发表机构
UCLA; Stanford（加州大学洛杉矶分校; 斯坦福大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文利用阿基米德方法，将 Tao 关于 Collatz 映射的几乎有界性结果推广到数环上的一大类 Collatz 型映射（p-Hydras），在维度约束下证明了类似结论，并包含 Tao 原始结果作为特例。
AI 中文摘要
设 $p$ 为整数 $\geq2$，不一定是素数，并设 $K$ 为数域。2019 年，Tao 证明了在 Collatz 映射下，几乎所有正整数（在对数密度的意义下）都具有几乎有界的轨迹。本文将这一结果推广到作用于给定数域 $K$（在 $\mathbb{Q}$ 上维度为 $d$）的整数环 $\mathcal{O}_{K}$ 上的一个大类 Collatz 型映射（$p$-Hydras）。给定一个指数为 $p$ 的理想 $\Lambda\subseteq\mathcal{O}_{K}$，一个 $p$-Hydra 映射 $H:\mathcal{O}_{K}\rightarrow\mathcal{O}_{K}$ 是仿射线性映射族 $\left\{ H_{j}:K\rightarrow K\right\} _{j\in\mathcal{O}_{K}/\Lambda}$ 的集合，其形式为 $z\mapsto r_{j}z+c_{j}$，其中常数 $c_{j}\in K$，$r_{j}:K\rightarrow K$ 是可逆的 $\mathbb{Q}$-线性映射，使得映射 $1-r_{0}$ 可逆，并且 $H\left(z\right)$ 定义为 $H_{\left[z\right]_{\Lambda}}\left(z\right)$，其中 $\left[z\right]_{\Lambda}$ 是 $z$ 模 $\Lambda$ 的投影。我们证明，除了若干次要条件外，如果满足维度约束 $\left(p-1\right)^{2}\rho_{H}^{d}<1$，其中 $\rho_{H}=\prod_{j=0}^{p-1}\left\Vert r_{j}\right\Vert _{\textrm{Mink}}$ 是 $r_{j}$ 相对于 $K$ 的 Minkowski 嵌入的算子范数的乘积，则 Tao 的几乎有界性结果的直接类比成立。与 Tao 的原始论证不同，后者使用了 Syracuse 随机变量的 $3$-adic Fourier 衰减结果，我们的方法采用阿基米德风格的分析，并且不需要对我们的广义 Syracuse 随机变量进行任何 Fourier 衰减估计。我们的结果将 Tao 的原始结果作为特例包含在内。
英文摘要
Let $p$ be an integer $\geq2$, not necessarily prime, and let $K$ be a number field. In 2019, Tao showed that almost every positive integer (in the sense of logarithmic density) had an almost bounded trajectory under the Collatz map. In this paper, we generalize this result to a large class of Collatz-type maps ($p$-Hydras) acting on the ring of integers $\mathcal{O}_{K}$ of a given number field $K$ of dimension $d$ over $\mathbb{Q}$. Given an ideal $Λ\subseteq\mathcal{O}_{K}$ of index $p$, a $p$-Hydra map $H:\mathcal{O}_{K}\rightarrow\mathcal{O}_{K}$ is a collection of affine-linear maps $\left\{ H_{j}:K\rightarrow K\right\} _{j\in\mathcal{O}_{K}/Λ}$ of the form $z\mapsto r_{j}z+c_{j}$ for constants $c_{j}\in K$ and invertible $\mathbb{Q}$-linear maps $r_{j}:K\rightarrow K$ so that the map $1-r_{0}$ is invertible and so that $H\left(z\right)$ is defined to be $H_{\left[z\right]_Λ}\left(z\right)$, where $\left[z\right]_Λ$ is the projection of $z$ mod $Λ$. We show that the direct analogue of Tao's almost-boundedness result holds provided, in addition to several minor conditions, that the Dimension Constraint $\left(p-1\right)^{2}ρ_{H}^{d}<1$ is satisfied, where $ρ_{H}=\prod_{j=0}^{p-1}\left\Vert r_{j}\right\Vert _{\textrm{Mink}}$ is the product of the operator norms of the $r_{j}$s with respect to the Minkowski embedding of $K$. Unlike Tao's original argument, which uses a $3$-adic Fourier decay result for the Syracuse Random Variables, our approach employs analysis of an archimedean flavor, and does not require any Fourier decay estimates for our generalized Syracuse Random Variables. Our result includes Tao's original result as a special case.
