A window to the Convergence of a Collatz Sequence
本文将Collatz序列的收敛问题归结为可被3整除的奇数Collatz序列的收敛问题。本文给出了Collatz序列不单调增加的一个初等证明。我们定义了一个唯一的反向Collatz序列，并推测该序列总是收敛于$3$的倍数。
2015-10-01 math.GM
The sequence of Collatz functions, exceptionality of the 3n+1 function and the notion of Collatz generalized Matrix
在本文中，我们定义了一个非常重要的函数序列，这个序列中的所有函数都表现出与Collatz函数非常接近的行为。对这些函数的研究使我们能够获得关于Collatz猜想的非常有趣的结果，更确切地说，关于这个问题的推广，Collatz函数的性质，关于Collatz猜想的陈述，我们证明了这个猜想可以对一个井上的每个函数进行陈述-本文研究并证明了Z的一个确定子集以及其它与Collatz序列的行为有关的有趣性质。
2021-07-06 math.GM
The Collatz problem (a*q+-1,a=1,3,5,...) from the point of view of transformations of Jacobsthal numbers
本文从Jacobsthal数变换角度研究一般aq±1函数的Collatz问题，揭示Collatz轨迹沿Jacobsthal树逆方向形成，并证明因子为3和5时有限迭代无法到达单位元素。
2023-08-07 math.GM
A Graph Theoretical Approach to the Collatz Problem
Andrei等人在2000年证明了Collatz函数的图$\boldsymbol{\mathrm{C}}$在初始循环后以根$8$开始是一棵无限二叉树$\boldsymbol{A}(8)$。根据他们的结果，他们给出了Collatz猜想的一个新版本：顶点集$V(\boldsymbol{A}(8))=\mathbb{Z}^+$。本文用消除了初始环的逆Collatz函数$\overrightarrow{C}$作为Collatz图${\boldsymbol{\mathrm{C}}}_{\overrightarrow{C}}$的生成函数。该图可以被认为是源于具有奇数起始值的2的幂的序列的一个森林和基于其中两个Collatz序列相遇的分支值$y=6k+4$的第二森林的联合。证明了图${\boldsymbol{\mathrm{C}}}_{\overrightarrow{C}}(1)$是一个具有顶点集$V({\boldsymbol{A}}_{\overrightarrow{C}}(1))=\mathbb{Z}^+$的无限二叉树$\boldsymbol{A}_{\overrightarrow{C}}$。
2021-07-29 math.GM
New lower bounds for the size of a non-trivial loop in the Collatz 3x+1 and generalized px+q problem
在Collatz 3x +1问题中，有三种可能性：从任何正数开始，我们要么到达平凡循环（1，4，2），要么结束于非平凡循环，要么直到无穷大。在本文中，我们将证明，如果一个非平凡的循环有m个奇数存在，那么它的最小奇数是有界的一个函数的m。我们还将使用该界限来计算存在非平凡循环所需的最少奇数元素数。并给出了px + q问题的广义界.
2009-08-09 math.GM
A Proof for the Collatz Conjecture
众所周知，下面的Collatz猜想是数学中未解决的问题之一。Collatz猜想：对于任何正整数$n>1$，以下递归算法将通过有限步收敛到1。A）如果$n$是偶数，则$n/2 \to n$，B）如果$n$是奇数，则$3n+1 \to n$。利用初等数学归纳法证明了Collatz猜想。
2022-08-31 math.GM
On the solution of the Collatz problem
Zhejiang University（浙江大学）
本文通过构造特定序列证明了科拉茨问题的解法，即所有奇数经过特定变换后最终都会回到1。
2025-12-29 math.GM
The theory of the Collatz process and the method of dynamical balls
African Institute for Mathematical science（非洲数学科学研究所）
本文提出Collatz过程的理论与动态球方法，用于研究Collatz猜想及其与Sophie Germain素数分布的联系。
2026-03-09 math.GM
Recurrence Structures, Finite State Decomposition, and Statistical Bias in Collatz Path Sequences
本文研究了正整数n的Collatz路径序列结构，通过模4分类证明Collatz猜想等价于验证模4余3整数的收敛性，并通过模9的六种递归形式分析路径序列循环，揭示了统计偏差现象。
2026-03-28 math.GM
Infinity increasing steps on the Collatz sequences
本文从数字序列树视角研究Collatz猜想，数值发现奇数分布呈幂律增长，并解析构造出一组可无限递增的奇数序列，为理解Collatz动力学提供新证据。
2023-05-10 math.GM
Complete Proof of the Collatz Conjecture
\textit{Collatz's conjecture}是数学中一个未解决的问题。1973年以Lothar Collatz命名。该猜想也被称为叙鲁古塞猜想或问题。取任意正整数$ n $。如果$ n $是偶数，则将其除以$ 2 $，否则执行“三倍加一”并获得$ 3n+1 $。猜想是，对于所有的数，这个过程收敛于1。在模算术记法中，定义函数$ f $如下：\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} \frac{n}{2} &if & n\equiv 0 \pmod 2\\ 3n+1& if& n\equiv 1 \pmod 2. \end{array}\right. \]在本文中，我们给出了由算术的余式定理定义的许多类型的集合的Collatz猜想的证明。这些集合是在mods $6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108$中定义的，我们只使用奇数正整数。不难证明，对于正整数$m$的任何模$12m, $，同样的结果都是正确的。
2021-02-11 math.GM
The relationship between stopping time and number of odd terms in Collatz sequences
对于给定自然数$N$的Collatz序列是通过重复应用映射$N$（如果$N$是奇数）和$N$（如果$N$是偶数）来生成的，所述映射$N$ $\rightarrow$ $3N+1$和$N$ $\rightarrow$ $N/2$。数学中一个难以捉摸的开放问题是是否所有这样的序列都以1结尾（Collatz猜想），另一种可能性是循环或无界序列。在本文中，我们提出了一个公式的停时和数量的奇项Collatz序列，数值计算和测试的所有数字$10^7$和随机数高达$2^{128.000}$。这一结果是作为一个猜想提出的，并希望它可能有助于构造Collatz猜想的证明。
2019-11-06 math.GM
On the Foundations of the Theory of a new Collatz Based Number System
这里列出的是一些基本理论，可以被视为新发现的与Collatz猜想（也称为3x+1问题）有关的奇数元数学。最初的动机是发明一种新的优化整数分解方法的要求，这篇基础论文主要集中在一个新的理论框架（模式或蓝图）的基础，形式化和介绍基于Collatz数系统。所提出的框架是基于通过迭代分析和逆向工程（即，通过手工和数学计算）的许多大的整数子集。整理这些分析尝试的基本结果，导致建立了一个完全确定性的模型，广义Collatz为基础的数字系统，从根本上说，奇怪的是与非混沌模式。建议的Collatz数模式包括许多隐藏模式的Collatz序列尚未在文献中报道的视觉和理论表示。这种新的理论方法可以被看作是当代Collatz猜想研究的一种新方法，它可以与数论和离散数学中许多其他数学定理的证明相联系。
2015-03-18 math.GM
Convergence of Collatz Sequences: Procedure to Prove the Collatz Conjecture
由于Collatz猜想尚待证明，本文探讨了一种完整证明的方法。从概念上讲，该过程依赖于预先证明的序列数据，并且该方法以顺序向前的方式（n的升序）确认所有自然数的Collatz序列的收敛。因此，在开始证明序列对于数n的收敛性之前，已经证明了所有小于n的数都是收敛的。最初，探索了问题的本质，并解释了一些显着性质的原因。然后，通过对最初几个层序数据的模式分析，提出了预证实层序的概念。然后，四重奏的起源，随后，八重奏模式进行了描述。“奇偶”组合和（8*v + c）的概念清楚地说明了评价收敛性的整个过程。然后向前，个别的一组数字进行了分析，并达到收敛确认。计算的过程涉及梳理的概念。最后，将所有集合汇编在一起将给出完整的证明。在此，通过示例和当前计算状态（$>$ 99\%已完成）来呈现计算过程，而繁重的计算正在进行中（对于剩余的$<$ 1\%）。期望PSO数列表的长度是有限的，并且所有的数都将收敛。
2021-03-03 math.GM
Amazing behavior and transition to chaos of some sequences using Collatz like problems and Quibic duffing
本文利用Collatze类问题和解析数论及动力系统中的一些先进理论，研究了受驱动的五次Duffing方程，从而预测了平衡点附近的极限环的数目，并利用Collatze类问题序列发展了阻尼驱动系统中混沌抑制的理论方法。给出了有关该序列行为的一些新结果。
2022-12-15 math.DS math.GM nlin.CD
Observations towards a proof of the Collatz conjecture using $2^{j}k+x$ number series
本文聚焦考拉兹猜想，通过分析具有特定性质和周期的$2^{j}k+x$数系序列，论证其存在性与规则性，探讨无限循环特征及单一闭合循环可能，为猜想证明提供结构化思路。
2025-02-13 math.GM
On the intimate association between even binary palindromic words and the Collatz-Hailstone iterations
本文通过尾随零序列的解析表达式将 $3x+1$ 问题重新表述为具有唯一不动点的单分支公式，并揭示该公式与固定偶长度偶二进制回文反射算子不动点排序序列的离散导数一致，同时给出若干等价表述。
2024-07-29 math.GM
Modular Arithmetic Study on Ascending and Descending Operations Related with Collatz Conjecture
本文基于Collatz猜想研究数字序列的上升与下降运算，证明了下降序列的唯一性与终止条件，并利用模算术揭示了奇数序列的生成模式。
2023-11-17 math.GM
$3n + 3^k$ Problem
Brno University of Technology（布尔诺理工大学）
本文将Collatz问题推广为$3n + 3^k$问题，证明该序列收敛到经过$3^k$的循环，且其迭代序列与Collatz函数迭代序列相关联。
2026-02-05 math.GM
Convergence of some perturbed sequences of rational powers and application to syracuse problem
有理幂序列\left（n \left（\frac{p}{q} \right）^{n} \right）_{n \ge 0}，特别是在\frac{p}{q} = \frac{3}{2}的情况下，与许多重要的组合数学和数论问题有联系，例如Syracuse，Z-数和Waring问题。从这样的问题的猜测是众所周知的是棘手的，只有少数部分结果存在到现在。本文研究了一族有理幂扰动序列，称为“分支序列”，其形式为\left（S_{n} = \left（n + n）\right）\left（\frac{p^{n}}{q^{n+e_{n}}} \right）\right）_{n \ge 0}.在假设这类序列是确定的并且它们具有受控正扰动的情况下，我们建立了收敛结果：min_{n\ge 0}（S_{n}）\le q^{2}。作为一个应用程序，我们表明，锡拉丘兹序列是“分支序列”的收敛所需的所有条件，因此这证实了Collatz猜想。关键词：有理幂序列，Syracuse猜想，Collatz问题，3x+1问题。
2022-09-22 math.GM
The asymptotic formula in the Goldbach binary problem
用三角和的方法解决了哥德巴赫的二元问题。对自然数N中的每一个偶数，求出了两个简单奇数之和所构成的偶数的分布的渐近公式。
2015-05-29 math.GM
