Self-Similar Tilings of Fractal Blow-Ups
研究了$\mathbb{R}^{M}$的某些子集的新的镶嵌，镶嵌与某些相似迭代函数系统（IFS）的分形爆破。对于每一个吸引子满足开集条件的IFS，我们的构造产生了一个通常是无限的镶嵌族，它满足以下性质：（1）原型集是有限的;（2）镶嵌是重复的（拟周期）;（3）每个族包含自相似镶嵌，通常是无穷多个;（4）当IFS在适当的意义上是刚性的时，镶嵌没有非平凡对称性;特别地，平铺是非周期性的。
2017-09-27 math.DS math.MG
Limit theorems for self-similar tilings
本文研究了平面上和高维空间中由自相似拼接给出的动力系统的遍历平均的偏差。本文的主要目标是我们系统的一类特殊的有限可加测度族。给出了遍历积分在这些有限可加测度下的一个渐近公式，作为推论，得到了由自相似拼接给出的动力系统的极限定理.
2012-04-27 math.DS
A Spectral Sequence for the K-theory of Tiling Spaces
令$\Tt$是具有有限局部复杂度的$\RM^d$的非周期性和重复的平铺。我们提出了一个谱序列，收敛到$K$ -理论的$\Tt$与$E_2$ -页给出了一个新的上同调，将被称为PV在参考Pimsner-Voiculescu精确序列。它是塞尔谱序列的推广。$\Tt$的PV上同调推广了纤维化的底空间的上同调，其纤维具有纤维的$K$ -理论中的局部系数。我们证明了它同构于$\Tt$的壳的Čech上同调（其平移族的紧化）。
2009-06-05 math.DS math.KT
Quantitative weak mixing of self-affine tilings
本文将一维自相似铺砌系统谱测度的 log-Hölder 正则性结果推广到高维自仿射铺砌，并通过谱参数空间的一致估计得到弱混合的对数量化速率。
2025-01-05 math.DS
Cohomology of rotational tiling spaces
定义了一个谱序列，它收敛于具有欧氏有限局部复杂度的平面平铺的欧氏壳的Čech上同调。第二页的术语由平铺的所谓的ePE同调群和ePE上同调群确定，并且唯一潜在的非平凡边界映射在其局部补丁方面具有简单的组合描述。利用这个谱序列，我们计算了彭罗斯镶嵌的欧几里得壳的Čech上同调。
2016-09-21 math.AT math.DS math.GN
Self-similarity and spectral theory: on the spectrum of substitutions
在这次调查的光谱性质的替代动力系统，我们认为原始的非周期性替代和相关的动力系统：${\mathbb Z}$ -行动和${\mathbb R}$ -行动，后者被视为平铺流。我们的重点是光谱的连续部分。对于${\mathbb Z}$ -行动的最大频谱类型可以表示在矩阵Riesz产品，而瓷砖流，局部尺寸的谱测度是由频谱上循环。我们提供参考完整的证明，并强调思想和联系。
2021-11-28 math.DS math.SP
Asymptotic structure in substitution tiling spaces
$\R^d$的每一个充分正则的镶嵌空间都至少有一对不同的镶嵌，它们在某个开$(d-1)$维半球的所有方向上的平移下是渐近的。如果平铺空间来自一个替代，有一种方法来定义一个位置，这样的平铺渐近“开始”。这导致了平铺空间的{ \em分支轨迹}的定义：这是平铺空间的一个子空间，维数至多为$d-1$，它总结了平铺空间中“至少在半个空间中渐近”的行为。我们证明了，如果一个$d$ -维自相似替换平铺空间有一对不同的平铺是渐近的一组方向，其中包含一个封闭的$(d-1)$ -半球在其内部，那么分支轨迹是一个拓扑不变量的平铺空间。若平铺空间是2维自相似Pisot置换平铺空间，则分支轨迹具有一维单纯复形上扩展Markov映射的逆极限的描述.
2011-01-25 math.DS
Geometry of canonical self-similar tilings
我们给出了几种不同的几何特征的情况下，自相似集$F$的平行集$F_ε$可以描述的内部$ε$ -平行集$T_{-ε}$的相关规范平铺$\mathcal T$，在\cite{SST}的意义。例如，$F_ε=T_{-ε} \cup C_ε$当且仅当$F$的凸包$C$的边界是$F$的子集，或者如果$E$的边界，$F$的补的无界部分，是凸集的边界。在所表征的情况下，平铺允许获得$F$的管公式，即，作为$ε$的函数的$F_ε$的体积的表达式。在此基础上，我们进一步阐明了正则镶嵌的一些几何性质。出于寻找管公式，我们给出了一个推广的平铺结构，适用于所有自仿射集$F$具有空的内部和满足开集条件。我们还刻画了$F$的平行集与这些平铺之间的关系。
2009-05-25 math.DS math.MG
Tiling Iterated Function Systems
本文提出了一个详细的符号方法来研究自相似镶嵌。它使用与图定向迭代函数系统相关联的地址的性质来建立平铺空间的共轭性质。瓦片可以是分形，并且瓦片集合可以是$\mathbb{R}^{M}$的复杂无界子集。
2020-11-26 math.DS
Fusion: a general framework for hierarchical tilings of $R^d$
我们介绍了一种形式主义处理一般空间的层次平铺，一类，包括替代平铺，Bratteli-Vershik系统，S-adic变换，和多维切割和堆叠变换。我们探讨这些空间的遍历性，谱和拓扑性质。我们表明，熟悉的性质的替代平铺进行适当的假设下，并给出反例，这些假设不满足。例如，我们证明了一个极小的平铺空间不是唯一遍历的，其中一个遍历测度具有纯点谱，另一个遍历测度具有混合谱。我们还展示了一个2维平铺空间，具有纯点测度理论谱，但拓扑弱混合。
2018-07-06 math.DS
Tube formulas and complex dimensions of self-similar tilings
利用第二作者在“Canonical self-affine tilings by iterated function systems”中构造的自相似tilings，定义了欧几里得空间中自相似集几何的生成函数.这个管状zeta函数编码与分形集的补相关的缩放和曲率特性，以及相关的映射系统。这使得人们可以获得自相似镶嵌的复杂尺寸作为管状zeta函数的极点，从而开发出自相似镶嵌的管公式，其中\$ \mathbb{R}^d $. The resulting power series in $ ε $ is a fractal extension of Steiner's classical tube formula for convex bodies $ K \ci \bRd $. Our sum has coefficients related to the curvatures of the tiling, and contains terms for each integer $ i= 0，1，.，D-1美元，就像斯坦纳的一样。然而，我们的公式还包含每个复杂维度的项。这为“复杂层面”一词提供了进一步的理由。它还将分形弦理论的几个方面扩展到更高维度，并为第一作者和Machiel van Frankenhuijsen在“分形几何与复维度”中获得的分形弦管公式提供了新的见解。
2010-06-09 math-ph math.DS math.MG
Ergodic Dynamics in Sigma-Delta Quantization: Tiling Invariant Sets and Spectral Analysis of Error
本文有两个主题是相互交织的：第一个是动态的某些分段仿射映射的欧几里得空间，产生一类模拟到数字转换方法，称为Σ-Δ量化。第二个是分析与每种方法相关的重建误差。Σ-Δ量化通过位于离散值的受限集合中的序列生成函数的近似表示。这些是特殊的序列，因为它们的局部平均值密切跟踪函数值，从而实现简单的卷积重建。在本文中，我们只关注常数函数的逼近，这是一个基本的情况，呈现出令人惊讶的复杂行为。具有输入x的m阶Sigma-Delta方案可以被转换成产生离散值序列（特别是0 - 1序列）q作为其输出的动力系统。当该计划是稳定的，我们表明，基本的分段仿射映射具有不变集，瓷砖的欧几里得空间有限的多重性。当这个多重性是一个（单瓦片的情况下），在瓦片内的动力学是同构的广义斜平移的m维环面。x的值可以使用q中的任何连续M个元素来近似，其中M的精度增加。我们证明了重建误差的渐近行为依赖于不变集的正则性、阶m和x的一些算术性质。我们确定的行为，在一些情况下的实际利益，并提供良好的上界在其他一些情况下，当精确的分析还没有。
2003-08-24 math.DS math.SP
Rapid convergence to frequency for Substitution Tilings of the Plane
本文研究二维自相似镶嵌。我们考虑的出现次数的一个给定的瓷砖在任何领域界定的约旦曲线。对于一个大类的自相似平铺，包括大多数已知的例子，我们给出了估计的振荡发生的次数在其平均频率的域中，这只取决于约旦曲线的瓷砖的总数。
2011-03-28 math-ph math.DS math.MP
Pisot family self-affine tilings, discrete spectrum, and the Meyer property
我们考虑欧几里得空间中的自仿射镶嵌和相关的镶嵌动力系统，即平移作用于给定镶嵌的轨道闭包。我们研究了系统的光谱特性。事实证明，离散分量的存在取决于平铺的展开矩阵$ϕ$的特征值的代数性质。假设$ϕ$在$\C$上是可对角化的，并且它的所有特征值都是相同重数的代数共轭，我们证明了动力系统具有相对稠密的离散谱当且仅当它不是弱混合的，并且当且仅当$ϕ$的谱是一个“Pisot族”.此外，这等效于用于平铺的“控制点”的相关联的离散集的Meyer性质。
2010-01-30 math.DS math.MG
Tilings from Graph Directed Iterated Function Systems
提出了一种由图有向迭代函数系构造欧几里得空间自参照平铺的新方法，该方法基于一种称为预树的组合结构。在我们称之为平衡的特殊情况下，所得到的镶嵌有一个有限集的原型，是准周期的但不是周期的，并且是自相似的。给出了两个平衡镶嵌全等的充要条件。
2019-12-05 math.CO math.DS math.MG
Pointwise tube formulas for fractal sprays and self-similar tilings with arbitrary generators
在前两个作者的前一篇文章中，得到了一个分形喷雾的管公式，它也适用于某类自相似分形。该公式的证明使用分布技术，并且需要对平铺的几何形状的相当强的条件（具体地，分形喷雾的每个生成器的内管公式需要是多项式）。现在，我们通过删除生成元几何上的条件，并通过给出点态而非分布态成立的证明，来扩展和加强管公式。因此，我们的分形喷雾的结果扩展到更高的维度的逐点管公式（1维）分形字符串得到较早的Lapidus和范Frankenhuijsen。我们的逐点管公式被表示为$\mathbb{R}^d$中分形喷雾的“管状zeta函数”的留数之和。该和的范围在喷雾的复杂维度上，即，在基础分形串的几何zeta函数的极点和整数$0,1,...,d$上。由此产生的“分形管公式”适用于重要的特殊情况下的自相似平铺，但也说明了在其他几何自然的情况。我们的管公式也可以被看作是经典斯坦纳公式的分形类似物。
2011-04-14 math.DS math.MG
Pseudo-self-affine tilings in R^d
证明了R^d中的每一个伪自仿射镶嵌都与一个自仿射镶嵌相互局部可导。伪自相似镶嵌的衍生Voronoi镶嵌的表征是一个推论。以前，这些结果是在平面的情况下，与普里贝弗兰克。新方法是基于Lagarias和Wang提出的图定向迭代函数系统和置换Delone集理论。
2005-10-02 math.DS math.MG
On arithmetic progressions in non-periodic self-affine tilings
我们研究了R^d中自仿射镶嵌中面片的重复。特别地，我们研究了等差数列的存在性和不存在性。我们首先证明了自仿射拼接的扩张映射的算术条件隐含着某些一维等差数列的不存在性。其次，我们证明了满秩无穷等差数列、纯离散动力谱和极限周期的存在性对于某类自仿射镶嵌是等价的。最后，我们给出了R^d中自相似镶嵌中满秩无限等差数列的存在性/不存在性的一个完整的图像。
2021-03-30 math-ph math.DS math.MG
Canonical self-affine tilings by iterated function systems
由压缩相似映射构成的迭代函数系统$Φ$具有唯一的吸引子$F \subseteq \mathbb{R}^d$，该吸引子在系统的作用下是不变的，如Hutchinson [Hut]所证明的.本文展示了函数系统的作用如何自然地产生吸引子的凸包的平铺$\mathcal{T}$。更准确地说，它在其凸包内平铺吸引子的补集。这些图块形成集合，其几何形状通常比$F$的几何形状简单得多，但保留了关于$F$和$Φ$的关键信息。具体地，瓦片对$Φ$的所有缩放数据进行编码。我们给出的建设，以及一些例子和应用。平铺$\mathcal{T}$是\emph{complex dimensions}理论的高维扩展的基础，\emph{complex dimensions}理论是为Michel L.拉皮德斯和马希尔·范·弗兰肯胡森。
2007-11-01 math.DS math.GT math.MG
