A dynamic data structure for counting subgraphs in sparse graphs
我们提出了一个表示图G的动态数据结构，它允许从图G中添加和删除边，并且可以确定一个有界大小的图作为G的导出子图的出现次数.查询在恒定的时间内得到回答。当该数据结构用于表示来自具有有界扩展的类的图时（其包括平面图和更一般地在拓扑子式上闭合的所有真类，以及具有有界平均度的许多其他自然类的图），更新的摊销时间复杂度是多对数的。
2013-01-03 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate Counting of Matchings in Sparse Uniform Hypergraphs
本文给出了交图含爪少的k-一致超图的匹配数的一个全多项式随机逼近方案。我们的方法给出了一个推广的标准路径方法的Jerrum和Sinclair的超图满足局部限制。我们的证明方法依赖于应用欧拉巡回技术的规范路径的基础马尔可夫链。另一方面，我们证明了在没有上述限制的情况下，即使对于k-一致、2-正则和线性超图类，对所有k >= 6，也是NP-难的。
2012-04-24 cs.DM cs.DS
Modular counting of subgraphs: Matchings, matching-splittable graphs, and paths
本文系统地研究了子图模式模固定整数计数的复杂性。例如，已知$k$ -匹配的数目的奇偶性可以在多项式时间内通过对行列式的简单简化来确定。我们推广到一个$n^{f(t,s)}$时间算法来计算模$2^t$的子图出现的模式，是$s$顶点远离匹配的数量。这表明子图检测的已知多项式时间情况（Jansen和Marx，SODA 2015）延续到计数模$2^t$的设置中。补充我们的算法，我们还给出了一个简单而独立的证明，即计数$k$ -匹配模奇数$q$是Mod_q-W[1]-完全的，并证明计数$k$ -路径模$2$是奇偶-W [1]-完全的，回答了Björklund，Dell和Husfeldt的一个开放问题（ICALP 2015）。
2021-07-01 cs.CC cs.DS
Inapproximability of Counting Permutation Patterns
Faculty of Information Technology, Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学信息技术学院）
该研究反驳了近似计数比精确计数更容易的猜想，证明在ETH下，近似计数的精度下限与精确计数的下限一致。
2026-01-08 cs.DS
Approximate Model Counting, Sparse XOR Constraints and Minimum Distance
本文研究近似模型计数中短稀疏 XOR 约束的可用界限，证明其与模型集几何及最小 Hamming 距离相关，并通过实验讨论改进方向。
2019-07-11 cs.DS cs.LO
Sparse Regression via Range Counting
稀疏回归问题，也称为最佳子集选择问题，可以转换如下：给定$\mathbb{R}^d$中$n$点的集合$S$，一个点$y\in \mathbb{R}^d$和一个整数$2 \leq k \leq d$，找到最接近$y$的$S$的至多$k$点的仿射组合。我们描述了一个$O(n^{k-1} \log^{d-k+2} n)$ -时间随机$(1+\varepsilon)$ -近似算法，这个问题的\(d\)和\(\varepsilon\)常数。这是该问题的第一个实时运行的算法$o(n^k)$。它的运行时间类似于最近由Har-Peled，Indyk和Mahabadi（ICALP'18）提出的数据结构的查询时间，同时不需要任何预处理。到多对数因子，它匹配依赖于仿射退化测试的猜想的条件下界。在$k = d = O(1)$的特殊情况下，我们还提供了一个简单的$O_δ(n^{d-1+δ})$时间确定性的精确算法，对任何\(δ> 0\)。最后，我们展示了如何适应稀疏线性回归和稀疏凸回归问题的近似算法具有相同的运行时间，多对数因子。
2019-12-30 cs.CG cs.DS
Sparse Hashing for Scalable Approximate Model Counting: Theory and Practice
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Indian Institute of Technology, Bombay（印度理工学院孟买分校）
给定n个变量的CNF公式F，模型计数或#SAT的问题是计算F的满足赋值的数量。模型计数是计算机科学中的一个基本而又困难的问题，有着广泛的应用。近年来，人们对开发有效的算法技术进行了大量的努力，这些技术将经典的2-universal hashing与过去十年中SAT求解的显着进步相结合。这些技术增加了CNF公式F与随机XOR约束，并调用NP预言反复对所得CNF-XOR公式。在实践中，对NP oracle调用的调用被SAT求解器取代，SAT求解器的运行时性能受到XOR约束的大小的不利影响。2-通用散列函数的标准构造选择概率p = 1/2的每个变量，从而导致期望大小为n/2的XOR约束。因此，挑战在于设计稀疏散列函数，其中可以以较小的概率选择变量并导致较小大小的XOR约束。在本文中，我们从理论和实践的角度来应对这一挑战。首先，我们正式放松的通用散列，称为集中散列，并建立一个新的和美丽的连接，这些散列函数的浓度措施和布尔超立方体上的等周不等式。这允许我们获得方差和分散指数的（log m）紧界，并表明p = O（log（m）/m）足以设计从{0，1}^n到{0，1}^m的稀疏散列函数。然后，我们使用稀疏散列函数属于这个集中的哈希家庭开发新的近似计数算法。我们的算法在1893基准测试的综合实验评估表明，稀疏散列函数的使用可以导致显着的加速。
2020-04-30 cs.DS cs.LG cs.LO
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
Vectorized Character Counting for Faster Pattern Matching
许多现代序列比对工具使用称为FM索引的空间有效的数据结构来实现快速字符串匹配。这种数据结构的简洁性给算法设计者带来了独特的挑战。在本文中，我们探讨的机会，并行化的精确和不精确的匹配，并提出了一个有效的SIMD解决方案的OCC部分的算法。我们的实现在一个过程中计算不精确匹配算法步骤所需的所有八个Occ值。我们展示了算法的性能在多核基因组比对，并讨论了内存预取的影响。
2019-09-03 cs.DS
Counting occurrences of patterns in permutations
本文提出一种多重集合元素计数新方法，并将其用于研究排列中模式出现次数，扩展长度3模式结果，系统分析长度4模式并猜想七个Wilf类的渐近行为。
2024-03-04 cs.DS math.CO
Data-compression for Parametrized Counting Problems on Sparse graphs
我们研究了\emph{compactor}的概念，它可以被看作是核化计数参数化复杂性的计数模拟。对于函数$F:Σ^*\to \Bbb{N}$和参数化$κ: Σ^*\to \Bbb{N}$，压缩器$({\sf P},{\sf M})$由多项式时间可计算函数${\sf P}$（称为\emph{condenser}）和可计算函数${\sf M}$（称为\emph{extractor}）组成，使得$F={\sf M}\circ {\sf P}$和$x$的压缩${\sf P}(x)$具有至多$s(κ(x))$的长度，对于任何输入$x\in Σ^*.$如果$s$是多项式函数，则压缩器被称为多项式大小。核化的计数模拟研究虽然不是史无前例的，但迄今为止却很少受到关注。我们研究了一类MSOL可表示的图的顶点证明计数问题;也就是说，对于一个带有一个自由集变量的MSOL公式$ϕ$被解释为顶点子集，我们希望计数所有的$A\subseteq V(G)$，其中$|A|=k$和$(G,A)\models ϕ.$在本文中，我们证明了\emph{MSOL-expressible}和\emph{treewidth modulable}上的每个顶点认证计数问题，当被$k$参数化时，在$H$ -topological-minor-free图上存在一个多项式大小的压缩器，压缩时间为$O(k^2n^2)$，译码时间为$2^{…
2018-09-25 cs.DS math.CO
ESCAPE: Efficiently Counting All 5-Vertex Subgraphs
计算小的子图的频率是跨各个领域的网络分析中的基本技术，特别是在生物信息学和社交网络中。三角形计数的特殊情况受到了广泛的关注。获得4顶点或5顶点模式的结果是非常具有挑战性的，并且很少有已知的实际结果可以扩展到大规模。我们介绍了一个算法框架，可以采用计算图中的任何小模式，并应用此框架来计算精确的计数为\emph{all} 5顶点子图。我们的框架是建立在将模式切割成更小的模式，并使用更小模式的计数来获得更大的计数。此外，我们利用度方向的图形，以减少运行时间更进一步。这些方法避免了典型的子图计数算法所面临的组合爆炸问题。我们证明，它足以枚举只有四个特定的子图（其中三个有少于5个顶点），以准确地计数所有的5-顶点模式。我们在各种真实世界的图形上进行了广泛的实证实验。我们能够在商品机器上在几分钟内计算具有数千万条边的图的计数。据我们所知，这是第一个实用的算法$5$ -顶点模式计数，运行在这个规模。一个垫脚石，我们的主要算法是一个快速的方法来计算所有的$4$顶点模式。该算法通常比现有技术的$4$顶点计数器快十倍。
2016-10-28 cs.DS cs.SI
Simple and efficient four-cycle counting on sparse graphs
本文提出一种稀疏图上计数4-环的确定性精简算法，仅需O(mδ̄)时间和n个字空间，无需哈希表或排序，且实验显示比哈希表实现平均快4至7倍。
2024-09-27 cs.DS
Detecting and Counting Small Patterns in Planar Graphs in Subexponential Parameterized Time
我们提出了一个算法，作为输入$n$ -顶点平面图$G$和$k$ -顶点模式图$P$，并计算在$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间$G$中的$P$（诱导）副本的数量。如果$P$是一个匹配的、独立集的或连通的有界最大度图，则运行时将简化为$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$。虽然我们的算法计数的所有副本的$P$，它也提高了最快的算法，只检测副本的$P$。在我们的工作之前，没有已知的用于检测非限制模式$P$的$2^{O(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法，并且根据Bodlaender等人[ICALP 2016]的结果，$2^{o(k/\log k)}n^{O(1)}$时间算法将违反指数时间假设（ETH）。此外，它只知道如何检测一个固定的连接有界的最大程度模式$P$在$2^{\tilde{O}(\sqrt{k})}n^{O(1)}$时间概率的副本。对于计数问题，这是一个反复问开放的问题，是否存在$2^{o(k)}n^{O(1)}$时间算法，即使是特殊的模式，如独立集，匹配和平面图中的路径计数。上述结果通过给出算法来计算运行时间等于其决策版本的ETH下界的问题的版本，在很大程度上解决了这个问题。一般来说，我们的算法计数$P$的副本在时间上成比例的顺序$\tilde{O}(\sqrt{k})$的非同构分离的数量。该算法引入了一种新的递…
2019-04-25 cs.CC cs.DM cs.DS
The Complexity of Finding and Counting Subtournaments
研究大竞赛图中计数小竞赛图模式的复杂性，利用子图计数线性组合证明该问题至少与计数⌊3k/4⌋-团一样难，并在ETH下获得紧确界限及#W[1]-困难性。
2025-09-18 cs.CC cs.DS
Counting Patterns in Degenerate Graphs in Constant Space
IIT Gandhinagar（印度理工学院 gandhinagar）；Université Libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
本文引入DAG树深度参数，在常数空间内高效计数退化宿主图中的同态、子图同构和诱导子图同构，并给出模式图的诱导子图刻画。
2026-07-01 cs.DS
Breaking the hegemony of the triangle method in clique detection
我们考虑的基本问题的检测/计数的副本的固定模式图在主机图。关于这个问题的最新进展还没有包括完整的模式图，即，集团（及其补充，即，在诱导设置中的无边缘图案图）。上述模式的最快算法是基于三角形检测/计数的简单简化。我们提供了一种基于多维矩阵乘积的检测/计数固定大小团的副本的替代方法。在$K_4$和$K_5.$的情况下，它至少与三角形方法一样有时间效率。多维矩阵乘积的复杂性本身就令人感兴趣。我们还提供了另一种用于检测/计数$K_r$拷贝的替代方法，同样对于$r\in \{ 4,\ 5 \}$是时间有效的。
2021-09-30 cs.DS
Fast Algorithms for Finding Pattern Avoiders and Counting Pattern Occurrences in Permutations
给定一个长度至多为$k$的置换模式集$Π$，我们给出了一个在时间$O(|S_{\le n - 1}(Π)| \cdot k + |S_{n}(Π)|)$上构造$S_{\le n}(Π)$的算法，该算法构造了一个长度至多为$n$的置换集，该置换集避开了$Π$中的模式.此外，我们提出了一个$O(n!k)$时间算法，用于计算$Π$中每个排列中模式的拷贝数。令人惊讶的是，当执行$|Π| = 1$时，此运行时间可以改进为$O(n!)$，每次置换仅花费恒定的时间。而以前的最好的算法，基于生成和检查，需要指数时间分析每个排列，我们所有的算法需要的时间最多多项式每个输出的排列。如果我们只想解决每个问题的枚举变体，计算$|S_{\le n}(Π)|$或根据$Π$ -模式计算排列，而不是存储关于每个排列的信息，那么我们所有的算法都可以在$O(n^{k+1}k)$空间中实现。使用我们的算法，我们为每个具有$|Π| > 4$的$Π\subseteq S_4$生成了$|S_5(Π)|, \ldots, |S_{16}(Π)|$，并分析了OEIS匹配。我们获得了一些潜在的新的模式回避的approachtures。我们的算法扩展到考虑排列在任何一组封闭的标准化下的连续性。我们的算法也部分地适应考虑vincular模式。
2017-03-17 cs.DM cs.DS math.CO
Approximate counting of permutation patterns
本文针对排列模式计数问题，为所有 k≤5 设计了确定性近线性时间 (1+ε)-近似算法，首次实现近似与精确计数分离，并开发了近最优的递增对范围查询数据结构。
2025-10-24 cs.DS
Counting hypertriangles through hypergraph orientations
University of California, Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
本文提出DITCH算法，通过超图定向方法高效计算超三角形数量，实验显示其在速度和内存效率上优于现有方法。
2026-01-07 cs.DB cs.DS cs.SI
A sampling framework for counting temporal motifs
图中的模式计数是网络科学任务的基础，并且有许多可扩展的方法来近似大型图中小模式（通常称为图案）的计数。然而，现代图数据集现在包含更丰富的结构，特别是纳入时间信息已成为网络分析的关键部分。时态基序是小的子图模式的概括，它包含了边的时态排序，是网络分析工具箱的一个新兴部分。然而，有没有快速估计的时间图案计数的算法，此外，我们表明，即使计数简单的时间星图案是NP-完全的。因此，需要快速和近似的算法。在这里，我们提出了第一个频率估计算法计数的时间图案。更具体地说，我们开发了一个采样框架，它位于现有精确计数算法之上的一个层，可以快速准确地估计时间基序计数。我们的研究结果表明，我们可以实现一到两个数量级的加速，在一些数据集上的准确性损失最小和可控。
2018-10-01 cs.DS cs.SI
Linear-Space Substring Range Counting over Polylogarithmic Alphabets
Bille和Gørtz（2011）最近介绍了子串范围计数的问题，为此我们被要求将具有整数标签的$n$字符的字符串$S$存储在（[0，u]）中，以便稍后，给定间隔（[a，b]）和长度为$m$的模式$P$，我们可以快速计数其第一个字符的标签在（[a，u]）中的$P$的出现次数。b]）。他们展示了如何在$\Oh{n \log n / \log \log n}$空间中存储$S$，并在$\Oh{m + \log \log u}$时间中回答查询。我们证明，如果$S$是在一个字母表的大小（\polylog（n）），那么我们可以实现最佳的线性空间。此外，如果（u = n \polylog（n）），则我们还可以将时间减少到$\Oh{m}$。我们的结果给出了位置受限子串计数的线性空间和时间界，以及区间索引子串、间隔索引子串和对齐模式匹配的计数形式.
2012-02-15 cs.DS
Counting Small Permutation Patterns
xy平面中的n个通用点的样本定义了一个排列，该排列将它们沿着两个轴的秩相关联。k点的每个子集类似地定义了一个模式，该模式出现在该排列中。在许多领域，包括非参数统计中，大排列中小模式的出现次数都会增加。因此，希望比直接的~O（n^k）时间算法更有效地计数它们。这项工作提出了新的算法计数模式。我们发现，所有的模式的顺序2和3，以及8个模式的顺序4，可以在近线性时间计数。为此，我们开发了一个代数框架，称为角树公式。我们的方法概括了现有的方法，并允许系统地研究其范围。使用角树的机制，我们找到了23个独立的4阶模式的线性组合，可以在时间~O（n）内计算。我们还描述了一个算法，该算法计算剩余的4-模式之一，因此所有的4-模式，在时间~O（n^（3/2））。作为实际应用，我们提供了Yanagimoto（1970），Bergsma和Dassios（2010）统计量的近似线性时间计算。这个统计量产生了X和Y独立性的Hoeffding检验的自然和强一致的变体，给定如上所述的随机样本。这改进了迄今为止最有效的~O（n^2）算法。
2020-11-04 cs.DS math.CO stat.CO
Counting preimages of TCP reordering patterns
数据包重排序是网络流量的一个重要属性，应该通过传输控制协议（TCP）的分析模型来捕获。我们研究的组合问题的动机恢复，TCP建模方法，结合信息包动态。该模型的一个重要组成部分是多对一映射B，它以与TCP语义兼容的方式将数据包ID序列转换为缓冲区序列。我们表明，以下举行：1。存在一种线性时间算法，该算法在给定长度为n的缓冲器序列W的情况下，判定是否存在1，2，.的置换A，n，使得$A\in B^{-1}(W)$（并且当存在这种置换时，构造这种置换）。2.计算$B^{-1}(W)$中排列数的问题有一个多项式时间算法。我们还展示了如何将这些结果扩展到包含重复数据包的ID序列。
2007-03-05 cs.DM cs.DS math.CO
Counting Permutation Patterns with Multidimensional Trees
本文提出 pattern-trees 及其求值框架，解决排列中所有长度为 k 的模式计数问题，给出 k=6、7 的近二次时间算法和 k=5 的近 $n^{7/4}$ 时间算法，并指出 k=8 的维数障碍。
2024-07-06 cs.DS math.CO
Counting large patterns in degenerate graphs
Birkbeck College, University of London（伦敦大学伯贝克学院）
研究在退化图中统计子图的问题，提出了一种改进算法，适用于特定类别的模式图，并展示了其多项式依赖于模式图大小的复杂性。
2026-10-01 cs.DS
Random graph matching at Otter's threshold via counting chandeliers
我们提出了一个有效的算法，图匹配的基础上构建的相似性得分从计数一定的家庭加权树扎根于每个顶点。对于两个Erdens-Rényi图$\mathcal{G}(n,q)$，其边通过潜在顶点对应关系相关联，我们证明了该算法正确匹配的所有，但消失的分数的顶点具有很高的概率，提供$nq\to\infty$和边相关系数$ρ$满足$ρ^2>α\approx 0.338$，其中$α$是水獭的树计数常数。此外，这种几乎精确的匹配可以在信息理论上必要的额外条件下精确。这是第一个多项式时间图匹配算法，成功地在一个明确的常数相关性，并适用于稀疏和密集的图形。相比之下，以前的方法要么需要$ρ=1-o(1)$，或仅限于稀疏图。该算法的关键是一个精心策划的家庭的有根树称为吊灯，它允许有效地提取图的相关性从同一棵树的计数，同时抑制不必要的相关性之间的不同的树。
2023-02-14 cs.DS math.ST stat.ML
Counting on General Run-Length Grammars
提出一种数据结构，能在与 grammar 大小成正比的空间内，于 O(m log^{2+ε} n) 时间内计算任意 run-length context-free grammar 压缩文本中模式的出现次数，解决了 Christiansen 等人的开放问题并增强了压缩数据计算能力。
2025-01-28 cs.DS
Counting Distinct Patterns in Internal Dictionary Matching
我们认为，为了能够有效地回答查询$CountDistinct(i,j)$，也就是说，给定$i$和$j$从$\mathcal{D}$中返回的模式的数量发生在片段$T[i \mathinner{.\,.} j]$的文本$T$的长度$n$和字典$\mathcal{D}$预处理的问题。字典是内部的，因为$\mathcal{D}$中的每个模式都是作为$T$的一个片段给出的。这样，字典占用的空间与模式的数量成正比，而不是与模式的总长度成正比，模式的总长度可以是$Θ(n\cdot d)$，$d=|\mathcal{D}|$。最近在一项引入内部字典匹配的工作中提出了一种$\tilde{\mathcal{O}}(n+d)$大小的数据结构，该结构大约在$\tilde{\mathcal{O}}(1)$时间内回答$CountDistinct(i,j)$查询$\mathcal{O}(\log n)$ [ISAAC 2019]。在这里，我们提出了一个$\tilde{\mathcal{O}}(n+d)$大小的数据结构，回答$CountDistinct(i,j)$查询$2$ -大约在$\tilde{\mathcal{O}}(1)$的时间。使用范围查询，对于任何$m$，我们给出了一个$\tilde{\mathcal{O}}(\min(nd/m,n^2/m^2)+d)$大小的数据结构，在$\tilde{\mathca…
2020-05-12 cs.DS
Linear pattern matching on sparse suffix trees
将多个字符打包到一个计算机字中是压缩字符串表示并加速其处理的一种简单而自然的方法。利用这个想法，我们提出了一个压缩字符串的索引，基于{ \em稀疏后缀树} \cite{KU-96}适当定义的后缀链接。假设，在标准的单位成本RAM模型下，一个字最多可以存储$\log_σn$字符（$σ$是字母表大小），我们的索引占用$O(n/\log_σn)$空间，即与压缩字符串本身相同的空间。所得到的模式匹配算法在时间$O(m+r^2+r\cdot occ)$中运行，其中$m$是模式的长度，$r$是存储在字中的字符的实际数目，而$occ$是模式出现的数目。
2011-03-14 cs.DS
Faster Exponential Algorithm for Permutation Pattern Matching
排列模式匹配问题询问，给定$n$元素和$π$上的两个排列$σ$，$σ$是否允许具有与$π$相同的相对顺序的子序列（或者，在计数版本中，有多少这样的顺序）。这个自然问题被Bose，Buss和Lubiw [IPL 1998]证明是NP完全的，因此我们应该寻求精确的指数时间解。Berendsohn、Kozma和Marx [IPEC 2019]提出的迄今为止渐进最快的此类解决方案在$\mathcal{O}(1.6181^n)$时间内有效。我们设计了一个简单而快速的$\mathcal{O}(1.415^{n})$时间算法的检测和计数版本。我们还证明，这是最佳的算法之间的一定的自然类。
2021-08-25 cs.DS
A Dichotomy Theorem for Linear Time Homomorphism Orbit Counting in Bounded Degeneracy Graphs
针对有界退化图中的同态轨道计数问题，提出二分法定理：根据模式图相同轨道顶点间最长诱导路径长度l是否小于等于5，判定其是否存在近线性时间算法。
2024-09-24 cs.DM cs.DS
Near-linear time subhypergraph counting in bounded degeneracy hypergraphs
本文研究有界退化超图中的子超图计数，统一多种退化性定义，并通过障碍模式刻画近线性时间可计数与条件下界之间的分界。
2025-10-18 cs.DM cs.DS
Finding and counting permutations via CSPs
排列模式和模式避免在组合学和计算机科学中得到了深入的研究，至少可以追溯到Knuth关于堆栈排序的开创性工作（1968）。也许在这个领域中最自然的算法问题是决定一个给定的长度为$n$的排列是否包含一个给定的长度为$k$的模式。在这项工作中，我们给出了两个新的算法，其运行时间是$n^{k/4 + o(k)}$，和多项式空间算法的运行时间是更好的$O(1.6181^n)$和$O(n^{k/2 + 1})$。这些结果改进了Ahal和Rabinovich（2000）分别给出的$n^{0.47k + o(k)}$和$O(1.79^n)$的最佳界。Bruner和Lackner（2012）和是当使用$k \in Ω(\log{n})$时该问题的最快算法。我们表明，我们的新算法和以前的指数时间算法在文献中可以通过统一的镜头约束满意度。我们的算法还可以在相同的运行时间内计算模式的出现次数。我们证明了这个结果接近于最优：在时间上解决计数问题$f(k) \cdot n^{o(k/\log{k})}$将与指数时间假设（ETH）相矛盾。对于一些特殊类别的模式，我们得到改进的运行时间。我们进一步证明了$3$ -递增和$3$ -递减置换在某种意义上可以嵌入几乎线性长度的任意置换，这表明即使对于这些受限类的模式，具有次指数运行时间的算法也是不可能的。
2019-08-13 cs.DS math.CO
Quality Control Algorithms for Pattern Counting
Harvard University（哈佛大学）
本文针对序列的模式计数与排列模式计数问题，利用质量控制问题定义的不对称性，给出了多项式时间的高效算法，同时证明了这类算法的查询复杂度下界。
2026-08-05 cs.DS cs.LG math.CO
Approximate Spanning Tree Counting from Uncorrelated Edge Sets
本研究提出一种基于不相关边集移除的生成树计数近似算法，借助Schild-Rao-Srivastava电流局域化定理筛选边集，在稀疏图上的时间复杂度优于此前最优结果，可高概率得到指定误差的计数结果。
2025-05-20 cs.DS
Subgraph Counting in Subquadratic Time for Bounded Degeneracy Graphs
本文研究了有界退化图上次二次时间的子图计数问题，提出归约框架将子图计数转化为任意图中的小超图计数，证明顶点数不超过9的模式图可在次二次时间内计数，并改进了长度至多10的环计数算法。
2025-03-04 cs.DM cs.DS
BEACON: A Benchmark for Efficient and Accurate Counting of Subgraphs
The University of Hong Kong（香港大学）；The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
针对子图计数领域缺乏统一评估框架的问题，本文提出BEACON基准，通过标准化数据集、集成环境和排行榜支持算法与机器学习方法的对比，揭示两类方法的优劣势并推动该领域研究发展。
2025-04-15 cs.AI cs.DB cs.DS
Space-Query Tradeoffs in Range Subgraph Counting and Listing
本文对{ \em值域子图计数}和{ \em值域子图列表}进行了研究，这两个算法都是由实际中对只与选定顶点相关的子图而不是与所有顶点相关的子图进行图分析的重要需求所驱动的。在第一个问题中，有一个无向图$G$，其中每个顶点携带一个实值属性。给定一个区间$q$和一个模式$Q$，一个查询计算属性落在$q$中的顶点在$G$的子图中出现$Q$的次数。第二个问题具有相同的设置，只是查询需要以较小的延迟枚举（而不是计数）这些事件。在这两个问题中，我们的目标是了解{ \em空间使用}和{ \em查询成本}之间的权衡，或者更具体地说：（i）给定查询效率的目标，我们必须存储多少关于$G$的预先计算的信息？(ii)或者反过来说，给定空间使用预算，我们希望的最佳查询时间是多少？我们建立了一套的上限和下限的结果，这样的权衡各种查询模式。
2023-01-09 cs.DB cs.DS
