The first almost free Whitehead group
Saharon Shelah
假设G.C.H. kappa是第一个不可数基数使得存在一个kappa-自由阿尔贝群，它不是Whitehead（阿贝尔）群。证明了Kappa必然是一个不可达基数
Assume G.C.H. and kappa is the first uncountable cardinal such that there is a kappa-free abelian group which is not a Whitehead (abelian) group. We prove that kappa is necessarily an inaccessible cardinal
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A combinatorial principle equivalent to the existence of non-free Whitehead groups
由于识别的原则中所描述的标题，我们证明，任何不可数基数λ，如果有一个不自由的基数λ的Whitehead群是不自由的，那么有许多“不错”的基数λ的Whitehead群是不自由的。
New non-free Whitehead groups (corrected version)
证明了存在一个基数为aleph_1的强aleph_1-free aleph_1-余可分群是aleph_1-不可分的。
Borel Whitehead groups
我们研究了Borel阿贝尔群的Whiteheadness（无aleph_1，wlog，否则这是平凡的）.我们证明CH（甚至WCH）蕴涵任何这样的阿贝尔群是自由的，并且总是aleph_2-free的.
Uniformization and the diversity of Whitehead groups
第三作者在[Sh：98]中研究了Whitehead群与单值化性质之间的联系。特别是，它基本上表明，有一个非自由的Whitehead（分别为aleph_1-coseparable）的基数aleph_1的群，当且仅当有一个阶梯系统上的一个固定子集的omega_1满足2-uniformization（分别为omega-uniformization）。这些技术也允许证明各种独立性和一致性的结果约Whitehead集团，例如，它是一致的，有一个非自由的Whitehead集团的基数aleph_1，但没有非自由aleph_1-coseparable集团。然而，一些自然问题仍然悬而未决，其中有以下两个：（i）基数aleph_1的W-群的类恰好是基数aleph_1的强aleph_1-自由群的类是否相容？(ii)如果基数为aleph_1的强aleph_1-自由群都是W-群，那么它们也都是aleph_1-余可分的吗？在本文中，我们使用的技术的一致化回答的第一个问题的否定和部分肯定的回答第二个问题。
Between Whitehead groups and uniformization
本文在ZFC中证明了关于可数序数平稳集的梯子系统一致化与强自由阿贝尔群的余可分性等价，解决了Eklof和Mekler专著中的问题B3和B4。
Condensed Whitehead Problem
针对独立于ZFC的怀特海问题，研究者在浓缩数学中给出类似问题的肯定解答，并证明大小为κ的阿贝尔群A是自由的等价于特定Ext函子取值为0。
A non-reflexive Whitehead group
我们证明了存在一个非自反的Whitehead群是相容的，实际上它的对偶群是自由的。我们还证明了存在群A使得Ext（A，Z）是挠的且Hom（A，Z）=0是相容的.作为应用，我们证明了新的co-Moore空间存在性的一致性。
Hereditarily separable groups and monochromatic uniformization
我们给出了基数为aleph_1的非自由遗传可分群的存在性的一个组合等价。这可以用来，连同一个已知的组合等价的存在一个非自由的怀特黑德集团，以证明它是一致的，每一个怀特黑德集团是自由的，但不是每一个遗传可分集团是自由的。我们还表明，事实上，Z是一个P.I.D.有无穷多个素数是这个结果的关键。
Whitehead's problem and condensed mathematics
本文探讨了Whitehead问题在压缩数学中的独立性，并展示了其在不同范畴下的不同解法及一致性问题。
Almost disjoint pure subgroups of the Baer-Specker group
在ZFC中我们证明了Baer-Specker群Z^omega有2个基数为aleph_1的几乎不相交的非自由纯子群：没有非自由子群可嵌入任何对中。
Almost free algebras: from the word problem to elimination of quantifiers
本文研究近自由代数的多项式时间可解性，包括词问题、同余类基数计算及同构检查等，同时证明其可通过扩展语言实现量词消去。
Saturated Free Algebras and Almost Indiscernible Theories
我们推广了Pillay和Sklinos在[Bull.Symb.1999]中引入的“几乎不可分辨理论”的概念。日志，2015年]（这本身是一个现代化和扩展鲍德温和谢拉[代数Universalis，1983年]），不可数语言和不可数参数序列。粗略地说，一个理论$T$几乎是不可分辨的，如果一些饱和模型是在一个不可分辨的序列集的代数闭包。我们表明，这样的理论$T$是非多维的，超稳定的，稳定的所有基数$\ge |T |$。证明了充分大的$a$ -模型$M$的一个结构定理：定理2.10指出在一个适当的基上，$M$是在权为1的实现的独立集的代数闭包中（可能有无穷多个变量）。我们还进一步探讨了饱和自由代数的鲍德温和谢拉在可数和不可数的情况下。我们研究了$R$ -模的特殊理论和变种，刻画了$|R|^+$生成元上的自由$R$ -模饱和的环$R$（定理3.15），并指出了Pillay-Sklinos猜想的一个反例（例3.16）。
Almost Free Non-Archimedean Banach Spaces and Relation to Large Cardinals
本文研究非阿基米德巴纳赫空间的自由性，基于大基数假设证明几乎自由空间的自由性，结合巴纳赫空间与几乎自由阿贝尔群的非阿基米德类比。
Almost free groups and Ehrenfeucht-Fra\"ıssé games for successors of singular cardinals
通过研究基数为λ的固定群与自由阿尔贝群之间的长Escherichfeucht-Fraisse对策，加强了几乎自由阿尔贝群的非结构定理.如果同构参与者在长度为λ的博弈中有一个获胜策略，则称一个群为ε-无博弈群。我们证明了对于一个后继基数λ =mu^+的大集合，基数为λ的非自由（mu*omega_1）-对策-自由群的存在性。我们专注于奇异基数的继任者。
Almost-free E-rings of cardinality aleph_1
一个E-环是一个有单位元的环R，使得它的基础阿贝尔群R^+的每个自同态都与某个环元相乘。基数大于2^{aleph_0}的几乎自由E-环的存在性在ZFC中是不可判定的。虽然它们存在于哥德尔的宇宙中，但它们不存在于集合论的其他模型中。对于正则基数aleph_1 <= lambda <= 2^{aleph_0}，我们构造了ZFC中基数为lambda的E-环，它具有aleph_1-free加法结构.当λ = aleph_1时，我们得到ZFC中基数为aleph_1的几乎自由E-环的存在性.
Virtually free groups are almost homogeneous
已知自由群是齐次的，这意味着满足相同一阶性质的元素的有限元组在自同构群的作用下处于相同的轨道。我们表明，几乎自由群有一个稍微弱的属性，我们称之为一致几乎齐性：一组$k$元组满足相同的一阶属性作为一个给定的$k$元组$\mathbf{u}$是工会的有限数量的$\mathrm{Aut}(G)$ -轨道，这个数字是有界独立于$\mathbf{u}$和$k$。证明了存在一个非$\exists$ -齐次的虚自由群.我们还证明了所有的双曲群在概率意义下是齐次的。
Existence of almost free abelian groups and reflection of stationary set
第二节回答了Mekler Eklof关于非紧谱的闭包运算的一个问题。我们回答了Foreman和Magidor关于S_{< aleph_2}（lambda）= {a subseteq lambda：|a| < aleph_2}]的固定子集的反射的问题。第3节-《不扩散条约》不具有过渡性。证明了NPT（lambda，mu）+ NPT（mu，kappa）不等于> NPT（lambda，kappa）
Almost free algebras
本质非自由谱是不可数基数kappa类，其中存在基数kappa的本质非自由代数，它几乎是自由的。在L中，一个变种的本质上非自由的谱完全取决于构造原理是否成立。在ZFC中可能更复杂。对于非左完满环上的群、阿贝尔群或任何模簇，本质非自由谱不仅包含aleph_1，而且包含aleph_n，对所有n>0。这在ZFC中成立（而不是在某些特殊的集合论假设下）的原因是这些变体满足更强版本的构造原理。我们推测，建造原则的层次结构是严格的，即，对于每一个n>0，都有一个簇满足n-构造原理，但不满足n+1-构造原理。在本文中，我们将证明1-构造原理并不意味着2-构造原理。证明了在某些大基数假设的相容性条件下，一个簇具有基数aleph_n的本质非自由几乎自由代数是相容的当且仅当它满足n-构造原理.
Almost-free finite covers
有限覆盖是一种从简单结构构建新结构的技术。研究有限覆盖的最初动机是Zilber的阶梯定理，它描述了如何通过一系列覆盖从严格极小集建立完全范畴结构。设W是一阶结构，r是W上的Aut（W）-同余.本文定义了W关于r的几乎自由有限覆盖，并给出了如何构造它们的方法。这些是自由有限覆盖的推广。Evans和Hrushovski在“On the automorphism groups of finite covers”一文中的一个结果的一个推论是：W的任何有限覆盖，如果约束群都等于一个简单的非交换置换群，则关于W上的某个r几乎是自由的。我们的主要结果给出了W的主有限覆盖的核在W上的Aut（W）-同余的描述（直到同构），其中绑定群在任意点等于一个简单的非交换正则置换群G.然后，我们分析了几乎自由有限覆盖的集合的有序的n-元组的不同的元素从一个可数集欧米茄，视为一个结构的自同构群等于Sym（欧米茄），我们显示了一个结果的双解释性。
On our paper `Almost Free Splitter', a correction
设R是Q的一个子环，回想一下数学LO/9910161，如果Ext_R（G，G）= 0，则R-模G是一个分裂器。本文对数学LO/9910161中主要定理1.5的表述进行了修正。假设CH，基数aleph_1的任何aleph_1 $-free分裂器在其核上是自由的，如数学LO/9910161所示。一般来说，这些模块非常接近免费，如下所述。这一变化源自math. LO/9910161，并且是由于math. LO/9910161第一部分中的不完整证明（由Paul Eklof注意到）。假设CH的否定，在Shelah [Sh：F417]（正在进行中的工作）中，将表明根据马丁的公理，这些分裂器确实是自由的。然而，有模型的集合论有非自由aleph_1-自由分裂基数aleph_1。
GCH implies the existence of many rigid almost free abelian groups
我们从基数为aleph_n（n在Ω中）的平凡群的存在性开始。然后，我们得到了具有给定自由可数自同态环的基数为aleph_n（n在Ω中）的强aleph_n-自由阿尔贝群的一些结果.最后，我们利用[Sh：108]，[Sh：141]的组合结果，对基数>aleph_omega给出了类似的结果.在Magidor和Shelah [MgSh：204]中，一篇关于基数为kappa的无kappa、非自由阿尔贝群的存在性的论文中，归纳论证在aleph_omega处失败了。回想一下aleph_omega是第一个奇异基数，根据著名的奇异紧性定理（见[Sh：52]），这样的基数aleph_omega群不存在。
Conflict free colorings of (strongly) almost disjoint set-systems
一个集合系统$X$是一个$(λ, κ,μ)$系统当且仅当$|X|=λ$，$|x|=κ$对于每个$x\in X$，并且$X$是$μ$ -几乎不相交的.我们写$[λ, κ, μ] -> ρ$当且仅当每个$(λ, κ,μ)$ -系统都有“与$ρ$颜色无冲突的着色”，即存在$\cup X$的元素与$ρ$颜色的着色，使得对于$X$的每个元素$x$，存在颜色$ξ<ρ$，使得$x$的恰好一个元素具有颜色$ξ$。我们的主要研究对象是关系$[λ, κ, μ] -> ρ$。当$κ$是有限的时，我们给出了这种关系的充分描述。我们还表明，如果$d$是一个自然数，那么$[λ,κ,d]-> ω$始终保持。在GCH下，我们证明了$[λ,κ,ω]-> ω_2$对$κ>ω_1$成立，但关系$[λ,κ,ω]-> ω_1$是独立的（模一些大基数）。
Almost free splitters
设R是有理数的子环。我们想研究自分裂R-模G满足Ext_R（G，G）=0.为了简单起见，我们将这些模块称为分离器。我们的调查还在继续数学。LO/9910159。在数学.LO/9910159中，我们通过构造一大类分裂器来回答一个公开问题。经典分裂器是自由模和无挠的代数紧模。在数学.LO/9910159中，我们专注于比连续统更大的分裂器，并且可数子模不一定是自由的。“相反”的情况下aleph_1-自由分裂的基数小于或等于aleph_1被挑出来，因为基本上不同的技术。这就是本文的研究目标。如果分裂子是可数的，那么根据Hausen的一个结果，它在有理数的某个子环上是自由的。我们可以证明基数aleph_1的所有aleph_1-free分裂器确实是自由的。
Indecomposable almost free modules - the local case
设R是可数的非域的主理想整环，A是可数的R-代数，A是自由的R-模.然后我们构造了一个秩为aleph_1的aleph_1-free R-模G，它具有自同态代数End_RG=A。显然，这个结果不适用于域。回想一下，R-模是aleph_1-free的，如果它的所有可数子模都是free的，这个条件与庞特里亚金定理密切相关。这个结果有许多结果，取决于所使用的代数A。例如，如果我们选择A=R，那么显然G是一个不可分解的“几乎自由”模。这样的模块的存在是未知的环只有许多素数像R= Z_{(p)}，整数本地化在一些素数p。结果补充了一个经典的实现定理角的显示，任何这样的代数是一个自同态代数的一些torsion-free，减少R-模G的可数秩。它的证明是基于新的组合代数技术与我们所谓的刚性树元素来自一个模块生成的森林树木。
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