Sliced Wasserstein Kernel for Persistence Diagrams
持久性图在拓扑数据分析中起着重要的作用，常用于描述复杂形状的拓扑性质。PD具有很强的稳定性，并已证明其在各种学习环境中的实用性。然而，它们并不生活在一个自然具有希尔伯特结构的空间中，通常与特定的距离进行比较，例如瓶颈距离。为了将PD合并到学习流水线中，已经针对PD提出了几种内核，其中强烈强调RKHS距离w.r.t. PD的干扰。在这篇文章中，我们使用Wasserstein距离的切片Wasserstein近似SW来定义PD的新内核，它不仅是可证明稳定的，而且是可证明判别的（取决于PD中的点数）。PD之间的Wasserstein距离$d_1$。我们还证明了它的实用性，通过开发一种近似技术，以减少内核的计算时间，并表明我们的建议相比，有利的PD在几个基准现有的内核。
2017-11-09 cs.CG math.AT stat.ML
Wasserstein convergence of Čech persistence diagrams for samplings of submanifolds
该研究针对子流形采样场景，证明了Čech持久图在Wasserstein距离$OT_p$下收敛的充要条件是$p>m$，改进了瓶颈稳定性定理并提出总$α$-持久性的新大数定律，为拓扑数据分析的机器学习应用相关特征映射行为提供了理论支撑。
2024-07-12 cs.CG math.PR
Wasserstein Dictionaries of Persistence Diagrams
本文提出一种基于加权Wasserstein重心的持续图字典计算框架，通过多尺度梯度下降交替优化权重与原子图，实现高效的数据压缩与降维，并在公开数据集上验证了其效率与实用性。
2023-09-15 cs.CG cs.CV cs.GR
Sierpiński--Knopp Wasserstein Distance for Persistence Diagrams and Applications to 2-Wasserstein Approximation
CNRS（法国国家科学研究中心）；Sorbonne Université（索邦大学）
本文提出SK-Wasserstein距离用于持久态图，其计算复杂度为O(NlogN)，在实验中相比W2近似方法实现超2000倍加速，且在聚类任务中表现优于W2的平均链接划分，可兼容多种机器学习方法。
2026-09-02 cs.CG cs.LG
A Class of Topological Pseudodistances for Fast Comparison of Persistence Diagrams
Universidad de Chile（智利大学）；UC Chile（智利大学）；Department of Electrical Engineering（电气工程系）
本文提出扩展拓扑伪距离（ETD），通过可调复杂度在持久性统计与Wasserstein距离之间插值，兼顾精度与计算效率，并实验验证其优势。
2024-02-22 cs.CG cs.CV cs.LG
Bottleneck Profiles and Discrete Prokhorov Metrics for Persistence Diagrams
针对持续图中Wasserstein和Bottleneck距离的缺陷，提出瓶颈剖面与离散Prokhorov度量，证明其稳定性与界限，并提供计算算法与实验验证。
2022-09-12 cs.CG math.AT
Wasserstein Auto-Encoders of Merge Trees (and Persistence Diagrams)
CNRS/Sorbonne Université（法国国家科学研究中心/索邦大学）
本文提出MT-WAE框架，将自编码器扩展到合并树的Wasserstein度量空间，实现非线性编码，并应用于压缩与降维，实验验证高效且可复现。
2023-11-09 cs.CG cs.CV cs.GR
Approximate Nearest Neighbors in the Space of Persistence Diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的重要工具，它描述了过滤拓扑空间中特征的存在和大小。然而，当前比较持久性图和一组其他持久性图的方法在图的数量上是线性的，或者不提供性能保证。在本文中，我们应用局部敏感哈希的概念，以支持持久性图空间中的近似最近邻搜索。给定一组$n$ $(M,m)$ -有界持久性图的$Γ$，每个图最多有$m$点，我们将每个图的点快照舍入为立方格上的点，并为每个可能的快照舍入产生一个键。具体来说，我们在每个图上固定一个网格，并考虑每个图到四个最近的格点的快照。然后，我们提出了一个数据结构与$τ$级别$\mathbb{D}_τ$，存储所有快照的每个持久性图在$Γ$在每个分辨率。该数据结构具有大小$O(n5^mτ)$，以考虑变化的晶格分辨率以及快照和低持久性点的删除。为了搜索持久性图，我们通过将每个点捕捉到一个网格并删除低持久性的点来计算查询图的键。此外，随着晶格参数的减小，搜索我们的数据结构产生在$O((m\log{n}+m^2)\logτ)$时间中$Γ$中最近的图的六近似和在$O((m\log{n}+m^2+k)\logτ)$时间中$k$第六最近的图的常数因子近似。
2021-03-22 cs.CG
Persistence Diagrams and the Heat Equation Homotopy
持久性同源性是一种用于测量数据集和函数中存在的拓扑特征的工具。当我们遍历子级数据集或感兴趣的函数时，持久性将这些特征的出生和死亡配对。我关心的是用持久性来刻画两个函数f，g：M -> R之间的差异，其中M是一个拓扑空间。此外，我通过将热方程应用于差函数g-f来制定从g到f的同伦。通过堆叠与这个同伦相关的持久性图，我们创建了一个曲线葡萄园，将f的图中的点与g的图中的点连接起来。我看了这些图，其中M是正方形，球体，环面，还有克莱因瓶。查看这四个拓扑，我们注意到随着持久性图随时间变化的趋势（和差异）。
2010-02-09 cs.CG
Lifted Wasserstein Matcher for Fast and Robust Topology Tracking
Total S.A.（道达尔公司）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS Laboratoire d’Informatique de Paris 6（法国国家科学研究中心巴黎第六大学计算机实验室）
本文提出了一种鲁棒、高效的时变标量数据拓扑特征跟踪方法。结构跟踪持久性图之间的最佳匹配的基础上，相对于Wasserstein度量。这从根本上依赖于解决分配问题，一个特殊的情况下，最佳运输，为所有连续的时间步。我们的方法依赖于两个主要贡献。首先，我们回顾了库恩和Munkres的开创性的分配算法，我们专门适应的问题，匹配持久性图在一个有效的方式。其次，我们提出了一个扩展的Wasserstein度量，显着提高了几何稳定性域嵌入持久性对的匹配。我们表明，这种几何提升具有额外的积极的副作用，提高分配矩阵的稀疏性，因此计算时间。全局框架实现了一个粗粒度的并行计算持久性图，并找到最佳匹配并行每对夫妇的连续时间步。关键轨迹的构建相关联的连续匹配的持久性对随着时间的推移。在后处理阶段，利用几何阈值检测合并和分裂事件。在真实数据集上的大量实验表明，我们的匹配方法比开创性的Munkres算法快一个数量级。此外，与现代近似方法相比，我们的方法提供了有竞争力的运行时间，同时产生精确的结果。我们证明了我们的全球框架的实用性，从各种模拟的时变数据集提取临界点轨迹，并将其与现有的方法相比较，基于相关的重叠量。经验证明了对噪声和时间分辨率下采样的鲁棒性。
2019-01-02 cs.CG cs.CV cs.GR
Robust Barycenters of Persistence Diagrams
本文提出了一种计算持久图鲁棒Wasserstein重心的方法，适用于q∈(1,2)的运输成本，用于持久图聚类和词典编码。
2026-01-21 cs.CG cs.LG
Sketching Persistence Diagrams
给定一个持久性图与$n$点，我们给出了一个算法，产生一个序列的$n$持久性图收敛在瓶颈距离的输入图，其中的$i$ th有$i$不同的（加权）点，是一个$2$ -近似最接近的持久性图与许多不同的点。对于每一个近似，我们预先计算的$i$ th和$(i+1)$ st之间的最佳匹配。也许令人惊讶的是，整个序列的图以及序列的匹配可以表示在$O(n)$空间。主要的方法是使用持久性图的贪婪置换的变体来给出良好的Hausdorff近似并为这些子集分配权重。我们给出了一个新的算法来有效地计算这个置换，尽管高隐维的持久性图中的点，由于对角线的效果。草图的结构也允许快速（线性时间）近似图之间的豪斯多夫距离-瓶颈距离的下限。为了近似瓶颈距离，草图也可以用于直接计算线性尺寸的邻域图，从而避免了对用于瓶颈计算的现有技术方法中使用的几何数据结构的需要。
2020-12-03 cs.CG
Understanding the Topology and the Geometry of the Space of Persistence Diagrams via Optimal Partial Transport
本文通过最优部分传输将持久图空间推广为上半平面上的拉东测度空间，刻画其拓扑与几何性质，并用于研究随机持久图的统计特性。
2024-05-28 cs.CG math.GT
Approximating 1-Wasserstein Distance between Persistence Diagrams by Graph Sparsification
本文针对大规模持久图间1-Wasserstein距离计算困难的问题，提出通过点压缩、良分离对分解图稀疏化及并行化实现近线性时间的完全多项式时间近似方案，并开发了开源软件PDoptFlow，实验证明其误差低且性能优于现有方法。
2025-05-09 cs.CG
On the Metric Distortion of Embedding Persistence Diagrams into separable Hilbert spaces
持久性图是拓扑数据分析中的重要描述符。由于配备有其{ \em图距离}的持久性图的空间的非线性，最近在机器学习中使用持久性图的大多数尝试已经通过内核方法完成，即，将持久性图嵌入到再生核希尔伯特空间中，所有计算都可以很容易地执行。由于持久性图享有图距离的理论稳定性保证，因此特征图的{ \em度量属性}，即，希尔伯特距离和图距离之间的关系，对于理解持久性图是否保证延续到嵌入是重要的。在这篇文章中，我们研究的可能性嵌入持久性图到可分希尔伯特空间，双Lipschitz映射。特别是，我们表明，几个稳定的嵌入到文献中定义的无限维希尔伯特空间，任何下界必须依赖于基数的持久性图，当希尔伯特空间是有限维的，找到一个双Lipschitz嵌入是不可能的，即使限制持久性图有界基数。
2019-08-07 cs.CG cs.LG math.AT
Higher-order Persistence Diagrams
Kennesaw State University（肯尼索州立大学）
本文提出高阶持续图，通过递归构造保留持续区间间的包含关系，利用谐波分析将聚合图的频域评估转化为zeta变换，实现高效的比较与聚合，实验显示在随机网络模型中速度显著提升。
2026-10-27 cs.CG math.AT math.FA
Poincaré Duality for Generalized Persistence Diagrams of (co)Filtrations
本文将滤过的广义持久化图理论推广到余滤过，并在流形情形建立两类广义持久化图之间的 Poincaré 对偶，同时阐明其函子性及与 Rota Galois 联络定理的联系。
2024-04-07 cs.CG math.AT math.CT
On the cosine similarity and orthogonality between persistence diagrams
本文针对持久性图相似度问题，提出余弦相似度作为新指标并引入正交性概念，实验证明其比bottleneck和Wasserstein等标准距离更准确。
2025-04-06 cs.CG math.AT
Geodesics in persistence diagram space
众所周知，对于各种度量的选择，包括标准瓶颈距离，持久性图的空间允许测地线。典型地，这些存在结果产生具有凸组合形式的测地线。更具体地说，给定两个持久性图和度量的选择，获得实现图之间的距离的双射，并使用该双射从一个图线性插值到另一个图。我们证明了对于几个度量族，持久图空间中的每个测地线都是这样的凸组合。对于度量的某些其他选择，我们显式地构造不具有这种形式的测地线的无限族。
2019-05-26 cs.CG math.AT math.MG
$\ell^p$-Distances on Multiparameter Persistence Modules
出于拓扑数据分析的理论和实践考虑，我们将条形码上的$p$ -Wasserstein距离推广到多参数持久性模块。对于每个$p\in [1,\infty]$，我们实际上引入了两个这样的推广$d_{\mathcal I}^p$和$d_{\mathcal M}^p$，使得$d_{\mathcal I}^\infty$等于交织距离，而$d_{\mathcal M}^\infty$等于匹配距离。我们证明了在素域上的1-或2-参数持久模上，$d_{\mathcal I}^p$是泛模（即，最大）度量满足自然稳定性性质;这扩展了Skraba和Turner在1参数情况下针对条形码上的$p$ -Wasserstein距离的稳定性定理，并且也是第二作者给出的交织距离的普适性性质的密切类似物。我们还表明，$d_{\mathcal M}^p\leq d_{\mathcal I}^p$的所有$p\in [1,\infty]$，延长观察兰迪在$p=\infty$的情况下。我们观察到，在2参数持久性模块上，可以有效地逼近$d_{\mathcal M}^p$。在即将到来的配套文件中，我们应用这些结果的一些研究（$2$参数）多覆盖持续同源性的稳定性。
2021-11-11 cs.CG math.AT
Persistence Curves: A canonical framework for summarizing persistence diagrams
University of North Carolina at Greensboro（北卡罗来纳大学格林斯伯勒分校）；Eli Lilly and Company（礼来公司）
持久性图是拓扑数据分析领域的主要工具之一。它们包含有关数据形状的丰富信息。在持久性图的空间上使用机器学习算法被证明是具有挑战性的，因为该空间缺乏内积。因此，以与机器学习兼容的方式转换这些图是TDA当前研究的重要课题。在本文中，我们的主要贡献包括三个组成部分。首先，我们开发了一个通用的和统一的矢量化图，我们称之为\textit{Persistence Curves}（PC）的框架，并显示几个著名的摘要，如持久性景观，属于PC框架。其次，我们提出了几个新的总结基于PC框架，并提供了一个理论基础，为他们的稳定性分析。最后，我们提出的PC应用到两个应用-纹理分类和确定离散动力系统的参数，其性能与其他TDA方法具有竞争力。
2021-08-09 cs.CG cs.CV math.AT
The density of expected persistence diagrams and its kernel based estimation
持久性图在拓扑数据分析中起着基础性的作用，它们被用作建立在数据之上的过滤的拓扑描述符。它们存在于平面$\mathbb{R}^2$中的离散多点集中，这些点集可以等效地看作是$\mathbb{R}^2$中的离散测度。当数据为随机点云时，这些离散测度就成为随机测度，本文研究了随机测度的期望。首先，我们表明，对于广泛的一类过滤，包括Čech和Rips-Vietoris过滤，预期的持久性图，这是一个确定性的措施$\mathbb{R}^2$，有一个密度相对于勒贝格措施。其次，在前面的结果的基础上，我们表明，最近在[Adams & al.，持久性图像：持久同源性的稳定向量表示]可以被视为该密度的核估计。我们提出了一个交叉验证方案，选择一个最佳的带宽，这被证明是一个一致的过程来估计密度。
2019-03-22 cs.CG
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Adaptive Partitioning for Template Functions on Persistence Diagrams
Michigan State University（密歇根州立大学）
随着拓扑数据分析领域在理论和应用上的不断成功，人们对将该领域的工具与机器学习方法一起使用越来越感兴趣。使用持久性同源性，特别是持久性图，作为机器学习技术的输入，需要一些数学创造力。持久性图空间不具有机器学习所需的性质，因此已经开发了诸如核方法和向量化方法的方法。Perea、Munch和Khasawneh对持久性图的一个这样的特征化使用了连续的、complex支持的函数，称为“模板函数”，这导致了持久性图的稳定向量表示。在本文中，我们提供了一种方法，自适应分区持久性图，以改善这些特征化的基础上本地化的信息图。此外，我们提供了一个框架，以自适应地选择所需的模板功能，以最好地利用分区方法的参数。我们目前的结果应用于示例数据集比较分类结果之间的模板功能featurizations与不分区，除了其他方法从文献中。
2019-10-18 cs.CG cs.LG
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Continuation of Point Clouds via Persistence Diagrams
Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo（圣保罗大学数学与计算科学学院）；WPI-Advanced Institute for Materials Research (WPI-AIMR), Tohoku University（东北大学世界顶尖研究中心材料研究高级研究所）
本文提出利用持续图延续点云的数学和算法框架，通过持续图的可微性应用牛顿-拉夫森方法，将原始点云转换为目标持续图的中间点云。
2015-06-10 cs.CG cs.NA math.AT
Geometry Helps to Compare Persistence Diagrams
利用几何结构来改善离散指派问题的渐近复杂性是一个很好的研究课题。相比之下，使用几何学解决这类问题的实际优势还没有得到探讨。我们实现几何变种的Hopcroft-卡普算法的瓶颈匹配（根据以前的工作Efrat等人）。和Bertsekas的拍卖算法的Wasserstein距离计算。这两种实现都使用k-d树来用几何邻近查询代替线性扫描。我们对这个问题的兴趣源于计算持久性图之间距离的愿望，这是拓扑数据分析中经常出现的问题。我们表明，我们的几何匹配算法导致大量的性能增益，无论是在运行时间和内存消耗，在他们的纯组合的同行。此外，我们的实现明显优于唯一的其他实现可用于比较持久性图。
2016-06-10 cs.CG
Robust Persistence Diagrams using Reproducing Kernels
The Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
持久同调是从数据中提取几何和拓扑特征的重要工具，其多尺度特征可以用持久图来概括。然而，从统计的角度来看，持久性图对输入空间的扰动非常敏感。在这项工作中，我们开发了一个框架，用于构建强大的持久性图从上层过滤的强大的密度估计使用再生核。使用持久性图空间上的影响函数的模拟，我们建立了对离群值不太敏感的建议框架。鲁棒持久性图被证明是瓶颈距离的一致估计，其收敛速度由核的光滑性控制。这反过来又使我们能够在持久性图的空间中构建统一的置信带。最后，我们证明了所提出的方法在基准数据集上的优越性。
2022-06-03 cs.CG cs.LG math.AT
Realizable piecewise linear paths of persistence diagrams with Reeb graphs
Saint Louis University（圣路易斯大学）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了Reeb图上的连续操作对持久图的影响，通过平滑操作探讨了持久图空间中路径的可实现性，解决了特定分段线性vineyard的逆问题。
2021-07-09 cs.CG
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Probabilistic Fréchet Means for Time Varying Persistence Diagrams
为了使用持久性图作为一个真正的统计工具，对一组图的均值和方差有一个好的概念是非常有用的。2011年，Mileyko和他的合作者首次研究了$(\mathcal{D}_p,W_p)$中的Fréchet平均值的性质，$(\mathcal{D}_p,W_p)$是配备了第p个Wasserstein度量的持久性图空间。特别是，他们表明，弗雷谢平均的有限集的图表总是存在的，但不一定是唯一的。一组连续变化的图表的平均值本身并不（必然）连续变化，这在试图将弗雷歇平均值定义扩展到葡萄园领域时会出现明显的问题。我们通过改变Fréchet平均值的原始定义来解决这个问题，这样它现在就变成了持久性图集合上的一个概率测度;简而言之，一组图的平均值将是原子度量的加权和，其中每个原子本身就是一个持久性图，使用输入图的扰动来确定。该定义为每个$N$给出映射$(\mathcal{D}_p)^N \to \mathbb{P}(\mathcal{D}_p)$。我们表明，这张地图是Hölder连续有限图，因此可以用来建立一个有用的统计随时间变化的持久性图，更好地称为葡萄园。
2014-11-18 cs.CG math.AT math.PR
Meta-Diagrams for 2-Parameter Persistence
我们首先介绍了元秩的概念，一个2参数的持久性模块，一个不变量，捕捉图像背后的信息的模块的1D切片之间的态射。然后，我们将2参数持久化模块的元图定义为元秩的莫比乌斯反演，从而得到一个从有符号1参数持久化模块中取值的函数。我们表明，元秩和元图包含的信息相当于秩不变量和签署的条形码。这种等价性导致计算的好处，因为我们介绍了一种算法，用于计算元秩和元图的2参数模块$M$索引的双过滤的$n$简单的$O(n^3)$时间。这意味着对用于计算签名条形码的现有算法的改进，其具有$O(n^4)$运行时间。这也使我们能够改善现有的上界的数量矩形的秩分解$M$从$O(n^4)$到$O(n^3)$。此外，我们定义的概念之间的侵蚀距离的元秩和元图之间，并表明，在这些距离下，元秩和元图是稳定的交织距离。最后，元图可以以直观的方式可视化为图的持久性图，它概括了1参数设置中易于理解的持久性图。
2023-03-14 cs.CG math.AT
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
Stability of persistence spaces of vector-valued continuous functions
多维持久化模块不允许使用类似于持久化图为实值函数提供的简洁表示。然而，对于多维持久贝蒂数，不存在任何障碍。因此，寻找关于那些仅与持久性贝蒂数相关的属性的持久性图的一般化是合理的。本文引入向量值连续函数的持久性空间，推广了持久性图的概念。主要结果是它在函数扰动下的稳定性：向量值函数的任何变化都意味着它们的持续空间之间的Hausdorff距离没有更大的变化。
2013-05-28 cs.CG math.DS
Generalized Persistence Diagrams for Persistence Modules over Posets
当范畴$\mathcal{C}$满足一定的条件时，我们从范畴论的角度定义了任意偏序集索引函子$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$的秩不变量的概念.这推广了秩不变的标准概念以及帕特尔最近的扩展。具体地说，利用容斥原理，可以从秩不变量中提取出有限维向量空间的任意区间可分解持久性模块$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathbf{vec}$的条码.推广这一思想允许自由选择索引偏序集$\mathbf{P}$的$F: \mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$在定义帕特尔的广义持久性图的$F$。特别重要的是，定义$F$的广义持久性图而不管$F$是否是区间可分解的。通过将我们的想法专门化到锯齿形持久性模块，我们还表明，Reeb图的条形码可以在纯粹的集合论设置中获得，而无需传递到向量空间的类别。这导致推广的帕特尔的连续性定理类型$\mathcal{A}$持久图Lipschitz连续性定理的集范畴。
2021-08-03 cs.CG math.AT
Approximating Continuous Functions on Persistence Diagrams Using Template Functions
持久性图是拓扑数据分析中越来越有用的工具，但它与典型的机器学习技术一起使用需要数学技巧。迄今为止最成功的方法是将持久性图映射到向量空间，以最大化保留的结构。这个过程通常被称为特征化。在本文中，我们描述了一个数学框架的featurization称为\emph{template functions}，我们表明，它解决了问题的持续性图空间的紧凑子集上的连续函数近似。具体来说，我们首先描述相对紧性的瓶颈距离，然后提供明确的理论方法，构造紧开稠密子集的持续图上的连续函数。这些密集的子集--通过模板函数获得--用于持久性图的监督学习任务。具体来说，我们测试的方法，包括形状数据和动力系统的几个例子的分类和回归算法。
2022-04-12 cs.CG math.AT math.ST
On Computing a Center Persistence Diagram
贯穿本文，持久性图${\cal P}$由线$Y=X$上方的平面点（每个对应于拓扑特征）的集合$P$以及线$Y=X$本身组成，即，${\cal P}=P\cup\{(x,y)|y=x\}$。给定一组持久化图${\cal P}_1,...,{\cal P}_m$，为了进行数据约简，首先计算瓶颈距离下的{ \em中心} ${\cal C}$，以总结其拓扑特征。我们考虑两个离散的版本和一个连续的版本。出于技术原因，我们首先关注当$|P_i|$都相同时的情况（即，都具有相同的大小$n$），并且问题是在瓶颈匹配距离下计算中心点集$C$。我们表明，从平面三维匹配问题的非平凡减少，这个问题是NP-困难的，即使当$m=3$图。这意味着当$P_i$可能有不同的大小时，在瓶颈距离下持久图的一般中心问题在$m\geq 3$时也是NP难的。在积极的一面，我们表明，这个问题是多项式可解的$m=2$时，并承认$m\geq 3$的因子-2近似。当$P_i$是相同大小的点集时，这些正结果对于任何$L_p$度量都成立，并且当$P_i$在$L_\infty$度量中具有不同大小时（即，中心持久性图问题）。这是在瓶颈距离下的中心持久图在多项式时间内的最佳可能，除非P = NP。所有这些结果都适用于离散版本以及连续版本;事实上，NP-硬度和近似结果也适用于连续版本的Wasserstein距离。
2020-02-10 cs.CG
Optimal rates of convergence for persistence diagrams in Topological Data Analysis
计算拓扑学是近年来数据分析领域的一个重要发展，它催生了拓扑数据分析领域。拓扑持久性，或持久的同源性，出现在这个领域的一个基本工具。本文用统计方法研究了一般度量空间中的拓扑持久性。我们表明，使用持久的同源性可以自然地被认为是在一般的统计框架和持久性图可以用作统计有趣的收敛特性。一些数值实验进行了各种情况下，以说明我们的结果。
2013-05-27 cs.CG cs.LG math.GT
Edit Distance and Persistence Diagrams Over Lattices
本文为持续同调构建了一个以有限度量格索引的过滤单纯复形为输入、以生灭函数的默比乌斯反演持续图为输出的函子化流程，通过证明两个函子均为1-Lipschitz确保了流程稳定性，并推广了经典持续图，证明了瓶颈距离与编辑距离强等价。
2024-08-28 cs.CG math.AT
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Output-sensitive Computation of Generalized Persistence Diagrams for 2-filtrations
本文提出一种输出敏感算法，利用2-参数与1-参数设置的联系，在O(n^3+Cn)时间内计算广义持久性图表，显著优于暴力算法的Ω(n^4)。
2023-05-16 cs.CG math.AT
Estimation of Persistence Diagrams via the Three Gap Theorem
本文通过结合数论中的三间隙定理与拓扑数据分析中的持续同调公式，提出快速计算滑动窗口嵌入持久图的方法，用于分析拟周期信号的拓扑结构。
2026-03-04 cs.CG math.AT math.DS
Reconstructing Embedded Graphs from Persistence Diagrams
持久性图（PD）是一种越来越流行的拓扑描述符。通过在不同尺度上对拓扑特征的大小和突出性进行编码，PD提供了关于空间的重要几何和拓扑信息。最近的工作表明，精心选择的（有限）集的PD可以区分几何单纯形复合体，提供了一种方法，用于表示复杂的形状使用一组有限的描述符。一个相关的逆问题是：给定一组PD（或者我们可以查询持久性图的预言），什么是潜在的几何单纯复形？本文提出了一种从$n^2 - n + d + 1$有向（增广）PD中重构具有$n$顶点的$\mathbb{R}^d$中的嵌入图（$\mathbb{R}^2$中的平面图）的算法.此外，我们经验验证我们的算法的正确性和时间复杂度在$\mathbb{R}^2$随机生成的平面图使用我们的实现，并解释实现我们的算法的数值限制。
2020-06-18 cs.CG
Adaptive template systems: Data-driven feature selection for learning with persistence diagrams
Michigan State University（密歇根州立大学）
持久性图的特征提取作为丰富机器学习技术的一种工具，近年来受到越来越多的关注。在本文中，我们探讨了一种自适应的方法来本地化的持久图，然后在学习任务中使用的功能。具体来说，我们研究了三种算法，CDER，GMM和HDBSCAN，以获得自适应模板功能/功能。所述功能进行评估，在三个分类实验与持久性图。即，流形，人体形状和蛋白质分类。我们的分析的主要结论是，自适应模板系统，作为一种特征提取技术，在所研究的例子中产生有竞争力的，往往是优越的结果。此外，从这里研究的自适应算法，CDER始终提供最可靠和强大的自适应特征化。
2019-10-13 cs.CG cs.LG eess.IV
Learning metrics for persistence-based summaries and applications for graph classification
最近，一种新的特征表示和数据分析方法，基于一种称为持久同源性（及其相应的持久性图摘要）的拓扑工具，已经开始吸引势头。已经开发了一系列方法来将持久性图映射到向量表示，以便促进机器学习工具的下游使用，并且在这些方法中，通常预设不同持久性特征的重要性（权重）。然而，在实践中，权重函数的选择通常应该取决于所考虑的特定类型数据的性质，因此非常希望从标记数据中学习最佳权重函数（以及持久性图的度量）。我们研究这个问题，并开发了一个新的加权内核，称为WKPI，持久性摘要，以及一个优化框架，学习一个很好的度量持久性摘要。我们的核和优化问题都有很好的性质。我们进一步将学习的内核应用于具有挑战性的图分类任务，并表明我们基于WKPI的分类框架在基准数据集上获得了与以前的一系列图分类框架相似或（有时显着）更好的结果。
2019-12-12 cs.CG
Understanding the Power of Persistence Pairing via Permutation Test
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
最近，许多努力已被纳入持久性图，拓扑数据分析（TDA）的主要工具之一，到机器学习管道。为了更好地理解持久性图的能力和局限性，我们对图形数据和形状数据进行了一系列实验，旨在解耦和检查所涉及的不同因素的影响。为此，我们还提出了所谓的持久性图的\emph{permutation test}来描绘关键值和关键值的配对。对于图分类任务，我们注意到，虽然持久性配对在各种基准数据集上产生了一致的改进，但对于测试的各种过滤函数，大多数区分能力来自临界值。然而，对于形状分割和分类，我们注意到持久性配对在大多数基准数据集上显示出显着的能力，并且在仅仅基于临界值的摘要和基于排列测试的摘要上都有所改进。我们的研究结果有助于提供见解时，持久性图为基础的摘要可能更合适。
2020-01-16 cs.CG cs.LG stat.ML
Wasserstein Distances, Geodesics and Barycenters of Merge Trees
CNRS（法国国家科学研究中心）；University of Paris（巴黎大学）
本文提出了一个统一的计算框架，估计的距离，测地线和重心的合并树。我们扩展了最近关于编辑距离的工作[106]，并引入了一个新的度量，称为合并树之间的Wasserstein距离，该距离旨在实现测地线和重心的有效计算。具体来说，我们的新的距离是严格等价于极值持久图之间的L2-Wasserstein距离，但它被限制到一个较小的解决方案空间，即，空间的根部分同构之间的分支分解树。这使得现有的优化框架[112]从持久性图到合并树的测地线和重心的简单扩展成为可能。我们介绍了一个基于任务的算法，它可以一般地应用到距离，测地线，重心或集群计算。我们的方法基于任务的性质，使共享内存并行进一步加速。在公共集合和SciVis竞赛基准上进行的大量实验证明了我们方法的效率-最大示例的重心计算在分钟的数量级-以及其生成代表性重心合并树的定性能力，直观地总结了集合中发现的感兴趣的特征。我们展示了我们的贡献与专用的可视化应用程序的效用：特征跟踪，时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的C++实现，可用于重现我们的结果。
2021-09-20 cs.CG cs.CV cs.GR
On the choice of weight functions for linear representations of persistence diagrams
持久性图是点云拓扑结构的有效描述符。由于它们不自然属于希尔伯特空间，因此标准统计方法无法直接应用于它们。相反，特征图（或表示）通常用于分析。我们称之为线性的一大类特征映射依赖于一些权函数，权函数的选择是一个关键问题。选择权函数的一个重要标准是确保特征映射相对于图上的Wasserstein距离的稳定性。我们改进了有关此类映射稳定性的已知结果，并将其扩展到一般的权函数。我们还通过考虑渐近设置来解决权函数的选择;假设$\mathbb{X}_n$是i.i.d.从$[0,1]^d$上的密度采样。对于Čech和Rips过滤，我们描述了权函数，相应的特征映射收敛为$n$接近无穷大，并通过这样做，我们证明了大数定律的总持久性，这样的图。这两种方法（稳定性和收敛性）导致了相同的简单启发式调整权函数：如果数据位于$d$维流形附近，那么权函数的明智选择是持久化到具有$α\geq d$的幂$α$。
2020-11-30 cs.CG math.PR
A computationally efficient framework for vector representation of persistence diagrams
Bowling Green State University（鲍林格林州立大学）；Marquette University（马凯特大学）
在拓扑数据分析中，量化数据形状的常用方法是使用持久性图（PD）。PD是使用代数拓扑工具计算的$\mathbb{R}^2$中的多点集。然而，这种多集合结构限制了PD在应用中的效用。因此，近年来的努力已经指向从PD中提取信息丰富且有效的摘要，以拓宽其用于机器学习任务的范围。我们提出了一个计算效率高的框架转换成一个矢量的PD在$\mathbb{R}^n$，称为矢量化持久块（VPB）。我们表明，我们的表示具有许多基于向量的摘要所需的属性，如相对于输入噪声的稳定性，低计算成本和灵活性。通过仿真研究，我们证明了VPB的有效性，在各种学习任务，即聚类，分类和变点检测的性能和计算成本。
2021-09-16 cs.CG cs.CV
Reduction Algorithms for Persistence Diagrams of Networks: CoralTDA and PrunIT
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
拓扑数据分析（TDA）提供了传统方法无法获得的数据内在属性的宝贵和补充信息。然而，高计算成本仍然是阻碍TDA在现实世界研究中成功应用的主要障碍，特别是在大型复杂网络上的机器学习。事实上，大多数现代网络，如引文、区块链和在线社交网络，往往有数十万个顶点，使得现有的TDA方法的应用不可行。我们开发了两个新的，非常简单，但有效的算法来计算大图的精确持久性图，以解决这个主要的TDA限制。首先，我们证明了图$\mathcal{G}$的$(k+1)$ -core足以计算它的$k^{th}$持久图$PD_k(\mathcal{G})$ .其次，我们引入了一个剪枝算法，通过删除控制顶点来计算图的持久性图。我们在大型网络上的实验表明，我们的新方法可以实现高达95%的计算增益。所开发的框架提供了图论和TDA之间的第一个桥梁，在大型复杂网络的机器学习中的应用。我们的实现可以在https://github.com/cakcora/PersistentHomologyWithCoralPrunit上获得
2022-11-24 cs.CG cs.LG math.AT
Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem
持久同源性是拓扑数据分析的核心工具，它提供了称为条形码（也称为持久性图）的数据的不变量。条形码只是一个真实区间的多重集合。Edelsbrunner、Jablonski和Mrozek最近的工作提出了条形码作为函子R -> Mch的等价描述，其中R是实数的偏序集范畴，Mch是其对象是集合并且其态射是匹配的范畴（即，部分内射函数）。这样的函子形成范畴Mch^R，其态射是自然变换。因此，条形码的这种解释给了我们一个迄今为止尚未研究的条形码分类结构。本说明的目的是表明，这种范畴结构导致了众所周知的持久同调稳定性定理和最近的一个称为诱导匹配定理的推广的令人惊讶的简单重新表述。
2019-06-10 cs.CG math.AT math.CT
