Quantum supergroups II. Canonical basis
Sean Clark, David Hill, Weiqiang Wang
遵循Kashiwara的代数方法，我们构造了无迷向奇根的量子超群及其可积模的晶基和正则基。
Following Kashiwara's algebraic approach, we construct crystal bases and canonical bases for quantum supergroups with no isotropic odd roots and for their integrable modules.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dual canonical bases for the quantum general linear supergroup
构造了量子广义线性超群的对偶正则基，它们在量子Berezian的乘法下是不变的。通过将量子Berezian设为单位元，得到了量子特殊线性超群${\s O}_q(SL_{m\mid n})$的对偶正则基.本文应用正则基研究了量子超群在左平移和右平移下的不变子代数。在$n=1$的情况下，证明了每个不变子代数都被一部分对偶标准基所张成。这反过来又导致了任何Kac模的对偶典范基构造使用类似的Borel-Weil定理。
Quantum supergroups IV. The modified form
构造了各向异性型Kac-Moody李超代数的量子覆叠群的一类张量积模的标准基，并利用这些标准基构造了量子覆叠群的修正形式的标准基.
Canonical bases for the quantum linear supergroups
给出了量子包络超代数$\bfU(\mathfrak{gl}_{m|n})$的$\pm$ -部分的标准基的组合构造，并讨论了它们与引入到\cite{DR}中的量子Schur超代数$\bsS(m|n,r)$的Kazhdan-Lusztig基的关系.我们也将这种关系推广到$\bfU(\mathfrak{gl}_{m|n})$的简单多项式表示的诱导基。
Quantum Supergroups III. Twistors
在覆盖量子群的背景下，通过构造一个自同构（称为扭量），我们在多个层次上建立了量子群与棒相容超Cartan数据所关联的超群之间的直接联系.在扭量下，量子群和超群的一半的典范基匹配到-1的平方根的幂次。通过在修正覆盖量子群上构造扭量，进一步证明了修正量子群与超群在平方根为-1的有理函数域伴随上同构.量子群和超群的权模范畴的等价性如下。
Quantum Shuffles and Quantum Supergroups of Basic Type
我们开始研究量子超群$U_q$的正半部分的几个不同的基，这些基与量子洗牌超代数内部的基本类型的一般超Cartan数据$(\mathrm{I}, (\cdot,\cdot))$相关联。在$\mathrm{I}$上任意全序的词的组合学是结合与$\mathrm{I}$相关的根系发展起来的。构造了$U_q$的单式基、Lyndon基和PBW基，并在量子洗牌的框架下直接证明了PBW基的正交性.因此，为与类型为$\mathfrak{gl}(n|1)$、$\mathfrak{osp}(1|2n)$或$\mathfrak{osp}(2|2n)$的标准超级Cartan数据或任意非超级Cartan数据相关联的$U_q$构造规范基。在非超情况下，这改进了Leclerc的工作，并提供了一个新的独立的正则基构造。给出了$U_q$及其多项式模的正则基，以及量子$\mathfrak{gl}(2|1)$情形下Kac模的正则基.
Modular representations of the ortho-symplectic supergroups
构造了正交辛李超代数的Chevalley型整基.对素特征不等于2的代数闭域上的正交辛超群的单模进行了分类，其中一个关键的组合成分来自关于对称群的模表示的Mullineux猜想.还得到了正交辛超群的一个Steinberg张量积定理。
We construct a braid group action on quantum covering groups. We further use this action to construct a PBW basis for the positive half in finite type which is pairwise-orthogonal under the inner product. This braid group action is induced by operators on the integrable modules; however, these operators satisfy spin braid relations.
By using certain quantum differential operators, we construct a super representation for the quantum queer supergroup U_v(q_n). The underlying space of this representation is a deformed polynomial superalgebra in 2n^2 variables whose homogeneous components can be used as the underlying spaces of queer q-Schur superalgebras. We then extend the representation to its formal power series algebra which contains a (super) submodule isomorphic to the regular representation of U_v(q_n). A monomial basis M for U_v(q_n) plays a key role in proving the isomorphism. In this way, we may present the quantum…
Gauss Decomposition for Quantum Groups and Supergroups
利用初等代数方法和$R$ -矩阵方法研究了与经典李群和超群有关的量子群的Gauss分解.详细地描述了由分解引入的新基生成元之间的对易关系。证明了新基中的独立生成元数降到相关经典（超）群的维数是可能的。在变形的情况下，（超）行列式通过高斯分解生成元的经典表达式没有改变。以辛量子群$Sp_q(2)$和超群$GL_q(1|1), GL_q(2|1)$为例进行了讨论。
Structure And Representations Of The Quantum General Linear Supergroup
量子一般线性超群GLq（m）的结构与表示|n），通过考察其代表函数的Hopf超代数Gq，系统地研究了Gq的性质.将Gq分解为$Gq^π Gq^{\barπ}$，并为每个因子构造一个Peter - Weyl基.发展了量子超群的抛物诱导。诱导表示的基本几何进行了讨论，并得到了一个模拟的Frobenius互易性。证明了协变和逆变张量不动点的一个量子Borel-Weil定理，并给出了一类张量不动点在量子射影超空间上的量子超向量丛截面的显式实现.
Non-commutative low dimension spaces and superspaces associated with contracted quantum groups and supergroups
总结了二维GL-群情形下QYBE的所有单参数解所对应的量子平面，并给出了它们的几何解释。结果表明，量子对偶平面与QYBE的奇异解相关联，而著名的量子$h$ -平面可以看作是旗（或纤维）平面的量子模拟。在笛卡尔基上考虑了量子超群$ GL_q(1|2)$和相应的量子超空间$ C_q(1|2)$的收缩.压缩量子超空间$ C_h(1|2;ι)$被解释为具有纤维奇部的超空间的非对易模拟。
We develop the non-commutative polynomial version of the invariant theory for the quantum general linear supergroup ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. A non-commutative ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-module superalgebra $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is constructed, which is the quantum analogue of the supersymmetric algebra over $\mathbb{C}^{k|l}\otimes \mathbb{C}^{m|n}\oplus \mathbb{C}^{r|s}\otimes (\mathbb{C}^{m|n})^{\ast}$. We analyse the structure of the subalgebra of ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ by using the quantum super analogue of Howe…
Dual Standard Monomial Theoretic Basis and Canonical Basis for Type A
建立了A型量子化泛包络代数的负部分的对偶标准单式理论基与规范基之间的幂幺三角关系.
Canonical basis linearity regions arising from quiver representations
在本文中，我们表明，有一个链接之间的组合的规范基础上的量化包络代数和单项式基地的第二作者所产生的表示的箭图。我们证明了一些reparametrization函数的规范的基础上，所产生的Lusztig的方法之间的联系的规范的基础和字符串参数化的规范的基础上，给出了一个大的区域的线性所产生的线性函数从这些单项式的基础上的量化包络代数。
Ar-Quiver Approach to Affine Canonical Basis Elements
我们描述了仿射正则基元的情况下，当仿射矩阵具有任意方向。这概括了Lusztig的描述。
In this largely expository article we present an elementary construction of Lusztig's canonical basis in type ADE. The method, which is essentially Lusztig's original approach, is to use the braid group to reduce to rank two calculations. Some of the wonderful properties of the canonical basis are already visible; that it descends to a basis for every highest weight integrable representation, and that it is a crystal basis.
Positivity and the canonical basis of tensor products of finite-dimensional irreducible representations of quantum sl(k)
在量子sl（k）的基本表示的张量积通过最高权范畴的范畴化中，不可分解的倾斜模下降到正则基。由于投射函子将倾斜模映射到倾斜模，有限维不可约表示的张量积在Chevalley生成元作用下的正则基的系数为正.
An algorithm to compute the canonical basis of an irreducible Uq(g)-module
本文给出了有限维半单李代数的量子化包络代数上不可约模的标准基的计算方法。该算法适用于构造为具有已知规范基的模块的张量积的子模块的模块。
On dual canonical bases
研究了修正量子包络代数的标准基的对偶基，特别是对$A$型的标准基.构造$n\times n$量子矩阵的坐标代数的基对于研究乘法性质是合适的。它表明，该基础是不变的乘法下的某些量子子式，包括量子行列式。然后，通过将量子行列式设为1，得到量子SL（n）的基。这个基证明是等价于对偶典范基。
Remarks on quantum unipotent subgroup and dual canonical basis
本文证明了Berenstein和Greenstein提出的与外尔群元素相联系的半个量子化泛包络代数的张量积分解。
Canonical basis for quantum osp(1|2)
本文对正交辛李超代数osp（1）引入了一个修正的量子包络代数和一个（修正的）覆盖量子代数|2）。然后我们公式化并计算相应的标准基，并将它们与sl（2）的对应基联系起来。这为量子超代数提供了典范基的第一个例子。
The canonical basis and the quantum Frobenius morphism
本文的第一个目标是研究量子化包络代数理论中两个重要的结构，即标准基和量子弗罗贝尼乌斯态射之间的相容性。第二个目标是研究可对称化的Kac-Moody代数的柏原晶体B（无穷大）的阶数;这些阶数被定义为使得由B（无穷大）自然索引的基之间的转移阵是下三角形的。
Imaginary vectors in the dual canonical basis of $U_q(n)$
设$n$是单复李代数$g$的极大幂零子代数.我们在$U_q(n)$的对偶典范基中引入虚向量的概念，并给出了$A_n (n\ge 5)$、$B_n (n\ge 3)$、$C_n (n\ge 3)$、$D_n (n\ge 4)$和所有例外类型的虚向量的例子。这否定了Berenstein和Zelevinsky关于对偶正则基向量的$q$ -交换积的猜想。证明了张量平方不可约的量子仿射代数的有限维不可约表示的存在性。
Notes on affine canonical and monomial bases
在Lusztig的几何背景下，研究了文献[LXZ]中构造的仿射标准基和单项基.我们表明，两个基之间的转移阵是上三角形，对角线上为1，系数在N[v，v^{-1}]中的上对角线项中。作为一个结果，我们表明，单项式的基础元素的一部分产生的决议的支持品种的仿射典型的基础元素作为简单的反常层。
Positive representations, multiplier Hopf algebra, and continuous canonical basis
在分裂实量子群的正表示的背景下引入乘子霍普夫代数的语言，并讨论它在Lusztig-Kashiwara正则基的连续形式下的应用，这可能为证明张量积下的正表示的封闭性提供一把钥匙，以及在局部紧量子群意义下的量子化函数代数的调和分析.
A quantum cluster algebra of Kronecker type and the dual canonical basis
本文研究A_1 ^{（1）}型Kac-Moody李代数的泛包络代数的正部分U_q（n）的子代数的Lusztig标准基的对偶。所研究的子代数是通过长度为4的外尔群元素w与克罗内克群的路代数上的终端模M相关联的。Geiss-Leclerc-Schroeer将Kronecker群的预投射代数上的幂零模范畴C_M和无圈簇代数A（C_M）附加到M上.对偶半正则基包含所有簇单项式。通过构造，簇代数A（C_M）是（非量子化）泛包络代数U（n）的分次对偶的子代数.我们转换到量子化的设置。在Lusztig之后，我们将U_q（n）的子代数U_q ^+（w）附加到w上。子代数是由满足拉直关系的四个元素生成的;它在经典极限q = 1下退化为一个交换代数。代数U_q ^+（w）有四个基，一个PBW基，一个标准基，以及它们的互逆。我们证明了递归的对偶典型的基础元素。这些递归式意味着A（C_M）中的每个簇变量都是一个适当的典型基元素的对偶的特殊化。因此，U_q ^+（w）是Berenstein-Zelevinsky意义下的量子团簇代数.此外，我们还给出了量子化簇变量和对偶正则基元乘积展开式的显式公式。
Positivity of Canonical Bases under Comultiplication
我们证明了在余乘法下修正的量子仿射$\mathfrak{sl}_n$的正则基的正性。此外，我们还证明了[LW 15]中的i-标准基关于余理想子代数结构的正性。
Quantum Unipotent Subgroup and dual canonical basis
Geiss-Leclerc-Schroer在幂幺子群的坐标环$C[N(w)]$上定义了与外尔群元素$w$相关联的簇代数结构，并证明了簇单项式包含在Lusztig的对偶半正则基$S^{*}$中.我们给出了一个量子化的结果，并提出了一个猜想，它涉及到量子集团代数的对偶正则基${B}^{up}$。特别地，我们证明了${C}[N(w)]$的量子模拟物$O_{q}[N(w)]$具有来自${B}^{up}$的诱导基，该诱导基包含量子标志子，并且满足关于$O_{q}[N(w)]$的“$q$ -中心”的因式分解性质。这将Caldero的结果推广到任意对称化的Kac-Moody李代数上.
Constructing the quantum queer supergroup using Hecke-Clifford superalgebras
本文通过标准化queer v-Schur超代数的自然基并引入长元素取极限的方法，显式构造了从量子queer超群到queer q-Schur超代数的超代数同态，并给出了量子queer超群的一种新构造。
This paper addresses the decomposition number problem for spin representations of symmetric groups in odd characteristic. Our main aim is to find a combinatorial formula for decomposition numbers in blocks of defect $2$, analogous to Richards's formula for defect $2$ blocks of symmetric groups. By developing a suitable analogue of the combinatorics used by Richards, we find a formula for the corresponding "$q$-decomposition numbers", i.e.\ the canonical basis coefficients in the level-$1$ $q$-deformed Fock space of type $A^{(2)}_{2n}$; a special case of a conjecture of Leclerc and Thibon asser…
A symmetric bilinear form on a certain subspace $\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$ of a completion of the Fock space $\mathbb T^{\bf b}$ is defined. The canonical and dual canonical bases of $\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$ are dual with respect to the bilinear form. As a consequence, the inversion formula connecting the coefficients of the canonical basis and that of the dual canonical basis of $\widehat{\mathbb T}^{\bf b}$ expanded in terms of the standard monomial basis of $\mathbb T^{\bf b}$ is obtained. Combining with the Brundan's algorithm for computing the elements in the canonical basis of $\…
On the computation of the canonical basis for irreducible highest weight $U_q (\mathfrak{gl}_{\infty})$-modules
本文提出了一种新的方法，用于计算不可约最高权 $U_q (\mathfrak{gl}_{\infty})$-模的 canonical basis，并将其应用于 Calogero-Moser 细胞特征标和 Ariki-Koike 代数的分解矩阵。
Approaching quantum queer supergroups using finite dimensional superalgebras (Preliminary version)
本文通过有限维queer q-Schur超代数将BLM的代数逼近方法推广到量子queer超群，建立了其新的代数实现。
Let ${\mathbf U}^-_q$ be the negative part of the quantized enveloping algebra associated to a Kac-Moody algebra ${\mathfrak g}$ of symmetric type, and $\underline{\mathbf U}^-_q$ the algebra corresponding to the orbit algebra ${\mathfrak g}^σ$ obtained from an admissible diagram automorphism $σ$ on ${\mathfrak g}$. Lusztig consructed the canonical basis ${\mathbf B}$ of ${\mathbf U}_q^-$ and the canonical signed basis $\underline{\widetilde{\mathbf B}}$ of $\underline{\mathbf U}_q^-$ by making use of the geometric theory of quivers. He proved that there is a natural bijection $\widetilde{\mat…
Notes: from dual canonical bases to triangular bases of quantum cluster algebras
本文证明任意可对称化 Kac–Moody 代数对应量子幺幂子群的对偶典范基即量子丛代数的公共三角基，并据此说明其包含所有量子丛单项式。
Canonical bases of the modified quantized enveloping algebras of type $A_{2}$
由Lusztig引入的修正的量子包络代数$\dot{\mathbf{U}}$具有一个显著的正则基.本文给出了$A_{2}$型的$\dot{\mathbf{U}}$的规范基的所有元素的显式描述。
For $\imath$quantum covering groups $(\mathbf{U}, \mathbf{U}^\imath)$ of super Kac-Moody type, we construct $\imath$-canonical bases for the highest weight integrable $\mathbf{U}$-modules and their tensor products regarded as $\mathbf{U}^\imath$-modules, as well as a canonical basis for the modified form of the $\imath$quantum group $\mathbf{U}^\imath$, using the $\imath^π$-divided powers, rank one canonical basis for $\mathbf{U}^\imath$.
We provide examples for negativity of structure constants of the stably canonical basis of modified quantum $\mathfrak{gl}_n$ and an analogous basis of modified quantum coideal algebra of $\mathfrak{gl}_n$. In contrast, we construct the canonical basis of the modified quantum coideal algebra of $\mathfrak{sl}_n$, establish the positivity of its structure constants, the positivity with respect to a geometric bilinear form as well as the positivity of its action on the tensor powers of the natural representation. The matrix coefficients of the transfer map on these Schur algebras with respect to…
A parameterization of the canonical bases of affine modified quantized enveloping algebras
对于可对称化的Kac-Moody李代数$\textbf{g}$，Lusztig在[12]中引入了修正的量子化包络代数$\dot{\textbf{U}}(\textbf{g})$及其标准基.本文对有限仿射型对称李代数$\textbf{g}$定义了一个只依赖于根范畴的集合，并证明了该集合与$\dot{\textbf{U}}(\textbf{g})$的标准基之间存在一个双射，其中根范畴是Dynkin或Tame的导出范畴的$T^2$ -轨道范畴.我们的方法基于Lin，Xiao和Zhang在[9]中的一个定理，该定理给出了$\textbf{U}^+(\textbf{g})$的PBW-基。
Given any symmetric Cartan datum, Lusztig has provided a pair of key lemmas to construct the perverse sheaves over the corresponding quiver and the functions of irreducible components over the corresponding preprojective algebra respectively. In the present article, we prove that these two inductive algorithms of Lusztig coincide. Consequently we can define two colored graphs and prove that they are isomorhic. This result finishes the statement that Lusztig's functions of irreducible components are basis of the enveloping algebra and deduces the crystal structure (in the sense of Kashiwara-Sai…
Positivity properties for canonical bases of modified quantum affine $\frak{sl}_n$
规范基的正性性质断言规范基的乘法的结构常数在${\mathbb N}[v,v^{-1}]$中。令$\mathbf U$是与对称Cartan数据相关的${\mathbb Q}(v)$上的量子群。Lusztig证明了${\mathbf U}$的正部分${\mathbf U}^+$的正性。他指出，正性属性适用于${\mathbf U}$的修改形式$\dot{\mathbf U}$。本文证明了$\dot{\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_n)$的正则基的结构常数与$n<N$的${\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_N)^+$的正则基的某些结构常数是一致的。特别地，$\dot{\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_n)$的阳性性质遵循${\mathbf U}(\widehat{\frak{sl}}_N)^+$的阳性性质。
iQuantum groups and iHopf algebras II: dual canonical bases
本文基于i霍普夫代数构建了任意有限类型i量子群的对偶canonical基，并解决了Berenstein-Greenstein的若干猜想。
Graded quiver varieties, quantum cluster algebras and dual canonical basis
受Nakajima以前工作的启发，我们考虑了非循环分次簇上的反常层，并从表示论的角度研究了Fourier-Sato-Deligne变换。我们得到了具有特定系数的非循环量子团簇代数的变形幺半群代数。特别是，（量子）正性猜想验证时，有一个非循环的种子（量子）集群代数。在本文的第二部分，我们引入了新的量子化，并证明了所有的量子簇单项式在我们的设置属于相应的量子幂幺子群的对偶正则基。这一结果推广了Lampe和Hernanel-Leclerc以前的工作，从Kronecker和Dynkin的情形推广到非循环情形。本文的傅里叶变换部分为第二作者的论文提供了重要的输入，他在论文中构造了具有任意系数和量化的非循环量子簇代数的基础。
Denote by $N \subset SL_k$ the subgroup of unipotent upper triangular matrices. In this paper, we show that the dual canonical basis of $\mathbb{C}[N]$ (and base affine spaces) can be parameterized by semi-standard Young tableaux. Moreover, we give an explicit formula for every element in the the dual canonical basis using the data of the corresponding semistandard Young tableau. We apply our results to study cluster variables in $\mathbb{C}[N]$.
Parametrizations of canonical bases and irreducible components of nilpotent varieties
已知幂零簇的不可约分支的集合提供了量子群的晶体基的几何实现。对于外尔群元素的每一个约化表达式，Geibel，Leclerc和Schröer最近在研究簇代数时给出了幂零簇的不可约分支的参数化.在本文中，我们表明，他们的参数化与Lusztig的正则基的参数化相吻合。
iCanonical basis arising from quasi-split rank one iquantum group
本研究计算了拟分裂秩一修正 iquantum 群的 icanonical 基，通过推导其与单项式基、标准化典范基间的显式转移矩阵实现，且这些基均可自然范畴化，转移矩阵源自量子 sl₃单有限维模上的对应结果。
We compare the canonical bases of level-$1$ quantised Fock spaces in affine types $A^{(1)}$ and $A^{(2)}$, showing how to derive the canonical basis in type $A^{(2)}_{2n}$ from the the canonical basis in type $A^{(1)}_n$ in certain weight spaces. In particular, we derive an explicit formula for the canonical basis in extremal weight spaces, which correspond to RoCK blocks of double covers of symmetric groups. In a forthcoming paper with Kleshchev and Morotti we will use this formula to find the decomposition numbers for RoCK blocks of double covers with abelian defect.
Canonical bases for Fock spaces and tensor products
我们将量子仿射代数$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_{n})$的Fock空间表示的规范基与其对$U_q(\mathfrak{sl}_{n})$的限制的规范基联系起来，后者被视为Lusztig意义上的基模。更一般地，我们考虑限制到任何抛物子代数。我们推出了正特征域上Schur代数的分解数和分支系数的结果，推广了Kleshchev和Tan及Teo的结果。
Monomial bases and canonical bases for quantum affine algebras
本文研究了量子仿射代数中单项基与规范基的构造方法，提出了一种基于PBW基的简单算法来计算规范基，并探讨了由此得到的规范基与Lusztig利用有向图几何构造的规范基之间的关系。
An Algebraic Characterization of the Affine Canonical Basis
有限维单李代数的量子化泛包络代数的标准基是由Lusztig引入的。主要的技术是明确的建设（通过辫群作用）的格在$\bz[q^{-1}]$。这使得代数特征的规范基础作为一个特定的酒吧不变的基础$\cl$。在这里，我们提出了一个类似的代数特征的仿射典型的基础。我们的建设是复杂的，需要引入基础元素，以跨越“的”非正规“的子代数，这是固定的仿射辫群。一旦基础被发现，我们构建一个PBW型的基础，其$\bz[q^{-1}]$ -跨度减少到一个“晶体”的基础，在$q=\infty,$与虚部由舒尔函数。
We construct a crystal basis for the negative half of the quantum group U associated to the standard super Cartan datum of gl(m|1), which is compatible with known crystals on Kac modules and simple modules. We show that these crystals admit globalization functions which produce compatible canonical bases. We then define a braid group action on a family of quantum groups including U, and use this action to show that our canonical basis agrees with those constructed from PBW bases. Finally, we explicitly compute some small-rank examples.
Dual canonical bases of quantum groups and $\imath$quantum groups II: geometry
本文通过两种不同方法证明了$\imath$量子群的双canonical基的等价性，并展示了其结构常数的正性和Braiding群作用的不变性。
Canonical Basis for Type $A_4$ (II)-Polynomial Elements in One Variable
在[2]中确定了$A_4$型量子化包络代数的标准基B中的全部62个单项元素。根据Lusztig的思想[7]，标准基B中的元素由单项式和单项式的线性组合组成（为了方便，我们称它们为多项式）。本文在我们的联合注记[2]的基础上，计算了$A_4$型量子包络代数的标准基B中一个变量的所有144个多项式元素.我们猜想在标准基B中还存在其它二元或三元多项式元，它们包括自变量和因变量。此外，还证明了在四元以上的标准基B中不存在多项式元
Product formulas for the cyclotomic v-Schur algebra and for the canonical bases of the Fock space
在我们以前的工作中，我们证明了与Ariki-Koike代数相关的分圆v-Schur代数的某些分解数的乘积公式. Yvonne证明了该代数的分解数可以用Uglov研究的高阶Fock空间的标准基来描述。本文证明了一个与Fock空间的标准基有关的乘积公式。鉴于Yvonne的猜想，这个公式被认为是我们以前公式的Fock空间的对应部分。
The exponential nature and positivity
本文利用Lusztig的初等方法构造了多参数量化矩阵的坐标代数基。这个构造在很大程度上依赖于一个反自同构，即杆作用。导出了杆作用的指数性质，从而提供了一种计算基元的归纳方法。通过将该基嵌入到Lusztig的$U_q(n^-)$的正则基的对偶基中，证明了Lusztig构造的$A$型修正量子包络代数的正则基的正性和正则基的正性.
On the geometric realization of the inner product and canonical basis for quantum affine $\mathfrak{sl}_n$
给出了$\hat{\mathfrak{sl}}_n$的修正量子群上的内积的几何解释.我们也给出了这个解释的一些应用，包括一个关于内积的正性结果和一个新的正则基的尺规作图法。
The goal of this work is to provide an elementary construction of the canonical basis $\mathbf B(w)$ in each quantum Schubert cell~$U_q(w)$ and to establish its invariance under modified Lusztig's symmetries. To that effect, we obtain a direct characterization of the upper global basis $\mathbf B^{up}$ in terms of a suitable bilinear form and show that $\mathbf B(w)$ is contained in $\mathbf B^{up}$ and its large part is preserved by modified Lusztig's symmetries.
Canonical bases of tensor products and positivity properties
本文研究了量子群对称类型下张量积的标准基，通过厚化实现方法，证明了张量积的过渡矩阵和结构常数与量子群负部分的结构常数有关，从而推导出标准基的正性性质。
Quiver varieties and dual canonical bases
本文综述了量子群和$\imath$量子群对偶规范基理论的最新进展，介绍了$\imath$有向图代数，并展示了其在ADE类型准分裂$\imath$量子群中的两种实现方式，同时解决了若干猜想。
We will give a representation-theoretic proof for the multiplication formula in the Ringel-Hall algebra ${\frak H}_Δ(n)$ of a cyclic quiver $Δ(n)$ given in \cite[Thm~4.5]{DuFu2015quantum}. As a first application, we see immediately the existence of Hall polynomials for cyclic quivers, a fact established in \cite{Guo1995hallpoly} and \cite{Ringel1993composition}, and derive a recursive formula to compute them. We will further use the formula and the construction of certain monomial base for ${\mathfrak H}_Δ(n)$ given in \cite{DengDuXiao2007generic}, together with the double Ringel--Hall algebra…
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