Counting hypertriangles through hypergraph orientations
本文提出DITCH算法，通过超图定向方法高效计算超三角形数量，实验显示其在速度和内存效率上优于现有方法。
Approximate Counting of Matchings in $(3,3)$-Hypergraphs
我们设计了一个全多项式时间近似方案（FPTAS），用于计算任意最大度为3的3-一致超图（称为$(3,3)$ -超图）中匹配（填充）的数目。这是该问题的第一个多项式时间近似方案，其中还包括，作为特殊情况，3-participate $(3,3)$ -超图的3D匹配计数问题。本文的证明技术使用了一般的相关衰减技术和一种新的交图底层结构的组合分析。证明方法也可以是独立的。
Counting and enumerating optimum cut sets for hypergraph $k$-partitioning problems for fixed $k$
本文研究了两个超图$k$ -划分问题--超图- $k$ -割和超图-极小-超图- $k$ -划分的最优解的计数问题。超图$k$ -划分问题的输入是一个超图$G=(V, E)$，它具有正的超边代价以及一个固定的正整数$k$。目标是找到$V$到$k$非空部分$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$的划分--称为$k$划分--以便最小化感兴趣的目标。1.如果目标函数是各部分的最大割值，则该问题称为最小超图- $k$ -划分问题。如果一个超边子集是极小极大超图-$k$-划分的最优$k$-划分的超边子集，则它是极小极大- $k$-割集. 2.如果目标是通过$k$ -划分的超边的总代价，则该问题称为Hypergraph- $k$ -Cut。超边子集是一个最小$k$割集，如果它是通过超图- $k$ -割的最优$k$ -划分的超边子集.本文给出了超图中minmax- $k$ -割集个数的第一多项式界，并给出了一个多项式时间算法来计算每一个固定的$k$的超图中所有的minmax-$k$-割集。我们的技术是强大的，也使$n^{O(k)}p$时间确定性算法，以枚举所有的最小$k$ -割集超图，从而提高了以前已知的$n^{O(k^2)}p$时间确定性算法，其中$n$是顶点的数量和$p$是超图的大小。我们的枚举方法的正确性分析依赖于一个结构的结果，这是一个强大的和统一的推广超图- $k$ -割和最…
Inapproximability of counting hypergraph colourings
最近的发展，在近似计数取得了惊人的进展，在发展快速算法的方法来近似的解决方案的数量约束满足问题（CSP）与大的arities，使用连接到Lovasz局部引理。然而，这些方法的边界与非布尔域的CSP没有很好地理解。我们在本文中的目标是填补这一空白，并通过研究这类CSP，超图着色的原型问题，获得强不可逼近的结果。更准确地说，我们主要研究了度有界的$Δ$的$K$ -一致超图的$q$ -着色的近似计数问题.如果$Δ\lesssim \frac{q^{K/3-1}}{4^KK^2}$（Jain，Pham和Vuong，2021; He，Sun和Wu，2021），则存在有效算法。然而，令人惊讶的是，硬度界限甚至不知道更容易的问题，找到着色。对于计数问题，情况甚至更不清楚，没有证据表明正确的常数控制$K$的指数增长。为此，我们首先建立，对于一般的$q$计算硬度找到一个简单的着色/线性超图发生在$Δ\gtrsim Kq^K$，几乎匹配的算法从Lovasz局部引理。我们的第二个和主要的贡献是获得一个更精细的计数问题，远远超出了硬度找到一个着色，我们猜想是渐近紧（常数因子）。我们特别表明，对于所有甚至$q\geq 4$它是NP-难近似的着色数时，$Δ\gtrsim q^{K/2}$。
Counting HyperGraphlets via Color Coding: a Quadratic Barrier and How to Break It
本文研究了计数k-超图let的问题，提出通过着色编码技术在超图中突破二次障碍，通过引入(α,β)-niceness性质，改进算法效率，实验证明其优于传统二次算法。
Inapproximability of Counting Independent Sets in Linear Hypergraphs
本文证明 k-一致线性超图在最大度 Δ≥5·2^{k-1}+1 时近似计数独立集是 NP 难的，从而表明现有采样与近似计数算法的适用度区间近乎紧。
The Sketching Complexity of Graph and Hypergraph Counting
子图计数是图处理中的基本原语，其应用于社会网络分析（例如，估计图的聚类系数）、数据库处理等领域。子图计数的空间复杂度已经在文献中得到了广泛的研究，但许多自然设置仍然没有得到很好的理解。在本文中，我们重新审视子图（和超图）计数问题的草图模型，算法的状态，因为它处理流的更新图是一个线性函数的流。该模型最近在文献中得到了很多关注，并已成为解决动态图流问题的标准模型。在本文中，我们给出了一个严格的界限计数的出现次数的一个小子图$H$在有界度图$G$的边缘更新流的草图复杂度。具体来说，我们表明，问题的空间复杂度是由图$H$的分数顶点覆盖数。我们的子图计数算法实现了一个自然的顶点采样方法，采样概率由$H$的顶点覆盖。我们的主要技术贡献在于我们开发了一套新的傅立叶分析工具，用于分析同时通信模型中的多人通信协议，使我们能够证明一个严格的下限。我们相信，我们的技术很可能在其他环境中找到应用。除了给出所有图$H$的紧边界外，我们的算法和下界都扩展到超图设置，尽管在空间复杂度上有一些损失。
ESCHER: Efficient and Scalable Hypergraph Evolution Representation with Application to Triad Counting
本文提出ESCHER，一种基于GPU的并行数据结构，用于高效处理大规模动态超图，通过优化三元组计数框架，实现超图动态操作的高效计算，实验表明其在不同三元组类型上均优于现有方法。
Counting hypergraph matchings up to uniqueness threshold
研究了有界最大度和最大超边数超图中匹配的近似计数问题。利用活动参数$λ$，每个匹配的$M$被分配权重$λ^{|M|}$。计数问题被公式化为计算一个分区函数，该分区函数给出了超图中所有匹配的权重之和。这个问题统一了近似计数中两个广泛研究的统计物理模型：硬核模型（图独立集）和单体-二聚体模型（图匹配）。对于该模型，临界活动$λ_c= \frac{d^d}{k (d-1)^{d+1}}$是无限$(d+1)$ -均匀$(k+1)$ -正则超树上Gibbs测度唯一性的阈值.考虑最大度至多为$k+1$且超边的最大长度至多为$d+1$的超图。我们表明，当$λ< λ_c$，有一个FPTAS计算的分区函数;和当$λ= λ_c$，有一个PTAS计算的日志分区函数。这些算法是基于吉布斯分布的相关性衰减（强空间混合）属性。当$λ> 2λ_c$时，配分函数或对数配分函数没有PRAS，除非NP $=$ RP。为了得到近似计数计算复杂性的一个急剧转变，我们研究了从有限超图序列到具有特定对称性的无限格的局部收敛性。我们展示了一个令人惊讶的连接之间的局部收敛性和可逆性的自然随机游动。这导致我们对硬度结果的一个障碍：无限吉布斯测度的非唯一性不能通过任何有限gadget实现。
Improved bounds for coloring locally sparse hypergraphs
该研究改进了局部稀疏超图着色的界限，提出了高效的列表着色算法，并在随机超图中实现了最优的列表着色方法。
Multicritera Cuts and Size-Constrained $k$-cuts in Hypergraphs
我们解决超图中的多准则全局最小割和大小受限的最小- $k$ -割的计数和优化问题。1.对于一个具有$t$超边代价函数的$r$ -秩$n$ -顶点超图，我们证明了多目标最小割的个数为$O(r2^{tr}n^{3t-1})$ .特别地，这表明对于常数数量的标准，常秩超图中的参数最小割的数量是强多项式的，从而解决了Aissi，Mahjoub，McCormick和Queyranne的公开问题（数学编程，2015）。此外，我们给出了强多项式时间内枚举所有多目标最小割和Pareto最优割的随机算法。2.我们还解决节点预算的多目标最小割：对于一个$n$顶点超图赋予$t$顶点权重函数，我们表明，节点预算的多目标最小割的数量是$O(r2^{r}n^{t+2})$，其中$r$是超图的秩，和节点预算的$b$ -多目标最小割的数量为固定的向量$b$是$O(n^2)$。3.我们证明了超图的min- $k$ -cut在部分大小为常数下界的情况下，对于常数$k$在多项式时间内是可解的，从而解决了Queyranne提出的一个公开问题.我们的技术还表明，最优解的数量是多项式。我们所有的结果都建立在Karger（SODA，1993）的随机收缩方法上。我们的技术说明了多功能性的随机收缩的方法来解决计数和算法问题的多目标最小切割和大小受限的$k$ -超图切割。
Sparse Hypergraphs and Pebble Game Algorithms
一个超图$G=(V,E)$是$(k,\ell)$ -稀疏的，如果没有子集$V'\subset V$跨越超过$k|V'|-\ell$的超边.我们刻画了$(k,\ell)$ -稀疏超图的图论，拟阵和算法性质。我们扩展了Haas，Lov{á}sz，Nash-Williams，Tutte，White和Whiteley的几个著名定理，将图的荫度与边数的某些计数联系起来.我们还解决了问题，找到低维表示的稀疏超图，并确定一个关键的行为的稀疏参数$k$和$\ell$。我们的构造扩展了李和Streinu的卵石游戏从图到超图。
The Parametrised Complexity of Counting Small Sub-Hypergraphs
研究计数小子超图问题的参数化复杂性，引入分数共独立边覆盖数，并基于指数时间假设给出完全分类。
The Average-Case Complexity of Counting Cliques in Erdos-Renyi Hypergraphs
考虑具有边密度$c$的$s$ -均匀Erdos-Renyi超图$G(n,c,s)$中$k$ -团的计数问题，并证明其细粒度平均情况复杂度可以基于其最坏情况复杂度。我们证明了以下几点：1.稠密的Erdos-Renyi图和超图：使用$k$和$c$常数对$G(n,c,s)$上的$k$ -团进行计数与其最坏情况的时间复杂度匹配到$\mathrm{polylog}(n)$因子。假设随机化ETH，如果$k$和$c$恒定，则需要$n^{Ω(k)}$时间来计数$G(n,c,s)$中的$k$ -团。2.稀疏Erdos-Renyi图和超图：当$c = Θ(n^{-α})$，我们给出了几个算法，利用稀疏的$G(n, c, s)$是最快的最佳已知的最坏情况下的算法。补充这一点，基于一个细粒度的最坏情况的假设，我们的结果意味着不同的平均情况下的相图为每个固定的$α$描绘一个运行时下限和$k$之间的权衡。令人惊讶的是，在超图的情况下（$s \ge 3$），这些下界严格反对我们的算法，正是当$c$高于Erdens-Rényi $k$ -团渗流阈值。这是我们所知道的关于Erdens-Rényi超图问题的第一个最坏情况到平均情况的硬度降低。我们还给出了一个变种，我们的结果计算的奇偶校验的$k$ -团计数，容忍更高的错误概率。
Counting Simplices in Hypergraph Streams
我们考虑的问题，空间有效地估计超图流中的单形的数量。这是最自然的超图推广的高度研究的问题，估计三角形的数量在图流。我们的输入是一个$k$-一致超图$H$，它具有$n$顶点和$m$超边。$H$中的$k$-单纯形是$k+1$顶点$X$上的子超图，使得$X$中所有$k+1$可能的超边都存在于$H$中。目标是处理$H$的超边流并计算$T_k(H)$的良好估计，即$H$中$k$-单纯形的数量。我们设计了一套算法来解决这个问题。在$T_k(H) \ge T$的承诺下，我们的算法使用最多四个通道，并且对于每个固定的$k \ge 3$，一起暗示$O( ε^{-2} \logδ^{-1} \text{polylog} n \cdot \min\{ m^{1+1/k}/T, m/T^{2/(k+1)} \} )$的空间界限，以保证在$(1\pmε)T_k(H)$内的估计具有至少$1-δ$的概率。我们还给出了一个更简单的$1$-通过算法，实现了$O(ε^{-2} \logδ^{-1} \log n\cdot (m/T) ( Δ_E + Δ_V^{1-1/k} ))$空间，其中$Δ_E$（分别，$Δ_V$）表示共享一个超边（分别，一个顶点）的$k$-单纯形的最大数量。我们补充这些算法的结果与空间下界的形式$Ω(ε^{-2})$，$Ω(m^{1+1/k}/T)$，$Ω(m/T^{1-1/k})$和$Ω(mΔ…
Approximating acyclicity parameters of sparse hypergraphs
超树宽度和广义超树宽度的概念是由Gottlob、Leone和Scarcello为了推广超图无环性的概念而引入的。这些概念被Grohe和Marx进一步推广，他们引入了超图的分数超树宽度。超图的宽度参数对数据库理论和人工智能中的许多问题的扩展处理都是有用的。本文研究了稀疏超图的（广义、分数）超树宽的可逼近性，其中稀疏性判据反映了它们关联图的稀疏性。我们的第一步是证明一个超图H的（广义的，分数）超树宽度夹在它的关联图的树宽度的常数因子，当关联图属于一些顶点-子-自由图类。这决定了组合边界，在该边界之上，（广义的，分数的）超树宽度的概念变得比树宽度更普遍，证明了它作为超图非循环性度量的功能。虽然对于更一般的稀疏超图族，关联图的树宽和所有超树宽度参数可以任意不同，但是存在其中常数因子近似算法是可能的稀疏族。特别地，我们给出了关联图属于某个无H-子图类的超图的（广义，分数）超树宽度的常数因子近似多项式时间算法。
Triangle Counting in Hypergraph Streams: A Complete and Practical Approach
针对超图流三角形计数中结构分类不全和固定采样不适应严格内存的问题，提出完整三角形分类及 HTCount 与 HTCount-P，实现低误差、高吞吐估计。
$\ell_2/\ell_2$ Sparse Recovery via Weighted Hypergraph Peeling
本文提出加权超图剥离技术，实现 $\ell_2/\ell_2$ 稀疏恢复，将最快草图运行时间提升 $\log n$ 因子，达到最优。
Output-sensitive approximate counting via a measure-bounded hyperedge oracle, or: How asymmetry helps estimate $k$-clique counts faster
本文推广了DLM归约，提出度量有界超边预言机，实现输出敏感的$k$-团、$k$-支配集和$k$-和近似计数算法，在见证数少时显著提速。
Approximately counting and sampling small witnesses using a colourful decision oracle
本文设计了有效的算法来近似计数给定的$k$ -超图的边数，并对近似均匀的随机边进行采样。超图没有显式给出，只能通过它的彩色独立预言机来访问：彩色独立预言机返回是或否，这取决于给定的顶点子集是否包含相对于给定的顶点着色是彩色的边。我们的研究结果扩展和/或加强了Beame等人（ITCS 2018），Dell和Lapinskas（STOC 2018）和Bhattacharya等人（ISAAC 2019）在图形预言文献中的最新结果。我们的结果有近似计数/采样的后果：我们可以把某些类型的决策算法近似计数/采样算法，而不会导致太多的开销在运行时间。我们将这种近似计数/采样到决策的简化应用于细粒度复杂性（如$k$ -SUM，$k$ -OV和加权$k$ -Clique）和参数化复杂性（如CSP的大小$k$或权重- $k$解决方案的诱导子图）中的关键问题。
Sparse Cuts in Hypergraphs from Random Walks on Simplicial Complexes
本研究衔接超图研究的两大分支，分析单纯复形上不同游走的谱隙与超图扩张、电导率的关联，证明部分游走谱隙无法推导超图电导率界，给出类Cheeger不等式，并验证链环扩张无法以类Cheeger方式界超图扩张。
Exact and sampling methods for mining higher-order motifs in large hypergraphs
针对大型超图中小子超图模式计数问题，提出利用高阶结构的精确挖掘方法及超边采样近似方法，在真实数据集上验证其可突破精确方法的计算极限，实现更快更大规模的高阶模体提取。
Faster Algorithms for Sparse ILP and Hypergraph Multi-Packing/Multi-Cover Problems
本文研究稀疏矩阵 ILP 的可行性、求解与计数问题，并提出图及超图多重装填/多重覆盖问题的更快指数算法框架。
Diversity Embeddings and the Hypergraph Sparsest Cut
该研究针对超图最稀疏割问题，改进了多样性嵌入到ℓ₁的失真度，提出了更优的多项式时间近似算法，并否定了相关猜想。
Faster Counting and Sampling Algorithms using Colorful Decision Oracle
In this work, we consider $d$ -{ \sc Hyperedge Estimation} and $d$ -{ \sc Hyperedge Sample} problem in a hypergraph $\mathcal{H}(U(\mathcal{H}),\mathcal{F}(\mathcal{H}))$ in the query complexity framework, where $U(\mathcal{H})$ denotes the set of vertices and $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ denotes the set of hyperedges. The oracle access to the hypergraph is called { \sc Colorful Independence Oracle} ({ \sc CID}), which takes $d$ (non-empty) pairwise disjoint subsets of vertices $A_1,\ldots,A_d \subseteq U(\mathcal{H})$ as input, and answers whether there exists a hyperedge in $\mathcal{H}$ havin…
Tiered Sampling: An Efficient Method for Approximate Counting Sparse Motifs in Massive Graph Streams
我们介绍了分层采样，一种新的技术，用于近似计数稀疏图案在大规模的图形，其边缘观察到的流。我们的技术只需要一个单一的数据通过，并使用固定大小的内存$M$，这可以是幅度小于边缘的数量。我们的方法解决了具有挑战性的任务，计数稀疏图案-子图模式，有低概率出现在一个样本的$M$边缘的图形，这是最大量的数据可用于算法在每一步。为了获得计数的无偏和低方差估计，我们将可用存储器划分为储层样本的层（层）。虽然基础层是边缘的标准储集层样本，但其他层是所需基序的子结构的储集层样本。通过存储主题的更频繁的子结构，我们增加了检测到我们正在计数的稀疏主题的出现的概率，从而降低了估计的方差和误差。我们证明了我们的方法的优势，在具体的应用程序中计数稀疏4和5团在大量的图形。我们提出了一个完整的分析和广泛的实验结果，使用合成和真实世界的数据。我们的研究结果表明，我们的方法在获得高质量的近似的4和5团的大型图形使用非常有限的内存量，显着优于单边样本方法计数稀疏图案在大规模的图形。
Performance and limitations of the QAOA at constant levels on large sparse hypergraphs and spin glass models
本文证明无限尺寸随机组合优化问题中常数层级 QAOA 的集中性质，并利用纯 q-自旋模型与稀疏超图 Max-q-XORSAT 的渐近对应，揭示 q≥4 且为偶数时其平均情形性能无法达到最优。
Finding and Counting Patterns in Sparse Graphs
我们认为算法发现和计数小，固定的图形在稀疏的主机图。在非稀疏情况下，参数树深和树宽分别在快速算法、常数空间算法和多项式空间算法中起着至关重要的作用。我们发现了两个新的参数，我们称之为匹配树深和匹配树宽。我们发现，发现和计数模式与低匹配树深和低匹配树宽可以做渐近快于现有的算法时，主机图是稀疏的许多模式。作为一个应用程序，以寻找和计数固定大小的模式，我们发现$\otilde(m^3)$ -时间\footnote{$\otilde$ hides factors that are logarithmic in the input size.}，恒定空间算法的周期长度最多$11$和$\otilde(m^2)$ -时间，多项式空间算法的路径长度最多$10$。
On contention resolution for the hypergraph matching, knapsack, and $k$-column sparse packing problems
本文将竞争解决框架应用于超图匹配、背包和k列稀疏装箱问题，证明了相关间隙下界并构造了多个单调平衡竞争解决方案，从而改进了k-CS-PIP的近似比。
Sparse Recovery with Very Sparse Compressed Counting
压缩感知（稀疏信号恢复）经常遇到非负数据（例如，图像）。最近，我们开发了使用（密集）压缩计数恢复非负K-稀疏信号的方法。在本文中，我们采用非常稀疏的压缩计数的非负信号恢复。我们的设计矩阵是从最大偏态p-稳定分布（0<p<1）中采样的，我们对设计矩阵进行了稀疏化，使得平均（1-g）-分数项变为零。这个想法与非常稀疏的稳定随机投影（Li et al 2006 and Li 2007）有关，这是估计数据汇总统计量的先前工作。在我们的理论分析中，我们表明，当p->0时，使用M= K/（1-exp（-gK）log N测量就足够了，使得可以在坐标的一次扫描中恢复所有坐标。如果g = 1（即，密集设计），则M = K log N。如果g= 1/K或2/K（即，非常稀疏的设计），则M = 1.58K log N或M = 1.16K log N。这意味着设计矩阵实际上可以非常稀疏，样本复杂性只有很小的膨胀。有趣的是，当p->1时，所需的测量次数基本上是M = 2.7K log N，假设g= 1/K。事实证明，这个结果是一个一般的最坏情况界限。
Accelerating Clique Counting in Sparse Real-World Graphs via Communication-Reducing Optimizations
图挖掘中的一个重要问题是计算大图中特定子图的实例数。寻找大小为k的团（k-cliques）是这个NP难问题的一个例子。不同的团计数算法通过旋转或排序图来避免多次计数相同的团。基于排序的算法包括一个排序步骤，以指导输入图中的边，和一个计数步骤，这是由建立节点或边诱导的子图为主。在基于排序的算法中，kClist是设计用于稀疏真实世界图的最先进算法。尽管kClist的顶点并行实现具有领先的整体性能，但在具有几百万个顶点的图上的实际扩展性并不好。我们提出了CITRON（团计数与流量减少优化），以提高并行可扩展性，从而整体性能的团计数。我们通过放弃kClist的顺序核心排序并使用并行化的度排序来加速排序阶段。我们使用重组的子图数据结构加快了计数阶段，减少了内存流量，改善了扩展瓶颈。我们的排序，紧凑的邻居列表提高了局部性和通信效率，从而导致近线性的并行缩放。CITRON在计数中等大小的团时显著优于kClist，从而增加了用于团计数的实用图形的大小。我们最近意识到ArbCount（arXiv：2002.10047），它的性能往往优于我们。然而，我们相信本文中的分析将有助于任何希望了解k团计数性能特征的人。
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