正整数的Collatz问题
Collatz Problem of Positive Integers
摘要：
由于引理2.4上的一个严重错误，本文已被作者撤回。
英文摘要：
This paper has been withdrawn by the author due to a serious mistake on Lemma 2.4.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Collatz猜想的验证：一种基于整数二进制表示的算法
Verification of Collatz Conjecture: An algorithmic approach based on binary representation of integers
洛塔尔Collatz曾在1937年提出了一个猜想，在数论所谓Collatz猜想。直到今天，还没有证据证明或反驳这个猜想。在本文中，我们提出了一种基于整数位表示的Collatz猜想的算法验证方法。该方案在所谓的Collatz序列中既没有遇到任何循环，也没有序列无限增长。实验结果表明，Collatz序列从给定的整数开始，振荡有限次，永远不会超过1.7倍（比例因子）的大小的起始整数，并最终达到值1。实验结果有力地证明了猜想的正确性，并为理论证明铺平了道路。
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Collatz猜想：结构化方法的阐述与证明
Collatz Conjecture: Exposition and Proof Through A Structured Approach
利用奇数整数，根据它们所起的作用，将它们分为起始整数、中间整数和终结整数，给出了Collatz猜想的一种结构化方法.表达式4x+1被用作一种工具，以揭示导致我们证明猜想的所有隐藏和重要特征。的混合性质的迭代的解决表明，Collatz迭代的一半的所有奇数的形式为4m+3，平均增加了三倍的值的奇数，用于开始，而那些4m+1的迭代，平均减少了四分之一。此外，提供表达式以生成所有的奇数集合，其中每个集合中的所有整数的Collatz数是形式为6m+1或6m+5的整数。Collatz网（树）的重要性变得显而易见，因为它包含所有Collatz轨迹。
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Collatz序列中的模
Integer patterns in Collatz sequences
Collatz猜想断言，重复迭代$f(x) = (3x + 1)/2^{a(x)}$，其中$a(x)$是$2^{a(x)}$恰好整除$3x+1$的最高指数，对于任何奇数$x$，总是导致$1$。在这里，我们提出了一个树形图构造的$g(x) = (2^{e(x)}x - 1)/3$，这是逆$f(x)$和$x \not \equiv [0]_3$和$e(x)$的迭代是任何正整数满足$2^{e(x)}x - 1 \equiv [0]_3$，与$[0]_3$表示$0\pmod{3}$。从由此产生的树形推断的整数模式提供了新的见解证明的有效性的猜想。
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科拉茨猜想：它是假的吗？
Collatz Conjecture: Is It False?
很长一段时间以来，Collatz猜想一直被认为是正确的，尽管迄今为止的所有努力都没有得到正式的证明。在这篇文章中，证据表明这种假设是不正确的。通过分析各种Collatz序列的停时，出现了一种模式，表明存在非空整数集的停时大于任何给定的整数。这意味着存在具有非有限停时的整数的无限集，从而表明该猜想是错误的。此外，构造了一个简单的算法，找到整数与越来越大的停时。这样的算法不会停止，进一步支持了猜想是错误的结论。
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Collatz猜想的一个新的树拓扑证明
A Proof of Collatz Conjecture Based on a New Tree Topology
考虑一个有限的正整数。如果它是偶数，除以2，如果它是奇数，乘以3，再加1。这将给你一个新的整数。按照新整数的过程，您将收到另一个整数。重复这些步骤，重复几次后，你最终会达到1。Collatz猜想指出，在上述过程中的最后一个整数将永远是1，无论它以什么整数开始。虽然猜想的过程很容易描述，但其正确性尚未得到证实。本文通过引入树的拓扑结构证明了该猜想，给出了树的拓扑结构，证明了所有整数都唯一分布在树上，且不存在除1-2-1以外的圈。我们还看到每个轨迹都以1结尾。
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Collatz动力学按剩余类有规律地划分
Collatz Dynamics is Partitioned by Residue Class Regularly
本文提出等价于Collatz猜想的约化Collatz猜想，证明正整数的剩余类在约化动力学中按I/O规则二分，为最终证明提供结构基础。
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Collatz图变体中循环的观察
Observations on cycles in a variant of the Collatz Graph
本文研究Collatz图的一个变体，允许3x+1操作应用于奇偶数，证明宽松Collatz函数的性质，揭示元组的唯一分解幺半群结构及高维几何解释，为Collatz猜想无循环提供线索。
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新Collatz数系的理论基础
On the Foundations of the Theory of a new Collatz Based Number System
这里列出的是一些基本理论，可以被视为新发现的与Collatz猜想（也称为3x+1问题）有关的奇数元数学。最初的动机是发明一种新的优化整数分解方法的要求，这篇基础论文主要集中在一个新的理论框架（模式或蓝图）的基础，形式化和介绍基于Collatz数系统。所提出的框架是基于通过迭代分析和逆向工程（即，通过手工和数学计算）的许多大的整数子集。整理这些分析尝试的基本结果，导致建立了一个完全确定性的模型，广义Collatz为基础的数字系统，从根本上说，奇怪的是与非混沌模式。建议的Collatz数模式包括许多隐藏模式的Collatz序列尚未在文献中报道的视觉和理论表示。这种新的理论方法可以被看作是当代Collatz猜想研究的一种新方法，它可以与数论和离散数学中许多其他数学定理的证明相联系。
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句柄、钩子和场景：对Collatz猜想的新认识
Handles, Hooks, and Scenarios: A fresh Look at the Collatz Conjecture
给出了Collatz猜想的一种运算方法。场景被定义为字符串“s”（代表“spike”）和“d”（代表“down”），它们象征着连接两个奇数（起始数和结束数）的Collatz级数中的Collatz运算（3 m +1）/2和m/2。它表明，一个场景确定唯一的四个整数，称为startperiod，startphase，endperiod，和endphase，使startnumber = startperiod x k减去startphase，和endnumber = endperiod x k减去endphase，其中k是任何自然数。因此，任何场景都可以实现无限次，每次实现都有明确定义的startnumber和endnumber。它显示了如何计算给定情景的期间和阶段。这些结果被用来证明Collatz级数中的任何奇（偶）数与可被3整除的奇数的距离小于8（7）（“上”或“下”）步。它们也用于Collatz系列的构建，这些系列表现出规定的规则图形模式。最后，讨论了目前工作对非平凡圈问题的意义。
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科拉兹主题变奏曲
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考虑根据以下简单规则从正整数$n_{\ell }$生成新的正整数$n_{\ell +1}$的递归关系：如果整数$n_{\ell }$是奇数，则为$n_{\ell +1}=3n_{\ell }+1$ ;如果整数$n_{\ell }$是偶数，则为$n_{\ell +1}=n_{\ell }/2$。所谓的Collatz猜想指出，从任何正整数$N$开始，由这些规则的持续应用所表征的递归最终在循环$4,$ $2,1$中结束。这个猜想通常被认为是正确的（基于广泛的数值检验），但它尚未被证明。在本文中--基于Collatz猜想确实成立的假设--我们提出了它的一个相当简单的扩展，它包含了将所有自然数分成$3$不相交类的可能性，我们对每个类进行猜想--基于（不是很广泛）数字检查-- $1/3$的所有自然数属于;或者，在某种程度上等价于$2$不相交类，我们猜想所有自然数的$1/3$和$2/3$分别属于这些不相交类。
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Collatz猜想的一个证明
A Proof for the Collatz Conjecture
众所周知，下面的Collatz猜想是数学中未解决的问题之一。Collatz猜想：对于任何正整数$n>1$，以下递归算法将通过有限步收敛到1。A）如果$n$是偶数，则$n/2 \to n$，B）如果$n$是奇数，则$3n+1 \to n$。利用初等数学归纳法证明了Collatz猜想。
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Collatz猜想的完全证明
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\textit{Collatz's conjecture}是数学中一个未解决的问题。1973年以Lothar Collatz命名。该猜想也被称为叙鲁古塞猜想或问题。取任意正整数$ n $。如果$ n $是偶数，则将其除以$ 2 $，否则执行“三倍加一”并获得$ 3n+1 $。猜想是，对于所有的数，这个过程收敛于1。在模算术记法中，定义函数$ f $如下：\[f(x)= \left\{ \begin{array}{lll} \frac{n}{2} &if & n\equiv 0 \pmod 2\\ 3n+1& if& n\equiv 1 \pmod 2. \end{array}\right. \]在本文中，我们给出了由算术的余式定理定义的许多类型的集合的Collatz猜想的证明。这些集合是在mods $6, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108$中定义的，我们只使用奇数正整数。不难证明，对于正整数$m$的任何模$12m, $，同样的结果都是正确的。
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关于某些Collatz轨线的第一合并点的分布
On the Distribution of the First Point of Coalescence for some Collatz Trajectories
本文对Collatz函数的某些轨迹进行了数值计算。具体来说，我通过一个复杂的算法来评估每个整数$n\equiv 0 (\bmod{2})$和$n\equiv 2(\bmod{3})$的聚结点，该算法已经被开发用于测试任何不同的模数类。发现的数据表明，第一个聚并点的分布与某些指数型丢番图方程的解密切相关。然后，我证明了整数$n$和$3n+2$的第一个合并点似乎倾向于期望值$4/5n$。当算法被推到其峰值估计时，已经发现期望值开始偏离$4/5n$的初始估计。第一点的合并的整数$n$和$3n+2$出现根除从“一步一步”的观点，但从拓扑的角度来看，似乎是本地化的丢番图解决方案的一些特定的功能。
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约化 Collatz 动力学是周期性的，且周期等于 x/2 计数的 2 次幂
Reduced Collatz Dynamics is Periodical and the Period Equals 2 to the Power of the Count of x/2
本文证明约化 Collatz 动力学具有周期 P=2^L，其中 L 为 x/2 计算次数，从而可将约化动力学存在性推广到 x+nP，并据此支撑 Collatz 猜想。
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关于Collatz猜想的注记
Note on Collatz conjecture
本文证明了当 $n \to \infty$ 时，若 $[1,2^n]$ 满足Collatz猜想，则 $[2^n+1,2^{n+1}]$ 内几乎所有的整数也满足该猜想，并探讨了特定整数集 $p\operatorname{-}C$ 的分布与下界计算。
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Collatz过程的理论与动态球方法
The theory of the Collatz process and the method of dynamical balls
African Institute for Mathematical science（非洲数学科学研究所）
本文提出Collatz过程的理论与动态球方法，用于研究Collatz猜想及其与Sophie Germain素数分布的联系。
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Collatz序列中的悖论行为
Paradoxical behavior in Collatz sequences
本文研究了Collatz序列中奇数项比例与停止时间之间的关系，发现悖论性行为与Collatz猜想密切相关，并支持Terras的猜想。
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从Jacobsthal数变换角度看Collatz问题（a*q±1，a=1,3,5,...）
The Collatz problem (a*q+-1,a=1,3,5,...) from the point of view of transformations of Jacobsthal numbers
本文从Jacobsthal数变换角度研究一般aq±1函数的Collatz问题，揭示Collatz轨迹沿Jacobsthal树逆方向形成，并证明因子为3和5时有限迭代无法到达单位元素。
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Büchi算术中一类广义Collatz映射的可达性不可定义性
Non-Definability of Reachability in Büchi Arithmetic for a Family of Generalized Collatz Maps
University of Washington（华盛顿大学）
研究一类广义Collatz映射的可达性关系在Büchi算术中不可一阶定义，通过构造公式定义2的幂集并利用Cobham定理导出矛盾。
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Collatz 3x +1和广义px + q问题中非平凡环大小的新下界
New lower bounds for the size of a non-trivial loop in the Collatz 3x+1 and generalized px+q problem
在Collatz 3x +1问题中，有三种可能性：从任何正数开始，我们要么到达平凡循环（1，4，2），要么结束于非平凡循环，要么直到无穷大。在本文中，我们将证明，如果一个非平凡的循环有m个奇数存在，那么它的最小奇数是有界的一个函数的m。我们还将使用该界限来计算存在非平凡循环所需的最少奇数元素数。并给出了px + q问题的广义界.
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关于科拉茨问题的解法
On the solution of the Collatz problem
Zhejiang University（浙江大学）
本文通过构造特定序列证明了科拉茨问题的解法，即所有奇数经过特定变换后最终都会回到1。
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广义Collatz px+1映射的奇偶向量参数化的傅里叶分析
Fourier Analysis of the Parity-Vector Parameterization of the Generalized Collatz px+1 maps
本文针对广义Collatz px+1映射H_p，提出基于2进整数的特征函数参数化方法，推导其Lipschitz型估计与周期点性质，并通过Z2自嵌入结合傅里叶分析，得到特定奇偶向量对应的周期点绝对值的显式上界。
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$3n + 3^k$ 问题
$3n + 3^k$ Problem
Brno University of Technology（布尔诺理工大学）
本文将Collatz问题推广为$3n + 3^k$问题，证明该序列收敛到经过$3^k$的循环，且其迭代序列与Collatz函数迭代序列相关联。
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关于$3x+1$猜想的一个注记
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令$g$是从正整数集合到其自身的映射，定义如下：令$x$是正整数。如果$x$是奇数，则为$g(x)=3x+1$，如果$x$是偶数，则为$g(x)=x/2$。$3x+1$猜想，也称为Collatz猜想，陈述：对于任何正整数$x$，存在另一个正整数$m$，使得$x$在映射$g$下的$m$ -ε等于$1$，即$g^m(x)=1$。我们提供了一些与这个猜想有关的信息。
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数环上 Collatz 型映射的几乎有界性：基于阿基米德方法
Almost-Boundedness of Collatz-Type Maps on Number Rings via Archimedean Methods
UCLA（加州大学洛杉矶分校）；Stanford（斯坦福大学）
本文利用阿基米德方法，将 Tao 关于 Collatz 映射的几乎有界性结果推广到数环上的一大类 Collatz 型映射（p-Hydras），在维度约束下证明了类似结论，并包含 Tao 原始结果作为特例。
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关于表示为等差级数的正整数
On Positive Integers Represented as Arithmetic Series
本文的目的是探讨将正整数表示为其他正整数的和的可能性，并强调它们的乘法和加法性质之间的某些基本联系。特别地，我们将关注正整数作为最简单类型的等差级数的表示，即，或者作为连续奇正数的和，或者作为连续偶正数的和（两者都作为问题1处理），或者作为连续正整数的和（作为问题2处理）。
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关于两两相对互素正整数的Divisor和
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考虑了两两互素且乘积至多为$n$的正整数元组的个数。推广的$μ^{2}$，其中$μ$是默比乌斯函数是用来制定这个除数和，并建立一些身份。一个这样的恒等式是不超过$n$的无平方数的倒数的加权和。一些辅助数论函数的引入，制定这个总和。
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某些正整数概率分布的应用
Applications of certain probability distributions on positive integers
本研究旨在建模并研究文献[31]中函数的推广，其函数参数由文献[22]中的表示 $π_{\mathfrak p}$ 给出。
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