The canonical basis of the quantum adjoint representation
G. Lusztig
我们确定的规范基础的量子伴随表示的量化包络代数的基础，我们定义之前的规范基础的理论。
We identify the canonical basis of the quantum adjoint representation of a quantized enveloping algebra with a basis that we defined before the theory of canonical bases was available.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The Composition Tableau and Reconstruction of the Canonical Weierstrass Section for Parabolic Adjoint Action in type $A$
一个“组成图”的构建，严重依赖于早期的工作[Y。Fittouhi和A. Joseph，抛物伴随作用，$A$型零纤维的Weierstrass截面和分支，Indag Math.和Y. Fittouhi和A. Joseph，抛物伴随作用的零纤维的正则分量，$A$型的Weierstrass截面，预印本，Weizmann，2021]。它定义了一个组成画面，恢复“典型的”维尔斯特拉斯节$e+V$中描述的第一篇论文。此外，\textit{without reference to this earlier work}，它表明，$e+V$确实是一个Weierstrass部分。这导致了巨大的简化。此外，人们可以从组成表中读出上述第二篇论文的“VS四元组”，从而描述了$e$所在但本身不确定的nil纤维的“规范分量”。
The Dual Canonical Basis in the Spin Representation via the Temperley-Lieb Algebra
本文通过Temperley-Lieb代数提出双canonical基的简化构造，推导出显式公式并重新证明Khovanov的结果，同时用Hecke代数证明canonical基与双canonical基的对偶性。
The Canonical Component of the nilfibre for Parabolic adjoint action in type $A$
这项工作是一个延续[Fittouhi和约瑟夫，抛物伴随行动，维尔斯特拉斯部分和组成部分的nilfibre类型$A$ ]。设$P$是不可约单代数群$G$的抛物子群，$P'$是它的导群，$\mathfrak m$是它的李代数的幂零根. Richardson的一个定理意味着由$\mathbb C[\mathfrak m]$中的$P$半不变量所张成的子代数$\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$是多项式。$\mathfrak m$的线性子簇$e+V$称为$P'$作用于$\mathfrak m$的Weierstrass截面，如果限制图诱导$\mathbb C[\mathfrak m]^{P'}$到$\mathbb C[e+V]$上的同构。因此，魏尔斯特拉斯部分可以存在，只有当后者是多项式，但即使当这举行其存在是远远不能保证。通过一般的组合构造证明了$\mathfrak m$中存在Weierstrass截面$e+V$.特别是$e \in \mathscr N$，是具有线性独立根的根向量之和。维尔斯特拉斯截面$e+V$对于不同的抛物线选择看起来非常不同，但仍然具有统一的结构，并且在所有情况下都存在。它被称为“典型的维尔斯特拉斯节”。这是在[Fittouhi和约瑟夫，loc。[见前引书]可以通过邻接根向量将$e$增加到元素$e_{VS}$。则这些根向量的线性跨度$E_{VS}$位…
Canonical basis, KLR-algebras and parity sheaves
本文利用奇偶层构造了与Dynkin箭图相关联的Drinfeld-Jimbo量子包络代数正部分的基。
Nonrecursive canonical basis computations for low rank Kashiwara crystals of type A
对于$A$型和秩$e=2$的对称Kashiwara晶体，以及对于我们称为外部的规范基元，对应于Kashiwara晶体的外皮上的权重，我们以非递归方式构造规范基元。特别是，对于一个对称的晶体与$Λ=a Λ_0+a Λ_1$，我们给出了公式的正则基础元素的所有$e$ -定期multipartition与缺陷的$k(a-k)$或$k(a-k)+2a$，为$0 \leq k \leq a$。
Geometry of quiver Grassmannians of Kronecker type and canonical basis of cluster algebras
我们研究了与克罗内克图的不可分解表示相关的Grassmannian。我们找到它们的细胞分解，然后计算它们的贝蒂数。作为应用，我们给出了Kronecker型（由Sherman和Zelevinsky发现）和$A_2^{(1)}$型簇代数的“标准基”的几何实现.
Minuscule weights and Chevalley groups
Chevalley群的传统构造依赖于对底层李代数$\mathfrak{g}$的Chevalley基的某些符号的选择。最近，Lusztig利用~ $\mathfrak{g}$的伴随表示的“典范基”简化了伴随型群的这种构造，特别是不需要选择符号.本说明的目的是将其扩展到Chevalley群，这些群不一定是伴随型的，使用Jantzen的显式模型的极小最高权表示的~ $\mathfrak{g}$。
Comparing and characterizing some constructions of canonical bases from Coxeter systems
Coxeter系统$(W,S)$的Iwahori-Hecke代数$\mathcal{H}$具有由$W$的元素索引的“标准基”和由某个反线性映射给出的“棒对合”。总之，这些构成了韦伯斯特所说的前规范结构的一个例子，相对于它，著名的$\mathcal{H}$的Kazhdan-Lusztig基是规范基。Lusztig和Vogan在由$W$中的扭对合集生成的自由$\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$ -模上定义了一个修正的Iwahori-Hecke代数的表示，并证明了该模具有唯一的满足一定相容性条件的预规范结构，该预规范结构具有自己的规范基，该规范基可看作是Kazhdan-Lusztig基的推广.人们可以修改定义Lusztig和Vogan模的参数，以获得其他的预正则结构，每个结构都允许一个唯一的正则基，由扭曲对合索引。我们对所有以这种方式出现的前规范结构进行分类，并解释它们所产生的规范基之间的关系。虽然其中一些典型的基地是在一个平凡的方式与Lusztig和Vogan的建设，其他人似乎没有简单的关系，以前已经研究过。一路上，我们还澄清了韦伯斯特的概念之间的差异规范的基础和相关概念的IC基础和$P$内核。
On canonical bases and induction of $W$-graphs
Lusztig意义下的标准基是在一定的半线性对合下不变的洛朗多项式环上的自由模的基，并且通过具有多项式元素的三角基变换矩阵从固定的“标准基”获得，多项式元素的常数项等于单位矩阵。典型基的例子包括岩堀-赫克代数的Kazhdan-Lusztig基、量子群的Lusztig典型基和诱导$W$ -图模的Howel-Yin基。本文有两个主要的理论目标：第一，表明有基地是多余的，在这个意义上，规范化可以推广到非自由模。这种结构在适当的意义上是函式的。第二个目标是证明$W$ -图的Howel-Yin归纳是行为良好的一个函子，它在$W$ -图-代数的模范畴之间满足当一个函子被称为“归纳”时所希望的各种性质，例如传递性和Mackey定理。
Quantum cluster algebras of type A and the dual canonical basis
本文研究复李代数sl_{n+1}的量子化泛包络代数的子代数U_v^+（w），它与一个特殊的长为2n的外尔群元素相联系.我们证明了U_v^+（w）可以被赋予A_n型量子团簇代数的结构。量子团簇代数是使用预投射代数的表示论将普通团簇代数Geiss-Leclerc-Schroeer附加到w上的变形。此外，我们证明了量子集群变量，直到v的幂，在Kashiwara的双线性型下的Lusztig的正则基的对偶元素。
The Classical Family Algebra of the Adjoint Representation of $sl(n)$
对于单李代数$g = sl(n,C)$，我们找到了经典族代数$(End(g)\otimes S(g))^G$作为环$I(g)$上的代数的生成元和关系的集合。由此我们可以确定族代数的$I(g)$ -线性基，从而确定被看作$g$ -模的$End(g)$的不可约分量的广义指数。
Dual Standard Monomial Theoretic Basis and Canonical Basis for Type A
建立了A型量子化泛包络代数的负部分的对偶标准单式理论基与规范基之间的幂幺三角关系.
Canonical basis linearity regions arising from quiver representations
在本文中，我们表明，有一个链接之间的组合的规范基础上的量化包络代数和单项式基地的第二作者所产生的表示的箭图。我们证明了一些reparametrization函数的规范的基础上，所产生的Lusztig的方法之间的联系的规范的基础和字符串参数化的规范的基础上，给出了一个大的区域的线性所产生的线性函数从这些单项式的基础上的量化包络代数。
Ar-Quiver Approach to Affine Canonical Basis Elements
我们描述了仿射正则基元的情况下，当仿射矩阵具有任意方向。这概括了Lusztig的描述。
Elementary construction of Lusztig's canonical basis
在这主要是简要的文章中，我们提出了一个初步的建设Lusztig的典型基础的ADE型。该方法，这基本上是Lusztig的原始方法，是使用辫群，以减少到秩二计算。规范基的一些奇妙性质已经是可见的;它下降到每一个最高权可积表示的基，并且它是一个晶体基。
Tilting modules and the p-canonical basis
本文提出了一种新的求正特征约化代数群的倾斜模的方法。我们猜想平移函子给出仿射外尔群的（图解）Hecke范畴在主块上的作用.我们的猜想包含了单模和倾斜模在p-正则基下的特征公式，以及Hecke范畴的反球商对主块的描述.利用2-Kac-Moody作用理论证明了我们对GL_n的猜想。最后，我们证明了一般晶体学Coxeter群的图解Hecke范畴可以用相应的Kac-Moody群的旗簇上的宇称复合体来描述。
Positivity and the canonical basis of tensor products of finite-dimensional irreducible representations of quantum sl(k)
在量子sl（k）的基本表示的张量积通过最高权范畴的范畴化中，不可分解的倾斜模下降到正则基。由于投射函子将倾斜模映射到倾斜模，有限维不可约表示的张量积在Chevalley生成元作用下的正则基的系数为正.
An algorithm to compute the canonical basis of an irreducible Uq(g)-module
本文给出了有限维半单李代数的量子化包络代数上不可约模的标准基的计算方法。该算法适用于构造为具有已知规范基的模块的张量积的子模块的模块。
Quantum supergroups II. Canonical basis
遵循Kashiwara的代数方法，我们构造了无迷向奇根的量子超群及其可积模的晶基和正则基。
Geometric lifting of the canonical basis and semitoric degenerations of Richardson varieties
在sl_n情况下，A.贝伦斯坦和A. Zelevinsky研究了Schützenberger对合在Lusztig的典型基础上，[3]。我们将它们的构造和公式推广到任何半单李代数。为此，我们使用正则基的几何提升，在此基础上可以给出Schützenberger对合的模拟。作为应用，我们按照P.Caldero的方法构造了Richardson簇的退化，[6]
On dual canonical bases
研究了修正量子包络代数的标准基的对偶基，特别是对$A$型的标准基.构造$n\times n$量子矩阵的坐标代数的基对于研究乘法性质是合适的。它表明，该基础是不变的乘法下的某些量子子式，包括量子行列式。然后，通过将量子行列式设为1，得到量子SL（n）的基。这个基证明是等价于对偶典范基。
Remarks on quantum unipotent subgroup and dual canonical basis
本文证明了Berenstein和Greenstein提出的与外尔群元素相联系的半个量子化泛包络代数的张量积分解。
The "boson polynomials" of Gel'fand basis and the analytic expression of Wigner's coefficients with multiplicity for the canonical basis of unitary groups
本文用生成函数法导出了SU（n）正则基的Gel'fand玻色子多项式和Wigner系数。我们找到了SU（4）的一个新的解析多项式基，其求和的数目是精确的，只有五个。对于SU（3）的正则基和等标因子，我们还找到了一个新的Wigner系数的代数表达式。三个总结
Canonical basis for quantum osp(1|2)
本文对正交辛李超代数osp（1）引入了一个修正的量子包络代数和一个（修正的）覆盖量子代数|2）。然后我们公式化并计算相应的标准基，并将它们与sl（2）的对应基联系起来。这为量子超代数提供了典范基的第一个例子。
The $p$-Canonical Basis for Hecke Algebras
我们描述了一个正的特征模拟的Kazhdan-Lusztig基础的Hecke代数的晶体Coxeter系统，并调查它的一些性质。使用Soergel演算，我们描述了一个算法来计算这个基础。我们概述了模表示理论中一些已知或预期的应用。最后，我们举几个例子。
The canonical basis and the quantum Frobenius morphism
本文的第一个目标是研究量子化包络代数理论中两个重要的结构，即标准基和量子弗罗贝尼乌斯态射之间的相容性。第二个目标是研究可对称化的Kac-Moody代数的柏原晶体B（无穷大）的阶数;这些阶数被定义为使得由B（无穷大）自然索引的基之间的转移阵是下三角形的。
Imaginary vectors in the dual canonical basis of $U_q(n)$
设$n$是单复李代数$g$的极大幂零子代数.我们在$U_q(n)$的对偶典范基中引入虚向量的概念，并给出了$A_n (n\ge 5)$、$B_n (n\ge 3)$、$C_n (n\ge 3)$、$D_n (n\ge 4)$和所有例外类型的虚向量的例子。这否定了Berenstein和Zelevinsky关于对偶正则基向量的$q$ -交换积的猜想。证明了张量平方不可约的量子仿射代数的有限维不可约表示的存在性。
$k$-positivity of dual canonical basis elements from 1324- and 2143-avoiding Kazhdan-Lusztig immanants
在这份说明中，我们表明，某些对偶典范基元素的$\mathbb{C}[SL_m]$是积极的$k$ -积极的矩阵，矩阵的大小$k \times k$和更小的子是积极的评估时。Skandera证明了$\mathbb{C}[SL_m]$的所有对偶正则基元都可以用Rhoades和Skandera引入的Kazhdan-Lusztig固有量来表示。我们专注于基础元素表示的Kazhdan-Lusztig immanants索引的1324-和2143-避免排列。这扩展了以前的工作的作者对Kazhdan-Lusztig immanants和使用类似的工具，即刘易斯卡罗尔的身份（也被称为Desnanot-雅可比恒等式）。
Notes on affine canonical and monomial bases
在Lusztig的几何背景下，研究了文献[LXZ]中构造的仿射标准基和单项基.我们表明，两个基之间的转移阵是上三角形，对角线上为1，系数在N[v，v^{-1}]中的上对角线项中。作为一个结果，我们表明，单项式的基础元素的一部分产生的决议的支持品种的仿射典型的基础元素作为简单的反常层。
Positive representations, multiplier Hopf algebra, and continuous canonical basis
在分裂实量子群的正表示的背景下引入乘子霍普夫代数的语言，并讨论它在Lusztig-Kashiwara正则基的连续形式下的应用，这可能为证明张量积下的正表示的封闭性提供一把钥匙，以及在局部紧量子群意义下的量子化函数代数的调和分析.
A quantum cluster algebra of Kronecker type and the dual canonical basis
本文研究A_1 ^{（1）}型Kac-Moody李代数的泛包络代数的正部分U_q（n）的子代数的Lusztig标准基的对偶。所研究的子代数是通过长度为4的外尔群元素w与克罗内克群的路代数上的终端模M相关联的。Geiss-Leclerc-Schroeer将Kronecker群的预投射代数上的幂零模范畴C_M和无圈簇代数A（C_M）附加到M上.对偶半正则基包含所有簇单项式。通过构造，簇代数A（C_M）是（非量子化）泛包络代数U（n）的分次对偶的子代数.我们转换到量子化的设置。在Lusztig之后，我们将U_q（n）的子代数U_q ^+（w）附加到w上。子代数是由满足拉直关系的四个元素生成的;它在经典极限q = 1下退化为一个交换代数。代数U_q ^+（w）有四个基，一个PBW基，一个标准基，以及它们的互逆。我们证明了递归的对偶典型的基础元素。这些递归式意味着A（C_M）中的每个簇变量都是一个适当的典型基元素的对偶的特殊化。因此，U_q ^+（w）是Berenstein-Zelevinsky意义下的量子团簇代数.此外，我们还给出了量子化簇变量和对偶正则基元乘积展开式的显式公式。
Positivity of Canonical Bases under Comultiplication
我们证明了在余乘法下修正的量子仿射$\mathfrak{sl}_n$的正则基的正性。此外，我们还证明了[LW 15]中的i-标准基关于余理想子代数结构的正性。
Bott canonical basis?
扩展了Raoul Bott的思想，我们提出了一个典型的基地的酉表示，来自大环面的行动家庭的Bott-Samelson流形的建设。该构造仅依赖于极大环面、博雷尔子群和外尔群的最长元素的简化表达式的选择。它依赖于某些线丛的全纯截面的层在族的全空间上的高阶上同调的代数消失，因此标题中有问号。
Quantum Unipotent Subgroup and dual canonical basis
Geiss-Leclerc-Schroer在幂幺子群的坐标环$C[N(w)]$上定义了与外尔群元素$w$相关联的簇代数结构，并证明了簇单项式包含在Lusztig的对偶半正则基$S^{*}$中.我们给出了一个量子化的结果，并提出了一个猜想，它涉及到量子集团代数的对偶正则基${B}^{up}$。特别地，我们证明了${C}[N(w)]$的量子模拟物$O_{q}[N(w)]$具有来自${B}^{up}$的诱导基，该诱导基包含量子标志子，并且满足关于$O_{q}[N(w)]$的“$q$ -中心”的因式分解性质。这将Caldero的结果推广到任意对称化的Kac-Moody李代数上.
Cellularity of the p-Canonical Basis for Symmetric Groups
对于对称群，我们证明了Iwahori-Hecke代数H的p-标准基可以推广到胞腔基准，并且双边p-胞腔预序与Kazhdan-Lusztig双边胞腔预序一致.此外，我们还证明了有限晶体Coxeter系统的Hecke代数的相同双侧p-胞内的左（或右）p-胞是不可比较的（性质A）。
Defect 2 spin blocks of symmetric groups and canonical basis coefficients
研究了对称群的旋量表示在奇特征下的分解数问题。我们的主要目的是找到一个组合公式的分解数块的缺陷$2$，类似于理查兹的公式缺陷$2$块的对称群。通过对Richards所用的组合数学进行适当的类比，我们找到了相应的“$q$ -分解数“的公式，即在$A^{(2)}_{2n}$型的水平- $1$ $q$ -变形的Fock空间中的规范基系数; Leclerc和Thibon猜想的一个特例断言这些系数产生特征$2n+1$中的自旋分解数。在此过程中，我们证明了关于$q$ -分解数的一些一般性结果。本文代表了$A^{(2)}_{2n}$型规范基的第一个实质性进展。
An inversion formula for some Fock spaces
定义了Fock空间$\mathbb T^{\bf b}$的完备化的某个子空间$\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$上的对称双线性型. $\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$的标准基和对偶标准基关于双线性型是对偶的。由此得到了将$\mathbb T^{\bf b}$的标准单项基展开的$\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$的正则基和对偶正则基的系数联系起来的反演公式.结合Brundan的计算$\widehat{\mathbb{T}}^{{\bf b}_{\mathrm{st}}}$规范基中元素的算法，给出了任意${\bf b}$的计算$\widehat{\mathbb{T}}^{\bf b}$规范基中元素的算法.
On the computation of the canonical basis for irreducible highest weight $U_q (\mathfrak{gl}_{\infty})$-modules
本文提出了一种新的方法，用于计算不可约最高权 $U_q (\mathfrak{gl}_{\infty})$-模的 canonical basis，并将其应用于 Calogero-Moser 细胞特征标和 Ariki-Koike 代数的分解矩阵。
The discrete Fourier transform: A canonical basis of eigenfunctions
离散傅里叶变换（DFT）是作用在环Z/NZ上复值函数的Hilbert空间上的一种重要算子。在N=p是奇素数的情况下，我们展示了DFT的特征向量的规范基。从标准基到规范基的转移矩阵定义了一种新的变换，我们称之为离散振荡器变换（简称DOT）。最后，我们描述了一个快速算法计算DOT在某些情况下。
Diagram automorphisms and canonical bases for quantized enveloping algebras
设${\mathbf U}^-_q$是与对称型Kac-Moody代数${\mathfrak g}$相关联的量子化包络代数的负部分，而$\underline{\mathbf U}^-_q$是与从${\mathfrak g}$上的容许图自同构$σ$获得的轨道代数${\mathfrak g}^σ$相对应的代数。Lusztig利用箭图的几何理论构造了${\mathbf U}_q^-$的正则基${\mathbf B}$和$\underline{\mathbf U}_q^-$的正则符号基$\underline{\widetilde{\mathbf B}}$.他证明了有一个自然的双射$\widetilde{\mathbf B}^σ \to \widetilde{\underline{\mathbf B}}$。本文在假定${\mathbf U}_q^-$的规范基${\mathbf B}$存在的条件下，用初等方法构造了$\underline{\mathbf U}_q^-$的规范符号基$\widetilde{\underline{\mathbf B}}$和自然双射$\widetilde{\mathbf B}^σ \to \widetilde{\underline{\mathbf B}}$.
Notes: from dual canonical bases to triangular bases of quantum cluster algebras
本文证明任意可对称化 Kac–Moody 代数对应量子幺幂子群的对偶典范基即量子丛代数的公共三角基，并据此说明其包含所有量子丛单项式。
Canonical bases of the modified quantized enveloping algebras of type $A_{2}$
由Lusztig引入的修正的量子包络代数$\dot{\mathbf{U}}$具有一个显著的正则基.本文给出了$A_{2}$型的$\dot{\mathbf{U}}$的规范基的所有元素的显式描述。
Canonical bases arising from $\imath$quantum covering groups
对于超Kac-Moody型的$\imath$量子覆叠群$(\mathbf{U}, \mathbf{U}^\imath)$，我们构造了最高权可积$\mathbf{U}$ -模及其张量积作为$\mathbf{U}^\imath$ -模的$\imath$ -正则基，以及$\imath$量子群$\mathbf{U}^\imath$的修正形式的正则基，利用$\imath^π$ -除幂，对$\mathbf{U}^\imath$秩为1的正则基.
Multiplicaton formulas and canonical basis for quantum affine gl_n
我们将给出\cite [Thm~4.5]{DuFu 2015 quantum}中循环群$Δ(n)$的Ringel-Hall代数${\frak H}_Δ(n)$中乘法公式的表示论证明.作为第一个应用，我们立即看到存在的霍尔多项式的循环箭图，一个事实建立在\cite{Guo1995hallpoly}和\cite{Ringel1993composition}，并推导出一个递归公式来计算它们。我们将进一步利用\cite{DengDuXiao2007generic}中给出的${\mathfrak H}_Δ(n)$的公式和某些单项式基的构造，以及量子圈代数$U_v(\hat{gl}_n)$在\cite{DengDuFu2012double}中的双Ringel-Hall代数实现，来发展一些算法和计算$U_v(\hat{gl}_n)^+$的正则基.作为例子，我们将明确地显示与量子群$U_v(\hat{gl}_n)$的Lowey长度至多为$2$的模相关的正则基的一部分。
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