All uncountable regular cardinals can be inaccessible in HOD
Mohammad Golshani
假设超紧基数和超紧基数上的不可达基数存在，我们构造了一个ZFC模型，其中所有不可数正则基数在HOD中不可达。
Assuming the existence of a supercompact cardinal and an inaccessible above it, we construct a model of ZFC, in which all uncountable regular cardinals are inaccessible in HOD.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Ultrafilters on singular cardinals of uncountable cofinality
证明了一致存在不可数共尾的奇异基数$κ$使得$2^κ$是弱不可达的，并且严格介于$κ$和$2^κ$之间的正则基数是$κ$上某个一致超滤子的特征标.
Two results on cardinal invariants at uncountable cardinals
我们证明了两个ZFC定理基数不变量以上的连续这是在鲜明的对比，这些相同的不变量在连续的众所周知的事实。证明了对不可数正则基数$κ$，$\mathfrak{b}(κ) = κ^{+}$蕴涵$\mathfrak{a}(κ) = κ^{+}$ .这改进了Blass、Hyttinen和Zhang的一个较早的结果。还证明了若$κ\geq {\beth}_ω$是不可数正则基数，则$\mathfrak{d}(κ) \leq \mathfrak{r}(κ)$ .这个结果部分地对偶了作者的一个较早的定理。
No universal graphs at uncountable regular cardinals
假设存在一个强基数，我们找到了一个ZFC模型，其中对于每个不可数正则基数$λ,$，不存在大小为$λ$的泛图。
Definable tree property for uncountable regular cardinals
该研究以一个超紧基数和一个更大的可测基数为基础，构造出满足所有不可数正则基数都具有可定义树性质的ZFC模型，回应了相关文献中的问题。
The tree property at double successors of singular cardinals of uncountable cofinality
假设存在一个强基数$κ$和一个可测基数以上，我们迫使一个泛型扩张，其中$κ$是一个奇异的强极限基数的任何规定的共尾性，并使树的属性保持在$κ^{++}$。
The tree property at double successors of singular cardinals of uncountable cofinality with infinite gaps
假设存在一个强基数$κ$，一个弱紧基数$λ$以上，它和$γ> λ,$，我们迫使一个泛型扩张，其中$κ$是一个奇异的强极限基数的任何给定的共尾性$δ$，$2^κ\geq γ$，使树的性质保持在$κ^{++}$。
The failure of square at all uncountable cardinals is weaker than a Woodin limit of Woodin cardinals
该研究通过强制选择公理，在满足ZF的最小初始段的Nairian模型中展示所有不可数基数上平方失败，并表明正则基数在HOD中为omega-强可测，从而揭示了HOD假设在ZFC中的不可证性。
Cichon's Diagram for uncountable cardinals
我们在广义Cantor空间2^kappa或广义Baire空间kappa^kappa上发展了基数不变量的Cichon图的一个版本，其中kappa是不可数的正则基数。对于强不可达的卡帕，许多ZFC结果的顺序关系的基数不变量，其中持有欧米茄推广，例如，我们得到一个自然的推广的Bartoszynski-Raisonnier-斯特恩定理。我们还证明了一些独立的结果，无论是<kappa-support迭代和kappa-support迭代和产品，表明我们一贯有一些基数不变量之间的严格不等式。
Blowing up the power of a singular cardinal of uncountable cofinality with collapses
{ \em奇异基数假设}（SCH）是集合论中最经典的组合原理之一。证明了如果$κ$是奇异强极限，则有$2^κ=κ^+$ .我们证明，给定一个奇异基数$κ$的{ \em共尾性} $η$在地面模型，这是一个限制适当的大基数，和$η^+=\aleph_γ$，那么有一个强制扩展，保持基数和共尾性，并包括$η$，使$κ$成为$\aleph_{γ+η}$，和SCH失败在$κ$。此外，如果$η$不是$\aleph$ -不动点，则在我们的模型中，SCH在$\aleph_η$处失效。我们的大基数假设低于存在一个伍丁基数。在我们的模型中，我们也得到了一个很好的规模。
Towers and gaps at uncountable cardinals
研究了不可数正则基数上的伪交数和塔数，这两个基数特征是否必然相等，以及与间隙存在性有关的问题.首先，我们证明了对于某些$λ< \mathfrak p(κ)$，要么存在$\mathfrak p(κ)=\mathfrak t(κ)$，要么存在俱乐部支持的回转的$(\mathfrak p(κ),λ)$ -间隙。虽然这种差距的存在还不清楚，这是一个有希望的一步，以解除Malliaris和Shelah的证明$\mathfrak p=\mathfrak t$无数的红衣主教。我们做了分析的间隙，回转，特别是，表明$\mathfrak p(κ)$总是经常的，后者扩展了Garti的结果。最后，我们转向俱乐部的$\mathfrak p(κ)$的变种，并提出了一个新的模型的不平等$\mathfrak{p}(κ) = κ^+ < \mathfrak{p}_{cl}(κ) = 2^κ$。与Shelah和Spasojevic先前的论点相反，我们通过添加$κ$ -科恩实数，然后连续对角化俱乐部过滤器来实现这一点;后者被证明可以保留$\mathfrak{p}(κ) = κ^+$的科恩证人。
Generalized Polish spaces at regular uncountable cardinals
该研究在广义描述集合论框架下，系统比较分析满足κ<sup><κ</sup>=κ的正则不可数基数κ对应的类Polish空间与标准κ-Borel空间概念，构建通用理论框架，给出广义Cantor、Baire空间的自然刻画，拓展前期工作并解答相关问题。
Many forcing axioms for all regular uncountable cardinals
集合论的一个中心主题是寻找具有极端的、易于理解的行为的宇宙。我们感兴趣的情况是假设GCH，并具有比通常更高阶的强强迫公理。代替“对于~ $λ$的每一个合适的力迫概念“，我们将说“对于依赖于平稳$S\subseteq λ$的每一个这样的力迫概念族，对于某些这样的平稳集，我们有\dots“。这种强迫的概念对于阿贝尔群理论是重要的，但是这种应用被推迟到续集。
Long chains in the Rudin-Frolík order for uncountable cardinals
我们指出，Butkovičová在$βω$上构造一个长度为$\mathfrak{c}^+$的Rudin-Frolík序的链，可以很容易地适应于在给定一个不可数基数$κ$的情况下，在$βκ$上产生一个长度为$(2^κ)^+$的Rudin-Frolík序的链。
Strongly compact cardinals and ordinal definability
本文探讨了与Woodin的HOD猜想有关的几个问题。本文将Woodin的HOD二分定理的大基数假设从可扩基数改进为强紧基数。我们证明了，假设有一个强紧基数和HOD假设成立，有没有初等嵌入从HOD到HOD，解决了一个问题的Woodin。我们表明，HOD假设是等价的累积层次结构的水平的初等嵌入的唯一性。证明了HOD假设成立的充要条件是第一强紧基数以上的正则基数都有一个序数可定义的Omega-Jonsson代数。证明了如果HOD假设成立且HOD满足超幂公理，则每个超紧基数在HOD中是超紧的。
Some structural similarities between uncountable sets, powersets and the universe
我们建立了不可数基数或幂集和所有集合的类$V$之间的一些相似性/类比。它们主要涉及布尔代数${\cal P}(κ)$，对于一个正则基数$κ$，和${\cal C}(V)$（类的子类的宇宙$V$），赋予了一些理想，特别是理想$[κ]^{<κ}$为${\cal P}(κ)$，和理想的集$V$为${\cal C}(V)$。
Large cardinals need not be large in HOD
证明了在HOD中大基数一般不需要表现出它们的大基数性质。例如，一个超紧基数$κ$不需要在HOD中是弱紧的，并且在$V$中可以有一类适当的超紧基数，它们在HOD中都不是弱紧的，在HOD中没有超紧基数。类似的结果也适用于许多其他类型的大基数，如可测和强基数。
An uncountable Jónsson algebra in a minimal variety
在Jónson-Tarski代数簇中构造了一个基数为$ω_1$的Jónsson代数.
Collapsing the cardinals of $HOD$
假设$GCH$成立，且$κ$是$κ^{+3}$ -超紧的，构造了$V$的一般扩张$W$，其中对于每个无限基数$α< κ$，$κ$保持强不可达性和$(α^+)^{HOD} < α^+$.特别地，秩初始段$W_κ$是ZFC的模型，其中对于每个无限基数$α$，$(α^+)^{HOD} < α^+$.
Some applications of Supercompact Extender Based Forcings to HOD
基于超紧扩张子的强迫被用来构造HOD基数结构不同于V的模型。特别地，构造了HOD中所有正则不可数基数可测的模型。
Cardinal characteristics on $κ$ modulo non-stationary
对于$κ$定期和不可数，我们定义的经典基数模的非平稳理想的特点的变种。
The $\mathsf{HOD}$ Hypothesis and a supercompact cardinal
本文在超紧基数与HOD假设的前提下，证明V_κ中存在真类多在HOD中可测的正则基数，推导出Woodin局部普遍性定理，揭示了HOD假设下两类大基数的差异及V中大基数向HOD的局部反映特性。
A dichotomy theorem for the generalized Baire space and elementary embeddability at uncountable cardinals
我们考虑$κ$的广义Baire空间的解析子集上的$Σ^0_2$有限关系$R$的以下二分法：或者所有的$R$ -独立集的大小至多为$κ$，或者存在一个$κ$ -完全$R$ -独立集.这个二分法是（W. Kubietan，Proc. Amer. Math. Soc. 131（2003），no2.：619- 623）和（S. Shelah，Fund.Math.159（1999），no.1：1- 50）。我们证明了上述陈述成立假设$\Diamond_κ$和集合理论假设$I^-(κ)$，这是修改的假设$I(κ)$适合极限基数。当$κ$不可访问时，或者当$R$是封闭二元关系时，不需要假设$\Diamond_κ$。作为推论，我们得到了G. Sági和第一作者（日志。J. IGPL 20（2012），no.6：1064- 1082），关于当被认为是${}^κκ$的$K_κ$子集的元素的同构或基本可嵌入性时，$Σ^1_1(L_{κ^+κ})$语句的$κ$大小的模型。初等嵌入的作用可以由更一般的概念代替，该概念还包括嵌入，以及为$ω\leqμ\leqλ\leqκ$保留$L_{λμ}$的映射和这些逻辑的有限变量片段。
Measurable cardinals and good $Σ_1(κ)$-wellorderings
研究了大基数的存在性对无限基数的幂集$κ$的wellordering存在性的影响，其中wellordering的所有初始段的集合可由带参数$κ$的$Σ_1$ -公式定义.一个简短的论点表明，存在一个可测基数$δ$意味着这样的wellorderings不存在于$δ$ -不可达的基数的共尾性不等于$δ$和他们的继任者。与此相反，我们的主要结果表明，这些wellordering存在于所有其他的不可数基数在最小模型含有一个可测基数。此外，我们还证明了可测性是在不可数基数上干扰这种wellorderings存在的最小的大基数性质，并将上述结果推广到包含两个可测基数的极小模型。
A note on Hindman-type theorems for uncountable cardinals
本文将作者此前在可数情形下的结果推广至不可数基数，构造出一族自然的 Hindman 型定理，并给出部分变体的下界，为不可数交换群上的 Hindman 型性质提供正面结论。
HOD in inner models with Woodin cardinals
我们分析了遗传序可定义集$\operatorname{HOD}$在$M_n(x)[g]$的图灵锥实数$x$，其中$M_n(x)$是典型的内部模型与$n$的Woodin基数建立在$x$和$g$是通用的$M_n(x)$的Lévy崩溃到其底部不可达的基数。我们证明了，假设$\boldsymbolΠ^1_{n+2}$ -决定性，对于一个图灵锥的真正$x$，$\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]} = M_n(\mathcal{M}_{\infty} | κ_\infty, Λ),$其中$\mathcal{M}_\infty$是一个直接限制的迭代$M_{n+1}$，$δ_\infty$是最小的Woodin基数在$\mathcal{M}_\infty$，$κ_\infty$是最少的不可达基数在$\mathcal{M}_\infty$以上$δ_\infty$，和$Λ$是一个部分迭代策略$\mathcal{M}_{\infty}$。还将表明，在相同的假设下，$\operatorname{HOD}^{M_n(x)[g]}$满足$\operatorname{GCH}$。
Small uncountable cardinals in large-scale topology
在本文中，我们感兴趣的是发现和评估的连续出现在大规模的拓扑结构的基本特征，通常作为最小的权重的粗结构，属于某些类（不离散的，不分离的，大）有限或局部有限的粗结构$ω$。除了著名的基数$\mathfrak b,\mathfrak d,\mathfrak c$，我们将遇到两个新的基数$\mathsf Δ$和$\mathsf Σ$，分别定义为不包含离散子空间和不包含渐近分离集的$ω$上有限粗结构的最小权。我们证明了$\max\{\mathfrak b,\mathfrak s,\mathrm{cov}(\mathcal N)\}\le\mathsf Δ\le\mathsf Σ\le\mathrm{non}(\mathcal M)$，但我们不知道是否基数$\mathsf Δ,\mathsf Σ,\mathrm{non}(\mathcal M)$可以分离在适当的模型ZFC。
Large cardinals beyond HOD
本文研究exacting与ultraexacting大基数，证明其与I0等一致，并给出其强度界及新刻画，表明它们与HOD假设相容。
Many forcing axioms for all regular uncountable cardinals
我们最初的目的是，在阿贝尔群理论中证明的一致性：λ是强极限奇异的和一些性质的阿贝尔群是自由的亲戚，在奇异的紧失败。事实上，这应该工作的R-模块等，因为在以前的情况下，部分工作是分析如何移动之间的集合论和代数。从理论上讲，我们试图强迫一个宇宙满足G.C.H.菱形对许多静止集合成立，但对每个正则不可数λ，在某种意义上，任何“可能”对某个平稳集成立的东西，对某个平稳集也成立。更具体地说，我们试图得到一个满足GCH的论域，使得例如对于正则kappa < lambda，存在对（S，B），S \subseteq S^λ_κstationary，B \subseteq H（lambda），它满足与（S，B）相关的某个预先给定的强制公理，（因此（lambda\ S）-完备，即“在S之外平凡”），但不再是，即稍微强一些的版本失败。从理论上讲我们试图得到一个满足几何中心H的宇宙。但仍然满足“许多”，甚至在某种意义上的一个最大的家庭，强制公理的形式“为一些平稳”，同时保持GCH。由于完成的工作滞后了一段时间，在这里我们只处理的集合论。
Characterizing large cardinals in terms of layered posets
给定一个不可数正则基数$κ$，一个偏序是$κ$ -平稳分层的，如果基数小于$κ$的$\mathbb{P}$的正则子序的集合在$\mathcal{P}_κ(\mathbb{P})$中是平稳的。通过证明不可数正则基数$κ$是弱紧的当且仅当满足$κ$ -链条件的每个偏序都是$κ$ -平稳分层的，我们证明了弱紧性可以由偏序的这一性质来刻画。对于强不可达基数，我们证明了一个类似的结果。此外，我们证明了所有的$κ$ -Knaster偏序都是$κ$ -平稳分层的，这意味着$κ$是一个Mahlo基数，并且$κ$的每个平稳子集都是反射的.这表明该陈述刻画了正则内模型中的弱紧紧性。与此相反，我们表明，它也是一致的，这一声明持有在一个非弱紧基数。
Ramsey theory over partitions I: Positive Ramsey relations from forcing axioms
在这一系列的论文中，我们提出了划分上染色的拉姆齐理论。在这一部分中，反拉姆齐性质的分区和链条件的自然力迫概念，均匀化着色在他们之间的对应关系被发现。在第一不可数基数的水平上，这产生了马丁公理下的对偶定理：当$p$扮演着色的角色时，函数$p:[ω_1]^2\rightarrowω$见证弱负拉姆齐关系，当且仅当$p$扮演分区的角色时，正拉姆齐关系在$p$上成立。正拉姆齐关系在划分上的一致性并不止于第一个不可数基数：它是建立在任何规定的不可数基数，这些关系遵循强制公理没有大基数强度。这个结果特别解决了[CKS21]中的两个问题。
On the optimality of the HOD dichotomy
本文研究HOD假设下大基数性质的最优性，证明可扩展基数在HOD中的紧致性与超紧性，并探讨弱覆盖失败及HOD正则基数等一致性结果。
Large cardinals, structural reflection, and the HOD Conjecture
本文引入了exacting cardinals与ultraexacting cardinals，证明其存在性挑战了大基数层谱的线性递增图景，并表明其超越现有与ZFC一致的大基数层级，能够反驳Woodin的HOD猜想与Ultimate-L猜想。
The first omitting cardinal for Magidority
证明了当$λ$是Magidor基数时，$α_M(λ)$可以是超紧基数的后继.由此得到了$α_M(λ)$是具有不可数共尾性的奇异基数的后继的相容性。
Restrictions on Forcings That Change Cofinalities
在本文中，我们研究了一些性质的强制，可以被认为是“好”的情况下，奇异正则基数有一个不可数的共尾性。我们表明，这种强迫改变共尾性的一个经常基数，不能太好，必须造成一些“损害”的结构的基数和固定集。因此，没有类似的Prikry强迫，在“好”的属性，当改变共尾性是不可数的。
The effects of forcing on exacting and ultraexacting cardinals
本文研究集合论强制对exacting与ultraexacting基数的影响，证明I2嵌入产生具有真类exacting基数的ZFC模型，并探讨HOD猜想下相关性质及强制扩张。
On $ω$-Strongly Measurable Cardinals
证明了HOD中关于$ω$ -强可测基数概念的几个相容性结果.特别是，我们表明，它是一致的，相对于一个大基数假设弱于$o(κ) = κ$，每一个继任者的经常基数是$ω$ -强可测的HOD。
The Hurewicz dichotomy for generalized Baire spaces
根据Hurewicz，Kechris和Saint-Raymond的经典结果，波兰空间$X$的解析子集被$X$的$K_σ$子集覆盖当且仅当它不包含与Baire空间${}^ωω$同胚的闭入$X$子集.我们认为类似的声明（我们称之为Hurewicz二分法）$Σ^1_1$子集的广义Baire空间${}^κκ$为一个给定的不可数基数$κ$与$κ=κ^{<κ}$，并显示如何迫使它是真的基数和共尾保持扩展的地面模型。此外，我们证明了，如果广义连续统假设（GCH）成立，那么有一个基数保持类力迫扩张，其中${}^κκ$的$Σ^1_1$子集的Hurewicz二分法在所有不可数正则基数$κ$上成立，而强不可折叠和超紧基数被保持。另一方面，在可构造宇宙L中，$Σ^1_1$集的二分法在所有不可数的正则基数上都失败了，同样的情况也发生在任何通过向GCH的模型添加科恩实数而获得的一般扩张中。我们还讨论了与一些正则性质的联系，如$κ$ -完备集性质，$κ$ -Miller可测性和$κ$ -Sacks可测性。
HOD, V and the GCH
从大基数出发，我们构造了一个$ZFC$的模型，其中$GCH$处处失效，但使得$GCH$保持在它的$HOD$中。这个结果回答了Sy Friedman的一个问题。此外，相对于大基数的存在，我们建立了一个$ZFC+GCH$模型，使得$GCH$在其$HOD$中处处失效。
Some remarks on uncountable rainbow Ramsey theory
讨论了极限基数和奇异基数的后继情形下的彩虹Ramsey定理，解决了\cite{MR2354904}和\cite{MR2902230}中的一些问题.特别是，我们表明不可访问的$κ$，$κ\to^{poly}(κ)^2_{2-bdd}$不表征弱紧性和奇异$κ$，$\mathrm{GCH}+\square_κ$意味着$κ^+\not\to^{poly} (η)^2_{<κ-bdd}$的任何$η\geq cf(κ)^+$和$κ^+\to^{poly} (ν)^2_{<κ-bdd}$的任何$ν<cf(κ)^+$。我们还提供了一个简化的构造模型$ω_2\not\to^{poly} (ω_1)^2_{2-bdd}$最初构建在\cite{MR2902230}和证明的见证着色是坚不可摧的强正常的强迫下，但破坏一些c.c.c强迫。最后，我们总结了一些意见和问题可能的推广彩虹分割关系的三元组。
On the Splitting Number at Regular Cardinals
设$κ$，$λ$是正则不可数基数，使得$λ> κ^+$不是低共尾性的奇异基数的后继.我们构造了一个泛型扩张与$s(κ) = λ$从地面模型，其中$o(κ) = λ$和证明，假设$\neg 0^¶$，$s(κ) = λ$意味着$o(κ) \geq λ$的核心模型。
Nonreflecting stationary sets in P_kappa(lambda)
设kappa是正则不可数基数，且lambda >=kappa^+。P_kappa λ的平稳反射原理已成功地解决了kappa=omega_1情形下的无穷组合学问题。对于更大的kappa，已知该原理在某个lambda处失效。这个注记表明，如果kappa是正则不可数基数的后继或kappa是可数闭的，则它在每个lambda处都失败。
Failure of an higher analogue of Mho
本文通过设计一个包含有限工作部分和两种类型模型作为附带条件的力迫概念，从超紧基数和不可达基数出发，证明了 $\mho$ 在第二个不可数基数上的高阶类似物可能一致地失败。
Factor = quotient, uncountable Boolean algebras, number of endomorphism and width
证明了在适当的基数算术下，若B是一个布尔代数，且B的每个同态像同构于一个因子，则B有局部小密度。我们还证明了对一个（无限）布尔代数B，子代数的个数不小于自同态的个数，以及其他相关的不等式。最后讨论了布尔代数的两两不可比元集的基数的上确界的求法。
Rigid ideals
基数$κ$上的理想$I$称为\emph{rigid}，如果$P(κ)/I$的所有自同构都是平凡的。理想的称为\emph{$μ$-minimal}，如果只要$G\subseteq P(κ)/I$是通用的，而$X\in P(μ)^{V[G]}\setminus V$，则可以得出$V[X]=V[G]$。我们证明了$μ^+$上刚性饱和$μ$ -极小理想的存在性，其中$μ$是正则基数，相对于大基数的存在性是相容的.这种理想的存在意味着GCH失败。然而，我们发现，$μ^+$，其中$μ$是一个\emph{uncountable}正则基数的刚性饱和理想的存在性，是一致的GCH相对于一个几乎巨大的基数的存在。解决的情况下$μ=ω$，我们表明，存在一个刚性的\emph{presaturated}理想$ω_1$是一致的CH相对于存在一个几乎巨大的基数。在不可数正则基数为$μ$的$μ^+$上存在\emph{precipitous}刚性理想与存在可测基数是等一致的.
Uncountable structures are not classifiable up to bi-embeddability
讨论了[MR 13]中的一些主要问题，证明了只要$κ$是满足$κ^{< κ} = κ> ω$的基数，则$κ$ -大小结构之间的嵌入关系是强不变泛的，因此对于（$κ$ -）解析拟序是完备的.我们还证明，在上述结果中，我们可以进一步限制我们的注意力，各种自然类的结构，包括（广义）树，图，或组。这将[LR 05，FMR 11，Wil 14，CMR 17]的主要结果完全推广到不可数情形。
Ultrafilters over Successor Cardinals and the Tukey Order
该研究聚焦正则不可数基数（尤其$\omega_1$）上的超滤与Tukey序，证明了相关断言的ZFC独立性，给出新型超滤构造，分析了特定公理下超滤的序性质并得到多个相关结果。
Representing embeddability as set inclusion
对不可数图的可嵌入性的表示论作了一些改进。一类单调图是由禁止的可数子图定义的，与图的端结构相关。利用组合定理的Shelah它被证明：-类的复杂性在每一个经常不可数$ł>\aleph_1$至少是$λ^+ + \sup\{μ^{\aleph_0}:μ^+<λ\}$ -对于所有经常不可数$λ>\aleph_1$有$2^λ$两两不可嵌入的图形类具有强的同质性。- 当图$G\in \Cal G_λ$的某些不变量必须由少于$λ$的子图中的一个子图继承时，其并集覆盖了$G$ .所有这三个结果都是作为一个表示定理的推论而得到的，该表示定理断言存在一个满同态，从正则基数$λ>\aleph_1$的同构类型到实数或基数$λ$或更小的所有子集上的集合包含的可嵌入性的关系。同态的连续性性质被用来将第一个结果推广到第一个二阶基数不动点以下的所有奇异基数。第一个结果表明，不同于Shelah在所有图类中所展示的，这类图中的可嵌入性关系并不独立于GCH的否定。
The tree property on long intervals of regular cardinals
本文围绕 Foreman–Magidor 关于首个不可数基数以上所有正则基数均具有树性质的问题，证明树性质可在与强极限基数相交的正则基数区间上成立。
A note on Woodin's HOD dichotomy
一个版本的Woodin的HOD二分法被证明假设存在的只有一个强紧基数。
Universal classes near $\aleph_1$
Shelah为$L_{ω_1, ω}$ -语句$ψ$具有任意大的模型和为类Morley定理保持$ψ$提供了充分条件。这些条件涉及所有$\aleph_n$的结构和集合论假设。使用Boney、Shelah和第二作者的工具，我们给出了$\aleph_0$和$\aleph_1$的假设，当$ψ$被限制为通用时，这些假设就足够了：$\mathbf{Theorem}$假设$2^{\aleph_{0}} < 2 ^{\aleph_{1}}$。设$ψ$是一个泛$L_{ω_{1}, ω}$ -语句. - 如果$ψ$在$\aleph_{0}$和$1 \leq I(ψ, \aleph_{1}) < 2 ^{\aleph_{1}}$中是范畴的，则$ψ$有任意大的模型，并且$ψ$在某些不可数基数中的范畴性意味着$ψ$在所有不可数基数中的范畴性。- 如果$ψ$在$\aleph_1$中是范畴的，则$ψ$在所有不可数基数中是范畴的。该定理推广到$L_{ω_1, ω}$ -可定义的带素数的驯服抽象初等类的框架。
$Σ_1$-definability at higher cardinals: Thin sets, almost disjoint families and long well-orders
本文研究高基数上借助选择公理构造的集合能否由仅用κ及遗传基数小于κ的集合作参数的Σ₁公式定义，通过完美集定理推广Mathias关于极大几乎不相交族的非定义性结果，并确定奇异强极限基数上相关对象不存在Σ₁定义的精确一致性强度。
$κ$-Madness and Definability
假设超紧基数的存在，我们构造了一个模型，其中，对于某些不可数的正则基数$κ$，没有$Σ^1_1(κ)-κ-$疯狂的家庭。
Chang's Conjecture with $\square_{ω_1, 2}$ from an $ω_1$-Erdős Cardinal
通过对Sakai的一个问题的讨论，我们证明了$ω_1$基数的存在性足以使Chang猜想与$\square_{ω_1, 2}$相容.根据唐德的结果，这是最好的可能。我们还回答了Sakai关于$\square_{λ, 2}$和$(λ^+, λ) \twoheadrightarrow (κ^+, κ)$不相容于不可数$κ$的另一个问题。
Full Reflection at a Measurable Cardinal
正则不可数基数$κ$ { \it全反射}在正则基数上的一个平稳子集$S$，如果对于由正则基数组成的每一个高阶平稳集$T \subseteq κ$，存在一个$α\in T$，使得$S \cap α$是$α$的一个平稳子集。{ \it Full Reflection}指出每个固定集合在正则基数上完全反射。我们将证明，在一个比$κ$具有米切尔阶$κ^{++}$的假设稍弱的假设下，全反射在每个$λ\leq κ$处成立并且$κ$是可测的是一致的。
Compactness phenomena in HOD and the Optimality of Magidor's Covering theorem
该研究围绕集合论全域V与HOD的紧性现象，证明了奇异强极限基数的幂集分歧特性，回答了Hayut的问题，并揭示Magidor覆盖定理的最优性。
Full reflection of stationary sets at regular cardinals
一个正则不可数基数Kappa的平稳子集S在正则基数上全反射，如果对每个由正则基数组成的高阶平稳集Tsubseteq Kappa，T中存在一个α，使得S cap α是α的平稳子集。我们证明了全反射公理，即每个平稳集在正则基数上全反射，以及n-Mahlo基数的存在性与Pi^1_n-不可描述基数的存在性是等相容的.我们还对极大Mahlo基数给出了适当的推广。
Partition properties for simply definable colourings
我们研究分区性质的不可数经常基数限制分区性质定义大基数概念类的简单可定义的着色。我们发现，这两个大基数假设和强制公理意味着有一个齐次封闭的无界子集$ω_1$的每一个着色的有限集的可数序数是可定义的$Σ_1$ -公式，只使用基数$ω_1$和实数作为参数。此外，它表明，某些大的基数属性导致类似的分区属性，以保持在给定的大基数和这些影响产生自然的例子，具有强大的分区属性$Σ_1$可定义的着色和不弱紧的不可访问的不可达基数。相比之下，我们表明，$Σ_1$ -可定义的行为从根本上不同的$ω_2$表明，各种大基数假设和\emph{Martin's Maximum}是兼容的存在的着色对元素的$ω_2$是可定义的$Σ_1$ -公式参数$ω_2$，并没有不可数的齐次集。我们的研究结果也将使我们能够得到严格的界限的一致性强度的各种分区属性可定义的着色。最后，我们利用所发展的理论来研究某些在小基数上证明弱紧失效的同胚是否可以简单定义的问题。
Topological density of ccc Boolean algebras - every cardinality occurs.
对于每一个不可数基数μ，都有一个拓扑密度为μ的ccc布尔代数。
The first almost free Whitehead group
假设G.C.H. kappa是第一个不可数基数使得存在一个kappa-自由阿尔贝群，它不是Whitehead（阿贝尔）群。证明了Kappa必然是一个不可达基数
Descriptive properties of higher Kurepa trees
我们使用概括的概念，从描述集合论研究组合对象的不可数经常基数，集中在较高的Kurepa树和表示的集合的共尾分支，通过这种树作为连续图像的函数空间。对于不同类型的不可数正则基数$κ$，我们的结果提供了一个完整的图片的所有一致的情况下，通过$κ$ -Kurepa树的广义Baire空间${}^κκ$的$κ$的收缩表示的共尾分支集。此外，这些结果可用于确定${}^κκ$连续图像的大多数相应语句的一致性。
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