Pascal arrays: counting Catalan sets
Bethany Marsh, Paul Martin
出于表示论，我们表现出一个内部结构的加泰罗尼亚序列和许多概括。其中某些与众所周知的（但迄今为止孤立的）结构相吻合。其余的都是新的。
Motivated by representation theory we exhibit an interior structure to Catalan sequences and many generalisations thereof. Certain of these coincide with well known (but heretofore isolated) structures. The remainder are new.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Pascal, Catalan, Motzkin triangles and tensor product multiplicities
本文通过表示论探讨了帕斯卡、卡塔兰和莫茨金三角及其一般化，揭示其通过初始条件由帕斯卡法则生成，并讨论了张量积多重性及平方和现象。
Counting closed walks in infinite regular trees using Catalan and Borel's triangles
我们计数的闭行走的顶点在一个正常的树使用加泰罗尼亚的三角形，也博雷尔的三角形，显示另一个组合结构的计数这两个数组的数字。
On One-Parameter Catalan Arrays
我们提出了一个参数家庭的Riordan阵列，这是通过乘以任何Riordan阵列的广义Pascal阵列。特别是，我们专注于一些有趣的单参数加泰罗尼亚三角形的性质。我们得到了几个组合恒等式，涉及两个特殊的加泰罗尼亚矩阵，切比雪夫多项式的第二类，一些周期序列，和斐波那契数。
A new statistic on Dyck paths for counting 3-dimensional Catalan words
一个三维加泰罗尼亚语单词是一个三个字母的单词，因此任何两个字母上的子单词都是一个Dyck路径。对于给定的Dyck路径$D$，最近定义的一个统计量计算了加泰罗尼亚语单词的数量，其属性是任何两个字母上的子单词都正好是$D$。在本文中，我们列举了Dyck路与此统计量等于一定的值，包括所有的素数。所得到的公式是以Motzkin数和Motzkin选票数表示的。
Counting $r\times s$ rectangles in (Catalan) words
本文提出字的矩形容量统计量以计数条形图中的 $r\ imes s$ 矩形，并推导普通字与 Catalan 字的分布及总数生成函数。
Counting paths in corridors using circular Pascal arrays
循环帕斯卡数组是熟悉的帕斯卡三角形的周期化。使用简单的运营商定义的周期序列，我们找到了一个直接的关系的范围内的圆形帕斯卡阵列和走廊，这是相关的戴克路径的某些格路径的数量。这个链接提供了一些在格路文献中发现的非平凡公式的新的简短证明。
On floors and ceilings of the k-Catalan arrangement
结晶学根系$Φ$的$k$ -Catalan排列的主导区域的集合是由Fuchen-Catalan数$Cat^{(k)}(Φ)$枚举的充分研究的对象。通过考虑主导区域的最低和最高，很自然地要完善这一枚举。阿姆斯特朗的一个猜想指出，通过一定高度的楼层数量来计算主导区域，得到的分布与通过相同高度的天花板数量来计算主导区域的分布相同。我们证明了这个猜想使用双射，提供更精确的枚举信息。
Counting odd numbers in truncations of Pascal's triangle
Pascal三角形的“截断”是一个三角形数组，它满足通常的Pascal递归，但有一个边界条件，声明数组每行的某个终端数集为零。给出了Pascal三角形的一族自然截断，推广了一类Catalan三角形。每个数组中的数字被实现为二项式系数的差、某些格路径和表格的计数、以及多项式空间的某些线性变换的表示矩阵的条目。卢卡斯定理被应用于精确地确定那些截断的奇数条目的数量在每一行是一个权力的两个。
Generalized Catalan numbers from hypergraphs
Catalan数（C_n）_{n >= 0} = 1，1，2，5，14，42，.构成了组合学中最古老的序列之一他们有许多组合的解释，从计数括号的产品在非结合代数计数平面树和非交叉集分区。它们也出现在GUE矩阵模型中，作为某些多项式的首项系数，这与平面树和非交叉集划分解释密切相关。本文定义了Catalan数的一个推广。实际上我们定义了一个无限的推广集C_n^（m），m >= 1，其中m=1给出了通常的Catalans。序列C_n^（m）来源于研究某些附在超图上的矩阵模型。我们也给出了这些数字的一些组合解释，并猜想一些渐近性。
Catalan triangles and tied arc diagrams
卡塔兰三角形和福斯-卡塔兰三角形都有一个计算特定系弧图的问题。这种设置使我们能够证明这些三角形的一些组合性质。
On the duals of the Fibonacci and Catalan-Fibonacci polynomials and Motzkin paths
我们使用系数数组的逆来定义Fibonacci和Catalan-Fibonacci多项式的对偶多项式，并探讨这些新多项式序列的性质。许多涉及的数组是Riordan数组。不同的统计数据与Motzkin路径计数的直接联系出现了。
Counting the number of non-zero coefficients in rows of generalized Pascal triangles
本文是关于计算出现在一个给定单词中的不同（分散）子单词的数量。更确切地说，我们认为推广的杨辉三角形形二项式系数的话和序列$(S(n))_{n\ge 0}$计数的正条目的数量在每一行。通过引入一个方便的树结构，我们为$(S(n))_{n\ge 0}$提供了一个递归关系。这导致了与$2$ -正则Stern-Brocot序列和Farey树中出现的重复子序列的连接。然后，我们扩展我们的建设Zeckendorf计数系统的基础上Fibonacci序列。再次，我们的树结构使我们能够获得相应序列的递归关系和F-正则性。
Catalan-like numbers and Stieltjes moment sequences
给出了Catalan-like数是Stieltjes矩序列的充分条件.作为应用，我们证明了Bell数、Catalan数、中心二项式系数、中心Delannoy数、阶乘数、大小Schröder数等许多著名的计数系数都是Stieltjes矩序列.
The Relationship Between Pascal's Triangle and Random Walks
随机游走是一系列向上、向下和水平的步骤，它们枚举了从$(0,0)$到$(2n,0)$的不同路径，其中$n$是路径的半长。我们使用这些路径通过矩阵运算、二次函数和归纳推理的组合来分析Catalan、Schröder和Motzkin数列。我们的研究结果揭示了一些不同的模式，一些未命名的，这些数字序列和帕斯卡的三角形，可以通过生成函数，第一个回报，群论，和Riordan矩阵来解释。提供了这些数列的各种证明和性质，包括每个生成函数，它们各自的第一个返回值和矩阵性质。这些发现使我们对组合数学和图论有了更深的理解。
Catalan-like numbers and Hausdorff moment sequences
本文证明了许多著名的计数系数，包括Catalan数，Motzkin数，中心二项式系数，中心Delannoy数都是Hausdorff矩序列.特别是我们回答了梁等人的一个猜想。这些数字有独特的代表措施。明确地找到了包含表示测度支集的最小区间，并考虑了Catalan-like数的子序列。本文给出了一个连续模式的充要条件：如果序列是Stieltjes Catalan-like数，则它们的连续是Stieltjes Catalan-like数.此外，研究了连续Catalan-like数的线性组合的表示测度。
Conjectures on Somos $4$, $6$ and $8$ sequences using Riordan arrays and the Catalan numbers
我们给出的整数序列的汉克尔变换的家庭的形式，分别是$(α, β)$ Somos $4$序列，$(α, 0, γ)$ Somos $6$序列，和$(α, β, γ, δ)$ Somos $8$序列，为特定值的$α$，$β$，$γ$，$δ$，我们描述。所涉及的序列可以描述在某些拉伸Riordan数组的加泰罗尼亚数的应用，伴随着（序列）汉克尔变换。Riordan数组与Catalan数的结合是基于计数自动机方法研究某些广义Jacobi连分式的结果。
A method for determining the mod-$2^k$ behaviour of recursive sequences, with applications to subgroup counting
本文给出了一种求多项式系数有限深度递归序列模2幂同余的方法。我们将这种方法应用于Catalan数，Fuel-Catalan数，和子群计数函数与Hecke群及其升降机。这导致了许多新的结果，包括许多已知结果的扩展到更高的权力2。
A bijection on Dyck paths and its cycle structure
已知的Dyck路上的双射要么是对合，要么具有众所周知的难以处理的循环结构。在这里，我们提出了一个尺寸保持双射的Dyck路径的循环结构是服从完整的分析。特别地，每个周期具有2的幂的长度。一个新的表现形式的加泰罗尼亚数字标记的森林作物在途中一样，帕斯卡矩阵模2。我们使用双射来证明Motzkin数的两种已知表现形式的等价性。最后，我们考虑一些新的加泰罗尼亚表现的统计数据。
Sketches, moves and partitions: counting regions of deformations of reflection arrangements
本文利用移动和草图概念，为反射排列的Catalan形变区域与非嵌套划分建立统一显式双射，并通过指数公式刻画特征多项式系数统计量，同时研究了阈值排列及其形变。
Counting with Borel's Triangle
Borel三角形是一个与经典Catalan数密切相关的整数数组。本文研究了按Borel三角形计数的组合统计。我们提出了各种组合的解释，博雷尔的三角形的格路径，二叉树，和模式，避免排列和匹配，并推导出一个函数方程，这是有用的分析所涉及的结构。
Worpitzky-compatible sets and the freeness of arrangements between Shi and Catalan
本文研究了不可约根系的Worpitzky-compatible子集，证明了其具有基于roots的简单组合刻画，并借此完整刻画了扩展Shi和Catalan配置间超平面配置的自由性，完成了Yoshinaga在2010年针对单边根系的早期结果。
The Catalan simplicial set
众所周知，卡塔兰数是许多不同计数问题的答案，因此有许多不同的集合族的基数是卡塔兰数。我们展示了如何这样的家庭可以给出一个单纯集的结构。我们展示了如何低维的部分，这个单纯集分类，在一个精确的意义上，结构的monoid和幺半范畴。这涉及到组合学、代数拓扑学、量子群、逻辑学和范畴论。
Counting Horizontal Visibility Graphs
水平可见度图是时间序列分析和分类的常用工具，在许多科学领域有着广泛的应用。在这篇文章中，扩展以前的工作由Lacasa和Luque，我们证明了HVG相关的数据序列没有平等的项目是完全由他们的有序度序列。此外，我们表明，HVG的数据序列，没有和具有相等的条目计数的Catalan数和大Schröder数，分别。
Catalan numbers as discrepancies for a family of substitutions on infinite alphabets
在这项工作中，我们考虑一类替代无限的字母表，并表明，他们表现出增长的行为是不可能的替代有限的字母表。虽然对于这两种设置，瓦片计数函数的首项是指数的（并且由膨胀因子引导），但是二阶项的行为是显著不同的。对于有限设置，已知第二项也是指数或指数乘以多项式。我们展示了一个大家庭的例子，其中第二项至少是指数的$n$除以半整数幂的$n$，其中$n$是取代步骤的数量。特别是，我们提供了一个身份的加泰罗尼亚数的线性组合方面的这种差异。
Lattice Path Matroids: Negative Correlation and Fast Mixing
卡塔兰数出现在许多枚举的上下文中，作为组合结构的计数序列。在这项工作中，我们考虑自然马尔可夫链的加泰罗尼亚序列的实现。虽然我们的主要结果是在推导出一个$O(n^2 \log n)$绑定的混合时间在$L_2$（因此全变差）的距离为随机换位链的戴克路径，我们提出了几个悬而未决的问题，包括上述绑定的最优性。在我们的证明的新颖性是在建立一定的负相关属性之间的随机基的格路径拟阵，包括所谓的加泰罗尼亚拟阵，可以使用戴克路径定义。
Pattern avoidance in "flattened" partitions
使一个集合划分变平（向Mathematica道歉）意味着通过擦除块之间的分隔符来形成一个排列。当然，结果取决于如何列出块。对于通常的列表--每个块中的条目不断增加，并且块按照其第一个条目的递增顺序排列--我们计算[n]的分区，这些分区的扁平化避免了单个3个字母的模式。出现五个计数序列：零序列，2的幂，斐波那契数，卡塔兰数，卡塔兰数的二项式变换。
A combinatorial interpretation of the eigensequence for composition
在与自身的卷积下左移的monic序列是具有130+组合解释的Catalan数。在这里，我们建立了一个组合解释的一元序列，左移下组成：它计数排列，包含3241模式的一部分，只有35241模式。我们给两个递归，第一个允许相对快速的计算，第二个类似于一个加泰罗尼亚数字。其中4倍4！= 96个包含4个字母的类似限制模式（例如4 \underline{2} 31：431模式仅作为4231的一部分出现），产生四个不同的计数序列：64给出加泰罗尼亚数，16给出贝尔数，12给出OEIS中的序列A051295，4给出具有显式公式的新序列。
New Formulas for Dyck Paths in a Rectangle
我们考虑的问题计数集$\mathscr{D}_{a,b}$的Dyck路内接在一个矩形大小$a\times b$。它们是由加泰罗尼亚数字列举的古典戴克词的自然概括。利用与Dyck路相关的Ferrers图，我们导出了用Catalan数表示的具有$a$和$b$非互素的$\mathscr{D}_{a,b}$的计数公式.
Fibonacci, Motzkin, Schroder, Fuss-Catalan and other Combinatorial Structures: Universal and Embedded Bijections
由计数序列$\{a_n\}_{n\ge 0}$和普通生成函数$G_\mathcal{F}=\sum_{n\ge0} a_n x^n$构成的组合结构$\mathcal{F}$是正代数的，如果$G_\mathcal{F}$满足多项式方程$G_\mathcal{F}=\sum_{k=0}^N p_k(x)\,G_\mathcal{F}^k $，且$p_k(x)$是$x$中的非负整数系数多项式.我们表明，每个这样的家庭是与一个规范的PDMATHAMT岩浆。具有$\mathbf{n}=(n_1,\dots, n_k)$的$\mathbf{n}$ -magma是一对$\mathcal{M}$和$\mathcal{F}$，其中$\mathcal{M}$是一组组合结构，$\mathcal{F}$是$n_i$ -ary映射的元组$f_i\,:\,\mathcal{M}^{n_i}\to \mathcal{M}$ .范数是一个超加性大小映射$||\cdot||\,:\, \mathcal{M}\to \mathbb{N} $。若赋范$\mathbf{n}$ -magma是自由的，则证明了具有相同计数序列的所有正代数族$\mathcal{F}_i$之间存在递归的、保范的、泛双射.一个自由的$\mathbf{n}$ -岩浆定义使用一个普遍的映射原则。我们陈述了一个定理，它提供了一个组合的方法来证明，如果一…
Integer Sequences and Output Arrays
第一作者最近在OEIS中引入了一个现在编号为A355519的整数序列。这个数列是从计数括号竞赛中产生的;它的研究唤起了对加泰罗尼亚三角形（OEIS中的数列A009766）和相关加泰罗尼亚数（OEIS中的数列A000108）的分析。因此，我们介绍了一个一般的建设，这些序列放在同一个立足点，并提出了许多新的整数序列。我们提供了执行这种构造的代码和一个很长的示例列表。该构造确定从输入序列到输出序列的函数。一些结果输出序列在OEIS中，而另一些则不在。
Counting independent sets in Riordan graphs
Riordan图的概念是最近提出的，它是著名的Pascal图和Toeplitz图的一个意义深远的推广。然而，除了Toeplitz图的某个子类之外，Riordan图中的独立集是未知的。本文给出了各类Riordan图的独立集个数的精确计数和上下界上界。值得注意的是，我们提供了各种方法来解决问题，从结构分解定理的组合方法的话。我们的一些结果对任何图都是有效的。
Counting Subwords Occurrences in Base-b Expansions
我们计算非负整数的b进制展开中出现的不同（分散）子字的数量。更准确地说，我们认为序列$(S_b(n))_{n\ge 0}$计数的正条目的数量上的每一行的推广的杨辉三角形形的二项式系数的基础- $b$扩展。通过使用一个方便的树结构，我们提供了$(S_b(n))_{n\ge 0}$的递归关系，导致后者序列的$b$ -正则性。然后我们推导了序列$(S_b(n))_{n\ge 0}$的求和函数的渐近性质。
Multisets of finite intervals and a universal category of poset representations
本文提出一个通用构造，将任意偏序集分配为一个有限余完备的加法范畴，并探讨其在有限偏序集下的阿贝尔性质。
Counting Colored Trees
本文研究了根据特定着色规则计数平面树的问题，揭示了不同规则导致相同计数序列的条件，并给出了多种颜色下的计数序列及公式。
Coxeter-biCatalan combinatorics
本文探讨Coxeter-Catalan组合学中的计数问题，提出双对象计数方法，证明所有问题有相同解，并定义W-biCatalan数。
Caustics, counting maps and semi-classical asymptotics
This paper develops a deeper understanding of the structure and combinatorial significance of the partition function for Hermitian random matrices. The coefficients of the large N expansion of the logarithm of this partition function ,also known as the genus expansion, (and its derivatives) are generating functions for a variety of graphical enumeration problems. The main results are to prove that these generating functions are in fact specific rational functions of a distinguished irrational (algebraic) function of the generating function parameters. This distinguished function is itself the …
Counting Arithmetical Structures on Paths and Cycles
本文研究路径图和环图上的算术结构，证明路径上的算术结构由Catalan数枚举，环上的由二项式系数枚举，并确定了所有算术结构的临界群。
Linear Recurrences from Counting Schreier-Type Multisets
该研究基于Schreier集计数与知名序列的关联，证明了计数特定Schreier型多重集的序列满足线性递推，还通过染色扩展及排除含给定整数倍数的Schreier集，得到系数与帕斯卡三角行相关的递推关系。
A new approach to nonrepetitive sequences
一个序列是不重复的，如果它不包含两个相邻的相同的块。图厄的非凡构造断言，3个符号足以构建一个任意长的非重复序列。对于每个三元集序列$L_1,..., L_n$，都存在一个非重复序列$s_1, ..., s_n$，其中有$s_i\in L_i$。应用概率方法可以证明，对于足够大的集合$L_i$，这是正确的。我们提出了一个基本的证明，集的大小4足够（确认最知名的界限）。这个论点是一个简单的计数与加泰罗尼亚数字参与。我们的方法的灵感来自于一个新的算法证明的Lovász本地引理由于Moser和Tardos及其解释Fortnow和陶。所提出的方法在非重复博弈和图的非重复着色中有进一步的应用。
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