The interval constrained 3-coloring problem
本文解决了具有固定颜色数的区间约束染色的开复杂性问题。我们证明了，如果不同颜色的数量是3，该问题已经是NP-完全的。以前，它只被认为是NP完全的，如果颜色的数量是输入的一部分，并且如果颜色的数量至多为2，则问题在多项式时间内可解。我们还表明，这是很难满足几乎所有的约束的可行的情况。
2009-12-17 cs.DM
Coloring and Recognizing Directed Interval Graphs
本文研究混合区间图着色，给出一般情形 min{ω,λ+1} 近似，证明双向区间图最优着色 NP 难，并提出可多项式识别、着色具 2 近似的包含区间图。
2023-09-28 cs.DM
Component Coloring of Proper Interval Graphs and Split Graphs
我们介绍了一个推广的著名的图（顶点）着色问题，我们称之为问题的\emph{component coloring of graphs}。给定一个图，问题是用最少的颜色数给顶点着色，使得由相同颜色的顶点诱导的子图的每个连通分支的大小不超过$C$。给出了真区间图上该问题的一个线性时间算法。我们扩展此算法来解决两个加权版本的问题，其中顶点有整数权重。在\emph{splittable}版本中，顶点的权重可以分成不同颜色的部分，但是，单色组件的总权重不能超过$C$。对于这个问题，我们给出了一个多项式时间算法。在\emph{non-splittable}版本中，顶点不能分割。利用可分裂问题的算法，我们给出了NP-困难的真区间图不可分裂问题的一个2-近似算法。我们还证明，即使是未加权版本的问题是NP-困难的分裂图。
2012-11-03 cs.DM
On interval edge-colorings of planar graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。1990年，Kamalian证明了：如果至少有一条边的图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq 2|V(G)|-3$。2002年，Axenovich改进了平面图的这个上界：如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{11}{6}|V(G)|$ .在同一文件Axenovich提出了一个猜想，如果一个平面图$G$有一个区间$t$染色，然后$t\leq \frac{3}{2}|V(G)|$。本文证明了如果平面图$G$允许区间$t$ -染色，则$t\leq \frac{3|V(G)|-4}{2}$ .证明了如果外平面图$G$有区间$t$ -染色，则$t\leq |V(G)|-1$ .此外，所有这些上界都是尖锐的。
2023-03-20 cs.DM math.CO
On interval edge-colorings of bipartite graphs of small order
如果使用所有颜色，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成整数区间，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的边染色是区间$t$ -染色。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.判定一个二部图是否是区间可着色的问题是NP-完全的。区间不可着色二部图的最小已知例子有$19$顶点。另一方面，已知在至多$14$顶点上的二部图是区间可着色的。在这项工作中，我们观察到几类小阶二部图具有区间着色。特别地，我们证明了所有在$15$顶点上的二部图都是区间可着色的。
2015-08-12 cs.DM math.CO
Estimates for the number of vertices with an interval spectrum in proper edge colorings of some graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得使用$t$中的每一种颜色，并且相邻的边被不同地着色。与$G$的顶点$x$关联的边的颜色的集合被称为$x$的谱。如果图$x$的谱是整数区间，则图$G$的正常边$t$ -染色是其顶点$x$的区间.图$G$的正常边$t$染色是其顶点$x$的持续区间，如果$x$的谱是从色1开始的整数区间.对于某些图类中的图$G$，我们得到了$G$的正常边$t$ -染色为区间或持久区间的可能顶点数的估计.
2012-05-01 cs.DM math.CO
Interval Total Colorings of Complete Multipartite Graphs and Hypercubes
图$G$的全染色是图的顶点和边的染色，使得没有邻顶点、边以及没有关联顶点和边获得相同的颜色。图$G$的区间全$t$ -着色是$G$用颜色$1,\ldots,t$的全着色，使得所有颜色都被使用，并且与$v$一起入射到每个顶点$v$的边被$d_{G}(v)+1$连续颜色着色，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。本文证明了每部分顶点数相同的完全多部图都是区间全可染的。此外，我们还给出了这类图的区间全染色的最小和最大跨度的一些界。其次，我们研究了超立方体$Q_{n}$的区间全染色。特别地，我们证明了$Q_{n}$（$n\geq 3$）具有区间全$t$ -染色当且仅当$n+1\leq t\leq \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .
2014-08-11 cs.DM math.CO
Coloring Mixed and Directional Interval Graphs
本文研究混合区间图着色，给出有向区间图的识别与色数高效算法，并证明一般混合区间图的色数计算为 NP 难。
2022-09-02 cs.DM
Interval edge-colorings of cubic graphs
多重图G的边染色（颜色为1，2，…称t为区间t-染色，如果所有的颜色都被使用，并且与G的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数的区间。本文证明了：如果G是允许区间t-染色的连通三次多重图（连通三次图），则t \leq| V（G）|+1（t \leq| V（G）|其中V（G）是G的顶点集。此外，若G是连通三次图，G是\neq K_{4}，且G有区间t-染色，则t \leq| V（G）|-1个。我们还表明，这些上限是尖锐的。最后，我们证明了：如果G是二部次立方多重图，则G有不超过四种颜色的区间边染色。
2011-10-06 cs.DM math.CO
Complexity of tree-coloring interval graphs equitably
图的均匀树- $k$ -染色是指图的顶点$k$ -染色使得每个色类诱导一个森林，且任意两个色类的大小相差至多1.本文证明了区间图$G$对任意整数$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都有一棵公平树$k$ -染色，解决了Wu，Zhang和Li（2013）关于区间图的一个猜想，并给出了一个线性时间算法来判定一个区间图对给定整数$k$是否有一棵公平树$k$ -染色.对于分裂图的不交并图，或具有$r\geq 4$的无$K_{1,r}$区间图，证明了当分别以颜色数、树宽、颜色数和最大度为参数时，是否存在公平树- $k$ -着色是$W[1]$ -难判定的.
2020-03-09 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of graph products
图G的区间t-染色是图G的正常边染色，其颜色为1，2，…，t使得G的至少一条边被i着色，i= 1，2，.，t，并且与每个顶点v关联的边\in V（G）由d_{G}（v）连续颜色着色，其中d_{G}（v）是G中顶点v的度数。本文研究了各种积图的区间边染色。
2012-02-01 cs.DM math.CO
On interval edge-colorings of outerplanar graphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于一个区间可着色图$G$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值记为$w(G)$ .一个图$G$是外平面的，如果它可以嵌入到平面中，使得它的所有顶点都位于同一个（无界的）面上。本文证明了如果$G$是2-连通外平面图，且具有$Δ(G)=3$，则$G$是区间可着色的，并且\begin{center} $w(G)=\left\{\begin{tabular}{ll} 3, & if $| V(G)|$ is even, \ 4, & if $| V(G)|$ is odd. \end{tabular}% \right.$ \end{center}也是区间可着色的。
2013-03-05 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of K_{1,m,n}
本文证明了K_{1,m,n}是区间边可着色的当且仅当gcd（m+1，n+1）=1.它解决了肯定彼得罗相的一个猜想。
2013-08-20 cs.DM math.CO
Interval cyclic edge-colorings of graphs
如果图$G$的所有颜色都被使用，并且每个顶点$v\in V(G)$的关联边都被$d_{G}(v)$模$t$的连续颜色着色，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的正确边着色称为\emph{interval cyclic $t$-coloring}，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。一个图$G$称为\emph{interval cyclically colorable}，如果它对某个正整数$t$有区间循环$t$ -染色.用$\mathfrak{N}_{c}$表示所有区间循环可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}_{c}$，具有区间循环$t$ -染色的$t$的最小值和最大值分别用$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$表示.本文研究了区间循环染色的一些性质。特别地，我们证明了如果$G$是一个至少有两个顶点的无三角形图，并且$G\in \mathfrak{N}_{c}$，那么$W_{c}(G)\leq \vert V(G)\vert +Δ(G)-2$。我们还得到了各种图类的$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$的界。最后给出了区间循环不可着色图的构造方法。
2014-11-02 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs I
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}$，$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最小值和最大值分别用$w(G)$和$W(G)$表示。本文首先证明了：如果$G$是$r$ -正则图且$G\in \mathfrak{N}$，则有$W(G\square P_{m})\geq W(G)+W(P_{m})+(m-1)r$（$m\in \mathbb{N}$）和$W(G\square C_{2n})\geq W(G)+W(C_{2n})+nr$（$n\geq 2$）.接下来，我们研究网格，圆柱和环面的区间边着色。特别地，我们证明了，如果$G\square H$是平面的，两个因素至少有3个顶点，那么$G\square H\in \mathfrak{N}$和$w(G\square H)\leq 6$。最后，我们证实了第一作者关于$n$维立方体$Q_{n}$的猜想，并证明了$Q_{n}$有区间$t$ -染色当且仅当$n\leq t\leq \frac{n(n+1)}{2}$ .
2012-01-31 cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of composition of graphs
一个图$G$的边染色称为\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.用$\mathfrak{N}$表示所有区间可着色图的集合。在2004年，Giaro和Kubale证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。在同一年，他们制定了一个类似的问题组成的图形作为一个开放的问题。后来，在2009年，第一作者证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则$G[H]\in \mathfrak{N}$。本文证明了：如果$G\in \mathfrak{N}$和$H$具有一种特殊类型的区间染色，则$G[H]\in \mathfrak{N}$ .此外，我们还证明了所有的正则图、完全二部图和树都有这样一个特殊的区间着色。特别地，这意味着如果$G\in \mathfrak{N}$和$T$是树，则$G[T]\in \mathfrak{N}$。
2015-08-01 cs.DM math.CO
On one-sided interval edge colorings of biregular bipartite graphs
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。如果图$x$的谱是区间图，则称图$G$的正常边$t$ -染色是点$x$的区间图.如果对任意的$x\in R_0$，$φ$是$x$中的区间，则称图$G$的正常边$t$ -染色$φ$是$G$的顶点子集$R_0$上的区间.我们称$G$的顶点子集$R$具有$i$ -性质，如果存在$R$上的区间$G$的真边$t$ -染色.若$G$是一个图，且其顶点的子集$R$具有$i$ -性质，则$R$上的$G$区间的$t$ -染色为真边的$t$的最小值记为$w_R(G)$ .本文对某些二部图，在$R$与图的一部分的所有顶点的集合重合的情况下，估计了这个参数的值。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Online and quasi-online colorings of wedges and intervals
我们考虑由几何区域定义的超图的适当在线染色。我们证明，有一个在线着色算法，颜色$N$间隔的实线使用$Θ(\log N/k)$颜色，使每一个点$p$，至少包含在$k$间隔，不是所有的间隔包含$p$有相同的颜色。我们还证明了相应的结果在线染色的一个家庭的楔（象限）在平面上的平移是一个给定的固定楔。这些结果与第一作者和第三作者的结果进行了对比，表明在准在线设置中，12种颜色足以用于颜色楔（独立于$N$和$k$）。我们还考虑了区间的准在线着色。在所有情况下，我们提出了有效的着色算法。
2015-09-09 cs.CG cs.DM math.CO
Interval edge-colorings of complete graphs
一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且与$G$的每个顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果它对某个正整数$t$有区间$t$ -着色.对于区间可着色图$G$，$W(G)$表示$G$具有区间$t$ -着色的$t$的最大值.已知完全图是区间可着色的当且仅当它的顶点数是偶数。然而，仅对于$n \leq 4$，$W(K_{2n})$的精确值是已知的。第二位作者证明，如果$n = p2^q$，其中$p$是奇数，$q$是非负的，那么$W(K_{2n}) \geq 4n-2-p-q$。后来，他解释说，如果$n \in \mathbb{N}$，那么$W(K_{2n}) = 4n - 2 - \left\lfloor\log_2{n}\right\rfloor - \left \| n_2 \right \|$，其中$\left \| n_2 \right \|$是$n$的二进制表示中$1$的个数。本文介绍了一种基于完全图的1-因子分解构造完全图的区间着色的新方法，并利用该方法对猜想进行了反驳，改进了$W(K_{2n})$的上下界，确定了$n \leq 12$的区间着色的精确值.
2016-03-31 cs.DM math.CO
Strong Conflict-Free Coloring of Intervals
我们考虑直线上的一组点关于一族区间的k-强无冲突着色：直线上的每个点必须被赋予一种颜色，使得着色必须是无冲突的，在这个意义上，在每个区间I中至少有k种颜色，每种颜色在I中只出现一次。在本文中，我们提出了一个多项式算法的一般问题，该算法有一个近似因子5-2/k时，k \geq 2和近似因子2，k=1。在特殊情况下，家庭包含所有可能的区间上的给定的一组点，我们表明，2近似算法存在，任何k \geq 1。
2012-05-09 cs.DM cs.DS
Interval colorings of complete balanced multipartite graphs
一个图$G$称为完全$k$ -部（$k\geq 2$）图，如果它的顶点可以被划分成$k$独立集$V_{1},...,V_{k}$，使得$V_{i}$中的每个顶点都与$1\leq i<j\leq k$的$V_{j}$中的所有其他顶点相邻.完全$k$ -部图$G$是完全平衡$k$ -部图，如果$|V_{1}| = |V_{2}| =... = |V_{k}|$ .一个图$G$的边染色是一个区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并形成一个整数区间。一个图$G$是区间可着色的，如果$G$对某个正整数$t$有区间$t$ -着色。本文证明了一个完全平衡$k$ -部图$G$是区间可着色的当且仅当$nk$是偶图。证明了如果$nk$是偶数且$(k-1)n\leq t\leq ((3/2)k-1)n-1$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$允许区间$t$ -染色.此外，若$k=p2^{q}$，其中$p$是奇数，且$q\in \mathbb{N}$是偶数，则完全平衡$k$ -部图$G$对每个满足$(k-1)n\leq t\leq (2k-p-q)n-1$的正整数$t$都有区间$t$ -染色.
2012-11-22 cs.DM math.CO
Interval colorings of complete bipartite graphs and trees
从俄语翻译的工作R.R. Kamalian“Interval colorings of complete bipartite graphs and trees”，Preprint of the Computing Centre of the Academy of Sciences of Armenia，Yerevan，1989。(Was亚美尼亚苏维埃社会主义共和国科学院计算中心学术委员会和埃里温国立大学决定于1989年9月7日公布）。
2013-08-12 cs.DM math.CO
On cyclically-interval edge colorings of trees
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对任意$t\in \mathbb{N}$，设$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，设$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$对任意树$G$，证明了$G\in\mathfrak{M}$和$t$的所有可能值都是可以找到的，其中$G\in\mathfrak{M}_t.$
2012-05-01 cs.DM math.CO
Interval non-edge-colorable bipartite graphs and multigraphs
一个图$G$的边染色称为区间$t$ -染色，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的任何顶点的边的颜色都是不同的，并且形成一个整数区间。1991年Erdens构造了一个顶点数为27，最大度为13的无区间着色的二部图. Erd的反例是已知的最小（在最大度意义下）的非区间可着色的二部图. 1992年，Hansen证明了所有最大度不超过3的二部图都有区间着色。本文给出了区间非边着色二部图的一些构造方法。特别地，利用这些方法，我们构造了三个无区间着色的二部图，它们分别含有20，19，21个顶点，最大度分别为11，12，13.这部分地回答了[T. R.詹森湾Toft，Graph coloring problems，Wiley Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization，1995年，第204页]。我们也考虑类似的问题，二部多重图。
2013-01-18 cs.DM math.CO
On Interval Non-Edge-Colorable Eulerian Multigraphs
一个具有$1,\ldots,t$颜色的多重图$G$的边染色称为区间$t$-染色，如果所有颜色都被使用，并且与$G$的任何顶点关联的边的颜色都是不同的，并且形成整数区间。本文证明了边数为奇数的欧拉重图不具有区间染色。给出了区间非边可染欧拉重图的构造方法。
2013-11-17 cs.DM math.CO
Interval colorings of edges of a multigraph
设$G=(V_1(G),V_2(G),E(G))$是一个二部多重图，且$R\subseteq V_1(G)\cup V_2(G)$.如果每个颜色用于至少一个边，并且与每个顶点$x\in R$关联的边由$d(x)$连续颜色（分别由颜色$1,\ldots,d(x))$，其中$d(x)$是顶点$x$的度）着色，则用颜色$1,\ldots,t$对$G$的边的适当着色被称为$R$上的间隔（分别连续）。我们分别用$w_1(G)$和$W_1(G)$表示$t$的最小值和最大值，对于这些值，多重图$G$的$V_1(G)$染色存在一个区间，颜色为$1,\ldots,t$。本文得到了下列基本结果。\textbf{Theorem 2.}对于任意的$k$，$w_1(G)\leq k\leq W_1(G)$，有一个区间$V_1(G)$染色的多重图$G$与颜色$1,\ldots,k$。\textbf{Theorem 3.}多重图$G$的$V_1(G)$染色的连续存在性的识别问题是$NP$-完全的. \textbf{Theorem 4.}如果对任意边$(x,y)\in E(G)$，其中$x\in V_1(G)$，不等式$d(x)\geq d(y)$成立，则存在重图$G$的连续$V_1(G)$染色。\textbf{Theorem 1.}如果$G$没有多重边和三角形，并且在图$G$的$V(G)$着色上有一个区间，颜色…
2014-01-31 cs.DM math.CO
On Complexity of Flooding Games on Graphs with Interval Representations
洪水游戏，这是所谓的洪水，它，疯狂的病毒，或蜜蜂，是一种着色游戏，他们已经成为流行的在线。在这些游戏中，每个玩家在他/她的回合中给一个指定的细胞着色，并且所有相同颜色的连接的相邻细胞也被颜色着色。这种泛色或着色在相同颜色的细胞上扩散。在更一般的棋盘或一般的图上考虑这些新的着色游戏是很自然的。近年来，人们研究了几类图上泛洪对策的变种的计算复杂性。本文研究了一类具有区间表示的图类上的洪泛对策。我们的研究结果表明，颜色的数量是一个关键参数，以确定计算复杂性的洪水游戏。当颜色数为固定常数时，这些博弈可以在区间图上用多项式时间求解。另一方面，如果颜色的数量是没有界的，洪水游戏是NP-完全的适当的区间图。我们也状态分裂图类似的结果。
2013-01-25 cs.DM
Examples of cyclically-interval non-colorable bipartite graphs
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对于任何$t\in \mathbb{N}$，令$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，令$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$构造了不属于类$\mathfrak{M}$的二部图的例子。
2013-05-29 cs.DM math.CO
Conflict-free coloring with respect to a subset of intervals
给定一个超图H =（V，E），如果对每个超边S \in E，S中至少有一个顶点的颜色与S中所有其他顶点的颜色不同，则称H的顶点的染色是无冲突的.离散区间超图Hn是顶点集为{1，...，n}和超边集{1，.，n}。本文给出了H_n的任意子超图的无冲突着色的一个多项式时间算法，证明了该算法的逼近比为2，并证明了我们的分析是严密的，即，存在一个子超图，该算法针对该子超图计算使用两倍于最优解的颜色数量的解。我们还表明，问题的决定是否一个给定的子超图Hn可以着色与最多k种颜色有一个拟多项式时间的算法。
2012-04-28 cs.DM cs.DS math.CO
Online Coloring of Short Intervals
本文研究长度在 $[1,σ]$ 内的短区间交图在线着色，给出 $(1+σ)$-竞争算法并建立 $5/3$、$7/4$ 与渐近 $5/2$ 下界，核心技术是递归策略组合。
2020-08-03 cs.DM cs.DS math.CO
Equitable Colorings of $l$-Corona Products of Cubic Graphs
一个图$G$是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小整数$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图$G \circ^l H$的多子图的均匀色数的确定问题。三次图的多冠染色问题在多项式时间内是可解的。公平着色问题的复杂性是这类图的一个公开问题。我们提供了一些多项式可解的情况下，三次multicoronas和简单的线性时间算法，公平着色这样的图，最多使用$χ_=(G \circ ^l H) + 1$颜色在其余的情况下。
2017-04-19 cs.DM
On the deficiency of complete multipartite graphs
图$G$的边染色是一个\emph{interval $t$-coloring}，如果所有的颜色都被使用，并且关联到$G$的每个顶点的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间.众所周知，有些图不具有区间着色。图$G$的\emph{deficiency}，记为$\mathrm{def}(G)$，是指连接到$G$的悬挂边的最小数目，该悬挂边导致图允许区间着色。本文研究了完全多部图的亏数的判定或界问题。特别地，我们得到了完全多部图的亏数的一个紧上界。我们还确定或限制了几类完全多部图的亏数。
2019-12-03 cs.DM math.CO
On the b-continuity of the lexicographic product of graphs
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$χ_b(G)$颜色的b-染色的最大整数$χ_b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),χ_b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这里，我们研究是否字典积$G[H]$的b-连续图$G$和$H$也是b-连续的。利用同态，我们给出了$χ_b(G[H])$的一个新的下界，即$χ_b(G[K_t])$，其中$t=χ_b(H)$，并证明了：如果$G[K_\ell]$对每个正整数$\ell$都是b-连续的，则$G[H]$对区间$[χ(G[H]),χ_b(G[K_t])]$中的每个$k$都允许用$k$颜色进行b-染色.证明了当$G$是$P_4$ -稀疏图时，对任意正整数$\ell$，$G[K_\ell]$是b-连续的;当$G$是弦图时，给出了$G[K_\ell]$的b-谱的进一步结果.
2016-10-10 cs.DM
Upper oriented chromatic number of undirected graphs and oriented colorings of product graphs
定向图$\vec G$的定向色数是定向图$\vev H$使得$\vec G$允许与$\vev H$同态的最小阶.无向图$G$的定向色数是它的定向中最大的定向色数。本文引入了无向图$G$的上定向色数的新概念，定义为定向图$\vev U$的最小阶，使得$G$的每个定向$\vec G$都与$\vec U$同态.我们给出了这个参数的一些性质，导出了图的笛卡尔积、强积、直积和字典积的普通色数和上定向色数的一般上界，并考虑了路积的特殊情况。
2010-05-17 cs.DM
Parameterized Complexity of Equitable Coloring
研究公平着色的参数化复杂性，证明在多种图类上以颜色数、树宽等参数为基准时是 W[1]-难的，并基于诱导星大小给出弦图的二分法，同时证明以补图树宽为参数时是 FPT 的。
2019-05-14 cs.DM
On the extremal values of the number of vertices with an interval spectrum on the set of proper edge colorings of the graph of the $n$-dimensional cube
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们分别用$V(G)$和$E(G)$表示它的顶点集和边集。一个函数$φ:E(G)\rightarrow \{1,...,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.图$G$的$t$的最小值为$χ'(G)$，它使图$G$的$t$ -染色为真边。对任意图$G$和任意满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$的整数$t$，我们用$α(G,t)$表示$G$的所有真边$t$ -染色的集合.让我们也定义一个集合$α(G)$的所有正常边染色的图$G$：$$ α(G)\equiv\bigcup_{t=χ'(G)}^{|E(G)|}α(G,t). $$一个任意的非空有限子集的连续整数称为一个区间。如果$φ\inα(G)$和$x\in V(G)$，则与$x$关联的$G$的边的颜色集合用$S_G(x,φ)$表示，并且称为图$G$的顶点$x$在适当边染色$φ$处的谱。如果$G$是一个图，并且$φ\inα(G)$，则定义$f_G(φ)\equiv|\{x\in V(G)/S_G(x,φ) \textrm{is an interval}\}|$。对于图$G$和任何整数$t$，满足不等式$χ'(G)\leq t\leq |E(G)|$，我们定义：$$ μ_1(G,t)\equiv\min_{φ\inα(G,t)}f_G(…
2013-07-04 cs.DM math.CO
Coloring the square of the Cartesian product of two cycles
图$G$的正方形$G^2$定义在图$G$的顶点集上，使得图$G$中距离至多为2的不同顶点由一条边连接。我们研究了两个圈的笛卡尔积$C_m\Box C_n$的平方的色数，并证明了这个参数的值至多为7，除了当$m=n=3$时，在这种情况下，该值为9，当$m=n=4$或$m=3$和$n=5$时，在这种情况下，该值为8。此外，我们还猜想，只要$G=C_m\Box C_n$，$G^2$的色数等于$\lceil mn/α(G^2) \rceil$，其中$α(G^2)$表示$G^2$中极大独立集的大小.
2010-05-31 cs.DM
Non-Monochromatic and Conflict-Free Coloring on Tree Spaces and Planar Network Spaces
众所周知，在$\mathbb{R}^1$中的任何n个区间的集合允许两种颜色的非单色着色和三种颜色的无冲突着色。我们调查的推广，这一结果着色的对象在更复杂的1维空间，即所谓的树空间和平面网络空间。
2018-05-07 cs.CG cs.DM math.CO
Equitable coloring of corona products of cubic graphs is harder than ordinary coloring
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图的冠的$χ_=$的确定问题。虽然三次图的冠的普通着色问题在多项式时间内是可解的，但对这类图的均匀着色问题则是NP-难的。我们提供了多项式可解的情况下，冠的三次图，并证明了在一般情况下的NP-硬度。作为一个副产品，我们得到了一个简单的线性时间算法的公平着色，使用$χ_=(G)$或$χ_=(G)+1$颜色的图。我们的算法是最好的，除非$P=NP$。因此，三次冠似乎是唯一已知的一类图的公平着色是困难的比普通着色。
2014-09-02 cs.DM math.CO
Recoloring Unit Interval Graphs with Logarithmic Recourse Budget
本文研究了动态变化的单位区间图的着色问题。在我们的模型中，单位间隔一次添加或删除一个，并且必须立即着色，因此没有两个重叠的间隔共享相同的颜色。每次更新后，只允许对有限数量的间隔重新着色。对每次更新的重复次数的限制称为资源预算。在本文中，我们表明，如果图保持$k$ -着色在任何时候，和更新只包括插入，那么我们可以实现摊销资源预算的$O(k^7 \log n)$，同时保持适当的着色与$k$颜色。这是对[Bosek等人，有限资源预算下的区间图再着色。SWAT 2020]在$k$和$n$方面。我们补充这一结果，通过显示在完全动态设置的摊销追索预算的$Ω(n)$的下限。我们的增量算法可以有效地实现。作为一个副产品的独立利益，我们包括一个新的结果着色适当的圆弧图。令$L$为某个单位圆弧集合$\mathcal{A}$中相交于一点的弧的最大数目。我们表明，如果有一组$\mathcal{A}'$的不相交的单位弧的大小$L^2-1$，使$\mathcal{A} \cup \mathcal{A}'$不包含$L+1$弧相交于一点，那么它是可能的颜色$\mathcal{A}$与$L$的颜色。这是对单位圆弧着色工作的补充，单位圆弧着色规定了用$L+1$或更多颜色对$\mathcal{A}$着色所需的充分条件。
2022-02-16 cs.DM math.CO
DSA-aware multiple patterning for the manufacturing of vias: Connections to graph coloring problems, IP formulations, and numerical experiments
在本文中，我们研究了集成电路中的过孔的制造与光刻和定向自组装（DSA）相结合的新技术。在这种新工艺中，优化生产时间和成本需要最小化光刻步骤的数量，这构成了图着色的一般化。我们开发整数规划配方的几个变量的兴趣在行业中，然后研究我们的配方在真正的工业实例的计算性能。我们表明，最好的整数规划公式实现了良好的计算性能，并指出潜在的方向，以进一步加快计算时间和开发生产可行的精确方法。
2019-02-11 cs.DM
Equitable Colorings of Corona Multiproducts of Graphs
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的均匀色数，记为$χ_{=}(G)$。我们知道这个问题在一般情况下是NP-难的，对于冠图也是如此。在“Equitable colorings of Cartesian products of graphs”（2012）中，Lin和Chang研究了图的Cartesian products的均匀着色。在本文中，我们考虑了相同的着色模型的情况下，图的冠积。特别地，我们得到了关于$l$ -冠积$G \circ ^l H$的均匀色数的一些结果，其中$G$是均匀3-或4-可着色图，$H$是$r$ -部图、路、圈或完全图.我们的证明是建设性的，因为它们导致多项式算法的公平着色的图形产品提供了一个公平着色的$G$。此外，我们还证实了这类图的晕积的均匀着色猜想。本文推广了\cite{hf}的结果.
2012-10-24 cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
2024-03-11 cs.DM math.CO
A Note on Circular Arc Online Coloring using First Fit
在Raman（2007）中，使用列构造技术证明了每个区间图可以用最多$8w(G)$颜色的First Fit在线着色，其中$w(G)$是$G$的最大团的大小。由于圆弧图的列结构不适用于圆弧图，本文给出了一个不同的证明，建立了用First Fit算法对圆弧图$G$进行在线着色的$9w(G)$的上界.
2013-12-04 cs.DM cs.DS math.CO
Extended Formulation Lower Bounds via Hypergraph Coloring?
探索线性规划在组合优化问题中的作用，在一系列突破性的不可能结果之后，最近重新受到关注。从算法的角度来看，相关的问题涉及是否有紧凑的配方，即使是已知的承认多项式时间算法的问题。我们提出了一个框架，证明扩展配方的大小的下限。我们这样做，通过引入一种特定类型的扩展松弛，我们称之为产品松弛，是出于研究的Sherali-Adams（SA）层次。然后，我们表明，对于每一个近似松弛的多面体P，有一个产品的松弛，具有相同的大小，至少是强大的。我们提供了一种方法来证明下界的大小近似产品松弛下界的一个基本超图，其顶点对应于间隙诱导向量的色数。我们扩展产品松弛的定义和我们的方法，混合整数集。然而，在这种情况下，我们能够表明，混合产品松弛至少是强大的一个特殊的家庭的扩展配方。作为我们的方法的应用，我们显示了一个指数下界的度量容量限制设施选址问题，这似乎是棘手的线性规划的恒定间隙紧凑的配方有关的近似混合产品配方的大小。
2014-12-30 cs.DM
On Locally Identifying Coloring of Cartesian Product and Tensor Product of Graphs
本文研究图的笛卡尔积和张量积的局部识别染色，给出上界并确定若干圈与路乘积图的局部识别色数。
2023-10-12 cs.DM math.CO
On Lower Bound for W(K_{2n})
证明了完全图K_{2n}的区间边染色的最大可能色数的下界W（K_{2n}）>= 3 n-2.
2007-12-17 cs.DM
On-line approach to off-line coloring problems on graphs with geometric representations
本文的主要目标是形式化和探索图的色性与几何表示和在线算法的竞争分析之间的联系，这在最近Pawlik等人构造了具有任意大色数的无三角形几何求交图之后变得明显。线图着色问题产生具有自然几何解释的博弈图类。我们使用这个概念来估计的色数的图形与几何表示找到，适当的简单的图形，在线着色算法，使用很少的颜色或证明，没有这样的算法存在。我们推导出矩形重叠图，子树重叠图和区间细丝图（所有这些都是广义区间重叠图）的最大色数的上限和下限时，他们的团数是有界的。区间细丝图的边界是绝对的，矩形和子树重叠图的形式$(\log\log n)^{f(ω)}$的渐近，其中$f(ω)$是团数的多项式函数，$n$是顶点数。特别地，我们首次构造了团数有界且色数渐近大于$\log\log n$的几何求交图。我们还引入了$K_k$ -free着色的概念，并表明，对于某些几何表示，$K_3$ -free色数可以有界的集团数，但普通（$K_2$ -free）色数不能。对于线段交图的这样一个结果暗示了一个著名的猜想：$k$ -拟平面几何图具有线性多条边。
2016-12-29 cs.CG cs.DM cs.DS
Edge coloring of products of signed graphs
本文研究带符号图乘积的边着色问题，证明了笛卡尔积、张量积和冠积在特定条件下仅需Δ种颜色即可完成边着色。
2024-06-14 cs.DM cs.DS math.CO
Complexity and algorithms for proper conflict-free coloring in graphs
Indian Institute of Technology (ISM), Dhanbad（印度理工学院（ISMT））
该研究证明完美消去二分图的PCF k着色问题为NP完全，PCF色数无法在O(n^(1-ε))内逼近，还为四类图的PCF k着色提供线性时间算法并确定其色数上界。
2026-08-13 cs.DM math.CO
On the parameter $μ_{21}$ of a complete bipartite graph
图$G$的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对$G$的边进行着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。与顶点$x$关联的边的颜色集合称为$x$的谱。连续整数的任意非空子集称为区间。假设图$G$的所有边在角色不对称分布的Alice和Bob博弈中都是着色的。Alice确定$G$的未来正确边着色中的颜色数$t$，并期望最小化其中具有区间谱的顶点的数量。Bob用$t$颜色对$G$的边进行着色，并期望最大化该数量。$μ_{21}(G)$等于在博弈结束时具有区间谱的$G$的顶点数，假设双方都选择了他们的最佳策略。本文对任意正整数$m$和$n$，求出了参数$μ_{21}(K_{m,n})$的精确值.
2012-05-01 cs.DM math.CO
The b-continuity of graphs with large girth
一个图的顶点的b-染色是一个正常染色，其中每个颜色类包含一个顶点，该顶点与其他颜色类相邻。$G$的b-色数是使$G$具有带$b(G)$颜色的b-染色的最大整数$b(G)$。一个图$G$是b-连续的，如果对区间$[χ(G),b(G)]$中的每一个整数$k$，$G$都有一个用$k$颜色的b-染色.众所周知，并非所有的图都是b-连续的。在这篇文章中，我们证明了，如果$G$的围长至少为10，那么$G$是b-连续的。
2016-06-15 cs.DM math.CO
On conditional coloring of some graphs
对于整数r和k > 0（k>r），图G的条件（k，r）-染色是G的一个真k-染色，使得G的每个顶点v至少有min{r，d（v）}个不同色的邻点，其中d（v）是v的度。本文给出了对于不同的r值，格$G(2,n) \cong P_2 \ \Box \ P_n$的条件色数，$C_n^2$和$P_n$与$P_m$的强积（n，m为正整数）。对于整数$n \geq 3$和$t \geq 1$，得到了（t，n）-web图的二阶条件色数（也称为动态色数）.
2010-11-24 cs.DM
Notes on complexity of packing coloring
图$G=(V,E)$的某个整数$k$的填充$k$ -染色是一个映射$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$，使得颜色为$φ(u)=φ(v)$的任何两个顶点$u, v$的距离至少为$φ(u)+1$。这个概念是由频率分配问题激发的。$G$的\emph{packing chromatic number}是最小的$k$，使得存在$G$的填充$k$ -着色. Fiala和Golovach表明，确定弦图的填充色数是\NP -完全的直径正好为5。虽然这个问题很容易解决直径2，我们显示\NP -完整的任何直径至少3。我们的约化还表明，对于任何$\varepsilon > 0$，填充色数都很难在$n^{{1/2}-\varepsilon}$内近似。此外，我们设计了一个有界直径区间图的\FPT算法。这导致我们探索的问题，找到一个部分着色，最大限度地增加着色顶点的数量。
2017-12-22 cs.CC cs.DM math.CO
