The Matroid Structure of Representative Triple Sets and Triple-Closure Computation
三元组的一致集合$R$（三个叶子上的有根二叉树）的闭包$\textrm{cl}(R)$提供了关于树形关系的基本信息，这些关系由显示$R$中所有三元组的任何超树显示。在这方面的贡献，我们关注的是代表性的三元组，即子集$R'$的$R$与$\textrm{cl}(R') = \textrm{cl}(R)$。在这种情况下，$R'$仍然包含关于$R$所隐含的树结构的所有信息，尽管$R'$可能小得多。我们表明，有代表性的三元集是最小的w.r.t.\包含构成拟阵的基。这反过来又意味着最小代表三元集也有最小基数。特别是，拟阵结构可用于表明可以使用简单的贪婪方法在多项式时间内计算最小代表三元组。对于一个给定的三元组$R$，“标识”一棵树，我们提供了一个确切的值的基数的最小代表三元组。此外，我们利用后者的结果提供了一个新的和有效的方法来计算一个一致的三元集$R$的闭包$\textrm{cl}(R)$，提高了时间复杂度$\mathcal{O}(|R||L_R|^4)$的目前最快的已知方法提出的Bryant和钢（1995年）。特别地，如果给出$R$的最小代表三元组，则可以示出计算$\textrm{cl}(R)$的时间复杂度可以提高高达$|R||L_R|$的因子。事实证明，四元组（四叶上的无根二叉树）的集合一般不提供拟阵结构。
2018-01-25 math.CO
More results on large sets of Kirkman triple systems
Kirkman三元系（LKTS）大集的存在性问题是组合设计理论中最著名的公开问题之一。具有可分解导出设计的Steiner四元系在LKTS的递归构造中起着重要的作用。本文引入了一种特殊的组合结构RDSQS*（v），并利用它给出了RDSQS（4v）的一种构造.作为结果，给出了一些新的无限族LKTS。
2023-02-12 math.CO
Monochromatic Schur triples in randomly perturbed dense sets of integers
给定第一个$n$正整数的稠密子集$A$，我们给出了一个简短的证明，证明了对于$p=ω(n^{-2/3})$，所谓的{ \sl随机扰动}集$A \cup [n]_p$ a.a.s.具有这样的性质，即它的任何$2$着色都具有单色Schur三元组，即形式为$(a,b,a+b)$的三元组。这个结果是最优的，因为存在稠密集$A$，对于$A$，$A\cup [n]_p$不具有对于$p=o(n^{-2/3})$的这个性质。
2018-11-15 math.CO
Large sets of Kirkman triple systems with order $q^n+2$
Kirkman三元系大集（LKTS）的存在性问题是组合数学中的一个老问题。已知的结果是非常有限的，其中很多是基于丹尼斯顿\cite{MR0349416, MR0369086, MR535159, MR539718}的作品。唯一已知的递归构造是Denniston \cite{MR535159}的三重构造和Lei \cite{MR1931492}的乘积构造，两者都在LKTS（$v$）的基础上构造了LKTS（$uv$）。本文描述了从LKTS $(q+2)$构造LKTS $(q^n+2)$，其中$q$是$6t+1$形式的素幂.利用这个结果可以构造出以前未知的LKTS（$v$），其中最小的有$v=171,345,363$ .
2013-07-11 math.CO
Biembedding Steiner Triple Systems and n-cycle Systems on Orientable Surfaces
2015年，Archdeacon引入了Heffter阵列的概念，并展示了Heffter阵列与曲面上的双嵌入m-循环和n-循环系统之间的联系。本文利用这一联系，证明了对任意n>= 3，存在完全图在6 n +1个顶点上的可定向嵌入，且其每条边都在3-圈和$n$-圈上.我们也给出了一个类似的（但部分）biembedding一个5-循环系统和一个n-循环系统的结果。
2015-05-15 math.CO
New results on large sets of orthogonal arrays and orthogonal arrays
该研究针对组合设计领域的正交阵列及其大集问题，通过多种构造方法得到新的正交阵列大集系列，再结合Kronecker积获得大量新的无穷类正交阵列，拓展了相关研究成果。
2023-12-19 math.CO
A new recursive construction for large sets of Kirkman triple systems
Johannes Kepler University Linz（林茨约翰·开普勒大学）
研究如何从LKTS(q + 2)和特定辅助置换结构递归构造LKTS(7q + 2)，证明在特定条件下三次正交态射存在，进而得到了阶数为93、177、219、261和303的LKTS。
2026-07-24 math.CO
Sesqui-arrays, a generalisation of triple arrays
三元数组是一个包含字母的矩形数组，每个字母在行或列中出现的频率相等，没有重复，这样两行、两列或一行和一列共有的字母数是（可能不同的）非零常数。删除一行和一列共有字母的条件将得到一个双精度数组。我们建议这样一个数组时，只有对列的条件被删除的术语\emph{sesqui-array}。因此，所有的三元数组都是倍半数组。本文给出了三种倍半阵列的构造方法。第一个给出了$n\geq 2$的$n(n+1)$字母上的$(n+1)\times n^2$数组。(Such Bagchi发现了$n=2$的阵列。这种结构使用拉丁方。第二种方法使用\emph{Sylvester graph}，Hoffman-Singleton图的一个子图，在$42$大小为~ $6$的区组中为$36$处理建立一个良好的区组设计，然后将其用于$42$字母的$7\times 36$倍半阵列中。我们还给出了$K(K-1)/2$字母上$K\times(K-1)(K-2)/2$倍半数组的构造。该结构使用双翼飞机。它从一个双平面的块开始，产生一个满足倍半阵列要求的阵列，除了可能在一行或一列中没有重复的字母。我们表明，这个条件成立，当且仅当所选块的\emph{Hussain chains}不包含$4$ -周期。一个充分条件的建设给予一个三重阵列是，每个侯赛因链是一个联盟的$3$ -循环，但这个条件是不必要的，我们给一些进一步的例子。我们还…
2018-02-13 math.CO math.ST stat.TH
Bohr sets in triple products of large sets in amenable groups
我们回答了一个问题的Hegyvári和Ruzsa关于有效估计的玻尔正则性的某些三重和集的积极上Banach密度的整数。我们的证明也适用于任何离散顺从群，它不需要所有的adjacent在三重产品，我们认为有积极的（左）上Banach密度; adjacent之一是允许只有积极的上渐近密度相对于（可能非常稀疏）遍历序列。
2018-04-03 math.CO math.FA
Matchings and shape-Wilf-Equivalence of sets of patterns of length three I: Triples
Indian Institute of Science（印度科学学院）；Indian Institute of Technology, Bombay（孟买印度理工学院）
本文完整分类了长度为三的模式三元组的形状-Wilf-等价类，利用双射编码证明，并枚举了避免这些模式的匹配，扩展了先前结果，发现了与Fuss-Catalan数等序列相关的新组合族。
2026-10-27 math.CO
A family of multimagic squares based on large sets of orthogonal arrays
正交表大集是由D. R. Stinson，最近它也被用来构造多魔法方块。本文进一步研究了基于强双LOA的多重幻方。证明了对任意具有$t\geq3$的素数幂$q\geq 2t-1$，存在MS $(q^{2t-1},t)$，从而提供了一类新的多重幻方.
2016-12-20 math.CO
Suitable sets of permutations, packings of triples, and Ramsey's theorem
如果在至少一个置换中每个符号在其他$t-1$的每个子集之前，则$\{1,2,\ldots,v\}$的一组$N$置换是$t$适合的。极值问题的确定最小尺寸$N$等集为给定的$v$和$t$是主题的经典研究由Dushnik在1950年和斯宾塞在1971年。Colbourn最近引入了合适的核心的概念作为等价对象的合适的置换集，并研究了确定最大的$v=\text{SCN}(t,N)$，使得一个合适的核心存在于给定的$t$和$N$的对偶问题。Chan和Jedwab证明，当$N=\lfloor\frac{t+1}{2}\rfloor\lceil\frac{t+1}{2}\rceil+l$，SCN $(t,N)$的值是渐近$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$，如果$l$是一个固定的整数。在本文中，我们改进了这一结果表明，这也是正确的，当$l=O(\ln t)$使用拉姆齐理论。当$v$大于$\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$时，我们利用三元组填充给出了新的显式核构造，利用扩展Ramsey染色给出了新的随机核构造.
2018-08-08 math.CO
Permutations minimizing the number of collinear triples
本文刻画了有限域上使图中共线三元组数量最少的置换，确定字典序最小者，证实 Cooper-Solymosi 猜想，并探讨其与正交拉丁方及有限仿射平面的联系。
2025-01-04 math.CO
Large Cross-free sets in Steiner triple systems
在Steiner三元系$(V,{\cal{B}})$中，大小为$m$的{ \em无交叉}集合是三个成对不相交的$m$ -元素子集$X_1,X_2,X_3\subset V$，使得没有$B\in {\cal{B}}$与所有三个$X_i$ -S相交.我们猜想，对于每一个可接受的$n$有一个STS $(n)$与交叉自由集的大小$\lfloor{n-3\over 3}\rfloor$，如果真的，是最好的可能。我们证明了这个猜想的情况下$n=18k+3$，构建一个STS $(18k+3)$包含一个交叉自由集的大小$6k$。我们注意到，由Colbourn，Dinitz和Rosa构造的一些$3$ -双色STS具有接近$6k$大小的无交叉集（但不能具有完全$6k$大小）。所构造的STS $(18k+3)$表明，等式是可能的$n=18k+3$在以下结果：在每个$3$ -着色的任何施泰纳三元系STS $(n)$块有一个单色连通分量的大小至少为$\lceil{2n\over 3}\rceil+1$（我们猜想，平等持有的每一个容许的$n$）。类似的问题，可以要求$r$着色以及，如果$r-1 \equiv 1,3 \mbox{ (mod 6)}$和$r-1$是一个素数的权力，我们表明，答案是相同的情况下，完全图：在每个$r$着色的块的任何STS $(n)$，有一个单色连接组件与至少${n\over r-1}…
2015-09-18 math.CO
On Triple Lines and Cubic Curves --- the Orchard Problem revisited
具有许多三线的平点集（其中至少包含集合中的三个不同点）已经被研究了180年，从Jackson开始，然后是Sylvester。Green和Tao最近证明了对于一个n元集合，三重线的最大可能个数是[n（n - 3）/6] + 1。在这里，我们解决描述渐近近最优配置的结构的相关问题，即，在那些通过三个或更多点的直线的数量具有二次方（即，最好可能的）数量级的数量级。我们提出的问题是否这样的点集必须始终与三次曲线。为了支持这一猜想，我们解决各种特殊情况下，其中一些也涉及到四个在一行的问题的Erdos。
2013-02-23 math.CO
Sets of double and triple weights of trees
设T是一棵有n个叶子的加权树。令D_{i,j}为叶i和j之间的距离。令D_{i,j,k} =（D_{i,j} + D_{j,k} + D_{i,k}）/2。我们将这些数称为树的“三重权”。本文给出了$n$ -集的2-子集所索引的集是树的双权的一个不同于以往的刻画。利用同样的思想，我们还得到了由$n$ -集的3-子集所索引的实数集是具有$n$叶的树的三重权集的充要条件.此外，我们提出了一个轻微的修改Saitou-Nei的邻居加入算法重建树的数据D_{i,j}。
2011-04-22 math.AG math.CO
Technical report Existence of Kirkman signal sets on $v=1,3\pmod{6}$ points, $14\leq v \leq 3000$
一个部分Steiner三元组系统，其三元组可以被划分成$s$部分并行类，每个类的大小为$m$，是一个$signal$ $set$，表示为$\mbox{SS}(v,s,m)$。$Kirkman$ $signal$ $set$ $\mbox{KSS}(v,m)$是具有$s=\lfloorμ(v)/m\rfloor$的$\mbox{SS}(v,s,m)$。当$v \equiv 1$或$3 \pmod{6}$时，则为$μ(v)=b$，因此将$\mbox{STS}(v)$分解为大小为$m$的部分并行类等效于$\mbox{KSS}(v,m)$。给出了已知存在性结果表。
2017-07-23 math.CO
Pascal arrays: counting Catalan sets
出于表示论，我们表现出一个内部结构的加泰罗尼亚序列和许多概括。其中某些与众所周知的（但迄今为止孤立的）结构相吻合。其余的都是新的。
2006-12-20 math.CO math.RT
Large Sets of Integers with No Harmonic Triples
研究不含特定等式关系的整数集最大规模\(f(N)\)，核心方法是用素域中无三项等差数列集合的随机仿射像筛选奇数并删除受控坍缩三元组，证明了\(f(N)\)的一个下界。
2026-07-08 math.CO math.NT
On strongly walk regular graphs, triple sum sets and their codes
本文研究强步正则图（$s$-SWRGs）及其关联的射影三重权编码，分类了中等码长二元/三元编码的可行参数，证明$s=5,7$时对应平面代数曲线仅平凡解，推测该结论对所有奇数$s≥9$成立。
2022-10-05 math.CO
Induced Ramsey-type results and binary predicates for point sets
设$k$和$p$是正整数，$Q$是平面上一般位置上的有限点集.我们说$Q$是$(k,p)$ -Ramsey，如果存在一个有限点集$P$，使得对于$\binom{P}{p}$的每个$k$ -着色$c$，都存在$P$的一个子集$Q'$，使得$Q'$和$Q$具有相同的序类型，并且$\binom{Q'}{p}$在$c$中是单色的. Nešetzil和Valtr证明了对于每个$k \in \mathbb{N}$，所有的点集都是$(k,1)$ -Ramsey。他们还证明了，对于每个$k \ge 2$和$p \ge 2$，都存在不是$(k,p)$ -Ramsey的点集。作为我们的主要结果，我们引入了一类新的$(k,2)$ -Ramsey点集，推广了Nešetzil和Valtr的结果.然后，我们使用这个新的结果表明，对于每一个$k$有一个点集$P$，使没有功能$Γ$映射有序对不同的点从$P$到一组大小为$k$可以满足以下“局部一致性”的属性：如果$Γ$达到相同的值的两个有序三元组的点从$P$，那么这些三元组具有相同的方向。直觉上，这意味着不可能有这样一个函数，它是局部定义的，并确定点三元组的方向。
2017-10-20 math.CO
Covering of triples by quadruples in bipartite and tripartite settings
该研究针对二部集合中满足与A交集至少2个元素的三元组覆盖问题，给出所需最少四元组数量f(a,b)的上下界，并将其应用于推导(n,4,3,4)-彩票问题的上界。
2023-11-07 math.CO
Pythagorean triples in level sets of completely multiplicative functions
Universidade NOVA de Lisboa（新里斯本大学）；University of Warwick（华威大学）
研究给定取值于单位圆的完全积性函数\(f_1,\dots,f_d\)，证明存在勾股数\((x,y,z)\)使\(f_i(x),f_i(y),f_i(z)\)对所有\(i\)都任意接近\(1\)，结合非周期函数消失平均与pretentious函数集中估计来证明。
2026-10-15 math.CO math.NT
The number of additive triples in subsets of abelian groups
有限阿贝尔群的一组元素称为无和的，如果它不包含Schur三元组，即，没有三元组元素$x,y,z$和$x+y=z$。对于一个给定的阿贝尔群的最大无和子集有多大的研究已经开始了三十多年，直到十年前格林和鲁萨才最终解决了这个问题。我们讨论以下更一般性的问题。设阿贝尔群$G$的元素集合$A$具有基数$a$。$A$必须包含多少个舒尔三元组？此外，$G$的哪些$a$元素集具有最少的舒尔三元组？在本文中，我们回答这些问题的各种集团$G$和范围的$a$。
2016-07-20 math.CO
New Proofs of Plünnecke-type Estimates for Product Sets in Groups
给出了群中三重积集基数的一个新的界，并给出了三个应用。关于阿贝尔群的Plunnecke-Ruzsa和集不等式的一个新的且出乎意料的短证明在不作交换性假设的情况下，推广了这些不等式。Plunnecke-Ruzsa不等式在一般群中的进一步推广。
2011-06-24 math.CO math.NT
Enumeration of subsets with closedness in finite fields of characteristic 2
本文研究特征为2的有限域中子集的加法闭性（r值），通过枚举r值谱，为分析部分Steiner三元系、无和集、Sidon集和Schlore三元组等结构提供了基础。
2025-06-25 math.CO
Existence of magic rectangle sets over finite abelian groups
该研究针对有限阿贝尔群上的G-幻矩形集MRS_G(a,b;c)的存在性问题，推导得出其存在的充要条件，证实了Cichacz与Hinc提出的相关猜想。
2024-10-31 math.CO
On the containment $I^{(3)} \subseteq I^2$ and configurations of triple points in Böröczky line arrangements
我们研究集的三重点的Böröczky的安排线的背景下，由Harbourne和Huneke提出的遏制问题。我们表明，在类的这些安排，最小的反例的包容$I^{(3)} \subseteq I^2$时，得到的线的数量等于12。
2022-02-10 math.AC math.AG math.CO
On the determination of sets by their triple correlation in finite cyclic groups
设$G$是一个有限阿贝尔群，$E$是它的一个子集，假设我们知道对于$G$的所有子集$T$，其大小直到$k$，对于有多少个$x \in G$，平移$x+T$包含在$E$中。此信息统称为$E$的$k$ -卡片组。人们可以自然地扩展$k$卡片组的定义域以包括$G$上的函数.给定组$G$，什么时候$G$中的集合的$k$ -deck足以确定转换的设置？2-deck是不够的（即使我们允许集合的反射，这也不会改变2-deck），第一个有趣的情况是$k=3$。我们进一步将$G$限制为循环的，并确定$n$的值，对于该值，$\ZZ_n$的子集的3层足以确定平移的设置。这就完成了Grünbaum和Moore开始的关于三层甲板的工作。我们还从上面估计了对于$\ZZ_n$的随机子集，存在另一个子集的概率，而不是第一个子集的平移，具有相同的3层。我们给一个指数小的上限时，以前已知的是$O(1\bigl / \sqrt{n})$。
2006-03-16 math.CO math.NT
Triples of Orthogonal Latin and Youden Rectangles For Small Orders
我们已经进行了一个完整的枚举的非同位素三元组的相互正交的$k\times n$拉丁矩形$k\leq n \leq 7$。在这里，我们将提出一个这样的三元组的普查，按各种属性分类，包括三元组的自同构群的顺序。作为其中的一部分，我们还实现了第一次枚举的成对正交三元组的约登矩形。我们还研究了$k \times 8$矩形的正交三元组，它们是通过一次一行地扩展具有非平凡自拓扑的相互正交三元组而形成的，并且要求在每一步中自拓扑群是非平凡的。这类包括一个来自8阶射影平面的三元组。在这里，我们发现一个显着对称的一对三元组的$4 \times 8$矩形，形成并列两个选定的副本的完整的MOLS的顺序4。
2018-10-30 cs.DM math.CO
Spectrality of Moran-Type Measures Generated by Two-Element and Three-Element Digit Sets
研究由二元和三元数字集生成的莫兰型测度的谱性，核心方法是依据卷积中各项傅里叶变换零集的因子数量判定，贡献为给出其为谱测度的充要条件，并揭示无哈达玛三元组时问题更复杂困难。
2026-07-28 math.CA math.CO math.DS
A Short Note on Disjointness Conditions for Triples of Group Subsets Satisfying the Triple Product Property
本文研究了满足三元积性质的三组群子集的不交条件，并推导了其大小之和的上下界。
2025-12-29 math.CO math.GR
Corner-free sets via the torus
角点是$\Bbb{Z}^2$中的三个点，形式为$(x,y),(x+d,y),(x,y+d)$，其中$d\neq 0$。人们可以把它们看作是3项等差数列的二维类似物。在这个简短的说明中，我们将Green-Wolf的思想从后者扩展到前者，实现了更好的角自由集的构造。
2022-10-24 math.CO math.NT
Graph Reconstruction with Connectivity Queries
本研究针对连通k-集下的图重构问题，提出输出多项式时间算法枚举符合条件的无三角形图与最大度有界图，证明无三角形图可唯一重构，并给出部分k-集连通性变体的NP难证明。
2024-07-10 cs.DM math.CO
The Lattice of N-Run Orthogonal Arrays
如果指定了强度为2的（混合水平）正交数组中的运行游程数，则可能有多少水平和因子？具有N次运行的正交表的可能参数集的集合具有自然的晶格结构，这是由“扩展的构造”方法引起的。特别是在这个晶格中的对偶原子是最重要的参数集，因为任何其他参数集的N运行正交阵列可以构造从他们。为了了解对偶原子的数量，并开始理解晶格作为N的函数，我们研究晶格的高度和大小。结果表明，该系统的高度至多为[c（N-1）]，其中c= 1.4039.并且存在N的值的无穷序列，对于该序列，达到该界。另一方面，格中的节点数由N的超多项式函数限定（对于N的某些值序列，超多项式增长确实会发生）。使用基于"混合分布“的新构造，确定了具有64次运行的所有参数集。其中四个64运行正交表似乎是新的。
2002-05-28 cs.IT math.CO math.IT
