On the number of walks on a regular Cayley tree
我们提供了一个新的推导出的著名的生成函数计数的数量的行走在一个正常的树，开始和结束在同一个顶点，更一般地说，生成函数的数量结束在一个顶点的距离i从开始顶点。这些公式似乎很古老，至少可以追溯到1959年Harry Kesten关于群上对称随机游动的工作，现在的形式可以追溯到Brendan McKay（1983）。
2009-03-12 math.CO
2-walk-regular dihedrants from group-divisible designs
本文构造了具有恰好6个不同特征值的二部2-行走-正则图作为具有对偶性质的可分群设计的关联图。对于其中的许多，我们表明，他们是2-弧传递的单角体。我们注意到，这些图中的许多图都没有在Du等人[7，定理1.2]中描述，在该文献中，他们对连通2-弧传递型图进行了分类。
2015-04-02 math.CO
Regular graphs to induce even periodic Grover walks
针对偶周期Grover游走的图刻画这一未解决问题，研究者利用Galois理论证明，诱导2l（l为奇整数）周期Grover游走的正则图大多为环图，推进了周期Grover游走的图结构刻画研究。
2023-07-25 math.CO
Three-weight codes over rings and strongly walk regular graphs
我们构造强行走-正则图作为陪集图的代码与三个非零齐次权重超过$\mathbb{Z}_{p^m},$为$p$一个素数，更一般的链环深度$m$，并与一个剩余域的大小$q$，素数权力。无限家庭的例子是建立从Kerdock和广义Teichmüller码。作为一个副产品，我们给出了另一种证明，Kerdock码是非线性的。
2019-12-09 math.CO
On walk-regular graphs and graphs with symmetric hitting times
Aldous [1]提出了随机返回时间的分布与起始点无关的图是否一定是传递的问题。我们注意到，这个问题可以简化为一个纯粹的图论问题，已经回答了Godsil & McKay [6]，并提出了一些问题。
2012-11-24 math.CO
On almost distance-regular graphs
距离正则图是代数组合学中的一个关键概念，并已产生了一些推广，如关联方案。受距离正则图的谱和其它代数刻画的启发，我们研究了几乎距离正则图。我们非正式地使用这个名字来表示那些共享一些与图中的距离相关的正则性属性的图。例如，距离正则图的一个已知特征是在给定距离处顶点之间给定长度的行走的数量不变性，而如果以任何给定顶点为根的给定长度的闭行走的数量是常数，则图被称为行走正则的。这里研究的概念之一是距离正则性和行走正则性的推广，称为$m$ -行走正则性。另一个研究的概念是$m$ -部分距离正则性，或者非正式地，距离正则性直到距离$m$。利用图的特征值和预距离多项式，我们讨论和联系这些和几乎距离正则性的其他概念，如$(\ell,m)$ -行走正则性的共同推广。本文引入了点距离正则性和点行走正则性的概念，作为构造几乎距离正则图的基础。我们提供的例子，主要是从福斯特人口普查，对称三次图的集合。提出了两个问题，这是有关的问题时，几乎距离定期成为整个距离定期。我们还给出了点距离正则图的几个刻画，它们是谱过剩定理的推广。
2012-02-15 math.CO
An exact closed walks series formula for the complexity of regular graphs and some related bounds
本研究针对正则图的复杂度（标记生成树数量），建立了正则图补图复杂度与图中闭合游走数量的精确无限交替级数公式，推导得无限类上下界并阐述其在神经元活动生物学问题中的应用。
2025-08-14 math.CO
On d-Walk Regular Graphs
设G是一个顶点集为1，…，n和大小为nxn的邻接矩阵A。设d（i，j）=d，称f_d：N->N是G上的d-函数，如果对每对顶点i，j和k>=d，有a_ij^（k）=f_d（k）.如果这个函数f_d存在于G上，我们说G是d-游动正则的。证明了G是d-游动正则的当且仅当对距离<=d的每一对顶点i，j，且对d<=k<=n+d-1，有a_ij^（k）独立于i，j.等价地，当c为常数时，唯一条件exp（A）*A_d=cA_d成立，其中A_d是d-距离图的邻接矩阵，* 表示Schur积.
2013-03-30 math.CO
Grover walks on unitary Cayley graphs and integral regular graphs
本文研究酉Cayley图与整正则图上的Grover游走，刻画了周期酉Cayley图，给出循环图完美态传输充要条件，证明仅4个酉Cayley图有完美态传输，还给出整正则图上Grover游走周期性的谱刻画。
2024-06-25 math.CO
Quantum Walks on Regular Graphs and Eigenvalues
研究了强正则图上量子行走的转移阵。Emms，Hancock，Severini和Wilson在2006年提出了$S^+(U^3)$的谱强区分正则图的观点。我们找到了正则图的$S^+(U)$和$S^+(U^2)$的特征值。
2011-07-27 math.CO quant-ph
A note on the vacant set of random walks on the hypercube and other regular graphs of high degree
考虑$d$-正则图$G$上的随机游动，其中$d\to\infty$和$G$满足一定的条件.我们的主要例子是$d$维超立方体，它有$n=2^d$顶点。我们探索可能的组件结构的空集，即未访问的顶点集。令$Λ(t)$是在步骤$t$处由行走的空集合诱导的子图。我们表明，如果一定的条件得到满足，然后图$Λ(t)$经历了相变在$t^*=n\log_ed$。我们的结果是，如果$t\leq(1-ε)t^*$然后w.h.p.作为$n\to\infty$的数目顶点，最大分量的大小$L_1(t)$满足$L_1\gg\log n$，而如果$t\geq(1+\e)t^*$然后$L_1(t)=o(\log n)$。
2014-10-07 math.CO
Factoring Discrete Quantum Walks on Distance Regular Graphs into Continuous Quantum Walks
我们考虑距离正则图$X$上的离散时间量子行走，称为Grover行走。设$X$具有直径$d$和可逆邻接矩阵，我们证明了$X$上Grover游动的转移阵的平方是至多连续时间量子游动的交换转移阵的乘积，每个转移矩阵在$X$的线图的某个距离有向图上.我们也得到了一个类似的分解图$X$在玻色Mesner代数。
2022-10-16 math.CO quant-ph
Periodicity of Grover walks on bipartite regular graphs with at most five distinct eigenvalues
我们确定了具有四个不同邻接特征值的连通二部正则图，它诱导周期Grover游动，并证明了它只是$C_6$ .我们还证明了具有五个不同特征值的二部正则周期图的第二大特征值只有三种。使用行走正则性，我们列举了这样的图的可行谱。
2022-02-28 math.CO quant-ph
Periodicity of Grover walks on distance-regular graphs
近年来，一些图类诱导周期Grover游动的特征图得到了广泛的研究.特别地，对于强正则图，已知这类图只有三种。在这里，我们重点讨论了距离正则图上Grover行走的周期性。距离正则图可以看作是强正则图和具有均匀划分的典型图的一种推广。在本文中，我们找到了几类这样的距离正则图，并得到了在一般的距离正则图上诱导周期Grover游动的一些必要条件.并应用这个必要条件给出了强正则图的另一个证明。
2018-05-20 math.CO quant-ph
A convergence time of Grover walk on regular graph to stationary state
我们考虑了有限图上的量子行走模型，该图与外界有相互作用。在这里，一个来自外部的量子步行者穿过图，并且图中的量子步行者在每个时间步都向外走。这种量子行走的动力学收敛到一个定态。本文在流入一致插入的情况下，估计了$κ$ -正则图收敛到稳定态的速度。结果表明，正则图的度越大，量子行走模型的收敛速度越慢。
2022-10-16 math.CO quant-ph
Non-backtracking random walks and a weighted Ihara's theorem
我们研究了图上的非回溯随机游动的混合率，将非回溯游动看作是图的有向边上的游动。伊原定理将图的邻接矩阵与有向边上的非回溯行走矩阵联系起来。我们证明了Ihara定理的一个加权版本，该定理将非回溯行走的转移概率矩阵与通常的随机游动的转移阵联系起来。这使我们能够确定的谱的转移概率矩阵的非回溯随机游动的情况下，正则图和双正则图。作为推论，我们得到了Alon et.在大多数情况下，正则图上的非回溯随机游动比通常的随机游动具有更快的混合速率。此外，我们还得到了双正则图的一个类似结果。
2016-03-17 math.CO
Strongly regular and strongly walk-regular graphs that admit perfect state transfer
Aichi University of Education（爱知教育大学）；Yokohama National University（横滨国立大学）；Hiroshima Institute of Technology（广岛工业大学）
研究强正则图和强行走正则图中允许完美态转移的图，通过谱分析确定其结构特征。
2026-02-03 math.CO quant-ph
Perfect state transfer in Grover walks on association schemes and distance-regular graphs
本文研究Grover游走中的完美态转移，建立结合方案上完美态转移的充要条件，完整刻画Hamming、Johnson方案及直径2、3和整距离正则图上的完美态转移。
2025-06-18 math.CO quant-ph
Simple random walk on distance-regular graphs
综述了距离正则图类上简单随机游动的已知结果。其中一个亮点是，点之间的电阻和首中时可以明确计算，并给出强的界限，这反过来又会导致覆盖时间，混合时间等的界限。还讨论了调和函数，时刻的命中和覆盖时间，格林函数，和截止现象。本文的主要目标是将这些图作为研究简单随机游动的自然环境，并促进该领域的进一步研究。
2013-01-27 math.CO math.PR
Pythagorean Partition-Regularity and Ordered Triple Systems with the Sum Property
有没有可能用许多颜色来给自然数上色，这样就没有毕达哥拉斯三元组是单色的？这个问题甚至对两种颜色都是开放的。一个自然的策略是证明一些小的非二部三元系不能被实现为一个毕达哥拉斯三元系族。考虑部分三元系（PTS）就足够了，因此考虑Fano平面，最小的非二部PTS是很自然的。我们表明，毕达哥拉斯三元组不包含任何法诺平面。事实上，我们的主要结果是，一个更大的家庭的“有序”三元系（即那些有一定的“和性质”）不包含任何Steiner三元系（STS）。
2008-09-20 math.CO math.NT
Cospectral graphs obtained by edge deletion
本文证明在1-游走正则图中删边（包括团内删边）可构造关于邻接、Laplacian、无符号Laplacian和归一化Laplacian矩阵同谱的非同构图族，并推广到Laplacian及无符号Laplacian同谱情形。
2025-01-27 math.CO
On perturbations of almost distance-regular graphs
本文证明了一类几乎距离正则图，即所谓的$h$ -点行走正则图，可以通过其扰动图的共谱性来刻画.对于给定的$h\le D$，如果距离为$h$的一对顶点$u,v$之间的长度为$\ell$的路的个数只依赖于$\ell$，则称直径为$D$的图$G$为$h$ -点行走正则图.这里考虑的图扰动是删除一个顶点，添加一个环，添加一个悬垂边，添加/删除一个边，合并顶点，并添加一个桥接顶点。我们表明，步行-正则图这些操作是等价的，在这个意义上说，一个扰动产生共谱图当且仅当其他的。我们的研究是基于Cvetković，Godsil，McKay，Rowlinson，Schwenk等人开发的图扰动理论。从而得到了距离正则图的一些新的刻画。
2012-02-15 math.CO
Quantum Walks on Generalized Quadrangles
研究了强正则图上量子行走的转移阵。Emms，Hancock，Severini和Wilson在2006年提出了$S^+(U^3)$的谱强区分正则图的观点。我们概率地计算了两个非同构的$(5^2,5)$阶广义四边形的交图在这个矩阵下的谱，从而为猜想提供了强正则反例。
2015-11-06 math.CO quant-ph
Infinite excursions of rotor walks on regular trees
图上的转子配置在每个顶点中包含无限有序的转子序列，每个转子指向顶点的邻居。在根据某种概率测度对配置进行采样之后，转子行走是一个确定性过程：在每一步中，它选择当前位置中的下一个未使用的转子，并使用它跳转到它所指向的相邻顶点。转子游动捕获了简单随机游动的预期行为的许多方面。然而，这种相似性打破了具有无限偏移的性质。在本文中，我们研究了自然随机配置模型的正则树的问题。我们的研究结果表明，在这种情况下，转子模型的行为就像简单的随机游动，除非它不是“接近”的标准转子路由器模型。
2017-07-04 math.CO math.PR
Cospectral vertices, walk-regular planar graphs and the echolocation problem
本文研究有限图上的同谱顶点，提出简单判定准则，结合计算机搜索找到最小反例，并分类所有3连通游走正则平面图，证明其必为顶点传递。
2024-07-19 math.CO math.SP
Periodic Walks on Large Regular Graphs and Random Matrix Theory
我们研究了大型正则图上（非回溯）周期游动数的分布。当顶点集$V$和周期$t$的基数对任意$τ$都以$t/V\rightarrow τ$逼近$\infty$时，我们给出了$t$ -周期游动个数的方差与其均值之比的公式.该公式基于随机矩阵理论（RMT）给出邻接特征值谱统计量的猜想。我们提供了数值和理论证据的有效性，这一猜想。在这项研究中使用的关键工具是一个迹公式，它表示的谱密度的$d$ -正则图，在周期行走。
2011-05-24 math-ph math.CO math.MP
The cover time of a biased random walk on a random regular graph of odd degree
考虑随机$r$ -正则图$G_r$上的随机游动过程，该过程对于任意奇数$r\geq 3$都倾向于访问以前未访问过的边.我们证明了这个随机游动过程具有渐近顶点覆盖时间$\frac{1}{r-2}n\log n$和渐近边覆盖时间$\frac{r}{2(r-2)}n\log n$，从而将Cooper，Frieze和Johansson的结果从$r = 3$推广到任何更大的奇数$r$ .这就完成了对固定$r\geq 3$的顶点覆盖时间的研究，Berenbrink、Cooper和Friedetzky先前已经证明，当$r\geq 4$是偶数时，$G_r$的顶点覆盖时间渐近于$\frac{rn}{2}$。
2018-05-12 cs.DM math.CO
The Birthday Paradox for non-backtracking walks on regular graphs
Cornell University（康奈尔大学）
该研究证明了正则图上度数≥3的随机非回溯游走存在生日悖论，即k远大于√n时高概率自相交，解决了Alon与Peres的固定度数猜想。
2026-08-28 math.CO math.DS math.PR
Remarks on the recurrence and transience of non-backtracking random walks
给出了正则无限图上无回溯随机游动的常返性与简单随机游动的常返性等价的一个简短证明。然后，它示出了如何证明可以扩展在某些情况下，有问题的图是不规则的。
2019-05-20 math.CO math.PR
On walk-regular graphs and optimal duals of frames generated by graphs
本文研究由图生成的框架的最优对偶，刻画游走正则图并证明其拉普拉斯矩阵的Moore-Penrose逆对角相等，进而证明连通图生成全火花框架，且典范对偶框架是游走正则图生成框架的唯一最优对偶，并给出必要条件。
2024-05-28 math.CO math.FA
On the Meeting Time for Two Random Walks on a Regular Graph
我们提供了一个分析的预期会议时间的两个独立的随机游动的正则图。对于1-D圆和2-D环面图，我们表明，预期的会议时间可以表示为一个适当定义的拉普拉斯矩阵的非零特征值的逆之和。我们还推测的经验证据的基础上，这一结果持有更普遍的简单随机游动任意正则图。此外，我们表明，预期的会议时间为1-D圆的大小$N$是$Θ(N^2)$，并为2-D $N \times N$环面，它是$Θ(N^2 log N)$。
2014-08-09 cs.DM math.CO math.PR
On $\ell-$regular and $2-$color partition triples modulo powers of $3$
本文针对ℓ≥1且满足特定模3幂条件的ℓ，证明了ℓ-正则分拆三元组计数$T_\u2113(n)$和特定2-色分拆三元组计数$p_{\u2113,3}(n)$模3的幂的若干无限族同余式。
2025-04-18 math.CO math.NT
The average search probabilities of discrete-time quantum walks
我们研究了一个离散时间量子行走在图上找到一个标记顶点的平均概率。首先证明了正则图的转移阵矩阵的谱是由增广图的加权邻接矩阵决定的。在此基础上，我们研究了距离正则图的平均搜索概率，并得到了一个关于其去点子图的邻接矩阵的计算公式。特别地，对于（1）完全图，或（2）强正则图，或（3）固定参数$d$、变化价$k$和变化大小$n$的距离正则图的任何族，使得$k^{d-1}/n$随着$k$的增加而消失，当价变为无穷大时，平均搜索概率接近$1/4$。我们还提出了一个更宽松的标准，在交叉数组，这个限制接近距离正则图。
2021-08-22 math.CO quant-ph
Cutoff phenomena for random walks on random regular graphs
截断现象描述了一族遍历有限马氏链收敛到平衡点的急剧转变。许多自然家族的链被认为表现出切断，但建立这一事实往往是极具挑战性的。一类重要的链是$\G(n,d)$上的随机游动，$\G(n,d)$是$n$顶点上的随机$d$正则图。众所周知，几乎每一个这样的图$d\geq 3$是一个扩展，甚至本质上Ramanujan，这意味着混合时间的$O(\log n)$。根据Peres的猜想，对于这样的$d$，在$\G(n,d)$上的简单随机游走应该以高概率表现出截止。作为其特例，Durrett证明了随机3-正则图上的惰性随机游动的混合时间为w. h. p. $(6+o(1))\log_2 n$ .在这项工作中，我们证实了上述的结构，并建立截断的全变差，它的位置和它的最佳窗口，无论是简单的和非回溯随机游动$\G(n,d)$。也就是说，对于任何固定的$d\geq3$，$\G(n,d)$ w. h. p.上的简单随机游走在窗口顺序为$\sqrt{\log n}$的$\frac{d}{d-2}\log_{d-1} n$处截止。令人惊讶的是，$\G(n,d)$ w. h. p.上的非回溯随机游走已经在具有恒定窗口顺序的$\log_{d-1} n$处截止。我们进一步将这些结果推广到$\G(n,d)$，对于任何随$n$增长的$d=n^{o(1)}$（超过该值，混合时间为O（1）），我们在两个连续整数之一上建立混合时…
2009-11-05 math.CO math.PR
Periodicity of bipartite walk on biregular graphs with conditional spectra
本文研究了一类离散量子游动，称为二部游动。其中包括著名的Grover's Walks。任何离散量子行走都是由酉矩阵$U$的幂给出的，该酉矩阵由底层图的弧或边索引。如果对某个正整数$k$有$U^k=I$，则游动是周期性的。Kubota在正则二部图上定义了Grover游动，当游动的特征值不超过5个时，给出了Grover游动的周期性的一个刻画.我们推广了Kubota的结果--如果一个双正则图$G$的特征值的平方是次数不超过2的代数整数，我们用它的谱来刻画在$G$上的二部游动的周期性.利用二部游动的周期性结果，得到了正则图上Grover游动周期性的一个刻画.
2022-12-14 math.CO quant-ph
Combinatorial necessary conditions for regular graphs to induce periodic quantum walks
本文利用时间演化矩阵特征值为代数整数及η-Hermitian邻接矩阵系数的组合含义，推导正则混合图上离散时间量子游走周期化的必要条件，并判定混合完全图与素数顶点混合图的周期性。
2023-06-07 math.CO quant-ph
The Quantum Walk Characteristic Polynomial Distinguishes All Strongly Regular Graphs of Prime Orde
Departamento de Matemáticas, Centro de Excelencia en Computación Científica（数学系，科学计算卓越中心）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文通过量子行走特征多项式区分素数阶强正则图，利用离散傅里叶变换和Turner定理证明图同构可判定。
2026-04-02 math.CO quant-ph
Walking on the Edge and Cosystolic Expansion
正则有界度扩张图上的随机游动有许多应用。这些行走的一个关键属性是，它们迅速收敛到顶点上的均匀分布。近年来，对图的高维类似物--高维单纯复形展开的研究，要求将随机游动自然地推广到高维。特别是，$2$维单纯复形上的高阶随机游走在复形的相邻边之间随机移动，其中如果两个边共享一个公共三角形，则将它们视为邻居。我们表明，如果一个经常$2$维单纯复形是一个costostolic扩展和复杂的基础图形有一个大于$1/2$的频谱间隙，然后在复杂的边缘上的随机游走迅速收敛到边缘上的均匀分布。
2016-06-06 cs.CC math.CO
Quantum graph walks II: Quantum walks on graph coverings
给出了量子图G的键散射矩阵的特征多项式的一个新的行列式表达式。给出了G的正则覆盖的键散射矩阵的特征多项式的分解公式。进一步，我们定义了G的L-函数，并给出了它的行列式表达式，作为推论，我们用它的L-函数表示了G的正则覆盖的键散射矩阵的特征多项式.作为应用，我们引入了三种量子图游动，并讨论了它们之间的关系。
2012-11-20 math-ph math.CO math.MP
Mixing Rates of Random Walks with Little Backtracking
许多正则图允许将其边集自然划分为相同阶的团，使得每个顶点包含在相同数目的团中。本文研究了这类图上随机游动的混合率，推广了Alon，Benjamini，Lubetzky和Sodin关于正则图上非回溯随机游动的混合率的已有结果.
2015-06-03 cs.DM math.CO math.PR
Deterministic Random Walks on Regular Trees
Jim Propp的转子路由器模型是图上随机游动的确定性模拟。而不是随机分配芯片，每个顶点以固定的顺序为其邻居服务。库珀和斯宾塞（梳。Comput.（2006））显示了两种模型的显著相似性。如果在网格$\Z^d$的顶点上放置（几乎）任意数量的筹码，并在Propp模型中同时进行行走，则在任何时候，在每个顶点上，该顶点上的筹码数量与随机游动将达到的预期数量的偏差最多为一个常数。该常数与起始配置和每个顶点为其邻居服务的顺序无关。这个结果提出了一个问题，如果所有的图都有这个属性。经过一番努力，我们现在能够对这个问题作出否定的回答。对于图是一个无限$k$ -ary树（$k \ge 3$），我们表明，对于任何偏差$D$有一个初始配置的芯片，这样，在运行一定的时间后，Propp模型有一个顶点，至少$D$更多的芯片比预期的随机游动模型。然而，为了实现$D$的偏差，需要至少$\exp(Ω(D^2))$顶点通过在某个时间被不能被$k$整除的多个码片占用而做出贡献。
2010-06-08 cs.DM math.CO math.PR
Self-avoiding walks and polygons on hyperbolic graphs
我们证明了对于双曲平面的$d$ -正则Tessellations，长度为$n$的自避免行走的数量比长度为$n$的自避免多边形的数量要多。然后，我们证明了这个属性意味着自避免行走是弹道，即使在任意的顶点传递图。此外，对于每一个固定的$k$，我们证明了连接常数的自避免行走满足渐近展开$d-1-O(1/d)$作为$d\to \infty$ ;另一方面，连接常数的自避免多边形保持有界。最后，我们表明，所有，但两个镶嵌，长度$n$的自避免行走的数量是可比的连接常数的$n$ th权力。这些结果中的一些是以前获得的马德拉斯和吴\cite{MaWuSAW}的所有，但许多规则的镶嵌的双曲平面。
2022-08-25 math-ph math.CO math.MP
