On Computing a Center Persistence Diagram
贯穿本文，持久性图${\cal P}$由线$Y=X$上方的平面点（每个对应于拓扑特征）的集合$P$以及线$Y=X$本身组成，即，${\cal P}=P\cup\{(x,y)|y=x\}$。给定一组持久化图${\cal P}_1,...,{\cal P}_m$，为了进行数据约简，首先计算瓶颈距离下的{ \em中心} ${\cal C}$，以总结其拓扑特征。我们考虑两个离散的版本和一个连续的版本。出于技术原因，我们首先关注当$|P_i|$都相同时的情况（即，都具有相同的大小$n$），并且问题是在瓶颈匹配距离下计算中心点集$C$。我们表明，从平面三维匹配问题的非平凡减少，这个问题是NP-困难的，即使当$m=3$图。这意味着当$P_i$可能有不同的大小时，在瓶颈距离下持久图的一般中心问题在$m\geq 3$时也是NP难的。在积极的一面，我们表明，这个问题是多项式可解的$m=2$时，并承认$m\geq 3$的因子-2近似。当$P_i$是相同大小的点集时，这些正结果对于任何$L_p$度量都成立，并且当$P_i$在$L_\infty$度量中具有不同大小时（即，中心持久性图问题）。这是在瓶颈距离下的中心持久图在多项式时间内的最佳可能，除非P = NP。所有这些结果都适用于离散版本以及连续版本;事实上，NP-硬度和近似结果也适用于连续版本的Wasserstein距离。
2020-02-10 cs.CG
Approximation algorithms for 1-Wasserstein distance between persistence diagrams
近年来，使用拓扑摘要，特别是持久性图（编码所谓的持久同源性）分析复杂形状的巨大增长。直观地说，持久同源性将一个潜在的复杂输入对象（可以是图、图像或点集等）映射到一个统一类型的特征摘要，称为持久性图。然后可以使用这种持久性图表示来执行下游数据分析任务。一个关键的问题是有效地计算两个持久性图之间的距离。特别地，持久性图本质上是平面上的多点集，一个流行的距离是持久性图之间的所谓1-Wasserstein距离。在本文中，我们提出了两个算法来近似的1-Wasserstein距离持久图在近线性时间。这些算法主要遵循与现有的两个算法相同的思想，通过随机移位四叉树来近似欧几里德空间中两个有限点集之间的最优传输。我们展示了如何这些算法可以有效地适应持久性图的情况下。我们的算法是更有效的比以前的精确和近似算法，无论是在理论上和实践中，我们通过大量的实验证明了它的效率。它们在概念上很简单，易于实现，代码在github上公开。
2021-04-15 cs.CG cs.DS
Universality of persistence diagrams and the bottleneck and Wasserstein distances
本文证明带p-瓦瑟斯坦距离的持久性图在特定度量空间上构成普适p-次可加交换幺半群，结果适用于多类持久性结构，且1-瓦瑟斯坦距离满足康托罗维奇-鲁宾斯坦对偶性。
2021-10-27 cs.CG math.AT
On the cosine similarity and orthogonality between persistence diagrams
本文针对持久性图相似度问题，提出余弦相似度作为新指标并引入正交性概念，实验证明其比bottleneck和Wasserstein等标准距离更准确。
2025-04-06 cs.CG math.AT
Revisiting the Sliced Wasserstein Kernel for persistence diagrams: a Figalli-Gigli approach
École polytechnique（巴黎综合理工学院）；Univ. Gustave Eiffel（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
本文提出基于Figalli-Gigli距离的切片核，改进持久图嵌入的几何忠实性，同时保持计算简便性和理论性质。
2026-02-06 cs.CG stat.ML
On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces
持久性图是拓扑数据分析中的重要描述符。由于配备有其{ \em图距离}的持久性图的空间的非线性，最近在机器学习中使用持久性图的大多数尝试已经通过内核方法完成，即，将持久性图嵌入到再生核希尔伯特空间中，所有计算都可以很容易地执行。由于持久性图享有图距离的理论稳定性保证，因此特征图的{ \em度量属性}，即，希尔伯特距离和图距离之间的关系，对于理解持久性图是否保证延续到嵌入是重要的。在这篇文章中，我们研究的可能性嵌入持久性图到可分希尔伯特空间，双Lipschitz映射。特别是，我们表明，几个稳定的嵌入到文献中定义的无限维希尔伯特空间，任何下界必须依赖于基数的持久性图，当希尔伯特空间是有限维的，找到一个双Lipschitz嵌入是不可能的，即使限制持久性图有界基数。
2019-08-07 cs.CG cs.LG math.AT
Reconstructing Embedded Graphs from Persistence Diagrams
持久性图（PD）是一种越来越流行的拓扑描述符。通过在不同尺度上对拓扑特征的大小和突出性进行编码，PD提供了关于空间的重要几何和拓扑信息。最近的工作表明，精心选择的（有限）集的PD可以区分几何单纯形复合体，提供了一种方法，用于表示复杂的形状使用一组有限的描述符。一个相关的逆问题是：给定一组PD（或者我们可以查询持久性图的预言），什么是潜在的几何单纯复形？本文提出了一种从$n^2 - n + d + 1$有向（增广）PD中重构具有$n$顶点的$\mathbb{R}^d$中的嵌入图（$\mathbb{R}^2$中的平面图）的算法.此外，我们经验验证我们的算法的正确性和时间复杂度在$\mathbb{R}^2$随机生成的平面图使用我们的实现，并解释实现我们的算法的数值限制。
2020-06-18 cs.CG
Learning metrics for persistence-based summaries and applications for graph classification
最近，一种新的特征表示和数据分析方法，基于一种称为持久同源性（及其相应的持久性图摘要）的拓扑工具，已经开始吸引势头。已经开发了一系列方法来将持久性图映射到向量表示，以便促进机器学习工具的下游使用，并且在这些方法中，通常预设不同持久性特征的重要性（权重）。然而，在实践中，权重函数的选择通常应该取决于所考虑的特定类型数据的性质，因此非常希望从标记数据中学习最佳权重函数（以及持久性图的度量）。我们研究这个问题，并开发了一个新的加权内核，称为WKPI，持久性摘要，以及一个优化框架，学习一个很好的度量持久性摘要。我们的核和优化问题都有很好的性质。我们进一步将学习的内核应用于具有挑战性的图分类任务，并表明我们基于WKPI的分类框架在基准数据集上获得了与以前的一系列图分类框架相似或（有时显着）更好的结果。
2019-12-12 cs.CG
Higher-order Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文提出高阶持续图，通过递归构造保留持续区间间的包含关系，利用谐波分析将聚合图的频域评估转化为zeta变换，实现高效的比较与聚合，实验显示在随机网络模型中速度显著提升。
2026-10-27 cs.CG math.AT math.FA
Adaptive Partitioning for Template Functions on Persistence Diagrams
Michigan State University（密歇根州立大学）
随着拓扑数据分析领域在理论和应用上的不断成功，人们对将该领域的工具与机器学习方法一起使用越来越感兴趣。使用持久性同源性，特别是持久性图，作为机器学习技术的输入，需要一些数学创造力。持久性图空间不具有机器学习所需的性质，因此已经开发了诸如核方法和向量化方法的方法。Perea、Munch和Khasawneh对持久性图的一个这样的特征化使用了连续的、complex支持的函数，称为“模板函数”，这导致了持久性图的稳定向量表示。在本文中，我们提供了一种方法，自适应分区持久性图，以改善这些特征化的基础上本地化的信息图。此外，我们提供了一个框架，以自适应地选择所需的模板功能，以最好地利用分区方法的参数。我们目前的结果应用于示例数据集比较分类结果之间的模板功能featurizations与不分区，除了其他方法从文献中。
2019-10-18 cs.CG cs.LG
Poincaré Duality for Generalized Persistence Diagrams of (co)Filtrations
本文将滤过的广义持久化图理论推广到余滤过，并在流形情形建立两类广义持久化图之间的 Poincaré 对偶，同时阐明其函子性及与 Rota Galois 联络定理的联系。
2024-04-07 cs.CG math.AT math.CT
Geodesics in persistence diagram space
众所周知，对于各种度量的选择，包括标准瓶颈距离，持久性图的空间允许测地线。典型地，这些存在结果产生具有凸组合形式的测地线。更具体地说，给定两个持久性图和度量的选择，获得实现图之间的距离的双射，并使用该双射从一个图线性插值到另一个图。我们证明了对于几个度量族，持久图空间中的每个测地线都是这样的凸组合。对于度量的某些其他选择，我们显式地构造不具有这种形式的测地线的无限族。
2019-05-26 cs.CG math.AT math.MG
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Robust Barycenters of Persistence Diagrams
本文提出了一种计算持久图鲁棒Wasserstein重心的方法，适用于q∈(1,2)的运输成本，用于持久图聚类和词典编码。
2026-01-21 cs.CG cs.LG
Persistence Curves: A canonical framework for summarizing persistence diagrams
University of North Carolina at Greensboro（北卡罗来纳大学格林斯伯勒分校）；Eli Lilly and Company（礼来公司）
持久性图是拓扑数据分析领域的主要工具之一。它们包含有关数据形状的丰富信息。在持久性图的空间上使用机器学习算法被证明是具有挑战性的，因为该空间缺乏内积。因此，以与机器学习兼容的方式转换这些图是TDA当前研究的重要课题。在本文中，我们的主要贡献包括三个组成部分。首先，我们开发了一个通用的和统一的矢量化图，我们称之为\textit{Persistence Curves}（PC）的框架，并显示几个著名的摘要，如持久性景观，属于PC框架。其次，我们提出了几个新的总结基于PC框架，并提供了一个理论基础，为他们的稳定性分析。最后，我们提出的PC应用到两个应用-纹理分类和确定离散动力系统的参数，其性能与其他TDA方法具有竞争力。
2021-08-09 cs.CG cs.CV math.AT
Meta-Diagrams for 2-Parameter Persistence
我们首先介绍了元秩的概念，一个2参数的持久性模块，一个不变量，捕捉图像背后的信息的模块的1D切片之间的态射。然后，我们将2参数持久化模块的元图定义为元秩的莫比乌斯反演，从而得到一个从有符号1参数持久化模块中取值的函数。我们表明，元秩和元图包含的信息相当于秩不变量和签署的条形码。这种等价性导致计算的好处，因为我们介绍了一种算法，用于计算元秩和元图的2参数模块$M$索引的双过滤的$n$简单的$O(n^3)$时间。这意味着对用于计算签名条形码的现有算法的改进，其具有$O(n^4)$运行时间。这也使我们能够改善现有的上界的数量矩形的秩分解$M$从$O(n^4)$到$O(n^3)$。此外，我们定义的概念之间的侵蚀距离的元秩和元图之间，并表明，在这些距离下，元秩和元图是稳定的交织距离。最后，元图可以以直观的方式可视化为图的持久性图，它概括了1参数设置中易于理解的持久性图。
2023-03-14 cs.CG math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
Stability of persistence spaces of vector-valued continuous functions
多维持久化模块不允许使用类似于持久化图为实值函数提供的简洁表示。然而，对于多维持久贝蒂数，不存在任何障碍。因此，寻找关于那些仅与持久性贝蒂数相关的属性的持久性图的一般化是合理的。本文引入向量值连续函数的持久性空间，推广了持久性图的概念。主要结果是它在函数扰动下的稳定性：向量值函数的任何变化都意味着它们的持续空间之间的Hausdorff距离没有更大的变化。
2013-05-28 cs.CG math.DS
Generalized Persistence Diagrams for Persistence Modules over Posets
当范畴$\mathcal{C}$满足一定的条件时，我们从范畴论的角度定义了任意偏序集索引函子$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$的秩不变量的概念.这推广了秩不变的标准概念以及帕特尔最近的扩展。具体地说，利用容斥原理，可以从秩不变量中提取出有限维向量空间的任意区间可分解持久性模块$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathbf{vec}$的条码.推广这一思想允许自由选择索引偏序集$\mathbf{P}$的$F: \mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$在定义帕特尔的广义持久性图的$F$。特别重要的是，定义$F$的广义持久性图而不管$F$是否是区间可分解的。通过将我们的想法专门化到锯齿形持久性模块，我们还表明，Reeb图的条形码可以在纯粹的集合论设置中获得，而无需传递到向量空间的类别。这导致推广的帕特尔的连续性定理类型$\mathcal{A}$持久图Lipschitz连续性定理的集范畴。
2021-08-03 cs.CG math.AT
Continuation of Point Clouds via Persistence Diagrams
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与计算科学学院）；WPI-Advanced Institute for Materials Research (WPI-AIMR), Tohoku University（东北大学世界顶尖研究中心材料研究高级研究所）
本文提出利用持续图延续点云的数学和算法框架，通过持续图的可微性应用牛顿-拉夫森方法，将原始点云转换为目标持续图的中间点云。
2015-06-10 cs.CG cs.NA math.AT
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Bottleneck Profiles and Discrete Prokhorov Metrics for Persistence Diagrams
针对持续图中Wasserstein和Bottleneck距离的缺陷，提出瓶颈剖面与离散Prokhorov度量，证明其稳定性与界限，并提供计算算法与实验验证。
2022-09-12 cs.CG math.AT
Canopies: A Generalization of Vines and Vineyards for Parameterized Persistence
University at Albany – SUNY（奥尔巴尼大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
提出 canopy 结构用于参数化持久性研究，通过追踪创建持久性点的单纯对而非点本身，实现链复形信息的组合版本，并证明不同选择导致同胚结构。
2026-06-24 cs.CG
Probabilistic Fréchet Means for Time Varying Persistence Diagrams
为了使用持久性图作为一个真正的统计工具，对一组图的均值和方差有一个好的概念是非常有用的。2011年，Mileyko和他的合作者首次研究了$(\mathcal{D}_p,W_p)$中的Fréchet平均值的性质，$(\mathcal{D}_p,W_p)$是配备了第p个Wasserstein度量的持久性图空间。特别是，他们表明，弗雷谢平均的有限集的图表总是存在的，但不一定是唯一的。一组连续变化的图表的平均值本身并不（必然）连续变化，这在试图将弗雷歇平均值定义扩展到葡萄园领域时会出现明显的问题。我们通过改变Fréchet平均值的原始定义来解决这个问题，这样它现在就变成了持久性图集合上的一个概率测度;简而言之，一组图的平均值将是原子度量的加权和，其中每个原子本身就是一个持久性图，使用输入图的扰动来确定。该定义为每个$N$给出映射$(\mathcal{D}_p)^N \to \mathbb{P}(\mathcal{D}_p)$。我们表明，这张地图是Hölder连续有限图，因此可以用来建立一个有用的统计随时间变化的持久性图，更好地称为葡萄园。
2014-11-18 cs.CG math.AT math.PR
Robust Persistence Diagrams using Reproducing Kernels
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
持久同调是从数据中提取几何和拓扑特征的重要工具，其多尺度特征可以用持久图来概括。然而，从统计的角度来看，持久性图对输入空间的扰动非常敏感。在这项工作中，我们开发了一个框架，用于构建强大的持久性图从上层过滤的强大的密度估计使用再生核。使用持久性图空间上的影响函数的模拟，我们建立了对离群值不太敏感的建议框架。鲁棒持久性图被证明是瓶颈距离的一致估计，其收敛速度由核的光滑性控制。这反过来又使我们能够在持久性图的空间中构建统一的置信带。最后，我们证明了所提出的方法在基准数据集上的优越性。
2022-06-03 cs.CG cs.LG math.AT
Edit Distance and Persistence Diagrams Over Lattices
本文为持续同调构建了一个以有限度量格索引的过滤单纯复形为输入、以生灭函数的默比乌斯反演持续图为输出的函子化流程，通过证明两个函子均为1-Lipschitz确保了流程稳定性，并推广了经典持续图，证明了瓶颈距离与编辑距离强等价。
2024-08-28 cs.CG math.AT
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
Approximating Continuous Functions on Persistence Diagrams Using Template Functions
持久性图是拓扑数据分析中越来越有用的工具，但它与典型的机器学习技术一起使用需要数学技巧。迄今为止最成功的方法是将持久性图映射到向量空间，以最大化保留的结构。这个过程通常被称为特征化。在本文中，我们描述了一个数学框架的featurization称为\emph{template functions}，我们表明，它解决了问题的持续性图空间的紧凑子集上的连续函数近似。具体来说，我们首先描述相对紧性的瓶颈距离，然后提供明确的理论方法，构造紧开稠密子集的持续图上的连续函数。这些密集的子集--通过模板函数获得--用于持久性图的监督学习任务。具体来说，我们测试的方法，包括形状数据和动力系统的几个例子的分类和回归算法。
2022-04-12 cs.CG math.AT math.ST
Output-sensitive Computation of Generalized Persistence Diagrams for 2-filtrations
本文提出一种输出敏感算法，利用2-参数与1-参数设置的联系，在O(n^3+Cn)时间内计算广义持久性图表，显著优于暴力算法的Ω(n^4)。
2023-05-16 cs.CG math.AT
Optimal rates of convergence for persistence diagrams in Topological Data Analysis
计算拓扑学是近年来数据分析领域的一个重要发展，它催生了拓扑数据分析领域。拓扑持久性，或持久的同源性，出现在这个领域的一个基本工具。本文用统计方法研究了一般度量空间中的拓扑持久性。我们表明，使用持久的同源性可以自然地被认为是在一般的统计框架和持久性图可以用作统计有趣的收敛特性。一些数值实验进行了各种情况下，以说明我们的结果。
2013-05-27 cs.CG cs.LG math.GT
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Estimation of Persistence Diagrams via the Three Gap Theorem
本文通过结合数论中的三间隙定理与拓扑数据分析中的持续同调公式，提出快速计算滑动窗口嵌入持久图的方法，用于分析拟周期信号的拓扑结构。
2026-03-04 cs.CG math.AT math.DS
Computing Wasserstein Distance for Persistence Diagrams on a Quantum Computer
持久性图是拓扑数据分析的一个有用工具，它可以用来提供过滤拓扑空间的简洁描述。使它们在实践中更有用的是，它们带有一个度量的概念，即瓦瑟斯坦距离（与概率论中的homestone度量密切相关，但不相同）。此外，该度量提供了稳定性的概念;也就是说，输入中的小噪声在最坏的情况下会导致输出中的小差异。在本文中，我们证明了持久性图的Wasserstein距离可以通过量子退火计算。我们提供了一个制定的问题作为一个二次无约束二进制优化问题，或QUBO，并证明正确性。最后，我们测试我们的算法，探索参数选择和问题大小的能力，使用D-Wave 2000 Q量子退火计算机。
2018-11-02 cs.CG cs.ET quant-ph
On the choice of weight functions for linear representations of persistence diagrams
持久性图是点云拓扑结构的有效描述符。由于它们不自然属于希尔伯特空间，因此标准统计方法无法直接应用于它们。相反，特征图（或表示）通常用于分析。我们称之为线性的一大类特征映射依赖于一些权函数，权函数的选择是一个关键问题。选择权函数的一个重要标准是确保特征映射相对于图上的Wasserstein距离的稳定性。我们改进了有关此类映射稳定性的已知结果，并将其扩展到一般的权函数。我们还通过考虑渐近设置来解决权函数的选择;假设$\mathbb{X}_n$是i.i.d.从$[0,1]^d$上的密度采样。对于Čech和Rips过滤，我们描述了权函数，相应的特征映射收敛为$n$接近无穷大，并通过这样做，我们证明了大数定律的总持久性，这样的图。这两种方法（稳定性和收敛性）导致了相同的简单启发式调整权函数：如果数据位于$d$维流形附近，那么权函数的明智选择是持久化到具有$α\geq d$的幂$α$。
2020-11-30 cs.CG math.PR
A computationally efficient framework for vector representation of persistence diagrams
Bowling Green State University（鲍林格林州立大学）；Marquette University（马凯特大学）
在拓扑数据分析中，量化数据形状的常用方法是使用持久性图（PD）。PD是使用代数拓扑工具计算的$\mathbb{R}^2$中的多点集。然而，这种多集合结构限制了PD在应用中的效用。因此，近年来的努力已经指向从PD中提取信息丰富且有效的摘要，以拓宽其用于机器学习任务的范围。我们提出了一个计算效率高的框架转换成一个矢量的PD在$\mathbb{R}^n$，称为矢量化持久块（VPB）。我们表明，我们的表示具有许多基于向量的摘要所需的属性，如相对于输入噪声的稳定性，低计算成本和灵活性。通过仿真研究，我们证明了VPB的有效性，在各种学习任务，即聚类，分类和变点检测的性能和计算成本。
2021-09-16 cs.CG cs.CV
Adaptive template systems: Data-driven feature selection for learning with persistence diagrams
Michigan State University（密歇根州立大学）
持久性图的特征提取作为丰富机器学习技术的一种工具，近年来受到越来越多的关注。在本文中，我们探讨了一种自适应的方法来本地化的持久图，然后在学习任务中使用的功能。具体来说，我们研究了三种算法，CDER，GMM和HDBSCAN，以获得自适应模板功能/功能。所述功能进行评估，在三个分类实验与持久性图。即，流形，人体形状和蛋白质分类。我们的分析的主要结论是，自适应模板系统，作为一种特征提取技术，在所研究的例子中产生有竞争力的，往往是优越的结果。此外，从这里研究的自适应算法，CDER始终提供最可靠和强大的自适应特征化。
2019-10-13 cs.CG cs.LG eess.IV
Understanding the Power of Persistence Pairing via Permutation Test
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
最近，许多努力已被纳入持久性图，拓扑数据分析（TDA）的主要工具之一，到机器学习管道。为了更好地理解持久性图的能力和局限性，我们对图形数据和形状数据进行了一系列实验，旨在解耦和检查所涉及的不同因素的影响。为此，我们还提出了所谓的持久性图的\emph{permutation test}来描绘关键值和关键值的配对。对于图分类任务，我们注意到，虽然持久性配对在各种基准数据集上产生了一致的改进，但对于测试的各种过滤函数，大多数区分能力来自临界值。然而，对于形状分割和分类，我们注意到持久性配对在大多数基准数据集上显示出显着的能力，并且在仅仅基于临界值的摘要和基于排列测试的摘要上都有所改进。我们的研究结果有助于提供见解时，持久性图为基础的摘要可能更合适。
2020-01-16 cs.CG cs.LG stat.ML
Reduction Algorithms for Persistence Diagrams of Networks: CoralTDA and PrunIT
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
拓扑数据分析（TDA）提供了传统方法无法获得的数据内在属性的宝贵和补充信息。然而，高计算成本仍然是阻碍TDA在现实世界研究中成功应用的主要障碍，特别是在大型复杂网络上的机器学习。事实上，大多数现代网络，如引文、区块链和在线社交网络，往往有数十万个顶点，使得现有的TDA方法的应用不可行。我们开发了两个新的，非常简单，但有效的算法来计算大图的精确持久性图，以解决这个主要的TDA限制。首先，我们证明了图$\mathcal{G}$的$(k+1)$ -core足以计算它的$k^{th}$持久图$PD_k(\mathcal{G})$ .其次，我们引入了一个剪枝算法，通过删除控制顶点来计算图的持久性图。我们在大型网络上的实验表明，我们的新方法可以实现高达95%的计算增益。所开发的框架提供了图论和TDA之间的第一个桥梁，在大型复杂网络的机器学习中的应用。我们的实现可以在https://github.com/cakcora/PersistentHomologyWithCoralPrunit上获得
2022-11-24 cs.CG cs.LG math.AT
Wasserstein convergence of Čech persistence diagrams for samplings of submanifolds
该研究针对子流形采样场景，证明了Čech持久图在Wasserstein距离$OT_p$下收敛的充要条件是$p>m$，改进了瓶颈稳定性定理并提出总$α$-持久性的新大数定律，为拓扑数据分析的机器学习应用相关特征映射行为提供了理论支撑。
2024-07-12 cs.CG math.PR
Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem
持久同源性是拓扑数据分析的核心工具，它提供了称为条形码（也称为持久性图）的数据的不变量。条形码只是一个真实区间的多重集合。Edelsbrunner、Jablonski和Mrozek最近的工作提出了条形码作为函子R -> Mch的等价描述，其中R是实数的偏序集范畴，Mch是其对象是集合并且其态射是匹配的范畴（即，部分内射函数）。这样的函子形成范畴Mch^R，其态射是自然变换。因此，条形码的这种解释给了我们一个迄今为止尚未研究的条形码分类结构。本说明的目的是表明，这种范畴结构导致了众所周知的持久同调稳定性定理和最近的一个称为诱导匹配定理的推广的令人惊讶的简单重新表述。
2019-06-10 cs.CG math.AT math.CT
Super-Polynomial Growth of the Generalized Persistence Diagram
针对多参数持久化中广义持久图（GPD）计算的挑战，本文证明其基数呈超多项式增长，构造出无法被单形数量多项式界定的d参数滤过序列，揭示计算GPD的固有困难。
2025-04-15 cs.CG math.AT
Learning on Persistence Diagrams as Radon Measures
Colorado State University（科罗拉多州立大学）；University of Florida（佛罗里达大学）；Northeastern University（东北大学）
持久性图是出现在各种分类和回归任务中的数据拓扑结构的常见描述符。它们可以推广到支撑在生灭平面上并具有最佳输运距离的Radon测度。这样的措施的例子是持久性图的空间上的概率分布的期望。在本文中，我们开发的方法来近似连续函数的Radon措施的空间上支持的生灭平面，以及它们的利用监督学习任务。事实上，我们表明，任何连续函数定义在一个紧凑的子集的空间，这样的措施（例如，分类器或回归器）可以通过使用生灭平面（模板）上的连续紧支函数计算的特征的多项式组合来任意地很好地近似。我们提供的氡措施的空间相对紧凑的子集的结构的见解，并测试我们的近似方法对各种数据集和监督学习任务。
2022-12-16 cs.CG cs.LG math.AT
Relative Interlevel Set Cohomology Categorifies Extended Persistence Diagrams
由Cohen-Steiner、Edelsbrunner和Harer引入的扩展持久图是实值连续函数的不变量，它是$\mathbb{F}$ -驯服的，在这个意义上，所有开的层间集都有度方面的有限维上同调，系数在一个固定的域$\mathbb{F}$中。我们表明，相对层间集上同调（RISC），这是基于迈耶-Vietoris金字塔的卡尔森，德席尔瓦，和Morozov，归类这个不变量。更具体地说，我们定义了一个阿贝尔弗罗贝纽斯范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的预层，这是在某种意义上可表示的，这样的RISC $h(f)$的$\mathbb{F}$ -驯服功能$f \colon X \rightarrow \mathbb{R}$是$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$的对象，而且$f$的扩展持久性图唯一地确定-并确定-相应的元素$[h(f)] \in K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的Grothendieck群$K_0 (\mathrm{pres}(\mathcal{J}))$的阿贝尔范畴$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$。作为一个中间步骤，我们表明，$\mathrm{pres}(\mathcal{J})$是阿贝尔化的（本地化）范畴的复合物的$\mathbb{F}$ -线性层上的$\mathbb{…
2022-09-05 cs.CG math.AT math.KT
Unreduced Persistence Diagrams for Topological Machine Learning
Department of Mathematics and Statistics, Florida Atlantic University, Boca Raton, FL（数学与统计学系，佛罗里达国际大学， Boca Raton, FL）
研究未约简边界矩阵生成的拓扑特征向量在机器学习中的性能，发现其与完全约简持久图性能相当甚至更优，且计算内存需求低一个数量级。
2026-06-18 cs.CG cs.LG math.AT
A Topological Distance between Multi-fields based on Multi-Dimensional Persistence Diagrams
本文提出基于多维Reeb图和持续图计算多场拓扑距离的新方法，证明了其伪度量性质和稳定性，并在形状检索和化学键检测中验证了优于传统Reeb图方法的辨别力。
2023-09-09 cs.CG cs.GR
Progressive Wasserstein Barycenters of Persistence Diagrams
CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出了一种有效的算法，逐步逼近持久图的Wasserstein重心，并应用于集合数据的可视化分析。给定一组标量场，我们的方法使持久性图的计算，这是一组代表，并在视觉上传达的数量，数据范围和显着性的主要特征中发现的集。这样的代表图是通过计算明确的离散Wasserstein重心的持久性图，一个臭名昭著的计算密集型的任务。特别是，我们重新审视了Wasserstein距离逼近的有效算法[12，51]，以扩展之前关于重心估计的工作[94]。我们提出了一种新的快速算法，它逐步逼近的重心迭代增加计算精度以及输出图中的持久功能的数量。这种渐进性大大提高了收敛在实践中，并允许设计一个可中断的算法，能够尊重计算时间的限制。这使得在交互时间内的瓦瑟斯坦重心的近似。我们提出了一个应用集成聚类，我们重新审视的k-均值算法，利用我们的重心和计算，在执行时间的限制，有意义的集群集成数据以及他们的重心图。在合成和现实生活中的数据集上进行的大量实验报告说，我们的算法收敛到对应用程序有定性意义的重心，并且在数量上与以前的技术相当，同时在运行时提供一个数量级的加速，直到收敛（没有时间限制）。我们的算法可以平凡的并行化，以提供额外的加速在标准工作站上的实践。[...]
2019-10-09 cs.CG cs.CV cs.DS
Dynamical Persistent Homology via Wasserstein Gradient Flow
本研究针对拓扑数据分析提出新方法，通过开发算法将持久图沿瓦瑟斯坦梯度流的动态变化反向转换到数据空间，实现数据的直接操纵，为数据分析与解释提供强大工具。
2024-12-05 cs.CG math.AT
Stochastic Convergence of Persistence Landscapes and Silhouettes
持久同源性是拓扑数据分析中广泛使用的工具，它将多尺度拓扑信息编码为平面上的多点集，称为持久性图。将统计理论直接应用于图表的随机样本是困难的。相反，我们可以用Bubenik引入的持久性景观来总结持久性同源性，它将图转换为行为良好的实值函数。我们研究了景观的统计性质，如平均景观的弱收敛性和自助法的收敛性。此外，我们介绍了一个替代功能的持续同源性，我们称之为剪影总结，并得出一个类似的统计理论。
2013-12-02 cs.CG math.AT math.ST
Morse-based Fibering of the Persistence Rank Invariant
虽然多参数持续同源性是分析多变量数据的有用工具，但在现有的拓扑数据分析工具箱中仍然缺乏计算这些模块的有效方法。其他问题，如产出的解释和可视化，仍然难以解决。可视化多参数持久性图的软件目前仅适用于2维持久性模块。多参数持久性模块的最简单的不变量之一是其秩不变量，定义为对通过多参数的给定值对的过滤中存在的线性无关同源类的数量进行计数的函数。我们提出了一个步骤的解释和可视化的秩不变的持久性模块的任何给定数量的参数。我们展示了如何离散莫尔斯理论可用于计算的秩不变量，证明它是完全由其值的坐标是关键的离散莫尔斯梯度向量场的点。这些临界点将参数空间中所有正斜率直线的集合划分为等价类，使得同一类中沿着直线的秩不变量也是等价的。我们表明，我们可以推导出所有的持久性图的限制，在一个给定的类中的线从持久性图的限制，在该类中的代表。
2021-04-13 cs.CG math.AT
The structure and stability of persistence modules
我们给出了一个独立的治疗理论的持久化模块索引的真正的线。给出了标准结果的新证明。持久性图是使用测度论构造的。使用一种新的符号简化了线性代数引理，用于在代数表示上的计算。我们证明了传统方法所要求的严格的有限性条件对于证明持久性图的存在性和稳定性是不必要的。我们引入较弱的假设驯服持久性模块，这是在实践中遇到的，并足够强大的理论仍然工作。我们声称，由我们的框架启用的构造和证明更干净、更简单。
2013-03-20 cs.CG math.AT math.CT
Sliced Wasserstein Kernel for Persistence Diagrams
持久性图在拓扑数据分析中起着重要的作用，常用于描述复杂形状的拓扑性质。PD具有很强的稳定性，并已证明其在各种学习环境中的实用性。然而，它们并不生活在一个自然具有希尔伯特结构的空间中，通常与特定的距离进行比较，例如瓶颈距离。为了将PD合并到学习流水线中，已经针对PD提出了几种内核，其中强烈强调RKHS距离w.r.t. PD的干扰。在这篇文章中，我们使用Wasserstein距离的切片Wasserstein近似SW来定义PD的新内核，它不仅是可证明稳定的，而且是可证明判别的（取决于PD中的点数）。PD之间的Wasserstein距离$d_1$。我们还证明了它的实用性，通过开发一种近似技术，以减少内核的计算时间，并表明我们的建议相比，有利的PD在几个基准现有的内核。
2017-11-09 cs.CG math.AT stat.ML
