Collatz数
Collatz Numbers
摘要：
本文给出了满足猜想$3n+1$的无穷自然数集合.
英文摘要：
In this article we present set of infinite natural numbers which satisfies the conjecture $3n+1$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
相关论文
计数科尔茨数
Counting the Collatz numbers
Shanghai Jiao Tong Univ.（上海交通大学）
通过研究指数同余方程，提出一种方法在区间[1,x]中找到至少x^{0.3227}个科尔茨数。
math.GM
收敛自然数在$\mathbb{r}_+^*$中的Collatz迭代正则分解
Canonical decomposition in $\mathbb{r}_+^*$ of a convergent natural number by the collatz iterations
Collatz变分模式似乎在数之间没有任何递归关系。但是知道至少有一个自然数在几次迭代后收敛，我们构造一个函数$f_{X,Y}$，它等于所有收敛序列的收敛值。一个典型的分解可以表示为这样的号码。
math.GM
具有有界部分商的考拉兹表示
Certain Representation of the Rationals With Bounded Partial Quotients
研究不在\((-1,1)\)的实数\(x\)，通过为有理数子集定义考拉兹表示，证明其可被特定有理数任意好地逼近。
math.GM
Collatz猜想的一个证明
A Proof for the Collatz Conjecture
众所周知，下面的Collatz猜想是数学中未解决的问题之一。Collatz猜想：对于任何正整数$n>1$，以下递归算法将通过有限步收敛到1。A）如果$n$是偶数，则$n/2 \to n$，B）如果$n$是奇数，则$3n+1 \to n$。利用初等数学归纳法证明了Collatz猜想。
math.GM
新Collatz数系的理论基础
On the Foundations of the Theory of a new Collatz Based Number System
这里列出的是一些基本理论，可以被视为新发现的与Collatz猜想（也称为3x+1问题）有关的奇数元数学。最初的动机是发明一种新的优化整数分解方法的要求，这篇基础论文主要集中在一个新的理论框架（模式或蓝图）的基础，形式化和介绍基于Collatz数系统。所提出的框架是基于通过迭代分析和逆向工程（即，通过手工和数学计算）的许多大的整数子集。整理这些分析尝试的基本结果，导致建立了一个完全确定性的模型，广义Collatz为基础的数字系统，从根本上说，奇怪的是与非混沌模式。建议的Collatz数模式包括许多隐藏模式的Collatz序列尚未在文献中报道的视觉和理论表示。这种新的理论方法可以被看作是当代Collatz猜想研究的一种新方法，它可以与数论和离散数学中许多其他数学定理的证明相联系。
math.GM
从Jacobsthal数变换角度看Collatz问题（a*q±1，a=1,3,5,...）
The Collatz problem (a*q+-1,a=1,3,5,...) from the point of view of transformations of Jacobsthal numbers
本文从Jacobsthal数变换角度研究一般aq±1函数的Collatz问题，揭示Collatz轨迹沿Jacobsthal树逆方向形成，并证明因子为3和5时有限迭代无法到达单位元素。
math.GM
更多相关论文收起更多论文
Collatz序列的停时与奇项数的关系
The relationship between stopping time and number of odd terms in Collatz sequences
对于给定自然数$N$的Collatz序列是通过重复应用映射$N$（如果$N$是奇数）和$N$（如果$N$是偶数）来生成的，所述映射$N$ $\rightarrow$ $3N+1$和$N$ $\rightarrow$ $N/2$。数学中一个难以捉摸的开放问题是是否所有这样的序列都以1结尾（Collatz猜想），另一种可能性是循环或无界序列。在本文中，我们提出了一个公式的停时和数量的奇项Collatz序列，数值计算和测试的所有数字$10^7$和随机数高达$2^{128.000}$。这一结果是作为一个猜想提出的，并希望它可能有助于构造Collatz猜想的证明。
math.GM
Collatz定理
Collatz Theorem
本文研究了一类具有无穷多个元素的奇数数列的Collatz猜想的证明。这些集合推广到包含所有正奇数的集合。这个扩展假设是证明的充分猜想，使用的概念，数学归纳法。第九节利用数学归纳法再次证明了Collatz猜想。因此Collatz猜想被证明了两次。最后给出了两个检验算法，算法1的代码是Collatz猜想函数的重述，用来检验算法2所给出的新生成的Collatz函数对某些特定项的有效性。因此，从算法2到算法1，根据猜想检查数字序列和到达1所需的步骤数。
math.GM
Collatz网络
The Collatz Network
考虑到所有可能的路径，一个自然数可以采取以下Collatz猜想中提出的算法的规则，我们构建了一个图，可以被解释为一个无限的网络，考虑所有可能的路径内的猜想。这使我们能够理解为什么Collatz轨道的最小元素$x$等于1。随后，我们定义的扩展Collatz猜想等于$o x+1$时，$x$是奇数和$x/2$时，$x$是偶数与$o$一个奇数大于$3$，我们表明，有无限轨道的扩展Collatz猜想发散。最后，我们发现有趣的定理有关的斐波那契序列的素数。
math.GM
Collatz序列上的无限递增步
Infinity increasing steps on the Collatz sequences
本文从数字序列树视角研究Collatz猜想，数值发现奇数分布呈幂律增长，并解析构造出一组可无限递增的奇数序列，为理解Collatz动力学提供新证据。
math.GM
简化Collatz迭代的可预测轨迹和Collatz猜想的可能证明途径（版本2）
Predictable trajectories of the reduced Collatz iteration and a possible pathway to the proof of the Collatz conjecture (Version 2)
我在这里表明，简化Collatz算法有三种不同的迭代;具体取决于数字的根是奇数还是偶数。如果根是奇数，则只有一种迭代，如果根是偶数，则有两种迭代。我还证明了对奇数根的数字进行迭代将导致值的增加，并最终导致偶数根的数字。对偶数根数的迭代将随后导致值的减少。由于奇根迭代过程中的值的增加是有界的，我得出结论，Collatz迭代不能转向无穷大。由于Collatz迭代生成的序列是无限的，并且数字的值不会转向无穷大，因此它必须循环和/或收敛。我假设任何循环都必须发生交替类型的迭代：例如，奇数根迭代导致数值增加，然后是偶数根迭代导致数值减少。我在这里表明，对于简单类型的周期，奇数根或偶数根数的有效值仅在一个狭窄的间隙中找到，该间隙随着迭代次数的增加而关闭。我进一步推广到所有类型的奇-偶和偶-奇迭代。鉴于以前的工作已经表明，只有非常大的非平凡循环是可行的Collatz迭代过程中，这项研究表明，大的简单循环的概率很低，导致我们的结论最有可能的循环以外的平凡循环是不可能的Collatz迭代过程中。
math.GM
关于Collatz猜想
On Collatz Conjecture
Collatz猜想可以表述为：使用约化Collatz函数$C(n) = (3n+1)/2^x$，其中$2^x$是2的最大乘方，其整除$3n+1$，任何奇数$n$最终将在$j$迭代中达到1，使得$C^j(n) = 1$。本文使用既约Collatz函数和逆既约Collatz函数。我们提出奇数作为分数的总和，我们称之为“分数和记法”及其推广形式“中间分数和记法”，我们用它来提出一个公式，以获得更大的Collatz序列长度的数字。我们给出了一个公式来获得序列长度为2的数。我们证明了如果$n$的轨迹是循环的，并且存在奇数个$m$使得$C^j(m) = 1$，$n$必须是形式$3^j\times2k + 1, k \in \mathbb{N}_0$，其中$C^j(n) = n$。我们使用中间分数和符号来证明一个简单的证明，即除了平凡循环两次之外，没有长度为2的循环。然后，我们与反向约化Collatz函数，并提出了一个修改后的版本，它使我们能够确定模6的结果。我们提出了一个程序来生成一个Collatz图使用反向约化Collatz函数。
math.GM
Collatz序列收敛性的一个窗口
A window to the Convergence of a Collatz Sequence
本文将Collatz序列的收敛问题归结为可被3整除的奇数Collatz序列的收敛问题。本文给出了Collatz序列不单调增加的一个初等证明。我们定义了一个唯一的反向Collatz序列，并推测该序列总是收敛于$3$的倍数。
math.GM
利用二进制串证明考拉兹猜想
Using binary string to prove the Collatz conjecture
本文通过完全二叉有向树和二进制串表示自然数，将考拉兹函数迭代转化为代数公式并证明其序列最终周期收敛到1，从而验证考拉兹猜想。
math.GM
关于Collatz猜想的证明
About the proof of the Collatz conjecture
我想证明Collatz猜想的一种可能性，也被称为3n+1猜想，对于任何自然数N。为此，我将分析限制在每一个自然奇数的直接奇数跟随者上，并显示已经由一个到达的数与它们的跟随者之间的联系，以找到在所有范围上的递归[1，N_{i} ]，以证明猜想。
math.GM
Collatz猜想的证明
Proof of the Collatz Conjecture
Collatz猜想是最著名的猜想之一，因为它的简单形式，在80多年前被提出。本文对该猜想提出的问题给出了肯定的回答。在第一节中，我们提出了一些定义，稍后在证明中使用。在第二节中，我们发现了一个特征函数的公式。此公式描述了基于Collatz序列的每个数字所采用的路径的功能。在最后一节中，我们使用特征函数证明了每个数最终都将达到1。
math.GM
一个简化的前向Collatz算法：二进制字符串如何在3x+1下改变其长度
A Reduced Forward Collatz Algorithm: How Binary Strings Change Their Length Under 3x+1
我们开发了一种算法，很容易从一个奇数到下一个奇数在二进制表示的减少前Collatz映射（锡拉丘兹函数）。该算法根据二进制数字的模式指示奇数何时可以增长或收缩为下一个奇数。该算法也被用来提供一个更简单的方法来确定在二进制字符串长度的变化比文献中发现的减少地图。因此，对奇数的二进制数位的检查可确定后续奇数的二进制数位的数目。我们还展示了一些简单的结果，什么最小的数字可能是一个反例的Collatz猜想。
math.GM
Collatz猜想与Mersenne素数的关系
On the relationship between the Collatz conjecture and Mersenne prime numbers
本文研究的目的是说明如何借助于特殊矩阵得到素数的一个必要判据。我特别感兴趣的是这些矩阵及其模式，结构和对称性的实证研究。矩阵又依赖于Collatz算法3n+1的扩展。
math.GM
Collatz收敛是一个Hydra博弈
Collatz convergence is a Hydra game
众所周知，Collatz动态生成自然数上的复杂序列，其通货膨胀倾向仍然是不可预测的，它可以用于为加密货币行业生成可靠的工作证明算法。在这里，我们建立了一个特设等效的模块化算术Collatz序列自动演示收敛的无限抖动的数字，基于五个算术规则，我们证明适用于整个Collatz动态，我们进一步模拟，以深入了解其图形几何和计算特性。然后，我们正式证明这些规则定义了一个自动机，该自动机在未定数的图上玩Hydra游戏，我们还证明它嵌入在24 N-7中，证明在ZFC中Collatz猜想是正确的，然后给出一个有希望的方向，在Peano算术中也证明它。
math.GM
Collatz猜想的验证：一种基于整数二进制表示的算法
Verification of Collatz Conjecture: An algorithmic approach based on binary representation of integers
洛塔尔Collatz曾在1937年提出了一个猜想，在数论所谓Collatz猜想。直到今天，还没有证据证明或反驳这个猜想。在本文中，我们提出了一种基于整数位表示的Collatz猜想的算法验证方法。该方案在所谓的Collatz序列中既没有遇到任何循环，也没有序列无限增长。实验结果表明，Collatz序列从给定的整数开始，振荡有限次，永远不会超过1.7倍（比例因子）的大小的起始整数，并最终达到值1。实验结果有力地证明了猜想的正确性，并为理论证明铺平了道路。
math.GM
Collatz猜想中的可视模式及无非平凡圈的证明
The Visual Pattern in the Collatz Conjecture and Proof of No Non-Trivial Cycles
我们提出了长期寻求的视觉模式的Collatz问题的援助的对数螺旋。使用这个新发现的模式，我们表明，Collatz问题是通过Jacobsthal数素数。然后，我们证明，没有非平凡的周期存在的螺旋和扩展的Collatz问题。
math.GM
Collatz序列的收敛性：Collatz猜想的证明
Convergence of Collatz Sequences: Procedure to Prove the Collatz Conjecture
由于Collatz猜想尚待证明，本文探讨了一种完整证明的方法。从概念上讲，该过程依赖于预先证明的序列数据，并且该方法以顺序向前的方式（n的升序）确认所有自然数的Collatz序列的收敛。因此，在开始证明序列对于数n的收敛性之前，已经证明了所有小于n的数都是收敛的。最初，探索了问题的本质，并解释了一些显着性质的原因。然后，通过对最初几个层序数据的模式分析，提出了预证实层序的概念。然后，四重奏的起源，随后，八重奏模式进行了描述。“奇偶”组合和（8*v + c）的概念清楚地说明了评价收敛性的整个过程。然后向前，个别的一组数字进行了分析，并达到收敛确认。计算的过程涉及梳理的概念。最后，将所有集合汇编在一起将给出完整的证明。在此，通过示例和当前计算状态（$>$ 99\%已完成）来呈现计算过程，而繁重的计算正在进行中（对于剩余的$<$ 1\%）。期望PSO数列表的长度是有限的，并且所有的数都将收敛。
math.GM
Collatz 3n+1猜想是不可证明的
The Collatz 3n+1 Conjecture is Unprovable
在本文中，我们证明了Collatz 3n+1猜想的任何证明必须有无限多行，因此，没有正式的证明是可能的。
math.GM
Collatz 3x +1和广义px + q问题中非平凡环大小的新下界
New lower bounds for the size of a non-trivial loop in the Collatz 3x+1 and generalized px+q problem
在Collatz 3x +1问题中，有三种可能性：从任何正数开始，我们要么到达平凡循环（1，4，2），要么结束于非平凡循环，要么直到无穷大。在本文中，我们将证明，如果一个非平凡的循环有m个奇数存在，那么它的最小奇数是有界的一个函数的m。我们还将使用该界限来计算存在非平凡循环所需的最少奇数元素数。并给出了px + q问题的广义界.
math.GM
在3n+1/Collatz过程中达到较小数字的最小步骤
On the Bounds of Stopping and Cycle Numbers in the Collatz Process
研究通过递归方法分析Collatz迭代的停止时间和循环结构，证明了特定模4整数的唯一性并推导了新界限，表明无限序列中F_q(m)/m趋近于1，但有限序列无法达到相等。
math.GM
Collatz序列奇偶向量的示性数与特征方程
Characteristic numbers and characteristic equations of parity vectors of Collatz sequences
本文研究了Collatz序列（有限长和无限长）的奇偶向量的特征。这样的表征导致确定几个数字（整数或非整数），我们称之为给定奇偶校验向量的示性数。一些示性数通过可被称为所考虑的奇偶向量的特征方程的方程链接在一起。如果有限长度n的奇偶向量v包含无限长度的奇偶向量V的前n项，则v的所有示性数被认为是无限向量V的n阶示性数。当n趋于无穷大时，n阶示性数的极限构成无限向量V的绝对示性数，并且它们允许确定其行为和性质。本文从奇偶向量的示性数出发，研究了无穷长奇偶向量的性质。建立了Collatz序列的首项与其奇偶向量之间的关系。最后，基于示性数，我们给出了发散序列存在和不存在的一些条件。
math.GM
句柄、钩子和场景：对Collatz猜想的新认识
Handles, Hooks, and Scenarios: A fresh Look at the Collatz Conjecture
给出了Collatz猜想的一种运算方法。场景被定义为字符串“s”（代表“spike”）和“d”（代表“down”），它们象征着连接两个奇数（起始数和结束数）的Collatz级数中的Collatz运算（3 m +1）/2和m/2。它表明，一个场景确定唯一的四个整数，称为startperiod，startphase，endperiod，和endphase，使startnumber = startperiod x k减去startphase，和endnumber = endperiod x k减去endphase，其中k是任何自然数。因此，任何场景都可以实现无限次，每次实现都有明确定义的startnumber和endnumber。它显示了如何计算给定情景的期间和阶段。这些结果被用来证明Collatz级数中的任何奇（偶）数与可被3整除的奇数的距离小于8（7）（“上”或“下”）步。它们也用于Collatz系列的构建，这些系列表现出规定的规则图形模式。最后，讨论了目前工作对非平凡圈问题的意义。
math.GM
关于科拉茨问题的解法
On the solution of the Collatz problem
Zhejiang University（浙江大学）
本文通过构造特定序列证明了科拉茨问题的解法，即所有奇数经过特定变换后最终都会回到1。
math.GM
Collatz猜想成为定理
Collatz conjecture becomes theorem
UKSW University, Warsaw（华沙英国圣三一大学）；Dombrova Research Institute of Informatics（东布罗瓦信息学研究所）
本文证明了Collatz猜想的终止性质，并指出其在初等数论中无法被证明。
cs.LOmath.GM
关于与Collatz猜想相关的上升和下降运算的模算术研究
Modular Arithmetic Study on Ascending and Descending Operations Related with Collatz Conjecture
本文基于Collatz猜想研究数字序列的上升与下降运算，证明了下降序列的唯一性与终止条件，并利用模算术揭示了奇数序列的生成模式。
math.GM
利用$2^{j}k+x$数系证明考拉兹猜想的观察
Observations towards a proof of the Collatz conjecture using $2^{j}k+x$ number series
本文聚焦考拉兹猜想，通过分析具有特定性质和周期的$2^{j}k+x$数系序列，论证其存在性与规则性，探讨无限循环特征及单一闭合循环可能，为猜想证明提供结构化思路。
math.GM
科拉兹主题变奏曲
Variations on a Theme of Collatz
考虑根据以下简单规则从正整数$n_{\ell }$生成新的正整数$n_{\ell +1}$的递归关系：如果整数$n_{\ell }$是奇数，则为$n_{\ell +1}=3n_{\ell }+1$ ;如果整数$n_{\ell }$是偶数，则为$n_{\ell +1}=n_{\ell }/2$。所谓的Collatz猜想指出，从任何正整数$N$开始，由这些规则的持续应用所表征的递归最终在循环$4,$ $2,1$中结束。这个猜想通常被认为是正确的（基于广泛的数值检验），但它尚未被证明。在本文中--基于Collatz猜想确实成立的假设--我们提出了它的一个相当简单的扩展，它包含了将所有自然数分成$3$不相交类的可能性，我们对每个类进行猜想--基于（不是很广泛）数字检查-- $1/3$的所有自然数属于;或者，在某种程度上等价于$2$不相交类，我们猜想所有自然数的$1/3$和$2/3$分别属于这些不相交类。
math.GM
关于Collatz猜想的注记
Note on Collatz conjecture
本文证明了当 $n \to \infty$ 时，若 $[1,2^n]$ 满足Collatz猜想，则 $[2^n+1,2^{n+1}]$ 内几乎所有的整数也满足该猜想，并探讨了特定整数集 $p\operatorname{-}C$ 的分布与下界计算。
math.GM
关于Collatz一般问题$qn+1$
On the Collatz general problem $qn+1$
研究了广义Collatz问题$qn+1$（$q$ odd）.作为原始$3n+1$问题的自然推广，它由算术类型的离散动力系统组成。利用数论和动力系统的标准方法，建立了一般性质，例如每个$q$存在多个周期序列。特别地，当$q$是梅森数$q=2^p-1$时，只存在一个这样的循环，称为平凡循环。基于概率模型的进一步分析表明，对于$q=3$的所有序列的渐近行为总是收敛的，而对于$q\geq 5$的序列的渐近行为是发散的几乎所有的数字（对于一组自然密度1）。这导致的结论是，所谓的Collatz猜想是正确的，而$q=3$是一个非常特殊的情况下，在其他（克兰德尔猜想）。事实上，它是澄清，一般问题$qn+1$是不可判定的。
math.GM
使用Collatz类问题和Quibic Duffing的某些序列的惊人行为和向混沌的过渡
Amazing behavior and transition to chaos of some sequences using Collatz like problems and Quibic duffing
本文利用Collatze类问题和解析数论及动力系统中的一些先进理论，研究了受驱动的五次Duffing方程，从而预测了平衡点附近的极限环的数目，并利用Collatze类问题序列发展了阻尼驱动系统中混沌抑制的理论方法。给出了有关该序列行为的一些新结果。
math.DSmath.GMnlin.CD
$3n + 3^k$ 问题
$3n + 3^k$ Problem
Brno University of Technology（布尔诺理工大学）
本文将Collatz问题推广为$3n + 3^k$问题，证明该序列收敛到经过$3^k$的循环，且其迭代序列与Collatz函数迭代序列相关联。
math.GM
作为自守Cayley着色图的Collatz函数：$an+b$猜想的可判定性，$3n+1$猜想的证明
Collatz/Bařina a$n$+b conjecture proofs by 16/64: Cayley a$n$+b tree not Cantor-Gödel-Conway-Wolfram undecidable
Vrije Universiteit Amsterdam, The Network Institute（阿姆斯特丹自由大学，网络研究所）；Columbia University, Columbia Business School（哥伦比亚大学，哥伦比亚商学院）；Columbia University, Department of Genetics and Development（哥伦比亚大学，遗传与发展系）
将Collatz图转换为3-正则自守Cayley着色图及4-正则Middle Pages图，利用欧拉回路证明了$3n+1$猜想，并给出了$an+b$猜想的可判定性准则。
math.GM
数环上 Collatz 型映射的几乎有界性：基于阿基米德方法
Almost-Boundedness of Collatz-Type Maps on Number Rings via Archimedean Methods
UCLA（加州大学洛杉矶分校）；Stanford（斯坦福大学）
本文利用阿基米德方法，将 Tao 关于 Collatz 映射的几乎有界性结果推广到数环上的一大类 Collatz 型映射（p-Hydras），在维度约束下证明了类似结论，并包含 Tao 原始结果作为特例。
math.GM
Collatz猜想与非阿基米德谱理论——第二部分——$(p,q)$-进傅里叶分析与Wiener陶伯型定理
The Collatz Conjecture & Non-Archimedean Spectral Theory -- Part II -- $\left(p,q\right)$-Adic Fourier Analysis and Wiener's Tauberian Theorem
University of Southern California（南加州大学）
本文提出$(p,q)$-进傅里叶分析，并证明Wiener陶伯型定理的$(p,q)$-进推广，建立测度平移张成稠密性与Radon-Nikodym导数非零的等价关系。
math.GM
康托对康托
Cantor versus Cantor
本文考察了将康托尔关于实数集的不可数性质的两个论点扩展到其真可数子集之一：有理数集的可能性。本文证明，除非满足一定的限制条件，这两种扩展是可能的。因此，证明这些条件在康托的超限集合理论中实际上是满足的是必不可少的。否则这个理论就不一致了。
math.GM
