Counting independent sets in triangle-free graphs
Ajtai，Komlós和Szemerédi证明了对于足够大的$t$，每个具有$n$顶点和平均度$t$的无三角形图都有一个大小至少为$\frac{n}{100t}\log{t}$的独立集。我们通过证明这样的图中的独立集的数目至少是\[ 2^{(1/2400)\frac{n}{t}\log^2{t}}. \]来扩展这个结果。这个结果对于除了常数之外的无穷多个$t,n$是尖锐的。我们的结果的一个简单的结果是存在$c'>0$使得每个$n$ -顶点无三角形图至少有\[ 2^{c'\sqrt n \log n} \]独立集。我们推测上述指数可以改进为$\sqrt{n}(\log{n})^{3/2}$。这将是尖锐的著名结果金表明，拉姆齐数$R(3,k)$有数量级$k^2/\log k$。
2011-11-16 math.CO
Characterizing optimal point sets determining one distinct triangle
在本文中，我们确定的最大数量的点在$\mathbb{R}^d$，形成完全$t$不同的三角形，我们限制自己的情况下，$t = 1$。我们用$F_d(t)$表示这个量。从Epstein等人的工作中得知，$F_2(1) = 4$ .在这里，我们有点令人惊讶的是，$F_3(1) = 4$和$F_d(1) = d + 1$，每当$d \geq 3$，并表征最佳点配置。这是一个扩展的一个变种的独特的距离问题提出的Erdales和菲什伯恩。
2019-10-01 math.CO
Uniqueness of Optimal Point Sets Determining Two Distinct Triangles
本文证明了在 $d\geq3$ 维空间中确定恰好2个不同三角形的最大点数为 $2d$，且该最大值由 $d$-正交多胞体的顶点唯一实现，并给出了更初等的论证。
2019-10-01 math.CO
A Note on Bipartite Subgraphs and Triangle-independent Sets
令$α_{1} (G)$表示包含来自$G$的每个三角形的至多一条边的边集合的最大大小。令$τ_{B} (G)$表示其删除使$G$二分的边集的最小大小。Lehel和Puleo分别独立地证明了对每个$n$ -顶点图$G$都有$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le n^2/4$. Puleo证明了$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le 5n^2/16$对于每个$n$ -顶点图$G$ .在本文中，我们证明了对于每个$n$ -顶点图$G$，都有$α_{1} (G) + τ_{B} (G) \le 4403n^2/15000$.
2016-01-31 math.CO
On the number of unit-area triangles spanned by convex grids in the plane
一个有限的实数集称为凸的，如果相邻元素之间的差形成严格递增序列。我们证明了，对于任何一对凸集$A, B\subset\mathbb R$，每个大小为$n^{1/2}$，凸网格$A\times B$最多跨越$O(n^{37/17}\log^{2/17}n)$单位面积三角形。这改进了最近在\cite{RS}中获得的最著名的上界$O(n^{31/14})$。我们的分析也适用于更一般的家庭的集合$A$，$B$，被称为集Szemerédi-Trotter型。
2015-04-27 math.CO
The structure of $I_4$-free and triangle-free binary matroids
如果一个简单的二元拟阵的4阶单位都不是独立集，则该拟阵被称为$I_4$ -free。这些对象可以等价地定义为$PG(n-1,2)$中的点的集合$E$，对于这些点，对于任何四维平面$F$，$|E \cap F|$不是$F$的基础。我们证明了一个分解定理，它精确地确定了所有$I_4$自由和三角自由拟阵的结构。特别地，我们的定理暗示了无$I_4$和无三角形拟阵的临界数至多为$2$。
2020-04-30 math.CO
Constructions for Difference Triangle Sets
差三角集在信息传递的许多实际问题中是有用的。这种对应关系研究具有小范围的差三角集的组合和计算结构。我们的算法已被用来产生差三角集的范围是目前已知的最好的。
2007-12-16 cs.DM cs.IT math.CO
On the number of maximal independent sets: From Moon-Moser to Hujter-Tuza
本文将极值图论中关于极大独立集个数的两个经典结果联系起来。Moon和Moser确定了$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $(n)$. Hujter和Tuza确定了无三角形$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $_\bigtriangleup(n)$.本文确定了一个$n$ -顶点图中不含大小为$t+1$的诱导三角形匹配的极大独立集的最大数目mis $_t(n)$.我们还重新证明了Kahn和Park关于$n$ -顶点无三角形图的极大独立集的最大数目mis $_{\bigtriangleup,t}(n)$的稳定性结果，该图不包含大小为$t+1$的诱导匹配.
2022-05-09 math.CO
Almost Empty Monochromatic Triangles in Planar Point Sets
对于正整数$c, s \geq 1$，令$M_3(c, s)$是最小整数，使得平面中至少有$M_3(c, s)$点的任何集合，在一条直线上没有三个点，并且用$c$颜色着色，包含最多$s$内部点的单色三角形。$s=0$对应于空的单色三角形，在过去几年中得到了广泛的研究。特别地，已知$M_3(1, 0)=3$、$M_3(2, 0)=9$和$M_3(c, 0)=\infty$用于$c\geq 3$。本文推广了当$c \geq 2$和$s \geq 1$ .证明了使$M_3(c, λ_3(c))< \infty$满足的最小整数$λ_3(c)$：$$\left\lfloor\frac{c-1}{2}\right\rfloor \leqλ_3(c)\leq c-2,$$其中$c \geq 2$ .此外，对于小的$c$和$s$值，确定了$M_3(c, s)$的精确值。我们还猜想$λ_3(4)=1$，并验证它足够大的霍顿集。
2015-06-18 math.CO
An analog of the Furstenberg-Katznelson-Weiss theorem on triangles in sets of positive density in finite field geometries
本文证明了：如果含有$q$元素的有限域上的二维向量空间的子集的基数是$\ge ρq^2$，且有$\frac{1}{\sqrt{q}}<<ρ\leq 1$，则它包含$\ge cρq^3$三角形的等距副本.
2008-04-30 math.CA math.CO
Extremal problems on triangle areas in two and three dimensions
研究极值问题的三角形领域开始在一系列文件的Erdens和珀迪在20世纪70年代初。在本文中，我们提出了新的结果，这样的问题，有关的数量的三角形的相同面积的有限点集在平面上和3-空间，和数量的不同的地区所确定的三角形。在平面上，我们的主要结果是$n$点所跨越的单位面积三角形个数的$O(n^{44/19}) =O(n^{2.3158})$上界，这是对1992年以来$O(n^{7/3})$经典上界的首次突破。我们还在一些重要的特殊情况下取得了进展：我们表明：（i）对于凸位置的点，存在$n$-元素点集，跨越$Ω(n\log n)$三角形的单位面积。(ii)由$n$点确定的最小（非零）面积三角形的数量至多为${2/3}(n^2-n)$;存在跨越$(6/π^2-o(1))n^2$最小面积三角形的$n$-元素点集（对于任意大的$n$）。(iii)由$n$点确定的最小面积的锐角三角形的数量是O（n）;这是渐近紧的。(iv)对于在凸位置的$n$点，最小面积的三角形的数目是O（n）;这是渐近紧的。(v)如果不允许三个点共线，则存在跨越$Ω(n\log n)$最小面积三角形的$n$-元素点集（与（ii）相反，其中允许共线并且二次下界成立）。在3-空间中，我们证明了$n$点所跨越的单位面积三角形的数目的$O(n^{17/7}β(n))= O(n^{2.4286})$上界，其中$β(n)$是与逆Ackerm…
2007-10-22 math.CO
The typical structure of maximal triangle-free graphs
最近，在解决Erdés，Balogh和Petalíčková的一个问题时，证明了最多存在$2^{n^2/8+o(n^2)}$ $n$ -顶点极大无三角形图，并满足已知的下界.在这里，我们刻画了极大无三角形图的典型结构。我们证明了几乎每个极大无三角形图$G$都有一个顶点划分$X\cup Y$，使得$G[X]$是完美匹配，$Y$是独立集.我们的证明使用Ruzsa-Szemerédi去除引理，Erdens-Simonovits稳定性定理，以及Balogh-Morris-Samotij和Saxton-Samarason最近关于超图中独立集结构特征的结果。证明还依赖于一个新的界限的最大独立集的数量在三角形的图与许多顶点不相交的$P_3$的，这是独立的兴趣。
2015-01-12 math.CO
A Structural Theorem for Sets With Few Triangles
本文证明了具有最少全等三角形类的有限点集必满足结构性质（大量点位于平行直线或单一圆上），为Erdős猜想提供证据，方法结合了仿射群结构与加性组合数学。
2023-10-24 math.CO
On Point Sets in Vector Spaces over Finite Fields That Determine Only Acute Angle Triangles
对于$q$元素的有限域$\F_q$上的$n$维空间$\F_q^n$中的三个点$\vec{u}$、$\vec{v}$和$\vec{w}$，我们给出了由这些点定义的一个锐角三角形的自然解释.我们得到一个上界的大小的一组$\cZ$，使所有三元组的不同点$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \cZ$定义锐角三角形。在实空间$\cR^n$中的一个类似问题可以追溯到P. Erd{ \H o}s，并且已经由几位作者进行了研究。
2009-03-14 math.CO math.NT
On the Ramsey-Turán density of triangles
现代图论中最古老的结果之一，由于Mantel，断言每个$n$顶点上的无三角形图最多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边。大约半个世纪后，Andrásfai研究了稠密无三角形图，并证明了$n$顶点上的最大无三角形图不具有大小为$αn$的独立集，其中$2/5\le α< 1/2$是五边形的爆破。自Andrásfai的工作以来，又过去了50多年。在这篇文章中，我们朝着理解没有大独立集的稠密无三角形图的结构迈出了下一步。值得注意的是，我们用$α(G)\ge 3n/8$确定了$n$顶点上的无三角形图$G$的最大尺寸，并用$α(G) > n/3$提出了关于无三角形图$G$的结构的一个猜想.我们注意到，情况下$α(G) \le n/3$的行为不同，但由于工作的勃兰特这种情况是相当好的理解。
2020-12-17 math.CO
Triangles in intersecting families
我们证明了以下推广的Turán型结果。$r$集合的集合$\mathcal{T}$是$r$ -三角形，如果对于每个$T_1,T_2,\dots,T_{r-1}\in \mathcal{T}$，我们有$\cap_{i=1}^{r-1}T_i\neq\emptyset$，但$\cap_{T\in \mathcal{T}}T$是空的。如果对于任何$F_1,F_2,\dots,F_r\in \mathcal{F}$，我们有$\cap_{i=1}^rF_i\neq \emptyset$，或者等价地，如果$\mathcal{F}$不包含任何$m$ -三角形（对于$m=2,3,\dots,r$），则集合族$\mathcal{F}$是$r$ -wise相交的.证明了如果$n\ge n_0(r,k)$，则包含最多$(r+1)$ -三角形的$r$ -式相交族$\mathcal{F}\subseteq \binom{[n]}{k}$同构于$\{F\in \binom{[n]}{k}:|F\cap [r+1]|\ge r\}$ .
2022-01-11 math.CO
Mutual-visibility and general position sets in Sierpiński triangle graphs
本文研究 Sierpiński 三角形图中的一般位置集与全、外、对偶等互可见集变体，给出了相关最大集合规模的结果。
2024-08-30 math.CO
Triangle-free geometric intersection graphs with no large independent sets
证明了平面中线段的最大独立集独立集的大小与顶点总数之比任意小时，存在无三角形的交图。
2014-12-26 cs.CG cs.DM math.CO
Plane point sets with many squares or isosceles right triangles
平面上的$n$点跨越了多少个正方形？在这里，我们研究了相应的最大可能数量$S_{\square}(n)$的平方和确定的确切值为所有$n\le 17$。对于$18\le n\le 100$，我们给出了$S_{\square}(n)$的下界。此外，还得到了一些初步的结构结果。对于等腰直角三角形的最大可能个数的相关问题，我们确定了$n\le 14$的精确值，并给出了$15\le n\le 50$的下界.
2021-12-23 math.CO math.MG
Monochromatic triangle-tilings in dense graphs without large independent sets
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hefei National Laboratory, University of Science and Technology of China（合肥国家实验室，中国科学技术大学）
本文研究了稠密图中无大独立集的2边着色图的弱单色三角形铺砌问题，给出了渐近最优的铺砌大小阈值。
2026-01-26 math.CO
Triangle Percolation on the Grid
Iowa State University（爱荷华州立大学）；Rutgers University（罗格斯大学）；University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Emory University（埃默里大学）；University of Wyoming（怀俄明大学）；University of Colorado Denver（科罗拉多大学丹佛分校）；Charles University, Faculty of Mathematics and Physics（查理大学数学物理学院）
本文研究了网格上基于三角形的渗流过程，探讨了稳定集的性质及其密度。
2024-01-10 math.CO
Large Independent Sets in Triangle-Free Planar Graphs
每个n阶无三角形平面图都有一个大小至少为（n+1）/3的独立集，并且这个下界是紧的.本文给出了一个算法，对n阶无三角形平面图G，k ≥ 0，判定G是否存在一个大小至少为（n+k）/3的独立集，时间为2^{O（sqrt{k}）}n.因此，当用k参数化时，问题是固定参数易处理的。作为证明算法正确性的结果的推论，我们证明了存在n ≥ 0使得每个围长至少为5的n阶平面图都有一个大小至少为n/（3-n）的独立集.
2014-09-22 cs.DM math.CO
Intersection theorems for triangles
给定一个平面上的集合族，如果族中的任何两个集合的内部相交，则我们说族相交。本文研究顶点在给定点集中的相交三角形族。特别是，我们表明，如果一组$P$的$n$点是在凸的位置，那么最大的三角形与$P$中的顶点相交的家庭包含最多$(\frac{1}{4}+o(1))\binom{n}{3}$三角形。
2021-02-18 cs.DM math.CO
Small and Large Weights in Steinhaus Triangles
令$\{0=w_0<w_1<w_2<\ldots<w_m\}$为大小为$n$的二元Steinhaus三角形的权重集合，并且令$W_i$为$\mathbb{F}_2^n$中生成权重为$w_i$的三角形的序列集合。我们得到了$i\in\{1,2,3,m\}$的$w_i$和相应的集合$W_i$的值，以及关于$w_{m-1}$和$W_{m-1}$的部分结果.
2017-07-19 math.CO
Maximal independent sets in graphs with given matching number
本文研究了在给定匹配数下图中极大独立集的最大数量问题，确定了一般图、连通图、无三角形图及连通无三角形图中的最大数量并刻画了极值图。
2025-05-30 math.CO
On distances and metrics in discrete ordered sets
离散偏序集可以通过几种方式转化为距离空间。距离函数可以满足或不满足三角不等式，并且对有限链的距离的限制可以符合或不符合在链中测量的自然高度差距离。对于半格，半模性条件确保了所考虑的距离的良好行为。这个条件是平凡的树满足，并在格它符合通常的半模性质。对于一大类距离函数，三角不等式等价于半模性。
2018-02-25 math.CO
Every triangle-free induced subgraph of the triangular lattice is $(5m,2m)$-choosable
图$G$是$(a,b)$可选择的，如果对于与每个顶点相关联的大小为$a$的任何颜色列表，可以选择$b$颜色的子集，使得邻顶点用不相交的颜色集着色。证明了对任意整数$m\ge 1$，三角格的任意有限个无三角形诱导子图都是$(5m,2m)$ -可选的.
2011-10-12 math.CO
Sparse Sets in Triangle-free Graphs
该研究探讨无三角形图中最大k-稀疏集的阶数，通过直接证明与图枚举算法得到多组最优结果、相关缺陷Ramsey数取值及极图，还分析了稀疏集的增长速率。
2025-06-14 cs.DM math.CO
More Turán-Type Theorems for Triangles in Convex Point Sets
我们研究以下问题：给定一组$n$点在凸位置，什么是最大数量的三角形可以创建这些点作为顶点，同时避免某些组的禁止配置。作为禁止配置，我们考虑所有8种方式，其中一对三角形在这样的点集可以相互作用。这导致了256个极端的图兰型问题。我们给近紧（在一个$\log n$因素）的248这些问题的界限，并表明，其余8个问题都是渐近等价于斯坦的长期三脚架包装问题。
2018-12-07 cs.CG cs.DM math.CO
Construction of Rate (n-1)/n Non-Binary LDPC Convolutional Codes via Difference Triangle Sets
本文给出了一种非二进制LDPC卷积码的构造方法，推广了Robinson和Bernstein的工作。形成$(n-1,w)$差三角形集合的整数集合被用作速率$(n-1)/n$卷积码的列的支持。如果字段大小足够大，则与码的滑动奇偶校验矩阵相关联的Tanner图没有不满足满秩条件的$4$和$6$ -环。这对于提高码的性能和避免低权重码字和吸收集的存在是重要的。卷积码的参数被示出为由底层差分三角形集合的参数确定。特别地，代码的自由距离与$w$相关，并且代码的度与差三角形集合的“范围”相关联。因此，寻找具有最小范围的差分三角集族的问题等价于寻找具有小度数的卷积码。
2020-01-22 cs.IT math.CO math.IT
Empty Rainbow Triangles in $k$-colored Point Sets
设$S$是平面中一般位置上的一组$n$点。假设$S$的每个点都被分配了一种$k \ge 3$可能的颜色，并且每个颜色类的点的数量相同，即$m$。顶点在$S$上的多边形，如果其内部不包含$S$的点，则该多边形为空;如果其所有顶点具有不同的颜色，则该多边形为彩虹。令$f(k,m)$为由$S$确定的空彩虹三角形的最小数目。本文给出了该函数的渐近紧界。此外，我们表明，$S$可能不会确定一个空的彩虹四边形的$k$和$m$一些任意大的值。
2020-07-15 cs.CG math.CO
The number of the maximal triangle-free graphs
Paul Erdwords提出了以下问题：确定或估计$n$顶点上的极大无三角形图的个数。在这里，我们表明，最大的三角形自由图的数量是最多$2^{n^2/8+o(n^2)}$，这符合以前已知的下界。我们的证明使用Ruzsa-Szemerédi三角形删除引理等，最近的结果在超图中的独立集的结构的特征。
2014-09-29 math.CO
Decomposition of triangle-free planar graphs
图$G$的分解是$G$的一族子图，其边集形成$E(G)$的一个划分。本文证明了每一个无三角形可平面图$G$都可以分解为一个$2$ -退化图和一个匹配。因此，每个无三角形可平面图$G$都有一个匹配的$M$，使得$G-M$是在线3-DP可着色的。这加强了[R.Škrekovski，{ \em A Grötzsch-Type Theorem for List Colorings with Impropriety One}，Combin.概率计算8（1999），493-507]证明了每个无三角形可平面图都是$1$ -亏$3$ -可选的。
2022-12-14 math.CO
Sparse halves in dense triangle-free graphs
Erdinger证明了在$n$顶点上的每个无三角形图$G$都包含一组至多跨越$n^2 /50$边的$\lfloor n/2 \rfloor$顶点. Krivelevich证明了最小度至少为$\frac{2}{5}n$的图的猜想。Keevash和Sudakov将这个结果改进为平均度至少为$\frac{2}{5}n$的图。我们加强这些结果表明，猜想持有的最低程度至少$\frac{5}{14}n$和图的平均程度至少$(\frac{2}{5} - \varepsilon)n$的一些绝对$\varepsilon >0$的图。此外，我们证明了猜想是正确的，图的编辑距离接近的Petersen图。
2015-02-10 math.CO
Monochromatic triangles in three-coloured graphs
1959年，Goodman确定了边集为双色的完全图中单色三角形的最少个数。古德曼还提出了问题，证明类似的结果完全图的边缘集着色有两个以上的颜色。在本文中，我们确定了在一个足够大的三色完全图中单色三角形的最小数目和达到这个最小数目的着色。
2012-06-10 math.CO
Tilings and matroids on regular subdivisions of a triangle
本文研究了由Ardila和Billey引入的拟阵族，研究了$\mathbb{C}^n$的完全旗排列的一维交.通过将$\mathbb{R}^3$的非负圆锥与仿射超平面$x_1 + x_2 + x_3 = n-1$相交而获得的等边三角形$S_n$内部的格点集$P_n$是拟阵$\mathcal{T}_n$的基集，其独立集是$P_n$的子集$S$，对于集合$P_k$的每个平移$P$，满足该$|S \cap P| \le k$。在这里，我们研究的拟阵$\mathcal{T}_n$的结构与平铺的$S_n$到单位三角形，菱，和padriids。首先，我们刻画了$\mathcal{T}_n$的独立集，扩展了Ardila和Billey已经给出的$\mathcal{T}_n$的基的刻画。然后，我们探讨了$\mathcal{T}_n$的秩函数和$S_n$的单位三角形和菱形的镶嵌之间的联系。然后，我们提供了一个平铺表征的电路的$\mathcal{T}_n$。我们得出结论与几何表征的单位的$\mathcal{T}_n$。
2018-11-19 math.CO
Independent sets in ($P_4+P_4$,Triangle)-free graphs
最大权独立集问题（WIS）是一个著名的NP难问题。研究WIS的一种流行方式是检测可以在多项式时间内求解WIS的图类，特别是参考遗传图类，即，通过遗传图属性或等效地通过禁止一个或多个导出子图来定义。给定两个图$G$和$H$，$G+H$表示$G$和$H$的不相交并集。这份手稿表明，（i）WIS可以求解为（$P_4+P_4$，Triangle）-free graphs in polynomial time，其中一个$P_4$是四个顶点的诱导路，一个Triangle是三个顶点的圈，特别是它证明了（ii）对于每个（$P_4+P_4$，Triangle）-free graph $G$存在一个由$V(G)$的子集构成的${\cal S}$族$G$的（完全）二部子图，它包含多项式多个成员，并且可以在多项式时间内计算，使得$G$的每个极大独立集都包含在${\cal S}$的某个成员中.这些结果似乎是调和相对于其他多项式结果WIS的某些[子类] $S_{i,j,k}$ -免费的图形和其他结构的结果[子类]三角形免费的图形。
2020-03-19 cs.DM math.CO
Large independent sets in triangle-free cubic graphs: beyond planarity
每个最大度至多为$3$的$n$ -顶点平面无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。这是第一次由艾伯森，Bollobás和塔克，后来证明了赫克曼和托马斯。Fraughnaugh和Locke证明了平面性要求可以放宽到仅仅禁止一些特定的非平面子图：他们描述了一个由六个非平面图组成的$\mathcal{F}$族（每个图的阶至多为$22$），并证明了每个最大度至多为$n$的无顶点三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集。本文证明了这一猜想。作为推论，我们得到了除$\mathcal{F}$中的六个图外，所有最大度至多为$3$的$2$ -连通$n$ -顶点无三角形图都有一个大小至少为$\frac{3}{8}n$的独立集.这证实了Bajnok和Brinkmann以及Fraughnaugh和Locke独立提出的一个猜想。
2020-07-08 cs.DM math.CO
Construction of LDPC convolutional codes via difference triangle sets
本文给出了任意有限域上的$(n,k,δ)$ LDPC卷积码的构造，推广了Robinson和Bernstein以及Tong的工作.形成$(k,w)$ -（弱）差三角形集合的整数集合被用作$(n,k,δ)$卷积码的滑动奇偶校验矩阵的某些列的支撑，其中$n\in\mathbb{N}$，$n>k$。卷积码的参数与底层差分三角形集合的参数相关。特别地，建立了码的自由距离与$w$之间的关系以及码的次数与差三角形集合的范围之间的关系。此外，我们证明了弱差三角形集上的一些条件，确保与卷积码的滑动校验矩阵相关联的Tanner图是免费的$2\ell$ -循环不满足满秩条件的任何有限域。最后，我们放松这些条件，并提供了一个下界的字段大小，根据奇偶校验的$\ell$，这是足以仍然避免$2\ell$ -周期。这对于提高码的性能和避免低权重码字和吸收集的存在是重要的。
2020-08-31 cs.IT math.CO math.IT
Proximity and remoteness in triangle-free and C_4-free graphs in terms of order and minimum degree
设$G$是一个有限的连通图. $G$的顶点$v$的平均距离是从$v$到$G$的所有其他顶点的距离的算术平均值。$G$的距离$ρ(G)$和接近度$π(G)$是$G$的顶点的平均距离的最大值和最小值。本文给出了给定阶和最小度的无三角形图的距离的一个精确的上界，以及相应的距离的一个精确的上界，它与一个可加常数无关。我们还提出了上界的远程和邻近的$C_4$ -免费的图形给定的顺序和最低程度，我们证明，这些是接近最好的可能。
2020-02-08 math.CO
On the number of perfect triangles with a fixed angle
理查德·盖伊（Richard Guy）提出了一个问题：我们能找到一个有合理边、中线和面积的三角形吗？这样的三角形被称为\emph{perfect triangle}，迄今为止还没有发现这样的例子。人们普遍认为这样的三角形并不存在。在这里，我们使用的设置Solymosi和德Zeeuw关于合理的距离集包含在一个代数曲线，以表明，对于任何角度$0<θ< π$，完美的三角形与角度$θ$的数量是有限的。\emph{rational median set} $S$是平面中的一组点，使得对于$S$中的每三个非共线点$p_1,p_2,p_3$，顶点在$p_i$处的三角形的所有中线具有有理长度。本文的第二个结果是定义在$\mathbb{R}$上的不可约代数曲线不含无穷有理中值集。
2019-10-15 math.CO
Variance of random greedy independent sets in triangle-free graphs
该论文研究无三角形图中随机贪心独立集顶点数的方差，证明其上界为 e((n-2)/n)^2，并指出星图在树中唯一达到最大值，通过改进的估计和恒等式获得尖锐结果。
2026-09-15 math.CO math.PR
On the maximum number of isosceles right triangles in a finite point set
设$Q$是平面上的有限点集。对于平面中的点的任何集合$P$，$S_{Q}(P)$表示包含在$P$中的$Q$的相似副本的数目。对于一个固定的$n$，Erdwors和Purdy要求确定$S_{Q}(P)$的最大可能值，用$S_{Q}(n)$表示，在平面上所有$n$点的$P$上。我们考虑这个问题时，$Q=\triangle$是一个等腰直角三角形的顶点集。给出了$n\leq9$的精确解，并给出了$S_{\triangle}(n)$的新的上、下界.
2011-02-25 math.CO
On the Number of Almost Empty Monochromatic Triangles
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Indian Statistical Institute, Kolkata（印度统计研究所，加尔各答）；University of Michigan（密歇根大学）
本文研究了多色点集中单色三角形数量，证明了在特定条件下单色三角形的下界，并推广了空三角形结果到具有少量内部点的情况。
2026-09-14 cs.CG cs.DM math.CO
Holes or Empty Pseudo-Triangles in Planar Point Sets
令$E(k, \ell)$表示最小整数，使得平面中至少有$E(k, \ell)$点的任何集合（直线上没有三个点）包含具有$k$顶点的空凸多边形或具有$\ell$顶点的空伪三角形。正整数$k, \ell\geq 3$的$E(k, \ell)$的存在性是Valtr [Discrete and Computational Geometry，Vol.37，565- 576，2007]证明的结果的结果。本文根据三角凸包点集上空伪三角形存在性的一系列新结果，确定了$E(k, 5)$和$E(5, \ell)$的精确值，证明了$k, \ell\geq 3$的$E(k, 6)$和$E(6, \ell)$的界.通过放弃空条件，我们定义了另一个相关量$F(k, \ell)$，它是最小的整数，使得平面中至少有$F(k, \ell)$点的任何集合，在一条直线上没有三个，包含一个具有$k$顶点的凸多边形或一个具有$\ell$顶点的伪三角形。推广了Bisztriczky和Tóth [Discrete Geometry，Marcel Dekker，49- 58，2003]的结果，得到了$F(k, 5)$和$F(k, 6)$的精确值，并得到了$F(k, 7)$的非平凡界.
2012-10-17 cs.DM math.CO
On the difference between proximity and other distance parameters in triangle-free graphs and $C_4$-free graphs
连通图$G$的顶点$v$的平均距离是从$v$到$G$的所有其他顶点的距离的算术平均值。$G$的邻近度$π(G)$和远离度$ρ(G)$是$G$的顶点的平均距离的最小值和最大值。本文给出了具有给定阶和最小度的无三角形图的距离与邻近、直径与邻近、半径与邻近之差的上界。我们得到后两个结果，首先证明下界的顺序，最小程度和直径或半径方面的接近。我们的边界是尖锐的除了一个加法常数。我们还得到了相应的界限$C_4$ -自由图。
2021-06-04 math.CO
Stability for maximal independent sets
Y. Rabinovich的研究中，我们证明了在各种限制条件下图的极大独立集计数上界的“稳定性”版本。粗略地说，接近最大值意味着存在大的诱导匹配或三角匹配（取决于假设）。
2018-08-20 math.CO
Random independent sets and local sparsity
Colorado State University（科罗拉多州立大学）
该研究针对局部稀疏图，推广了局部Shearer界并改进了独立多项式的相关界，拓展了独立集与分数着色的随机构造方法。
2026-09-07 math.CO
Rainbow triangles and the Caccetta-Häggkvist conjecture
Caccetta和Häggkvist的一个著名猜想是，在$n$顶点且最小出度至少为$\frac{n}{r}$的有向图中，存在长度为$r$或更小的有向圈。我们考虑以下推广：在$n$顶点上无向图中，$n$不相交边集合的任何集合，每个边的大小至少为$\frac{n}{r}$，有一个长度为$r$或更小的彩虹圈.我们着重讨论了$r=3$的情形，并在比猜想中更强的条件下证明了彩虹三角形的存在性.对于任意固定的$k$和足够大的$n$，我们确定了一个$n$ -顶点边着色图的最大边数，其中所有的色类的大小最多为$k$，并且没有彩虹三角形.此外，我们还刻画了这个问题的极图。
2018-04-04 math.CO
On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
本文将整三角形的特征的定义推广到整单形，并证明了整点集中的每个单形都具有相同的特征。这个定理被用于整点集的一个有效的构造算法。利用这个算法，我们能够提供新的精确值的最小直径的整点集。
2005-11-29 math.CO
On hyperbolic corners and unit-area triangles in planar sets of large measure
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究避免特定点配置（面积为1/2的直角三角形的顶点）的可测集，证明其测度上界为O(R^2/(log R)^c)，并给出下界Ω(R log R)；对于避免固定面积三角形的集合，将上界改进至c<1/2，部分推进了Erdős猜想。
2026-05-28 math.CA math.CO
A ChatGPT-assisted Triangle Characterization of Affine Permutation Inversion Graphs
University of Washington（华盛顿大学）；The University of the South（南部大学）
研究借助ChatGPT给出仿射置换逆序图的新刻画，基于加权竞赛图三角形局部条件，带来识别逆序图和集的高效算法、有向路径权重界等，还给出新算法测试集合是否为仿射置换逆序集。
2026-07-13 math.CO
Triangle-free planar graphs with the smallest independence number
Steinberg和Tovey证明了每一个n-顶点平面无三角形图都有一个大小至少为（n+1）/3的独立集，并给出了无穷多个紧例.我们证明了除了这一个无限类之外，所有的n-顶点平面无三角形图都有大小至少为（n+2）/3的独立集。
2016-06-20 cs.DM math.CO
Tuza's Conjecture for Graphs of Maximum Average Degree Less Than 7
图扎猜想指出，如果一个图$G$不包含多于$k$个边不相交的三角形，则某个至多$2k$边的集合满足$G$的所有三角形。本文证明了图$G$的Tuza猜想，它不含平均度至少为$7$的子图.作为一个关键的工具，在证明中，我们介绍了一个概念，可约集的图扎猜想，这些子结构，不能发生在一个最小的反例图扎猜想。我们还介绍了弱König-Egerváry图，广泛研究的König-Egerváry图的推广。
2015-04-13 math.CO
