On the b-continuity of the lexicographic product of graphs
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$χ_b(G)$颜色的b-染色的最大整数$χ_b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),χ_b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这里，我们研究是否字典积$G[H]$的b-连续图$G$和$H$也是b-连续的。利用同态，我们给出了$χ_b(G[H])$的一个新的下界，即$χ_b(G[K_t])$，其中$t=χ_b(H)$，并证明了：如果$G[K_\ell]$对每个正整数$\ell$都是b-连续的，则$G[H]$对区间$[χ(G[H]),χ_b(G[K_t])]$中的每个$k$都允许用$k$颜色进行b-染色.证明了当$G$是$P_4$ -稀疏图时，对任意正整数$\ell$，$G[K_\ell]$是b-连续的;当$G$是弦图时，给出了$G[K_\ell]$的b-谱的进一步结果.
2016-10-10 cs.DM
Distance-2 Edge Coloring is NP-Complete
证明了对围长为6、最大度为3的二部2-归纳图，判定其是否存在5种颜色的距离2边染色（强边染色）是NP-完全的。
2005-09-30 cs.CC cs.DM
A polyhedral approach for the Equitable Coloring Problem
在这项工作中，我们研究的多面体与0，1-整数规划制定的公平着色问题。我们发现几个家庭的有效的不等式，并推导出充分条件，以小面定义的不等式。我们还提出了计算的证据，表明这些不等式中使用的切割平面算法的有效性。
2011-11-01 cs.DM
Polyhedral results for the Equitable Coloring Problem
在这项工作中，我们研究的多面体与0/1整数规划制定的公平着色问题。我们发现几个家庭的有效的不等式，并推导出充分条件，以小面定义的不等式。我们还提出了计算证据的有效性，包括这些不平等的削减分支和削减算法。
2011-06-16 cs.DM
Harmonious Colorings: bounds, heuristics and integer-linear formulations
Universidade Federal do Ceará（塞阿拉联邦大学）；ENS de Lyon, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, LIP UMR 5668（里昂高等师范学院，法国国家科学研究中心，克洛德·贝尔纳里昂大学，LIP UMR 5668）；Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文研究了图的和谐着色问题，提出了一种比较两个图和谐着色数的方法，并改进了现有上界，同时介绍了该问题的第一个整数线性规划公式和启发式方法。
2026-05-18 cs.DM math.CO
$2$-distance $(Δ+2)$-coloring of sparse graphs
一个图的$2$ -距离$k$ -染色是一个顶点的真$k$ -染色，其中距离至多为2的顶点不能共享相同的颜色。本文证明了最大平均度小于$\frac{8}{3}$的图的$2$ -距离（$Δ+2$）-染色的存在性（分别为. $\frac{14}{5}$）和最大程度$Δ\geq 6$（分别$Δ\geq 10$）。作为推论，每个围长至少为$8$（分别为. $7$）和最大程度$Δ\geq 6$（分别$Δ\geq 10$）允许$2$ -距离$(Δ+2)$ -着色.
2021-09-24 cs.DM math.CO
Conditional and Unique Coloring of Graphs (revised resubmission)
对于整数$k>0$和$0<r \leq Δ$（其中$r \leq k$），图$G$的条件$(k,r)$ -着色是$G$的顶点的真$k$ -着色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$\min\{r, d(v)\}$不同着色邻居的顶点相邻。图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .对于不同的$r$的值，我们首先给出的结果（确切的值或界的$χ_r(G)$依赖于$r$）有关的图的条件着色。然后我们得到了某些参数化图的$χ_r(G)$，风车图、风车图的线图、友谊图的中图、圈的中图、友谊图的线图、完全$k$ -部图的中图、二部图的中图和齿轮图。最后介绍了\emph{unique conditional colorability}并给出了相关结果。
2012-01-30 cs.DM
2-distance list $(Δ+ 3)$-coloring of sparse graphs
图的2-距离列表k-染色是图的顶点的正常染色，其中每个顶点具有至少k个可用颜色的列表，并且距离至多为2的顶点不能共享相同的颜色。证明了最大平均度小于$\frac83$和最大度小于$Δ\geq 4$的图以及最大平均度小于$\frac{14}5$和最大度小于$Δ\geq 6$的图的2-距离列表$(Δ+ 3)$ -染色的存在性.
2021-05-04 cs.DM math.CO
2-distance 4-coloring of planar subcubic graphs with girth at least 21
本文证明了围长至少为21的平面次立方图具有2-距离4-染色，并构造出围长为11的平面次立方图反例，界定了该染色性质成立的围长下界。
2025-03-04 cs.DM math.CO
A matheuristic approach for the $b$-coloring problem using integer programming and a multi-start multi-greedy randomized metaheuristic
给定一个图$G=(V,E)$，$b$ -着色问题是给$V$中的每个顶点赋予一种颜色，使得邻顶点接收不同的颜色，每个颜色都有一个$b$ -顶点，并且颜色的数量最大化.一个$b$ -顶点是一个顶点相邻的顶点着色的所有使用的颜色，但自己的。已知$b$ -着色问题是NP-困难的，并且其最优解确定$G$的$b$ -色数，记为$χ_b(G)$。本文提出了一个整数规划公式和一个非常有效的多贪婪随机启发式，可以用于多开始元启发式。此外，提出了一种数学方法相结合的多开始多贪婪随机元启发式与MIP（混合整数规划）为基础的局部搜索过程中使用的整数规划制定。计算实验表明，所提出的多开始元启发式算法在生成高质量的解决方案方面非常有效，同时数学方法成功地改善了其中的几个结果。此外，计算结果表明，多开始元启发式优于一个国家的最先进的混合进化元启发式的一个子集的大型实例，以前在文献中考虑。这项工作的另一个贡献是建议的基准实例集，其中包括新生成的实例以及其他文献中的经典图问题，其目的是标准化计算比较的方法为$b$着色问题在未来的工作。
2021-02-19 cs.DM math.OC
Packing coloring of some undirected and oriented coronae graphs
图$G$的填充色数$\pcn(G)$是最小整数$k$，使得它的顶点集$V(G)$可以被划分为$k$不相交子集$V\_1$，\ldots，$V\_k$，以这种方式，对于每个$i$，$1\le i\le k$，$V\_i$中的每两个不同的顶点的距离大于$G$中的$i$。对于给定的整数$p \ge 1$，图$G$的广义冠$G\odot pK\_1$是通过将$p$度1邻居添加到$G$的每个顶点而从$G$获得的图。本文确定了路和圈的广义冠的填充色数。此外，通过考虑有向图和顶点间的（弱）有向距离，我们得到了填充染色概念在有向图上的自然推广。然后，我们确定了道路和圈的广义冕的方向的填充色数。
2015-06-24 cs.DM
Computer assisted discharging procedure on planar graphs: application to 2-distance coloring
利用计算技术，我们提供了一个框架，证明结果的子类可平面图通过放电方法。本文的目的是应用这些技巧来研究平面次立方图的2-距离染色。应用这些技巧，我们证明了每个围长至少为8的次立方可平面图$G$的2-距离色数至多为6。
2022-02-13 cs.DM math.CO
Dichotomies properties on computational complexity of S-packing coloring problems
本文建立了S-填充着色问题的几个实例的复杂性类：对于图G，一个正整数k和一个非减整数列表S =（s_1，...，s_k），则G是S-可染的，如果G的顶点可划分为集合S_i，i = 1，.，k，其中每个Si是Si-填充（成对距离大于Si的顶点的集合）。对于三个整数的列表，确定了次三次图的NP完全问题和多项式时间可解问题之间的二分法。此外，对于一个不固定大小的列表，S-包装着色问题的复杂性，确定了几个例子的问题。这些性质是用来证明一个二分法之间的NP完全问题和多项式时间可解的问题，最多四个整数的列表。
2015-01-29 cs.CC cs.DM math.CO
A note on interval edge-colorings of graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$染色，如果对于每个$i\in \{1,2,\ldots,t\}$，至少有一条$G$的边被$i$染色，并且与$G$的任意顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间.本文证明了：如果具有$n$顶点的连通图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq 2n-3$ .我们还证明了如果$G$是一个连通的$r$ -正则图，且$n$的顶点具有区间$t$ -染色和$n\geq 2r+2$，那么这个上界可以改进为$2n-5$ .
2010-08-12 cs.DM
The black-and-white coloring problem on circle graphs
给定图G和整数b和w。黑白着色问题询问是否存在不相交的顶点集B和W，其中|B| =b和|W| =w，使得B中的两个顶点x和W中的两个顶点y都不相邻。在本文中，我们表明，这个问题是多项式时，仅限于置换图，更一般地说，圈图。
2012-03-17 cs.DM
Conditional and Unique Coloring of Graphs
对于整数$k, r > 0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$至少与$\min\{r, d(v)\}$不同着色的顶点相邻.给定$r$，$G$有条件$(k,r)$ -着色的最小整数$k$称为$G$的$r$阶条件色数$χ_r(G)$.我们给出了一些图的条件着色的结果（精确值或界为$χ_r(G)$，取决于$r$）。我们引入了\emph{unique conditional colorability}并给出了一些相关的结果。（关键词。图的卡氏积;条件色数;齿轮图;图的并。
2011-06-17 cs.DM math.CO
$2$-distance list $(Δ+2)$-coloring of planar graphs with girth at least 10
给定一个图$G$和一个列表分配$L(v)$，每个顶点的$G$的$G$。$G$的适当$L$列表着色是将每个顶点映射到$L(v)$中的颜色的函数，使得没有相邻顶点对具有相同的颜色。我们说一个图是列表$k$ -可着色的，当每个顶点$v$都有一个大小至少为$k$的颜色列表。$2$距离着色是距离最大为2的顶点不能共享相同颜色的着色。证明了围长至少为$10$且度最大为$Δ\geq 4$的可平面图的$2$ -距离列表（$Δ+2$）-染色的存在性.
2021-09-29 cs.DM math.CO
Interval edge colorings of some products of graphs
图$G$的边染色称为区间$G$染色，如果对于每个$i\in \{1,2,\ldots,t\}$，至少有一条$G$的边被$i$染色，并且与$G$的任意顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间.一个图$G$是区间可着色的，如果存在一个整数$t\geq 1$，使得$G$具有区间$t$ -着色.设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。在2004年Kubale和Giaro证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。此外，他们制定了一个类似的问题，词典产品作为一个开放的问题。在本文中，我们首先表明，如果$G\in \mathfrak{N}$，那么$G[nK_{1}]\in \mathfrak{N}$对任何$n\in \mathbf{N}$。进一步证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则图$G,H$的强积和字典积都属于$\mathfrak{N}$ .证明了当$G\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图时，图$G,H$的张量积和强张量积都属于$\mathfrak{N}$.
2010-08-12 cs.DM
A Connected Version of the Graph Coloring Game
图着色游戏是一个两人游戏，其中，给定图G和一组k种颜色，两个玩家Alice和Bob轮流对G的未着色顶点进行适当着色，Alice采取第一步行动。爱丽丝赢得游戏当且仅当G的所有顶点最终都着色。然后定义图G的博弈色数为Alice在G上进行k种颜色的图着色博弈时具有获胜策略的最小整数k。在本文中，我们介绍和研究了一个新的版本的图着色游戏，要求，在每个玩家的回合后，由一组着色顶点诱导的子图是连通的。图G的连通对策色数是指Alice在G上进行k种颜色的连通图着色对策时，能使Alice获胜的最小整数k。证明了每一个外平面图的连通对策色数至多为5，并且存在连通对策色数为4的外平面图。此外，我们证明了对于每个整数k $\ge$ 3，存在二部图，其中Bob在每个二部图上赢得了k种颜色的连通着色游戏，而Alice在每个二部图上赢得了两种颜色的连通着色游戏。
2020-03-16 cs.DM math.CO
Are monochromatic Pythagorean triples unavoidable under morphic colorings ?
毕达哥拉斯三元组是正整数a，b，c $\in$ N ${}^{+}$的三元组，满足a ${}^2$ + b ${}^2$ = c ${}^2$。对于N ${}^{+}$的任何有限着色，是否至少有一个毕达哥拉斯三元组是单色的？换句话说，迪奥-番汀方程X ${}^2$ + Y ${}^2$ = Z ${}^2$是正则的吗？这个问题，最近通过大量的SAT计算解决了2-着色[Heule等人，2016年]，仍然广泛开放的k着色与k $\ge$ 3。本文引入了N ~+的态射染色，它是具有部分乘法性质的有限群中的一种特殊染色。我们发现，对于许多形态着色2和3的颜色，单色毕达哥拉斯三元组是不可避免的，在相当小的整数间隔。
2017-04-24 cs.DM math.CO math.NT
Complexity of tree-coloring interval graphs equitably
图的均匀树- $k$ -染色是指图的顶点$k$ -染色使得每个色类诱导一个森林，且任意两个色类的大小相差至多1.本文证明了区间图$G$对任意整数$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都有一棵公平树$k$ -染色，解决了Wu，Zhang和Li（2013）关于区间图的一个猜想，并给出了一个线性时间算法来判定一个区间图对给定整数$k$是否有一棵公平树$k$ -染色.对于分裂图的不交并图，或具有$r\geq 4$的无$K_{1,r}$区间图，证明了当分别以颜色数、树宽、颜色数和最大度为参数时，是否存在公平树- $k$ -着色是$W[1]$ -难判定的.
2020-03-09 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of composition of graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.用$\mathfrak{N}$表示所有区间可着色图的集合。在2004年，Giaro和Kubale证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。在同一年，他们制定了一个类似的问题组成的图形作为一个开放的问题。后来，在2009年，第一作者证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则$G[H]\in \mathfrak{N}$。本文证明了：如果$G\in \mathfrak{N}$和$H$具有一种特殊类型的区间染色，则$G[H]\in \mathfrak{N}$ .此外，我们还证明了所有的正则图、完全二部图和树都有这样一个特殊的区间着色。特别地，这意味着如果$G\in \mathfrak{N}$和$T$是树，则$G[T]\in \mathfrak{N}$。
2015-08-01 cs.DM math.CO
Estimates for the number of vertices with an interval spectrum in proper edge colorings of some graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得使用$t$中的每一种颜色，并且相邻的边被不同地着色。与$G$的顶点$x$关联的边的颜色的集合被称为$x$的谱。如果图$x$的谱是整数区间，则图$G$的正常边$t$ -染色是其顶点$x$的区间.图$G$的正常边$t$染色是其顶点$x$的持续区间，如果$x$的谱是从色1开始的整数区间.对于某些图类中的图$G$，我们得到了$G$的正常边$t$ -染色为区间或持久区间的可能顶点数的估计.
2012-05-01 cs.DM math.CO
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
2015-08-12 cs.DM math.CO
On trees with a maximum proper partial 0-1 coloring containing a maximum matching
证明了在任意两个端点之间的距离为偶数的树中，存在一个最大真偏0-1着色，使得着色为0的边形成一个最大匹配。
2007-07-13 cs.DM
Interval colorings of complete balanced multipartite graphs
一个图$G$称为完全$k$ -部（$k\geq 2$）图，如果它的顶点可以被划分成$k$独立集$V_{1},...,V_{k}$，使得$V_{i}$中的每个顶点都与$1\leq i<j\leq k$的$V_{j}$中的所有其他顶点相邻.完全$k$ -部图$G$是完全平衡$k$ -部图，如果$|V_{1}| = |V_{2}| =... = |V_{k}|$ .一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。本文证明了一个完全平衡$k$ -部图$G$是区间可着色的当且仅当$nk$是偶图。证明了如果$nk$是偶数且$(k-1)n\leq t\leq ((3/2)k-1)n-1$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$允许区间$t$ -染色.此外，若$k=p2^{q}$，其中$p$是奇数，且$q\in \mathbb{N}$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$对每个满足$(k-1)n\leq t\leq (2k-p-q)n-1$的正整数$t$都有区间$t$ -染色.
2012-11-22 cs.DM math.CO
The Complexity of (List) Edge-Coloring Reconfiguration Problem
设$G$是一个图，使得每条边都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。假设我们给出$G$的两个列表边着色$f_0$和$f_r$，并询问在$f_0$和$f_r$之间是否存在$G$的列表边着色序列，使得每个列表边着色可以通过改变恰好一个边的颜色分配从前一个列表边着色获得。这个问题对于每个整数$k \ge 6$和最大度为3的平面图都是PSPACE完全的，但是对于非列表变体，任何复杂性硬度都是未知的。在本文中，我们首先改进了已知的结果，证明了，对于每一个整数$k \ge 4$，即使输入图是平面的，有界带宽，最大度为3的问题仍然是PSPACE完全的。然后，我们给出了第一个复杂性硬度结果的非列表变体：对于每一个整数$k \ge 5$，我们证明了非列表变体是PSPACE-完全的，即使输入图是平面的，带宽线性的$k$，和最大程度的$k$。
2016-09-01 cs.CC cs.DM
On the Span of $l$ Distance Coloring of Infinite Hexagonal Grid
对于图$G(V,E)$和$l \in \mathbb{N}$，$l$距离着色是$V$的着色$f: V \to \{1, 2, \cdots, n\}$，使得当$d(u,v) \leq l$时$\forall u,\;v \in V,\; u\neq v,\; f(u)\neq f(v)$。这里，$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离，并且等于$G$中连接$u$和$v$的边的最小数目。$G$的$l$距离染色的跨度$λ^{l}(G)$是$G$的所有$l$距离染色中的最小$n$。蜂窝网络中的一类信道分配问题可以表示为规则网格图中的距离图着色问题。蜂窝网络通常被建模为无限六边形网格$T_H$，因此从实际的观点来看，确定$λ^{l}(T_H)$具有相关性。Jacko和Jendrol [Discussiones Mathematicae Graph Theory，$2005$ ]确定了$λ^{l}(T_H)$对于任何奇数$l$和偶数$l \geq 8$的精确值，证明了$λ^{l}(T_H) = \left[ \dfrac{3}{8} \left( \, l+\dfrac{4}{3} \right) ^2 \right]$（其中$[x]$是整数）、$x\in \mathbb{R}$和$x-\dfrac{1}{2} < [x] \leq x+\dfrac{1}{2}$。对于$l=8$，该猜想已…
2022-06-20 cs.DM math.CO
On List Coloring with Separation of the Complete Graph and Set System Intersections
我们考虑以下列表着色与分离问题：给定图$G$和整数$a,b$，找到最大整数$c$，使得对于$G$的任何列表分配$L$，对于$G$的任何顶点$v$具有$|L(v)|= a$，对于$G$的任何边$uv$具有$|L(u)\cap L(v)|\le c$，存在整数集合到$G$的顶点的分配$φ$，使得对于任何顶点$φ(u)\subset L(u)$和$φ(u)\cap φ(v)=\emptyset$适用于任何边缘$uv$。这样的$c$值称为$(G,a,b)$的分离数。使用一个特殊的划分的一组列表，我们获得了一个改进版本的庞加莱的crible，我们确定的分离数的完全图$K_n$的一些值的$a,b$和$n$，并证明了边界的其余值。
2022-09-07 cs.DM math.CO
Non-degenerate colorings in the Brook's Theorem
令$c\geq 2$和$p\geq c$是两个整数。如果对度至少为$p$的$G$的任一顶点，至少有$c$与之相邻的不同颜色的顶点，则称图$G$的一个真染色为\textit{$(c,p)$-nondegenerate}.设$D\geq 3$和$G$是一个在$D+1$顶点上不存在团的图，且该图中任一顶点的度不大于$D$ .则对每一个整数$c\geq 2$，都存在$G$的一个真$(c,p)$ -非退化顶点$D$ -染色，其中$p=(c^3+8c^2+19c+6)(c+1).$在初步证明中，得到了一些有趣的推论.
2008-12-01 cs.DM math.CO
Improved bounds for some facially constrained colorings
$2$ -边连通平面图的面奇偶边染色是指每一个面与每种颜色的零条或奇数条边关联的面真边染色。$2$ -连通平面图的面奇偶点染色是指每一个面与每种颜色的零个或奇数个顶点关联的面真点染色。Czap和Jendrocket（在平面图的面约束着色：一项调查，离散数学。340（2017），2691- 2703），证明了$10$颜色在两种着色中都足够。我们提出了一个无限的家庭的反例，这两个命题。平面图$G$的面$(P_{k}, P_{\ell})$ -WORM着色是顶点的着色，使得$G$不包含彩虹面$k$ -路径和单色面$\ell$ -路径。数学图论37（2017），353- 368），证明了对于任何整数$n\ge 12$，在$n$顶点上存在连通平面图，最大度至少为$6$，没有面部$(P_{3},P_{3})$ -WORM着色。他们还询问是否存在具有最大度$4$的图具有相同的属性。证明了对任意整数$n\ge 18$，存在一个连通平面图，其最大度为$4$，且无面$(P_{3},P_{3})$ -WORM染色.
2020-05-20 cs.DM math.CO
Parameterized Coloring Problems on Threshold Graphs
本文从参数复杂性的角度研究了图的几个着色问题。我们表明，预着色扩展是固定参数易处理的（FPT）参数化的距离团和公平着色是FPT参数化的距离阈值图。我们还研究了列表k-着色问题，并证明了该问题在分裂图上是NP-完全的，并且在分裂图上是由解的大小参数化的FPT。
2020-05-28 cs.DM cs.DS
On interval edge-colorings of outerplanar graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于一个区间可着色图$G$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值记为$w(G)$ .一个图$G$是外平面的，如果它可以嵌入到平面中，使得它的所有顶点都位于同一个（无界的）面上。本文证明了如果$G$是2-连通外平面图，且具有$Δ(G)=3$，则$G$是区间可着色的，并且\begin{center} $w(G)=\left\{\begin{tabular}{ll} 3, & if $| V(G)|$ is even, \ 4, & if $| V(G)|$ is odd. \end{tabular}% \right.$ \end{center}也是区间可着色的。
2013-03-05 cs.DM math.CO
On Robust Colorings of Hamming-Distance Graphs
定义$H_q(n,d)$为顶点集为${\mathbb Z}_q^n$且两个顶点的汉明距离至少为$d$的图.这些图的色数的各种参数$(q,n,d)$。对于图$H_2(n,n-1)$的$4$ -着色，引入了鲁棒性的概念.它是基于沿边交换颜色而不破坏着色适当性的公差。给出了$H_2(n,n-1)$的最大鲁棒$4$ -着色的显式描述.
2016-09-16 cs.DM cs.IT math.CO
The b-continuity of graphs with large girth
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这篇文章中，我们证明了，如果$G$的围长至少为10，那么$G$是b-连续的。
2016-06-15 cs.DM math.CO
Distance-Two Colorings of Barnette Graphs
巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。
2018-07-04 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring near-quadrangulations of the cylinder and the torus
设G是一个简单连通平面图，C_1和C_2是G中分别包围面f_1和f_2的圈.对于一个正整数l，令r（l）表示整数n的个数，使得-l<=n<=l，n可被3整除，且n与l具有相同的奇偶性;特别地，r（4）=1。设r_{f_1,f_2}（G）是r（|f|）在G的所有不同于f_1和f_2的面f上的乘积，q（G）=1+ sum_{f:|f|\neq 4} |f|，其中和是在G的所有面f上的.本文给出了一个时间复杂度为O（r_{f_1,f_2}（G）q（G）|G|）的算法，该算法在给定C_1和C_2的3-着色psi的情况下，要么找到psi到G的3-着色的扩张，要么正确地判定不存在这样的扩张.该算法是基于整数2-商品流的一个变种的最小-最大定理，因此在负的情况下产生的存在的扩展的障碍。作为推论，我们证明了在环面上边宽不小于21的无三角形图是3-可着色的。
2019-09-26 cs.DM math.CO
Coloring curves that cross a fixed curve
证明了对任意整数$t\geq 1$，平面上与固定曲线相交的曲线在至少一个且至多$t$点上的交图类是$χ$ -有界的.这基本上是对这类图类所能得到的最强的$χ$ -有界性结果。作为推论，我们证明了对任意固定整数$k\geq 2$和$t\geq 1$，$k$ -拟平面拓扑图在$n$顶点上的任意两条边最多相交$t$次都有$O(n\log n)$边.
2017-10-04 cs.CG cs.DM math.CO
Complexity of the conditional colorability of graphs
对于整数$r>0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$与至少具有$min\{r, d(v)\}$不同颜色的顶点相邻.图$G$具有条件$(k,r)$ -染色的最小整数$k$称为$r$阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .很容易看出，条件着色是传统顶点着色的推广，其中$r=1$。本文研究了图的条件着色的复杂性。主要结果是：对于最大度不超过3的无三角形图，条件$(3,2)$ -可染性是$NP$ -完全的，这不同于传统的3-可染性是多项式可解的.这也意味着确定最大度为3的图是$(3,2)$-可着色的还是$(4,2)$ -可着色的是$NP$ -完全的。我们还证明了传统着色的一些旧的复杂性结果仍然适用于条件着色。
2007-11-19 cs.CC cs.DM
Lower Bound for (Sum) Coloring Problem
ENAC French Civil Aviation University（法国国立民航大学（ENAC））；UHA University of Upper Alsace（上阿尔萨斯大学（UHA））
最小和着色问题是图顶点着色问题的一个变种，其中每种颜色都有一个权重。本文提出了一种新的方法来找到这个问题的下界，松弛成一个整数分割问题的基础上，附加约束。我们改进了标准基准DIMACS的18个图的下界，并证明了4个图的最优值达到其已知的上界。
2019-09-19 cs.DM cs.RO
Structural Parameterizations for Equitable Coloring
一个$n$ -顶点图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点有一个适当的着色使得每种颜色被使用$\left\lfloor n/k \right\rfloor$或$\left\lceil n/k \right\rceil$次.经典的顶点着色是固定参数，在路径宽度和反馈顶点集等已建立的参数下易于处理，而公平着色是$\mathsf{W}[1]$ - $\mathsf{hard}$。我们提出了一个广泛的研究结构参数化的公平着色，处理易处理性和核化问题。我们首先表明，该问题是固定参数易处理时，参数化的距离集群或距离co-cluster - improving的$\mathsf{FPT}$算法的Fiala等人。[理论计算机科学，2011]参数化顶点覆盖-也当参数化的距离不相交的路径的有界长度。为了证明后一个结果，我们采用了Fellows等人的证明。[Information and Computation，2011]以表明当同时通过到不相交路径的距离和颜色数参数化时，公平着色是$\mathsf{W}[1]$ - $\mathsf{hard}$。在核化方面，在积极的一面，我们提出了一个线性内核的距离集团参数和立方核时，参数化的最大叶数;另一方面，我们表明，不像顶点着色，公平着色不承认多项式核时，联合参数化的顶点覆盖和颜色的数量，除非$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coN…
2020-12-11 cs.DM cs.DS
On a Conjecture for a Hypergraph Edge Coloring Problem
设$H =(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E \cup \mathcal{E})$是具有两个超顶点$\mathcal{G}_1$和$\mathcal{G}_2$的超图，其中$\mathcal{M} =\mathcal{G}_{1} \cup \mathcal{G}_{2}$和$\mathcal{G}_{1} \cap \mathcal{G}_{2} =\varnothing $ .二部多重图$(\mathcal{M} \cup \mathcal{J} ,E)$中的边$\{h ,j\} \in E$具有整数重数$b_{j h}$，并且超边$\{\mathcal{G}_{\ell } ,j\} \in \mathcal{E}$ $\ell=1,2$具有整数重数$a_{j \ell }$。在[5]中证明了有$χ\prime (H) =\lceil χ\prime _{f} (H)\rceil $，其中$χ\prime (H)$和$χ\prime _{f} (H)$分别是$H$的边色数和分数边色数.研究这个超边着色猜想的动机来自大学时间表和使用多处理器的开放车间调度。本文证明了这一猜想。
2020-06-11 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of complete graphs
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于区间可着色图$G$，$W(G)$表示$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最大值.已知完全图是区间可着色的当且仅当它的顶点数是偶数。然而，仅对于$n \leq 4$，$W(K_{2n})$的精确值是已知的。第二位作者证明，如果$n = p2^q$，其中$p$是奇数，$q$是非负的，那么$W(K_{2n}) \geq 4n-2-p-q$。后来，他解释说，如果$n \in \mathbb{N}$，那么$W(K_{2n}) = 4n - 2 - \left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor - \left \| n_2 \right \|$，其中$\left \| n_2 \right \|$是$n$的二进制表示中$1$的个数。本文介绍了一种基于完全图的1-因子分解构造完全图的区间着色的新方法，并利用该方法对猜想进行了反驳，改进了$W(K_{2n})$的上下界，确定了$n \leq 12$的区间着色的精确值.
2016-03-31 cs.DM math.CO
A $p$-centered coloring for the grid using $O(p)$ colors
本文针对平面网格图，提出了一种使用 $O(p)$ 种颜色进行 $p$-中心着色的显式构造方法。
2023-06-27 cs.DM math.CO
b-continuity and Partial Grundy Coloring of graphs with large girth
一个图的b-染色是一个适当的染色，使得每个色类至少有一个顶点与其他色类相邻。$G$的b-谱是整数$k$的集合$S_{b}(G)$，使得$G$具有$k$颜色的b-着色，并且$b(G)=\max S_{b}(G)$是$G$的b-色数。一个图是b-连续的，如果$S_{b}(G)=[χ(G),b(G)]\cap \mathbb{Z}$。已知有无穷多个图不是b-连续的。我们还知道围长至少为10的图是b-连续的。部分Grundy着色是一种真着色$f:V(G)\rightarrow \{1,\ldots,k\}$，使得每个颜色类$i$包含与每个颜色类$j$相邻的某个顶点$u$，使得$j<i$。$G$的部分Grundy数是使$G$具有部分Grundy着色的最大值$\partialΓ(G)$。本文证明了围长至少为8的图是b-连续的，围长至少为7的图$G$的b-谱包含介于$2χ(G)$和$b(G)$之间的整数.我们还证明了当$G$是围长至少为7的图时，$\partialΓ(G)$等于一个已知的上界.这些结果推广了Linhares-Sales和Silva（2017）以及Shi等人的先前结果。（2005年）。
2019-08-02 cs.DM math.CO
Reconfiguring colorings of graphs with bounded maximum average degree
图$G$的$k$ -着色的重新配置图$R_k(G)$具有作为顶点集的$G$的所有可能的$k$ -着色的集合，并且如果两个着色在$G$的恰好一个顶点的颜色上不同，则两个着色是相邻的。令$d, k \geq 1$为整数，使得$k \geq d+1$。证明了对任意$ε> 0$和任意具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，$R_k(G)$具有直径$O(n(\log n)^{d - 1})$ .这大大加强了现有的几项成果。
2020-11-24 cs.DM math.CO
Centered colorings in minor-closed graph classes
针对minor-封闭图类中的中心着色问题，证明了对固定正整数t，所有不含K_t-子式的图可通过p-中心着色使用O(p^{t-1})种颜色，为该类图的着色提供了复杂度结果。
2025-04-18 cs.DM math.CO
Uniform Orderings for Generalized Coloring Numbers
图G的广义色数col_r（G）（也记为scol_r（G））和wcol_r（G）是由Kierstead和Yang引入的，作为一般色数的推广，并在理论和算法上有重要的应用。对于每个距离r，这些数由G的顶点的“最优”排序确定。我们研究的问题是，是否有可能找到一个单一的“统一”的顺序，是“好”的所有距离r。我们表明，这个问题的答案基本上是“是”。我们的结果给出了有界扩张图类和无处稠密图类的新刻画。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Square coloring planar graphs with automatic discharging
放电法是一种强有力的证明技术，特别是对于图着色问题。它的主要缺点是，它往往需要冗长的案例分析，有时需要计算机进行验证。然而，使用计算机主动寻找放电证据的情况要少得多。本文采用线性规划方法来自动寻找放电证据。虽然我们的系统是不完全自主的，我们设法取得了一些进展，韦格纳的猜想距离PDMATHAMM着色的可平面图，通过显示，$12$颜色是足够的颜色在距离$2$每一个平面图与最大程度的$4$。
2022-04-12 cs.DM math.CO
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
2013-07-04 cs.DM math.CO
Parallel Graph Coloring Algorithms for Distributed GPU Environments
图着色通常用于并行化在分布式和多GPU环境中运行的科学计算;它标识可以并行更新的独立数据集。在单个GPU或分布式存储器中存在许多用于图着色的算法，但据我们所知，混合MPI+GPU算法直到本工作才被探索。基于Gebremedhin等人的分布式着色算法和Deveci等人的共享内存着色算法，提出了几种MPI+GPU着色方法。节点上的并行着色使用KokkosKernels中的实现，它为多核CPU和GPU提供并行化。我们进一步扩展我们的方法来计算距离-2和部分距离-2着色，给出了第一个已知的分布式，多GPU算法，这些问题。此外，我们提出了一种新的启发式，以减少通信的分布式图着色的包围圈。我们的实验表明，我们的方法有效地运行在输入太大，适合在一个单一的GPU和扩展到图形与76.7十亿边运行在128个GPU。
2021-06-30 cs.DC cs.DM
Impartial coloring games
着色游戏是一种组合游戏，玩家交替将图中未着色的顶点涂上$k > 0$颜色之一。每个不同的规则指定游戏的着色约束。本文研究了六个公正的规则集（五个新的），来自以前研究的图着色方案，包括适当的地图着色，定向着色，2-距离着色，弱着色，顺序着色。对于每一个，我们研究了特殊情况下的结果类和一般的计算复杂性。在某些情况下，我们要特别注意Grundy函数。
2012-02-26 cs.CC cs.DM math.CO
