Three-coloring triangle-free graphs on surfaces I. Extending a coloring to a disk with one triangle
设G是一个平面图，其中恰好有一个三角形T，所有其它圈的长度至少为5，C是G的一个面圈的长度至多为6。证明了C的3-染色不扩展到G的3-染色当且仅当C的长度为6，且存在一个颜色x使得G有一条边连接C的两个着色x的顶点，或者T与C不相交且T的每个顶点都与C的着色x的一个顶点相邻.这是一个引理，将在本系列的后续文章中使用。
2016-03-04 cs.DM
On Rainbow Cycles and Paths
在一个适当边着色的图中，一个子图使用每种颜色最多一次被称为彩虹。本文研究了完全图的真边染色中的彩虹圈和彩虹路，证明了在K_n的每一个真边染色中，在（3/4-o（1））n个顶点上存在彩虹路，改进了Gyarfas和Mhalla关于（2n+1）/3的最佳界.类似地，在K_n的正常边着色中的k-彩虹路径是不使用颜色超过k次的路径。证明了在K_n的每一个真边染色中，存在（1-2/（k+1）！）n个顶点。
2012-07-03 cs.DM math.CO
It was not known about simple cycles
一个图的适当边$t$ -着色是用颜色$1,2,...,t$对其边着色，使得所有颜色都被使用，并且没有两个相邻的边接收相同的颜色。对于任何整数$n\geq 3$，找到$t$的所有可能值，对于这些值，存在简单循环C（n）的适当边$t$ -着色，其对每对相邻边使用连续颜色或第一个和最后一个颜色。
2012-05-01 cs.DM math.CO
Circumference, Chromatic Number and Online Coloring
Erdös证明了如果$G$是一个色数至少为$k\geq 3$的无三角形图，则它包含一个长度至少为$k^{2-o(1)}$ \cite{sudakovverstraete, verstraete}的奇圈.到目前为止，没有比线性界限（\cite{gyarfas}，\cite{West}中的问题5.1.55）更好的了。我们证明了$G$包含一个长度至少为$O(k\log\log k)$的奇圈，从而在这个猜想上取得了进展。埃尔德什猜想已知对围长至少为5的图成立。证明了如果围长为4的图是无$C_5$的，则Erdös猜想成立.当顶点数不太大时，我们可以证明$χ$上更好的界。我们还给出了最多有长度为$1\bmod k$的$r$圈，或最多有长度为$2\bmod k$的$s$圈，或没有长度为$3\bmod k$的圈的图的色数的界.我们的技术基本上包括使用深度优先搜索树分解成有序的路径，然后馈送到一个在线着色算法的图形。利用这一技巧，我们给出了一些旧结果的简单证明，也得到了一些更简单的结果。我们还得到了一个下界的颜色数的在线着色算法需要使用的三角形自由图。
2008-09-10 cs.DM
Minimum Reload Cost Cycle Cover in Complete Graphs
重载成本是指当边着色图遍历两个不同颜色的边之间的内部顶点时，沿着边着色图上的路径发生的成本。Galbiati等人[1]引入了最小可重装载成本循环覆盖问题，即寻找一组覆盖所有顶点的顶点不相交循环，并且具有最小的可重装载成本。他们证明了这个问题是强NP-困难的，并且对于任何$ε> 0$，即使当颜色的数量为2时，该问题在$1/ε$中也是不可逼近的，重新加载成本是对称的，并且满足三角不等式。在本文中，我们研究了完全图中具有均匀或近似均匀2-边染色的问题，这是具有两种颜色的边染色，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，分别为$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 1$或$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 2$，其中$c_i(v)$是具有与$v$关联的颜色$i$的边的集合。通过证明单色圈覆盖的存在性，证明了除了顶点数小于13的完全图之外，在几乎相等2-边着色的完全图上，最小重载代价为零.此外，我们提供了一个多项式时间的算法，构造一个单色循环覆盖在完全图的公平2-边染色，除了可能在一个完全图有四个顶点。除了某些特殊情况外，我们的算法还可以在几乎均匀2-边染色的完全图中找到单色圈覆盖。
2021-08-31 cs.DM
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
On fractional version of oriented coloring
介绍了分数阶定向着色的概念，并对其进行了初步的研究。证明了一些基本结果，并研究了有向圈和稀疏可平面图的参数。特别地，我们证明了对每个$ε> 0$，存在一个整数$g_ε \geq 12$使得任何围长至少为$g_ε$的定向可平面图的分数定向色数至多为$4+ε$ .然而，已知存在围长至少为$g_ε$且定向色数等于$5$的定向可平面图。研究了有向圈的分数定向色数，并给出了它的精确值。有趣的是，这个结果依赖于有向圈长度的素除子。
2021-07-28 cs.DM math.CO
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces II. 4-critical graphs in a disk
设G是围长至少为5的平面图。证明了如果G的圈C存在一个3-染色φ，且该φ不扩展到G的3-染色，则G有一个在O（|C|）个顶点上的子图H也不具有3-染色扩展φ.这是渐近最好的可能，并改善了以前的边界的Bassen。在本系列的下一篇论文中，我们将使用这个结果和相应的理论来证明一个推广到具有几个预着色圈的曲面上的图。
2017-07-05 cs.DM math.CO
Algorithmes dynamiques pour la communication dans le réseau ad hoc Coloration des graphes
几位作者通过定向或无向图对网络进行建模，从而将网络级别的频率允许（分配）问题转化为图中节点的着色问题。图着色是刻画图的一种工具。在我们的研究中，我们特别感兴趣的是顶点的着色。在这一领域中，定义了大量的着色参数。两个相邻顶点颜色不相同的着色称为真着色。我们提出了另外两个参数顶点着色最大化的颜色的数量用途：b-色数，特别是Grundy的数量。这些研究主要集中在两类图上，即幂图和笛卡尔和图。在第一部分中，我们确定了图的笛卡尔和的Grundy之间的边界，最后我们提出了图的着色算法。首先，我们给出了简单图（稳定图、链图、圈图、满图、星图、两党图）的一些性质和结果。其次，我们研究了两个图的笛卡尔和，给出了不同图类（链与链之和，链与圈之和，圈与圈之和）的Grundy数的精确值，并估计了完全图和任意图的Grundy数的边界。在第二部分中，我们给出了几个图的笛卡尔和的结果，并在最后一部分中，我们还给出了一个算法，生成具有给定数量的Grundy的图。此后，我们研究了另一个参数，即部分着色Grundy。该参数的性质接近于全Grundy的性质。最后，利用图的全Grundy染色和部分Grundy染色的参数，给出了图的染色算法。根据某些图的性质，提出了一些图的着色算法。
2014-06-05 cs.DM
Complexity of Coloring Graphs without Paths and Cycles
令$P_t$和$C_\ell$分别表示$t$顶点上的路径和$\ell$顶点上的循环。本文研究了无$(P_t,C_\ell)$图的$k$ -染色问题. Maffray和Morel，Bruce，Hoang和Sawada证明了$P_5$ -free图的3-可染性具有有限禁止导出子图的特征，而Hoang，Moore，Riskie，Sawada和Vatshelle证明了$k \geq 4$的$P_5$ -free图的$k$ -可染性不具有有限禁止导出子图的特征.这些作者还表明，通过计算机搜索的帮助下，4-着色的$(P_5,C_5)$ -自由图确实有一个有限的禁止诱导子图的特征。证明了对任意$k$，无$(P_6,C_4)$图的$k$ -可染性具有有限禁止诱导子图的特征.我们提供了$k=3$和$k=4$的禁止导出子图的完整列表。作为应用，我们得到了3-着色和4-着色无$(P_6,C_4)$图的多项式时间证明算法。（多项式时间算法已获得Golovach，Paulusma和宋，但这些算法没有证明）;为了补充这些结果，我们表明，在大多数其他情况下的$k$ -着色问题的$(P_t,C_\ell)$ -自由图是NP-完全的。具体来说，对于$\ell=5$，我们证明了$k$ -着色是NP-完全的$(P_t,C_5)$ -自由图时，$k \ge 4$和$t \ge 7$ ;对于$\ell \ge 6$，我们证…
2013-09-28 cs.DM math.CO
Group edge choosability of planar graphs without adjacent short cycles
本文引入了群边染色和列表边染色的概念，证明了所有2-退化图以及某些不含相邻短圈的可平面图是群$(Δ(G)+1)$ -边可选图，而某些围长和度都很大的可平面图是群$Δ(G)$ -边可选图.
2011-05-28 cs.DM math.CO
Hyperbolic families and coloring graphs on surfaces
令$G$是嵌入在属$g$的固定表面$Σ$中的图，并且令$L=(L(v):v\in V(G))$是列表的集合，使得每个列表具有至少五个大小，或者每个列表具有至少四个大小并且$G$是无三角形的，或者每个列表的大小至少为3，并且$G$没有长度为4或更小的循环。$G$的着色是$ϕ$与域$V(G)$的映射，使得对于每个$v\in V(G)$为$ϕ(v)\in L(v)$，对于每对相邻顶点$u,v\in V(G)$为$ϕ(v)\neϕ(u)$。证明了若$G$中的每个非零同伦圈的长度为$Ω(\log g)$，则$G$有$L$ -染色;若$G$不具有$L$ -染色，但每个真子图具有$L$ -染色（“$L$ -临界图“），则$|V(G)|=O(g)$，* 如果$G$中的每个非空同伦圈具有长度$Ω(g)$，并且从对应列表中预着色成对地在距离$Ω(1)$处的顶点的集合$X\subseteq V(G)$，则预着色扩展到$G$的$L$ -着色，* 如果$G$中的每个非空同伦圈具有长度$Ω(g)$，并且允许图$G$有交叉，但是每两个交叉都在距离$Ω(1)$处，则$G$有$L$ -着色，并且 * 如果$G$至少有一个$L$ -着色，则它至少有$2^{Ω(|V(G)|)}$不同的$L$ -着色。我们表明，上述断言的后果，某些等周不等式满足$L$ -临界图，我们研究的嵌入式图形，满足这些不等式的家庭的结构。由此可见…
2018-05-06 cs.DM math.CO
Coloring graphs with no even hole $\geq 6$: the triangle-free case
本文证明了不含三角形且不含偶数长度至少为6的诱导圈的图类有界色数。众所周知，偶无洞图是$χ$ -有界的，但我们在这里允许存在$C_4$。证明依赖于宇称变化路径的概念，这是最近由Bonamy，Charbit和Bassé引入的Trinity变化路径的一种适应，以证明没有长度可被3整除的诱导圈的图具有有界色数。
2017-04-14 cs.DM math.CO
Utilitarian Welfare Optimization in the Generalized Vertex Coloring Games: An Implication to Venue Selection in Events Planning
研究网络中广义顶点着色博弈的去中心化功利福利最大化问题，提出了基于Metropolis-Hasting的贪婪策略及鲁棒着色优化算法，证明了其在异步设置下的最优性，并通过模拟验证了高效性。
2023-09-16 cs.DM cs.GT cs.SI
Acyclic Edge coloring of Planar Graphs
图的$acyclic$边染色是指不存在双色圈的正常边染色。图的\emph{acyclic chromatic index}是使得存在使用k种颜色的非循环边染色的最小数k，并且用$a'(G)$表示。Alon、Sudakov和Zaks（以及更早的Fiamcik）提出了$a'(G)\le Δ+2$，其中$Δ=Δ(G)$表示图的最大度。证明了如果$G$是一个平面图，其最大度为$Δ$，则有$a'(G)\le Δ+ 12$ .
2009-08-16 cs.DM
Packing coloring of some undirected and oriented coronae graphs
图$G$的填充色数$\pcn(G)$是最小整数$k$，使得它的顶点集$V(G)$可以被划分为$k$不相交子集$V\_1$，\ldots，$V\_k$，以这种方式，对于每个$i$，$1\le i\le k$，$V\_i$中的每两个不同的顶点的距离大于$G$中的$i$。对于给定的整数$p \ge 1$，图$G$的广义冠$G\odot pK\_1$是通过将$p$度1邻居添加到$G$的每个顶点而从$G$获得的图。本文确定了路和圈的广义冠的填充色数。此外，通过考虑有向图和顶点间的（弱）有向距离，我们得到了填充染色概念在有向图上的自然推广。然后，我们确定了道路和圈的广义冕的方向的填充色数。
2015-06-24 cs.DM
Colorings of some Cayley graphs
该研究围绕Cayley图的着色问题展开，覆盖循环群、非阿贝尔群、gyrogroup上的Cayley图及圈的幂，得到了点、边、全着色的相关结果。
2023-08-22 cs.DM math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Coloring vertices of a graph or finding a Meyniel obstruction
Meyniel障碍物是一个奇数循环，至少有五个顶点，最多一个弦。一个图是Meyniel当且仅当它没有Meyniel阻塞作为导出子图。这里我们给出了一个O（n^2）算法，对于任何图，找到一个相同大小的团和着色或Meyniel阻塞。我们还给出了一个O（n^3）算法，对于任何图，找到一个容易识别的强稳定集或Meyniel阻塞。
2007-11-13 cs.DM
Improved bounds for acyclic coloring parameters
本文研究了图的无环着色参数，证明了无环色指数最多为$2Δ-1$，并在最大度$Δ$足够大时给出无环色数的新上界，通过改进的随机算法在非正常着色基础上逐步实现正常着色以节省颜色。
2024-10-14 cs.DM math.CO
The road coloring problem
确定性自动机的同步字是其边缘的颜色字母表（被认为是字母）中的一个字，它将自动机映射到单个状态。一个有向图的边的染色是同步的，如果染色使图成为具有同步字的确定性有限自动机。道路染色问题是指当有向有限强连通图的所有圈的长度的最大公约数为1时，其所有顶点的出度均为常数的有向有限强连通图的同步染色问题。这个问题是由阿德勒，古德温和韦斯超过30年前，并引起了显着的兴趣之间的专家理论的图形，确定性自动机和符号动力学。这个问题甚至在“维基百科”-流行的互联网百科全书中也有描述。给出了道路着色问题的正解。
2007-12-21 cs.DM
Clique-coloring of $K_{3,3}$-minor free graphs
给定图$G$的团染色是对$G$的顶点的染色，使得大小至少为2的最大团都不是单色的。$G$的团色数是$G$允许团色的最少颜色数。证明了可平面图是$3$ -团可染的，而不同于奇圈的无爪可平面图是$2$ -团可染的.本文将这些结果推广到$K_{3,3}$ -minor free（$K_{3,3}$ -subdivision free）图.
2019-09-15 cs.DM math.CO
Minimum Sum Edge Colorings of Multicycles
在最小和边染色问题中，我们的目标是给图的边分配自然数，使得相邻的边得到不同的数，并且分配给边的数之和最小。图的{ \em色边强度}是该图的最小和边着色所需的最小颜色数。我们研究的情况下，多圈，定义为循环与平行的边缘，并给出一个封闭形式的表达色边强度的多圈，从而扩展了定理由于Berge。结果表明，最小和可以实现与颜色的数量等于色指数。我们还提出了简单的算法，找到一个最小和边着色的多重。最后，这些结果被推广到一个大的家庭的最小费用着色问题。
2008-01-22 cs.DM
Conditional coloring of some parameterized graphs
对于整数k>0和r>0，图G的条件（k，r）-染色是G的顶点的真k-染色，使得G中的每个d（v）度的顶点v与至少min{r，d（v）}个不同颜色的顶点相邻。使图G具有条件（k，r）-染色的最小整数k称为r阶条件色数，记为$χ_r(G)$ .对于不同的r值，我们得到某些参数化图的$χ_r(G)$，即，风车图，风车图的线图，友谊图的中图，圈的中图，友谊图的线图，完全k部图的中图，二部图的中图。
2010-12-10 cs.DM
The intersection of two vertex coloring problems
洞是至少有四个顶点的诱导环。一个洞是偶数，如果它的顶点数是偶数。给定一个图集L，如果G不包含L中的任何图作为导出子图，则G是L-自由图。目前，有两个问题尚未解决：偶无洞图着色的复杂性和无{4K 1，C4}图着色的复杂性。这两个问题的交集就是无{4K 1，C4，C6}图的着色问题。在本文中，我们提出的部分结果，这个问题。
2019-04-17 cs.DM math.CO
Graphs that do not contain a cycle with a node that has at least two neighbors on it
我们回顾了几个已知的结果，最小2-连通图，并表明，他们都遵循一个分解定理。从一个类比与临界2-连通图，我们给出了结构特征的类图，不包含作为一个子图和作为一个诱导子图，一个周期的节点，至少有两个邻居的周期。从这些特征，我们得到这些类的多项式时间识别算法，以及多项式时间算法的顶点着色和边着色。
2013-09-07 cs.DM math.CO
$S_{12}$ and $P_{12}$-colorings of cubic graphs
如果$G$和$H$是两个三次图，则$G$的$H$ -染色是具有$H$的边的真边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，存在具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$。如果$G$允许$H$ -着色，那么我们将写为$H\prec G$ . Jaeger的Petersen着色猜想（$P_{10}$ -猜想）指出，对于任何无桥三次图$G$，有：$P_{10}\prec G$。Sylvester着色猜想（$S_{10}$ -猜想）指出，对任何三次图$G$，$S_{10}\prec G$ .在本文中，我们介绍了两个新的架构，是与这些架构。第一个定理指出，任何具有完美匹配的三次图都允许$S_{12}$ -着色。第二个定理指出，任何边集能被四个完美匹配覆盖的三次图$G$都允许$P_{12}$ -染色。我们把这些新的猜想分别称为$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。我们的第一个结果证明了图的选择在$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。其次，我们刻画了三次图$G$的$P_{12}$ -着色中可能是虚构的$P_{12}$的边。最后，我们证明了$S_{12}$ -猜想蕴涵$S_{10}$ -猜想，$P_{12}$ -猜想和$(5,2)$ -圈覆盖猜想一起蕴涵$P_{10}$ -猜想，从而把新的猜想与已知的猜想联系起来.我们证明后…
2018-07-21 cs.DM math.CO
The Coloring Game on Planar Graphs with Large Girth, by a result on Sparse Cactuses
我们用$χ$ g（G）表示图G的游戏色数，它是Alice在G上赢得着色游戏所需的最小颜色数.我们从Montassier et al. [M. Montassier，P. Ossona de Mendez，A. Raspaud和X. Zhu，Decomposing a graph into forests，J. Graph Theory Ser. B，102（1）：38-52，2012]，并且独立地，从Wang和Zhang，[Y. Wang和Q.张某Decomposing a planar graph with girth at least 8 into a forest and a matching，Discrete Maths，311：844-849，2011] that planar graphs with girth at least 8 have game chromatic number at most 5.人们可能会问，对于足够大的围长，这个5的界是否可以改进。在本文中，我们证明它不能。不仅如此，我们还证明了存在仙人掌CT（即每条边最多只属于一个圈的图）的$χ$ g（CT）= 5，尽管其圈长任意大，甚至圈间距离任意大.
2015-07-12 cs.DM math.CO
Acyclic edge coloring of sparse graphs
如果图$G$中不存在双色圈，则称图$G$的正常边染色是无圈的.用$χ'_a(G)$表示的$G$的非循环色指数是使得$G$具有非循环边$k$ -着色的最少颜色数$k$。图$G$的最大平均度，记为$\mad(G)$，是$G$的所有子图的平均度的最大值。本文证明了若$\mad(G)<4$，则$χ'_a(G)\leq{Δ(G)+2}$ ;若$\mad(G)<3$，则$χ'_a(G)\leq{Δ(G)+1}$ .这意味着每个无三角形可平面图$G$是无圈边$(Δ(G)+2)$ -可着色的。
2012-02-28 cs.DM math.CO
Winding number and circular 4-coloring of signed graphs
本文构造两类具有 2k²-k+1 个顶点、最短负环长 2k 且循环色数为 4 的符号二部图，并以此给出广义 Mycielski 图循环色数为 4 的初等证明。
2024-03-01 cs.DM math.CO
Flexibility of planar graphs without 4-cycles
正确的图着色将不同的颜色分配给图的邻顶点。通常，颜色的数量是固定的或尽可能少。考虑其中颜色表示有限资源并且图形表示冲突的应用（例如调度的变体），即，两个邻顶点不能获得相同的资源。在这样的应用中，常见的是一些顶点具有优选资源。然而，不幸的是，通常不可能满足所有这些偏好。灵活性的概念最近在[Dvocalák，Norin，Postle：List coloring with requests，Journal of图论2019]中定义。这里的目标不是满足所有的偏好，而是至少满足请求的一个恒定部分。最近，人们研究了可平面图在柔性方面的结构性质。我们继续这一研究方向。设G是一个具有列表赋值L的可平面图。假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明了如果G是一个不含4-圈的可平面图，且所有列表的大小至少为5，则存在关于至少一个常数部分的偏好的L-染色。
2019-03-04 cs.DM math.CO
Rainbow cycles for families of matchings
本文研究边着色图的彩虹周长，推广了Caccetta-Häggkvist猜想，并证明当色类为大小至少为2的匹配时，$n$个匹配的彩虹周长为$O(\log n)$。
2024-09-24 cs.DM math.CO math.PR
Improved Complexity Results on $k$-Coloring $P_t$-Free Graphs
一个图是$H$-free的，如果它不包含一个同构于$H$的导出子图.我们用$P_k$和$C_k$分别表示$k$顶点上的路和圈。本文证明了无$P_7$图的4-着色是NP-完全的，无$P_6$图的5-着色是NP-完全的.这两个结果改进了以往关于$k$-着色$P_t$-free图的所有结果，并且几乎完成了对$k\ge 4$和$t\ge 1$的$k$-着色$P_t$-free图的复杂性分类，只剩下4-着色$P_6$-free图.我们期望4-COLORING是多项式时间可解的$P_6$-free图;在支持这一点，我们描述了一个多项式时间算法4-COLORING $P_6$-free图也是$P$-free，其中$P$是从$C_4$通过添加一个新的顶点，并使其相邻于$C_4$上的一个顶点。
2013-10-04 cs.CC cs.DM math.CO
