Strong coloring 2-regular graphs: Cycle restrictions and partial colorings
设$H$是一个具有$Δ(H) \leq 2$的图，并设$G$是通过粘在$K_4$的顶点不相交副本中从$H$获得的。证明了如果$H$至多包含一个长度超过$3$的奇圈，或者$H$至多包含$3$三角形，则$χ(G) \leq 4$ .证明了这类图$H$的强染色猜想。对于不包含在我们的定理中的具有$Δ=2$的图$H$，我们证明了一个逼近猜想的结果。
2021-07-06 cs.DM math.CO
Embedding hypercubes into torus and Cartesian product of paths and cycles for minimizing wirelength
尽管人们已经研究了几种正则图的嵌入问题，但是超立方体到环面的嵌入问题仍然是一个未解决的问题。本文从数学上证明了这一猜想，并给出了超立方体嵌入路和圈的笛卡儿积的最小线长。此外，我们解释了格雷码嵌入是一个最优策略在这样的嵌入问题。
2023-02-26 cs.DM math.CO
Cartesian product of hypergraphs: properties and algorithms
自20世纪60年代以来，图的笛卡尔积得到了广泛的研究。它们使得通过使用乘积的因子分解来降低问题的算法复杂性成为可能。超图是作为图的推广而引入的，笛卡尔积的定义自然地扩展到它们。本文给出了超图笛卡尔积染色的新性质和算法。我们还扩展了一个经典的素分解算法最初设计的图连接共形超图使用2节的超图。
2009-09-28 cs.DM cs.DS
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces I. Extending a coloring to a disk with one triangle
设G是一个平面图，其中恰好有一个三角形T，所有其它圈的长度至少为5，C是G的一个面圈的长度至多为6。证明了C的3-染色不扩展到G的3-染色当且仅当C的长度为6，且存在一个颜色x使得G有一条边连接C的两个着色x的顶点，或者T与C不相交且T的每个顶点都与C的着色x的一个顶点相邻.这是一个引理，将在本系列的后续文章中使用。
2016-03-04 cs.DM
Circumference, Chromatic Number and Online Coloring
Erdös证明了如果$G$是一个色数至少为$k\geq 3$的无三角形图，则它包含一个长度至少为$k^{2-o(1)}$ \cite{sudakovverstraete, verstraete}的奇圈.到目前为止，没有比线性界限（\cite{gyarfas}，\cite{West}中的问题5.1.55）更好的了。我们证明了$G$包含一个长度至少为$O(k\log\log k)$的奇圈，从而在这个猜想上取得了进展。埃尔德什猜想已知对围长至少为5的图成立。证明了如果围长为4的图是无$C_5$的，则Erdös猜想成立.当顶点数不太大时，我们可以证明$χ$上更好的界。我们还给出了最多有长度为$1\bmod k$的$r$圈，或最多有长度为$2\bmod k$的$s$圈，或没有长度为$3\bmod k$的圈的图的色数的界.我们的技术基本上包括使用深度优先搜索树分解成有序的路径，然后馈送到一个在线着色算法的图形。利用这一技巧，我们给出了一些旧结果的简单证明，也得到了一些更简单的结果。我们还得到了一个下界的颜色数的在线着色算法需要使用的三角形自由图。
2008-09-10 cs.DM
DP-4-coloring of planar graphs with some restrictions on cycles
DP-着色是由Dvotelák和Postle作为列表着色的推广而引入的。它最初被用于解决Borodin的一个长期猜想，即每个没有长度为4到8的圈的可平面图是3-可选的。本文给出了可平面图DP-4-可着色的三个充分条件。实际上，所有的结果（定理1.3、1.4和1.7）都是以“色可拓性”的形式表述的，并用顶点识别和放电方法统一证明。
2021-08-03 cs.DM math.CO
Minimum Reload Cost Cycle Cover in Complete Graphs
重载成本是指当边着色图遍历两个不同颜色的边之间的内部顶点时，沿着边着色图上的路径发生的成本。Galbiati等人[1]引入了最小可重装载成本循环覆盖问题，即寻找一组覆盖所有顶点的顶点不相交循环，并且具有最小的可重装载成本。他们证明了这个问题是强NP-困难的，并且对于任何$ε> 0$，即使当颜色的数量为2时，该问题在$1/ε$中也是不可逼近的，重新加载成本是对称的，并且满足三角不等式。在本文中，我们研究了完全图中具有均匀或近似均匀2-边染色的问题，这是具有两种颜色的边染色，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，分别为$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 1$或$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 2$，其中$c_i(v)$是具有与$v$关联的颜色$i$的边的集合。通过证明单色圈覆盖的存在性，证明了除了顶点数小于13的完全图之外，在几乎相等2-边着色的完全图上，最小重载代价为零.此外，我们提供了一个多项式时间的算法，构造一个单色循环覆盖在完全图的公平2-边染色，除了可能在一个完全图有四个顶点。除了某些特殊情况外，我们的算法还可以在几乎均匀2-边染色的完全图中找到单色圈覆盖。
2021-08-31 cs.DM
Upper oriented chromatic number of undirected graphs and oriented colorings of product graphs
定向图$\vec G$的定向色数是定向图$\vev H$使得$\vec G$允许与$\vev H$同态的最小阶.无向图$G$的定向色数是它的定向中最大的定向色数。本文引入了无向图$G$的上定向色数的新概念，定义为定向图$\vev U$的最小阶，使得$G$的每个定向$\vec G$都与$\vec U$同态.我们给出了这个参数的一些性质，导出了图的笛卡尔积、强积、直积和字典积的普通色数和上定向色数的一般上界，并考虑了路积的特殊情况。
2010-05-17 cs.DM
Edge coloring of products of signed graphs
本文研究带符号图乘积的边着色问题，证明了笛卡尔积、张量积和冠积在特定条件下仅需Δ种颜色即可完成边着色。
2024-06-14 cs.DM cs.DS math.CO
Coloring directed cycles
索佩纳在他的调查[E。索佩纳，图的定向色数：一个简短的调查，预印本2013]写道，没有任何证明，一个定向循环$\vec C$可以用三种颜色着色，当且仅当$λ(\vec C)=0$，其中$λ(\vec C)$是前向弧的数量减去$\vec C$中后向弧的数量。这不是真的。本文证明了$\vec C$可以用三种颜色着色当且仅当$λ(\vec C)=0(\bmod~3)$或$\vec C$不包含三个沿同一方向的连续弧。
2013-07-19 cs.DM math.CO
Conditional and Unique Coloring of Graphs
对于整数$k, r > 0$，图$G$的条件$(k,r)$ -染色是$G$的顶点的真$k$ -染色，使得$G$中度为$d(v)$的每个顶点$v$至少与$\min\{r, d(v)\}$不同着色的顶点相邻.给定$r$，$G$有条件$(k,r)$ -着色的最小整数$k$称为$G$的$r$阶条件色数$χ_r(G)$.我们给出了一些图的条件着色的结果（精确值或界为$χ_r(G)$，取决于$r$）。我们引入了\emph{unique conditional colorability}并给出了一些相关的结果。（关键词。图的卡氏积;条件色数;齿轮图;图的并。
2011-06-17 cs.DM math.CO
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
On Rainbow Cycles and Paths
在一个适当边着色的图中，一个子图使用每种颜色最多一次被称为彩虹。本文研究了完全图的真边染色中的彩虹圈和彩虹路，证明了在K_n的每一个真边染色中，在（3/4-o（1））n个顶点上存在彩虹路，改进了Gyarfas和Mhalla关于（2n+1）/3的最佳界.类似地，在K_n的正常边着色中的k-彩虹路径是不使用颜色超过k次的路径。证明了在K_n的每一个真边染色中，存在（1-2/（k+1）！）n个顶点。
2012-07-03 cs.DM math.CO
Interval edge colorings of some products of graphs
图$G$的边染色称为区间$G$染色，如果对于每个$i\in \{1,2,\ldots,t\}$，至少有一条$G$的边被$i$染色，并且与$G$的任意顶点关联的边的颜色是不同的，并且形成一个整数区间.一个图$G$是区间可着色的，如果存在一个整数$t\geq 1$，使得$G$具有区间$t$ -着色.设$\mathfrak{N}$是所有区间可着色图的集合。在2004年Kubale和Giaro证明了，如果$G,H\in \mathfrak{N}$，那么这些图的笛卡尔积属于$\mathfrak{N}$。此外，他们制定了一个类似的问题，词典产品作为一个开放的问题。在本文中，我们首先表明，如果$G\in \mathfrak{N}$，那么$G[nK_{1}]\in \mathfrak{N}$对任何$n\in \mathbf{N}$。进一步证明了如果$G,H\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图，则图$G,H$的强积和字典积都属于$\mathfrak{N}$ .证明了当$G\in \mathfrak{N}$和$H$是正则图时，图$G,H$的张量积和强张量积都属于$\mathfrak{N}$.
2010-08-12 cs.DM
Fixed Points and 2-Cycles of Synchronous Dynamic Coloring Processes on Trees
本文研究基于门限模型的图上同步离散动力系统。众所周知，在有限轮数之后，这些系统要么到达不动点，要么进入2-圈。寻找这类动力系统的不动点的问题通常是NP-困难和#P-完全的。在本文中，我们给出了一个令人惊讶的简单的图论特征的不动点和2-圈类的有限树。因此，树的类是第一个非平凡的图类，其中存在一个完整的特征的不动点。这一特征使我们能够提供的不动点和纯2-圈的总数的界限。它还导致一个输出敏感的算法，以有效地产生这些状态。
2022-02-03 cs.DC cs.DM
It was not known about simple cycles
一个图的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对其边着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。对于任何整数$n\geq 3$，找到$t$的所有可能值，对于这些值，存在简单循环C（n）的适当边$t$ -着色，其对每对相邻边使用连续颜色或第一个和最后一个颜色。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Pancyclicity in the Cartesian Product $(K_9-C_9 )^n$
一个图$m$是泛圈的，如果它包含长度为$l$，$3\leq l \leq m$的圈作为$G$的子图.从$K_{9}$中删除一个长为9的圈$C_{9}$的9点完全图$K_{9}$记为$(K_{9}-C_{9})$ .本文证明了$(K_{9}-C_{9})$乘$n$的笛卡儿积$(K_{9}-C_{9})^{n}$是泛圈的.
2022-06-15 cs.DM math.CO
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
On fractional version of oriented coloring
介绍了分数阶定向着色的概念，并对其进行了初步的研究。证明了一些基本结果，并研究了有向圈和稀疏可平面图的参数。特别地，我们证明了对每个$ε> 0$，存在一个整数$g_ε \geq 12$使得任何围长至少为$g_ε$的定向可平面图的分数定向色数至多为$4+ε$ .然而，已知存在围长至少为$g_ε$且定向色数等于$5$的定向可平面图。研究了有向圈的分数定向色数，并给出了它的精确值。有趣的是，这个结果依赖于有向圈长度的素除子。
2021-07-28 cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces II. 4-critical graphs in a disk
设G是围长至少为5的平面图。证明了如果G的圈C存在一个3-染色φ，且该φ不扩展到G的3-染色，则G有一个在O（|C|）个顶点上的子图H也不具有3-染色扩展φ.这是渐近最好的可能，并改善了以前的边界的Bassen。在本系列的下一篇论文中，我们将使用这个结果和相应的理论来证明一个推广到具有几个预着色圈的曲面上的图。
2017-07-05 cs.DM math.CO
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
2013-09-28 cs.DM math.CO
Group edge choosability of planar graphs without adjacent short cycles
本文引入了群边染色和列表边染色的概念，证明了所有2-退化图以及某些不含相邻短圈的可平面图是群$(Δ(G)+1)$ -边可选图，而某些围长和度都很大的可平面图是群$Δ(G)$ -边可选图.
2011-05-28 cs.DM math.CO
Hyperbolic families and coloring graphs on surfaces
令$G$是嵌入在属$g$的固定表面$Σ$中的图，并且令$L=(L(v):v\in V(G))$是列表的集合，使得每个列表具有至少五个大小，或者每个列表具有至少四个大小并且$G$是无三角形的，或者每个列表的大小至少为3，并且$G$没有长度为4或更小的循环。$G$的着色是$ϕ$与域$V(G)$的映射，使得对于每个$v\in V(G)$为$ϕ(v)\in L(v)$，对于每对相邻顶点$u,v\in V(G)$为$ϕ(v)\neϕ(u)$。证明了若$G$中的每个非零同伦圈的长度为$Ω(\log g)$，则$G$有$L$ -染色;若$G$不具有$L$ -染色，但每个真子图具有$L$ -染色（“$L$ -临界图“），则$|V(G)|=O(g)$，* 如果$G$中的每个非空同伦圈具有长度$Ω(g)$，并且从对应列表中预着色成对地在距离$Ω(1)$处的顶点的集合$X\subseteq V(G)$，则预着色扩展到$G$的$L$ -着色，* 如果$G$中的每个非空同伦圈具有长度$Ω(g)$，并且允许图$G$有交叉，但是每两个交叉都在距离$Ω(1)$处，则$G$有$L$ -着色，并且 * 如果$G$至少有一个$L$ -着色，则它至少有$2^{Ω(|V(G)|)}$不同的$L$ -着色。我们表明，上述断言的后果，某些等周不等式满足$L$ -临界图，我们研究的嵌入式图形，满足这些不等式的家庭的结构。由此可见…
2018-05-06 cs.DM math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Improved bounds for acyclic coloring parameters
本文研究了图的无环着色参数，证明了无环色指数最多为$2Δ-1$，并在最大度$Δ$足够大时给出无环色数的新上界，通过改进的随机算法在非正常着色基础上逐步实现正常着色以节省颜色。
2024-10-14 cs.DM math.CO
