It is shown in this note that approximating the number of independent sets in a $k$-uniform linear hypergraph with maximum degree at most $Δ$ is NP-hard if $Δ\geq 5\cdot 2^{k-1}+1$. This confirms that for the relevant sampling and approximate counting problems, the regimes on the maximum degree where the state-of-the-art algorithms work are tight, up to some small factors. These algorithms include: the approximate sampler and randomised approximation scheme by Hermon, Sly and Zhang (RSA, 2019), the perfect sampler by Qiu, Wang and Zhang (ICALP, 2022), and the deterministic approximation scheme by Feng, Guo, Wang, Wang and Yin (FOCS, 2023).
Inapproximability of Unique-Machine Precedence Scheduling for Unit-Length Jobs
Simons Institute for the Theory of Computing, and Departments of EECS & Mathematics, UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Department of EECS, UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Institute for Interdisciplinary Information Sciences, Tsinghua University（清华大学交叉信息研究院）
The Parametrised Complexity of Counting Small Sub-Hypergraphs
University of Milan（米兰大学）；Goethe University Frankfurt（法兰克福歌德大学）；Basic Algorithms Research Copenhagen（哥本哈根基础算法研究）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；National Institute of Informatics（国立情报学研究所）
Independent Set, Induced Matching, and Pricing: Connections and Tight (Subexponential Time) Approximation Hardnesses
我们提出了一系列几乎解决的不可逼近性结果的三个基本问题。在我们的系列中的第一个是最大独立集问题的次指数时间不可近似性，这是在参数化复杂性领域研究的一个问题。第二个问题是有界度二部图的最大诱导匹配问题的逼近困难。在我们的系列中的最后一个是严格的硬度近似的k-超图定价问题，一个基本的问题，从算法博弈论的领域。特别地，假设指数时间假设，我们的两个主要结果是：-对于任何大于某个常数的r，任何求解最大独立集问题的r-近似算法必须至少运行2^{n^{1-ε}/r^{1+ε}}时间。这几乎与2^{n/r}的上限相匹配（Cygan等人，2008年）。它还改进了参数化复杂性域中的一些困难结果（例如，Escoffier等人，2012和Chitnis等人，2013）-对于任何大于某个常数的k，k-超图定价问题不存在多项式时间min（k^{1-ε}，n^{1/2-ε}）-近似算法，其中n是输入图中的顶点数。这几乎匹配min（O（k），\tilde O（\sqrt{n}））的上界（Balcan and Blum，2007 and an algorithm in this paper）。我们注意到一个有趣的事实，与多项式时间算法的n^{1/2-ε}困难性相反，k-超图定价问题允许在准多项式时间中对任何δ>0进行n^δ逼近。这使得这个问题在一个罕见的近似类，其中近似阈值可以显着提高，允许算法运行在准多项式时间。
Symmetric Parameterised Holants on Hypergraphs: Towards a Classification for Parameterised VCSPs
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学学院）
