Zero Lelong number problem
Alexander Rashkovskii
本文讨论了多重次调和函数的剩余Monge-Ampère质量的几个相关问题。本文基于作者在2016年3月19日举行的第27届北欧数学家大会上的演讲。
We discuss several related problems on residual Monge-Ampère masses of plurisubharmonic functions. The note is based on the author's talk at the 27th Congress of Nordic Mathematicians, March 19, 2016.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Poincaré-Lelong formula, $J$-analytic subsets and Lelong numbers of currents on almost complex manifolds
本文首先建立了几乎复情形下的Poincaré-Lelong型公式。然后，在引入$J$ -解析子集的概念后，研究了殆复流形$(M,J)$中的闭正流对$J$ -解析子集的限制.最后，我们证明了定义在殆复流形上的多重次谐波流的Lelong数与坐标系无关。
Equivalence between VMO functions and plurisubharmonic functions with zero Lelong numbers
本文证明了全纯函数与具有零Lelong数的VMO函数之间的等价性，并探讨了残余Monge-Ampère质量与VMO函数的关系。
On the Lelong-Demailly numbers of plurisubharmonic currents
本文研究了$\C^n$的开子集上负的多次谐波电流关于正的多次谐波函数的Lelong-Demailly数的存在性.在此基础上，我们建立了正、负多次谐波电流的Lelong-Demailly数的估计。
Lelong numbers with respect to regular plurisubharmonic weights
对于具有多圈渐近性的权，给出了多重次调和函数关于多重次调和权的广义Lelong数.根据函数的方向Lelong数和权的牛顿图，得到了这些值的显式公式。Demailly逼近定理的一个推广也被证明。
On the directional Lelong-Demailly numbers of positive currents
本文研究了正的多重次谐波或多重超谐波电流的方向Lelong-Demailly数的存在性。我们证明了这些数字的坐标系的独立性。此外，这些数字将由局部可积函数给出。
Higher Lelong numbers versus full Monge-Ampère mass
本研究证明了Chi Li提出的关于高阶Lelong数与满Monge-Ampère质量关联的猜想，推进了相关复分析理论研究。
Lelong numbers of $m-$subharmonic functions
本文研究了当$m-$.在$m-$下调和函数$φ$的特殊情况下，给出了球面或圆球上$dd^cφ$的Lelong数与$φ$的均值之间的关系.作为应用，我们研究了$φ$的可积指数.我们用$φ$的子水平集的体积表示了$φ$的可积指数，并给出了该指数与其Lelong数之间的联系.
On Lelong Numbers of Positive Closed Currents on $\mathbb{P}^n$
设$T$是复射影空间$\mathbb P^n$上二维单位质量$(p,p)$的正闭流.对于某些值的$α$和$β= β(p, α)$，我们表明，如果$T$有足够的点，其中的Lelong数至少是$α$，那么上水平集$E_β^+ (T)$的点，其中$T$有严格大于$β$的Lelong数具有一定的几何性质。
An extremal problem for generalized Lelong numbers
我们寻找点态界的多重次调和函数附近的奇点，其广义Lelong数的值相对于一个plurisubharmonic重量。为此，考虑一个极值问题。在某些情况下，问题得到了明确的解决。
The goal of this work is to extend the concepts of generalized Lelong number of positive currents investigated by Skoda, Demailly and Ghiloufi in complex analysis, to weakly positive supercurrents on the real superspaces. We generalize then a result of Lagerberg when the supercurrent is closed as well as a very recent result of Berndtsson for minimal supercurrents associated to submanifolds of $\mathbb{R}^n$. The main tool is a variant of the well-known Lelong-Jensen formula in the superformalism case. Moreover, we extend to our setting various interesting theorems in complex analysis such as …
A Property of Upper Level Sets of Lelong Numbers of Currents on $\mathbb{P}^2$
设$T$是复射影空间$\mathbb P^2$上二维单位质量$(1,1)$的正闭流.对于$α> 2/5$和$β= (2-2α)/3$，我们证明了如果$T$有4个点的Lelong数大于$α$，则Lelong数严格大于$β$的$T$的点的上水平集$E_β^+ (T)$包含在一个二次曲线内，但至多有一个点例外.
Let $T$ be a positive closed current of bidegree $(1,1)$ on a multiprojective space $X={\mathbb P}^{n_1}\times\ldots\times{\mathbb P}^{n_k}$. For certain values of $α$, which depend on the cohomology class of $T$, we show that the set of points of $X$ where the Lelong numbers of $T$ exceed $α$ have certain geometric properties. We also describe the currents $T$ that have the largest possible Lelong number in a given cohomology class, and the set of points where this number is assumed.
A new generalization of the Lelong number
我们引入一个量来度量一个多重次调和函数f相对于另一个多重次调和函数g在点a处的奇异性。这个量，我们用$ν_{a,g}(f)$表示，可以很自然地看作是经典Lelong数的推广。本文的主要定理是：广义Lelong数的上水平集，即形式为$\{z: ν_{z,g}(f) \geq c > 0 \}$的集合，在一定的权g条件下，实际上是解析集.
Weighted Bergman kernel, directional Lelong number and John-Nirenberg exponent
设$ψ$是闭单位球上的多重次调和函数，$K_{tψ}(z)$是单位球上关于权值$tψ$的Bergman核。我们证明了$K_{tψ}(z)$的边界表现是由$ψ$的某个方向Lelong数决定的，对于所有的$t$，小于与某个非各向同性球族相关联的$ψ$的John-Nirenberg指数，它总是为正的。
An Exact Spherical-Solid Mean Formula and Vanishing Criteria for Lelong Numbers
本文建立了Lelong数的精确球-固体均值公式，并据此推导出消失准则、VMO刻画及非线性容量刻画，简化了Biard-Wu全局结果证明。
Plurisubharmonic extremal functions, Lelong numbers and coherent ideal sheaves
引入了一类新的复复格林函数，它沿复流形X的复子空间A具有对数极点。它是X上最大的负多重次调和函数，其Lelong数至少为log max{ |f_1|，.，|f_m| }，其中f_1，.，f_m是A的理想层的局部生成元。具有单个对数极点或有限个加权极点的复格林函数是我们构造的一个非常特殊的情况。我们给出了这个函数的几个等价定义，并研究了它的性质，包括边界行为，连续性和唯一性。这是基于和扩展我们以前的工作，圆盘泛函和他们的信封。
Entire pluricomplex Green functions and Lelong numbers of projective currents
设$T$是复射影空间${\Bbb P}^n$上的一个正的二维（1，1）单位质量闭流.证明了当$T$的Lelong数大于$α$时，点集$V_α(T)$包含在复直线中，若$α\geq2/3$，则点集$V_α(T)$包含在复直线中;若$1/2\leqα<2/3$，则点集$|V_α(T)\setminus L|\leq1$包含在复直线$L$中.我们还证明了在2维中，如果$2/5\leqα<1/2$，那么$|V_α(T)\setminus C|\leq1$对于某些圆锥$C$。
Let $\mathcal{F}$ be a holomorphic foliation by curves defined in a neighborhood of $0$ in $\mathbb{C}^n$ ($n\geq 2$) having $0$ as a weakly hyperbolic singularity. Let $T$ be a positive harmonic current directed by $\mathcal{F}$ which does not give mass to any of the $n$ coordinate invariant hyperplanes $\{z_j=0\}$ for $1\leq j\leq n.$ Then we show that the Lelong number of $T$ at $0$ vanishes. Moreover, an application of this local result in the global context is given. We discuss also the relation between several basic notions such as directed positive harmonic currents, directed positive d…
Lelong numbers, complex singularity exponents, and Siu's semicontinuity theorem
本文给出了Lelong数与复奇异指数之间的关系。作为应用，得到了Lelong数的Siu连续性定理的一个新证明.
Multi-circled singularities, Lelong numbers, and integrability index
通过比较n维复空间中多圈多重次调和奇点的格林函数与其指标，得到了这类奇点的高Lelong数和可积指数的计算公式，并将Howald关于单项理想乘子理想的结果推广到多圈奇点.这也导致了一个初等的证明之间的关系的第k次Lelong数和可积指数。对于k=1和任意多重次调和函数，这个不等式是由Skoda提出的，而对于k=n和任意具有孤立奇点的多重次调和函数，这个关系是由Demailly提出的.我们还描述了多圈函数的不等式是平等的。通过对Demailly不等式的一个简化，我们也证明了这些不等式在多重次调和函数的一般情况下的存在性.此外，我们还得到了所有可积指数由Skoda不等式的下界给出的多重次调和奇点的描述。
In this study, we first define the local potential associated to a weakly positive closed supercurrent in analogy to the one investigated by Ben Messaoud and El Mir in the complex setting. Next, we study the definition and the continuity of the $m$-superHessian operator for unbounded $m$-convex functions. As an application, we generalize our previous work on Demailly-Lelong numbers and several related results in the superformalism setting. Furthermore, strongly inspired by the complex Hessian theory, we introduce the Cegrell-type classes as well as a generalization of some $m$-potential result…
Lelong numbers and vector bundles
研究圆盘上向量丛上$S^1$不变奇异度量的Lelong数和可积指数.
Lelong numbers on projective varieties
给定一个正闭（1，1）流$T$定义在一个射影簇$X$的正则轨迹上，该簇在$X$的奇异部分附近具有有界质量，$Y$是$X$的不可约代数子集，我们给出了$Y$内部轨迹的一致估计，其中$T$的Lelong数大于$Y$沿$T$的一般Lelong数.
Generalised Lelong-Poincaré formula in complex Bott-Chern cohomology
本文用拓扑方法证明广义 Lelong–Poincaré 公式，表明在零点轨迹纯余维等于全纯向量丛秩时，最高陈类等于其概形零点轨迹在复 Bott-Chern 上同调中的闭链类。
Characterization of multiplier ideal sheaves with weights of Lelong number one
本文刻画了原点Lelong数为1的多重次调和函数，使得相应的乘子理想层的芽是非平凡的：在任意复维数上，它们的奇点必定是光滑因子芽与Lelong数为0的多重次调和函数芽之和.我们还提出了一个新的证明相关的著名的可积性准则，由于斯柯达。
Geometric properties of upper level sets of Lelong numbers on projective spaces
设$T$是复射影空间$\mathbb P^n$上的正的单位质量闭流.对于某些值$α<1$，我们证明了$\mathbb P^n$中的点集的几何性质，其中$T$的Lelong数超过$α$。我们还考虑了多重投射空间上二维（1，1）正闭流的情形。
Let $T$ be a positive closed current of bidimension $(1,1)$ with unit mass on $\mathbb P^2$ and $V_α(T)$ be the upper level sets of Lelong numbers $ν(T,x)$ of $T$. For any $α\geq \frac{1}{3}$, we show that $|V_α(T)\setminus C|\leq 2$ for some cubic curve $C$.
We study Lelong numbers of currents of full mass intersection on a compact Kaehler manifold in a mixed setting. Our main theorems cover some recent results due to Darvas-Di Nezza-Lu. One of the key ingredients in our approach is a new notion of products of pseudoeffective classes which captures some "pluripolar part" of the "total intersection" of given pseudoeffective classes.
Poincare-Lelong approach to universality and scaling of correlations between zeros
本文研究了m元N次随机全纯多项式零点间n点相关在N趋于无穷大时的标度极限。更一般地，我们研究紧致Kahler流形上任意正全纯线丛L的幂L^N的全纯截面的零点之间的相关。重新调整距离，使零的平均密度与N无关。我们的主要结果是：关联函数的标度极限，更一般地说，“关联形式”的标度极限是普适的，即与丛L、流形M或M上的点无关。
The aim of this paper is to study the Lelong number, the integrability index and the Monge-Ampère mass at the origin of an $S^1$-invariant plurisubharmonic function on a balanced domain in $\mathbb{C}^n$ under the Schwarz symmetrization. We prove that $n$ times the integrability index is exactly the Lelong number of the symmetrization, and if the function is further toric with a single pole at the origin, then the Monge-Ampère mass is always decreasing under the symmetrization
On Lelong numbers of plurisubharmonic functions on complex spaces
本文引入强局部不可约复空间概念，证明Lelong数与射影质量及重数的关系，并表明上水平集的闭包为子簇。
Demailly-Lelong numbers on complex spaces
本文证明了 Berman 等人提出的猜想，表明 Demailly-Lelong 数可由势的除子部分与 SNC 除子的相交数组合确定，并建立了奇异复空间上两种 Lelong 数的逐点比较及奇点估计。
Invariant currents and dynamical Lelong numbers
设$f$是次数为$λ$的${\Bbb C}^k$的多项式自同构，其对${\Bbb P}^k$的有理扩张将无穷远处的超平面映射到单个点。给定${\Bbb P}^k$上二次（1，1）的任何正闭合电流$S$，我们证明了序列$λ^{-n}(f^n)^\star S$在${\Bbb P}^k$上的电流的意义上收敛到$f$的绿电流$T_+$和沿无穷远超平面的积分电流的线性组合。我们给出了一个解释的系数在广义Lelong数相对于一个不变的动力学电流$f^{-1}$。
Slices and $m$-Lelong numbers of $m$-subharmonic functions
研究乘积域中 $m$-次调和函数的切片性质，证明在除去极集后切片是 $(m - q_{m,p})$-次调和的，并且 $m$-Lelong 数与切片的 $(m - q_{m,p})$-Lelong 数相差一个常数因子。
Dinh--Sibony theory of tangent and density currents is a recent but powerful tool to study positive closed currents. Over twenty years ago, Alessandrini and Bassanelli initiated the theory of the Lelong number of a positive plurisubharmonic current in $\mathbb{C}^k$ along a linear subspace. Although the latter theory is intriguing, it has not yet been explored in-depth since then. Introducing the concept of the generalized Lelong numbers and studying these new numerical values, we extend both theories to a more general class of positive plurisubharmonic currents and in a more general context o…
We prove the reversed Alexandrov-Fenchel inequality for mixed Monge-Ampère masses of plurisubharmonic functions, which generalizes a result of Demailly and Pham. As applications to convex geometry, this gives a complex analytic proof of the reversed Alexandrov-Fenchel inequality for mixed covolumes, which generalizes recent results in convex geometry of Kaveh-Khovanskii, Khovanskii-Timorin, Milman-Rotem and R. Schneider on reversed (or complemented) Brunn-Minkowski and Alexandrov-Fenchel inequalities. Also for toric plurisubharmonic functions in the Cegrell class, we confirm Demailly's conject…
Prescribed Lelong Numbers for One-Pole Green Functions on Complex Projective Space
本研究证明复射影空间上单极点格林函数的Lelong数取值范围为[0,1]，解答了相关公开问题，并探讨了单极点范围与Seshadri区间的关系，得到两类代数簇上Seshadri区间的可达性结果。
We study the possible singularities of an $m$-subharmonic function $φ$ along a complex submanifold $V$ of a compact Kähler manifold, finding a maximal rate of growth for $φ$ which depends only on $m$ and $k$, the codimension of $V$. When $k < m$, we show that $φ$ has at worst log poles along $V$, and that the strength of these poles is moveover constant along $V$. This can be thought of as an analogue of Siu's theorem.
On the residual Monge-Ampère mass of plurisubharmonic functions with symmetry in $\mathbb{C}^2$
本文研究$\u2102^2$中带孤立奇点的对称多重次调和函数的剩余蒙日-安培质量，证明$S^1$-不变函数原点勒洛数为零时剩余质量为零，解答了特殊情形下的零质量猜想，并给出更一般的剩余质量估计。
Singularity of non-pluripolar cohomology classes
该研究建立相对非多重极乘积的勒隆数与全质量性质的关系，证明大类α沿有效除子D的受限体积具全质量时，对应非多重极类的勒隆数为零，且射影流形上该类勒隆数恒为零。
Poincaré-Lelong type formulas and Segre numbers
本文证明含留数项 $M^g$ 的 Poincaré-Lelong 型公式，并利用其函子性表示 Bott-Chern 类、研究奇异度量，进而定义任意凝聚层的特异簇与 Segre 数。
The generalized Lelong numbers and intersection theory
本文推广了正多重次调和电流沿Kähler子流形的广义Lelong数理论，引入水平维数并建立Siu型上半连续性，同时推广Dinh-Sibony类并给出正闭电流相交及其连续性的有效充分条件。
On quaternionic Monge-Ampere operator, closed positive currents and Lelong-Jensen type formula on quaternionic space
本文在平坦的四元数空间$\mathbb{H}^n$上引入了作用于四元数微分形式的一阶微分算子$d_0$和$d_1$. $d_0,d_1$和$\triangle=d_0d_1$的行为在几个复变量中与$\partial,\overline{\partial}$和$\partial \overline{\partial}$非常相似。四元数的Monge-Ampère算子可以定义为$(\triangle u)^n$，并且具有简单的显式表达式。在四元数情形下定义了闭合正电流的概念，并将复多能理论中的几个结果推广到四元数情形：定义了闭合正电流的Lelong数，得到了Lelong-Jensen型公式的四元数形式，推广了Bedford-Taylor理论，即将四元数Monge-Ampère算子的定义推广到局部有界的四元数多重次调和函数，并证明了相应的收敛定理.
Segre forms of singular metrics on vector bundles and Lelong numbers
本文研究了向量丛上奇异度量的Segre形式与Lelong数，证明了其在特定条件下的整数性质。
Valuative analysis of planar plurisubharmonic functions
证明了2维全纯芽环R上的赋值可以自然地在多重次调和函数上赋值，从而得到Demailly意义下的广义Lelong数.因此，任何多重次调和函数都定义了R上赋值集V上的一个实值函数，并且通过一个根据V上的树结构定义的自然拉普拉斯算子，定义了V上的一个正测度。在较弱的正则性假设下，给出了两个多重次调和函数的混合蒙格-安培质量的精确公式。因此，任何广义的Lelong数都可以解释为估值的平均值。使用我们的机器，我们还表明，任何正的封闭（1，1）电流T的奇异性可以在以下意义上衰减：存在一个有限的组合物的爆破，使拉回的T分解成两部分，第一个与一个除数与正规交叉支持，第二个具有小Lelong数。
It is a well-known fact that the non-pluripolar self-products of a closed positive (1,1)-current in a big nef cohomology class on a compact Kahler manifold are not of full mass in the presence of positive Lelong numbers of the current in consideration. In this paper, we give a quantitative version of the last property. Our proof involves a generalization of Demailly's comparison of Lelong numbers to the setting of density currents, a reversed Alexandrov-Fenchel inequality, and the notion of relative non-pluripolar products.
Pluricomplex charge at weak singularities
设$u$是一个多重次调和函数，定义在点$x,$的邻域上，使得复Monge-Ampère算子在$u.$上是良好定义的。还假设$u$有一个弱奇点，在这个意义上，$u$在$x$的Lelong数为零。测量值$(dd^c{u})^n$的剩余质量在$x$处是否消失？据我们所知，没有已知的例子可以证伪所提出的问题。本文得到了一些部分结果。我们发现对于一个重要的多重次调和函数的子集，具有良好定义的蒙格-安培质量消失Lelong数不意味着蒙格-安培测度的剩余质量消失。
On Lelong Numbers of Generalized Monge-Ampère Products
本文研究了拟多次下调和函数的广义 Monge-Ampère 乘积，给出了其在正常全纯浸没下前推的 Lelong 数估计，并将其应用于伪有效向量丛的 Chern 和 Segre 流，推广了 X. Wu 关于非 nef 轨迹的近期结果。
Uniqueness and short time regularity of the weak Kähler-Ricci flow
设$X$是紧致Kähler流形.证明了从任意闭正$(1,1)$流出发的Kähler-里奇流在某个解析子集外是光滑的.这个规律性的结果是最优的，这意味着如果初始电流具有正的Lelong数，则流动在短时间内具有正的Lelong数。我们还证明了从零Lelong数的电流时，流量是唯一的。
Upper level sets of Lelong numbers on Hirzebruch surfaces
本文研究Hirzebruch曲面上正闭电流的Lelong数上水平集的几何约束，证明其包含在特定低次数曲线中，并给出双次数与参数β的精确条件。
Mobile Product and Zariski decomposition
讨论了紧致K $\ddot{a}$ hler流形上伪有效类$α_{1},...,α_{q}$的标准上同调积$α_{1}...α_{q}$与可动交积$(α_{1}...α_{q})$之间的关系.我们还展示了如何使用这种关系证明一些全纯Morse不等式。然后证明了Lelong数在3维修正下的直象的一个结果，得到了$(1,1)-$电流楔的Lelong数的连续性.
On the residual Monge-Ampère mass of plurisubharmonic functions with symmetry, II
本文利用Sasakian几何，对具有圆对称性和孤立奇点的多次调和函数，建立了剩余Monge-Ampère质量与Lelong数及最大方向Lelong数之间的估计，部分解决了零质量猜想。
Log truncated threshold and zero mass conjecture
本文引入对数截断阈值概念，推导了多重次调和函数剩余Monge-Ampère质量的最优估计，为Guedj和Rashkovskii的零质量猜想提供了新方法，并统一加强了相关已知结果。
Newton Numbers and Residual Measures of Plurisubharmonic Functions
本文研究了$(dd^cu)^n$在多重次调和函数$u$的孤立奇点处的带电质量。它是通过多重次调和函数的局部指标来完成的。因此，获得的质量的范围内的$u$的方向Lelong数，和牛顿数的概念，全纯映射被扩展到任意多重次调和函数。我们还将$u$的局部指标描述为$u$的对数正切。
Polynomial hulls and positive currents
设T为二维（p，p）正多次谐波电流，$δ>0$ .假设T的Lelong数在supp（T）的稠密子集上满足$ν(T,a)\geq δ$（可整流电流满足该条件）。则有$T=ϕ[X]$，其中X是纯维p的复子簇，$ϕ$是X上的弱多重次调和函数.我们对多重超谐波电流也有类似的结果。我们还介绍和研究了多项式p-壳的概念。
Directed harmonic currents near non-hyperbolic linearized singularities
本文研究非双曲线性化奇点附近的有向调和流，证明了实参数λ不同情形下0点Lelong数的取值结论，补充了Nguyen关于双曲情形的已有结果。
Regularizing properties of Complex Monge-Ampère flows
研究了Kähler流形$(X,ω)$上复Monge-Ampère流的正则化性质，当初始数据为$ω$ -psh函数且Lelong数在所有点都为零时.我们证明了一般的Monge-Ampère流有一个立即光滑的解。我们还证明了解的唯一性和稳定性。
Valuations and plurisubharmonic singularities
我们扩展到更高的维度的一些valuative分析的奇异性的pluisubharmonic（PSH）的功能开发的最后两位作者。在Kontsevich和Soibelman之后，我们描述了C[x_1，...，[x_n]以原点为中心。它是自然赋予仿射结构的单形的联合。利用C^n在原点以上的修改上的因子的相对正性性质，我们定义了V上的形式psh函数，它被设计成与通常的psh函数类似。对于V上的有界形式psh函数，我们定义了一个混合的Monge-Ampere算子，它反映了C^n原点上因子的相交理论.该算子关联到任何（n-1）元组的正式psh函数的一个积极的措施，有限的质量V。接下来，我们表明，收集Lelong数的一个给定的芽u的psh函数在所有无限近点诱导一个正式的psh函数u'V称为其赋值变换。当φ是Demailly意义下的psh Holder权时，广义Lelong数nu_φ（u）等于u'对φ赋值变换的Monge-Ampere测度的积分.特别地，任何广义Lelong数都是赋值的平均。我们还展示了如何计算u的乘子理想和u关于Rashkovskii意义下的n的相对类型，根据u和n的赋值变换。
Regularizing properties of Complex Monge-Ampère flows II: Hermitian manifolds
我们证明了Hermitian流形上的一般复Monge-Ampère流可以从任意初始条件出发，在所有点上的Lelong数都为零。利用这一性质，我们证实了Tosatti-Weinkove的一个猜想：陈-里奇流执行一个典型的外科手术收缩。最后，我们研究了紧致Hermitian流形上的Chern-里奇流的一个推广，即扭曲的Chern-里奇流。
Monge-Ampère type equation on compact Hermitian manifolds
本文在紧致Hermitian流形上证明了退化复Monge-Ampère方程在相对满质量类中的唯一解，并给出了该类中元素Lelong数的显式描述。
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