The non-conforming virtual element method for the Stokes equations
University of Leicester（莱斯特大学）；Los Alamos National Laboratory（洛斯阿拉莫斯国家实验室）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche (IMATI) – CNR（应用数学与信息技术研究所（IMATI）- 意大利国家研究委员会）
We present the non-conforming Virtual Element Method (VEM) for the numerical approximation of velocity and pressure in the steady Stokes problem. The pressure is approximated using discontinuous piecewise polynomials, while each component of the velocity is approximated using the nonconforming virtual element space. On each mesh element the local virtual space contains the space of polynomials of up to a given degree, plus suitable non-polynomial functions. The virtual element functions are implicitly defined as the solution of local Poisson problems with polynomial Neumann boundary conditions. As typical in VEM approaches, the explicit evaluation of the non-polynomial functions is not required. This approach makes it possible to construct nonconforming (virtual) spaces for any polynomial degree regardless of the parity, for two-and three-dimensional problems, and for meshes with very general polygonal and polyhedral elements. We show that the non-conforming VEM is inf-sup stable and establish optimal a priori error estimates for the velocity and pressure approximations. Numerical examples confirm the convergence analysis and the effectiveness of the method in providing high-order accurate approximations.
Multigrid methods for Hdiv-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations
Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (IWR), Universität Heidelberg（海德堡大学计算科学跨学科中心）；Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯农工大学数学系）
$hp$-Multigrid preconditioner for a divergence-conforming HDG scheme for the incompressible flow problems
在这项研究中，我们提出了一个$hp$ -多重网格预处理器的发散一致的HDG格式的广义Stokes和Navier-斯托克斯方程使用增广拉格朗日公式。我们的方法依赖于在二维和三维符合单纯形网格。$hp$ -多重网格算法是一种乘法辅助空间预处理器，采用最低阶空间作为辅助空间，我们开发了一种几何多重网格方法作为辅助空间求解器。对于广义Stokes问题，几何多重网格方法的关键成分是凝聚的最低阶发散一致的HDG格式和具有压力鲁棒处理的Crouzeix-Raviart离散化之间的等价性，如Linke和Merdon（Comput.方法应用机械工程，311（2016）），它允许几何多重网格理论直接应用于Crouzeix-Raviart离散化。数值实验表明，所提出的$hp$ -多重网格预处理器对网格步长和增广拉格朗日参数具有较强的鲁棒性，迭代次数对多项式阶数的增加不敏感.灵感来自Benzi & Olshanskii（SIAM J. Sci.计算：28（6）（2006））和Farrell等人（SIAM J. Sci.计算：41（5）（2019）），我们进一步测试了Navier-斯托克斯方程的发散一致HDG格式的预处理器。数值实验表明，随着雷诺数增加到$10^3$，预处理GMRes求解器的迭代次数略有增加。
Residual-based a posteriori error estimates for a conforming finite element discretization of the Navier-Stokes/Darcy coupled problem
Université d’Abomey-Calavi (UAC)（阿波美-卡拉维大学）；African Institute for Mathematical Sciences (AIMS)（非洲数学科学研究所）；Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques (IMSP)（数学与物理科学研究所）
Pressure-robust $hp$-a posteriori error estimates of $\boldsymbol{H}(\mathrm{div})$-conforming discontinuous Galerkin methods for the Stokes equations
Inria（法国国家数字技术研究院）；CERMICS, CNRS, ENPC, Institut Polytechnique de Paris（巴黎高等师范学院、国立信息与自动化研究所、巴黎理工学院）；School of Mathematical Sciences（东方理工学院数学科学学院）；Eastern Institute of Technology（香港城市大学数学系）；Department of Mathematics, City University of Hong Kong
Conforming and non-conforming virtual element methods for the biharmonic Steklov eigenvalue problem with minimum regularity
Indian Institute of Technology-Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校）；King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）；Università di Pavia（帕维亚大学）；IMATI, Consiglio Nazionale delle Ricerche（国家研究委员会IMATI研究所）；Universidad Técnica Federico Santa María（费德里科·圣塔玛丽亚技术大学）
On the Inf-Sup Stability of Crouzeix-Raviart Stokes Elements in 3D
本文考虑三维定常斯托克斯方程的Crouzeix-Raviart型元非协调离散。在M. Crouzeix和P. - A. 1973年的Raviart是含蓄的，也包含了具体选择的实质性自由。在本文中，我们介绍了基本的Crouzeix-Raviart基函数在三维模拟的二维情况下，在一个完全明确的方式。我们证明了这个基本CrouzeixRaviart元素的斯托克斯方程是inf-sup稳定的多项式次数$k =2$（二次速度近似）。我们确定虚假的压力模式符合$(k; k - 1)$三维斯托克斯元素，并表明，这些都是通过使用基本的Crouzeix-Raviart空间消除。
The divergence-free velocity formulation of the consistent Navier-Stokes Cahn-Hilliard model with non-matching densities, divergence-conforming discretization, and benchmarks
Non-Conforming Multiscale Finite Element Method for Stokes Flows in Heterogeneous Media. Part I: Methodologies and Numerical Experiments
Imperial College London（帝国理工学院）；Université de Toulouse（图卢兹大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Institut de Mathématiques de Toulouse（图卢兹数学研究所）；Laboratoire de Mathématiques de Besançon（贝桑松数学实验室）；Université de Franche-Comté（弗朗什-孔泰大学）
