Affine embeddings of Cantor sets and dimension of $αβ$-sets
设$E, F\subset {\Bbb R}^d$是两个自相似集，并假设$F$可以相似地嵌入到$E$中.在假设$E$是尘埃状的并且具有小的豪斯多夫维数的情况下，我们证明了$E$和$F$的收缩比之间的对数相关性.这对\cite{FHR14}中的猜想1.2给出了部分肯定的回答。证明基于我们对单位圆上一类多旋转不变集的计盒维数的研究，包括Engelking和Katznelson最初研究的$αβ$ -集.
2016-09-19 math.CA math.DS
Affine embeddings of Cantor sets in the plane
设$F,E\subseteq \mathbb{R}^2$是两个自相似集。首先，假设$F$是由具有强分离性的IFS $Φ$生成的，我们刻画了仿射映射$g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$使得$g(F)\subseteq F$。我们的分析依赖于由$Φ$中相似性的正交部分生成的组$G_Φ$的基数。当$|G_Φ|=\infty$，我们表明，任何这样的自嵌入必须是一个相似性，因此（由Elekes，Keleti和Máthé的结果）的一些权力，其正交部分在于$G_Φ$。当$|G_Φ| < \infty$和$Φ$有一个一致的压缩$λ$时，我们证明了任何这样的嵌入的线性部分是对角化的，并且它的每个特征值的范数是$λ$的有理幂。我们还研究了仿射映射$g$使得$g(F)\subseteq E$的存在性和性质，其中$E$是由IFS $Ψ$生成的。在这个方向上，我们提供了更多的证据，冯，黄和饶的猜想，这样的嵌入存在，只有当在$Φ$的压缩比的地图是代数依赖于在$Ψ$的压缩比。进一步证明了，在一定条件下，若$|G_Φ|=\infty$则$|G_Ψ|=\infty$，若$|G_Φ|<\infty$则$|G_Ψ|<\infty$ .
2018-10-01 math.DS
Local structure of self-affine sets
具有开集条件的自相似集在放大条件下结构不变。对于自仿射集，情况完全不同。我们考虑贝德福德、麦克马伦、加佐拉斯和拉利研究的平面自仿射康托集E，它在水平轴上的投影是一个区间。我们证明了在E中几乎每个点x的正方形邻域内，对于地址空间上的许多积测度，E可以由一个区间和一个康托尔集的积集很好地逼近。即使E是全不连通的，其极限集也具有区间纤维的乘积结构，类似于混沌可微动力系统的吸引子.
2012-04-17 math.DS
Epsilon-Distortion Complexity for Cantor Sets
我们将一个集合的ε-失真复杂度定义为在通用图灵机上运行的最短程序，该程序在豪斯多夫距离意义下以精度ε产生这个集合。然后，我们估计了迭代函数系统（IFS）所产生的线上的各种中心康托集的ε-失真复杂度。特别地，C^k康托尔集的ε-失真复杂度一般取决于k和它的盒计数维数，与多项式IFS或随机仿射康托集生成的康托集相反。
2007-05-07 cs.CC math.DS math.MG
A chaotic discrete-time continuous-state Hopfield network with piecewise-affine activation functions
我们构造了一个具有分段仿射非负激活函数和小正项权矩阵的混沌离散时间连续状态Hopfield网络。更准确地说，在状态空间中存在康托尔集$C$，使得网络在$C$中的初态处对初始条件具有敏感依赖性，并且$C$中的每个初态的网络轨道具有$C$作为其$ω$ -极限集。我们使用的方法是基于最近开发和采用的工具在拓扑动力学的分段收缩的研究。明确给出了混沌网络的参数。
2022-10-02 math.DS
The Hausdorff dimension of the projections of self-affine carpets
研究了一类自仿射地毯的正交投影，其中Bedford地毯和McMullen地毯是其特例。我们的主要结果是，如果$Λ$是这样的地毯，并且某些自然非理性条件成立，则$Λ$在非主方向上的每个正交投影都有豪斯多夫维数$\min(γ,1)$，其中$γ$是$Λ$的豪斯多夫维数.这推广了Peres和Shmerkin关于Cantor集和的一个结果。
2009-10-21 math.DS
Exploring Predictive States via Cantor Embeddings and Wasserstein Distance
University of California at Davis（加州大学戴维斯分校）
随机过程的预测状态是一个非参数的和可解释的结构，与众多的建模范式相关。根据时间序列数据进行预测状态的自监督重建的最新进展集中在再生核Hilbert空间的使用上。在这里，我们研究如何Wasserstein距离可用于检测预测等价符号数据。我们计算Wasserstein分布之间的距离序列（“预测”），使用有限维嵌入的序列的基础上康托的基础几何。我们表明，探索性数据分析使用所产生的几何结构，通过分层聚类和降维提供了洞察的时间结构的过程，从相对简单的（例如，有限状态隐马尔可夫模型）到非常复杂的（例如，无限状态索引文法）。
2022-06-09 cond-mat.stat-mech cs.LG math.DS
Cantor dynamics of renormalizable groups
一个群$Γ$称为非齐次非共霍普夫群，或可重正化群，如果存在一个自嵌入$φ\colon Γ\to Γ$，其像是一个有限指数的真子群。这样一个适当的自嵌入被称为$Γ$的重整化。在这项工作中，我们将一个动力系统关联到$Γ$的重整化$φ$。相关康托动力系统的判别不变量${\mathcal D}_φ$是一个投射有限群，它是动力系统的不对称性的度量。如果${\mathcal D}_φ$是一个有限群的一些重整化，我们证明了$Γ/C_φ$是几乎幂零的，其中$C_φ$是核的行动地图。我们引入了（虚拟）可重正化的康托作用的概念，并证明了与可重正化群相关联的作用是虚拟可重正化的。研究了虚可重正化Cantor作用量的性质，证明了虚可重正化性是连续轨道等价的不变量。此外，可重正化的康托作用的判别不变量是连续轨道等价的不变量。最后，可重整康托作用的概念与根树的自同构的自复制自同构群的概念有关。
2020-10-30 math.DS math.GR
On the arithmetic sums of Cantor sets
设$C_\la$和$C_\ga$是$\mathbb{R}$中的两个仿射Cantor集，其相似维数分别为$d_\la$和$d_\ga$.我们定义了一个类似的Bandt-Graf条件的自相似系统，并使用它来给有$\Ha^{d_\la+d_\ga}(C_\la + C_\ga)>0$的必要和充分条件，其中$C_\la + C_\ga$表示的算术和的集合。我们使用这个结果来分析$C_\la \times C_\ga$形式的集合的正交投影性质。证明了对于Lebesgue投影不是一一对应的几乎所有方向$θ$，其投影都有零$(d_\la + d_\ga)$维Hausdorff测度.我们证明的情况下，$C_\la$和$C_\ga$的中间$(1-2\la)$和中间$(1-2\ga)$集的结果。
2006-10-29 math.CA math.DS
Sums of powers, and products of elements of the middle third Cantor set
本文提出一种新的初等动力学技术，统一处理中间三分之一 Cantor 集元素的幂和与幂积的测度及开区间问题，克服了已有方法在幂次增大时的困难。
2023-07-18 math.CA math.DS math.MG
Measures on Cantor sets: the good, the ugly, the bad
我们翻译Akin的概念{ \it好}（和相关概念）从康托集上的措施，以跟踪的维度组，特别是不变测度的最小同胚（及其相应的简单的维度组），这产生的特点和例子，翻译回原来的背景。简单维数群上的好迹的特征是其核在迹空间上的仿射函数的零化集中具有稠密像，这使得构造许多具有看似矛盾性质的例子成为可能。为了研究{ \it可加细性}的相关性质，我们考虑了测度集（维数群上的迹）的优性，得到了Choquet单形的（特殊）凸子集的部分刻画.这些概念也非常密切相关的unperforation的subjects的维数组的凸子群（这不是阶理想），我们给出了部分特征。许多例子说明了结果。
2012-01-10 math.AC math.DS math.FA
Affine Evaluation Maps, Dimension Groups, and Fair measures
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文研究仿射评估映射（AEM），构造了与良态AEM对应的单维数群，利用相关定理证明其可由极小康托尔同胚实现，并将该框架推广到可数可和群的极小康托尔作用。
2026-08-20 math.DS math.OA
Complexity of Conjugacy, Factoring and Embedding for Countable Sofic Shifts of Rank 2
本文研究了Cantor-Bendixson秩不超过2的可数sofic移位。我们证明了它们的共轭问题对于图同构的复杂性类GI是完全的，并且块映射、因子映射和嵌入的存在性问题是NP-完全的。
2014-08-28 cs.CC cs.FL math.DS
Slicing Theorems and rigidity phenomena for self affine carpets
令$F$是由独立指数定义的Bedford-McMullen地毯。我们证明了$\overline{\dim}_B (\ell \cap F) \leq \max \lbrace \dim^* F -1,0 \rbrace$的所有线$\ell$不平行于主轴，其中$\dim^*$是Furstenberg的星维数（最大维数的微集）。我们还证明了几个刚性的结果不可分割的贝德福德-McMullen地毯，即地毯$F$和$E$，使所有定义指数是独立的：假设各种条件下，我们发现这种地毯的交叉的维度上的界限，表明自仿射措施，他们是相互奇异的，并证明他们不嵌入仿射到对方。我们得到这些结果作为一个切片定理的某些康托集的产品的应用。这个定理是Shmerkin和Wu证明Furstenberg切片猜想的结果的推广。
2018-12-30 math.CA math.DS math.MG
C*-algebras of minimal dynamical systems of the product of a Cantor set and an odd dimensional sphere
设β：S^\to S^n，其中n = 2k + 1，k \geq 1，是奇维球面的非唯一遍历极小自同态的已知例子之一.对于每一个这样的极小动力系统（S^n，β），存在一个Cantor极小系统（X，α），使得相应的乘积系统（X x S^n，αx β）是极小的，并且由此得到的交叉积C*-代数C（X x S^n）\rtimes_{αx β} \mathbb{Z}是迹逼近区间代数（TAI）.这就需要对这样的C* 代数进行分类。此外，极小Cantor系统（X，α）使得C（X x S^n）\rtimes_β \mathbb{Z}上的每个迹态诱导K_0-群上的相同态，并且使得C（S^n）\rtimes_β \mathbb{Z}嵌入C（X x S^n）\rtimes_{αx β} \mathbb{Z}保持迹态空间.这意味着C（S^n）\rtimes_β \mathbb{Z}在用泛UHF代数张量后是TAI，这反过来表明这些奇维球面的极小同态的例子的C* 代数-代数是由它们的迹状态空间分类的。
2014-10-17 math.DS math.OA
Computing the equilibrium measure of a system of intervals converging to a Cantor set
Center for Non-linear and Complex Systems（非线性与复杂系统中心）；Dipartimento di Scienze ed Alta Tecnologia（科学与技术高等学院）；Università dell’ Insubria（因斯布鲁克大学）；I.N.F.N. sezione di Milano（意大利国家核物理研究所米兰分部）；CNISM unità di Como（科莫单元意大利凝聚态物质创新研究中心）
提出一种数值技术，用于计算一维仿射迭代函数系统吸引子上的对数势理论平衡测度，通过有限区间并集上的平衡测度序列逼近，并解决数值计算中的积分和非线性方程组问题。
2013-01-09 cs.NA math-ph math.DS
Rigidity properties of full groups of pseudogroups over the Cantor set
证明了康托尔集上极小伪群的（拓扑）完全群满足拓扑动力学和组合性质的各种刚性现象。我们的主要结果适用于它可能的同态到其他群的同胚，并意味着任意的同态之间的完全群的一个巨大的类的伪群必须扩展到连续态射之间的伪群（特别是产生等变映射在空间的水平）。作为应用，我们得到了完全群之间嵌入存在的显式障碍，即伪群的不变量（几何的轨道图，复杂性函数，动力学的同源性），并提供了一个完整的描述所有同态内的各种家庭的群体，包括Higman-Thompson集团（更一般的是有限型单侧移位的完全群），康托尔集上最小$\mathbb{Z}$ -作用的完全群，以及一类区间交换群。接下来，我们考虑一个组合刚性属性的群体，正式的一组无法采取行动的任何一组施赖尔图均匀增长次指数，或更一般地不快于一个给定的功能$f(n)$。对于指数函数，这是性质$(T)$的一个众所周知的结果。我们使用完全群来提供满足这个性质但满足性质$(T)$的强否定的群的例子的来源。在证明中使用的一个关键工具是研究动态的共轭群作用的空间的子群，赋予了Chabauty拓扑。特别地，我们对完全群的封闭子群和一致递归子群进行了分类。
2018-12-10 math.DS math.GR
On the intersections of homogeneous self-similar sets with their translates in $\mathbb{R}^{n}$ and a formulation of multiplicative invariance in $\mathbb{Z}^{n}$
Queen’s University（女王大学）
本文研究了自仿集在R^n中的交集性质，提出了乘法不变性的定义，并探讨了其与n维环面不变集的关系。
2026-04-21 math.DS math.MG
Non-strong ergodicity of canonical actions of the Thompson groups
The Polytechnic University of Japan（日本工业大学）
证明Thompson群V及其推广在Cantor集上的典范作用不是强遍历的，导致交叉积von Neumann代数不饱满，并得到Thompson群的非嵌入结果。
2026-06-19 math.DS math.GR math.OA
