Coloring graphs of various maximum degree from random lists
设$G=G(n)$是一个顶点数为$n$的图，其度为$Δ=Δ(n)$。通过从大小为$σ= σ(n)$的颜色集$\mathcal{C}$的所有$k$ -子集中独立且均匀地随机选择每个列表，为$G$的每个顶点$v$分配颜色列表$L(v)$。这种列表分配称为\emph{random $(k,\mathcal{C})$-list assignment}。在本文中，我们感兴趣的是确定的渐近概率（$n \to \infty$）的存在一个适当的着色$φ$的$G$，使得$φ(v) \in L(v)$的$G$的每个顶点$v$，所谓的$L$ -着色。我们给出了$σ$的各种下界，根据$n$，$k$和$Δ$，这确保了概率趋于1作为$n \to \infty$有$L$ -着色的$G$。特别是，我们表明，对于所有固定的$k$和不断增长的$n$，如果$σ(n) = ω(n^{1/k^2} Δ^{1/k})$和$Δ=O\left(n^{\frac{k-1}{k(k^3+ 2k^2 - k +1)}}\right)$，那么概率$G$有$L$ -着色倾向于1作为$n \rightarrow \infty$。如果$k\geq 2$和$Δ= Ω(n^{1/2})$，则只要$σ=ω(Δ)$。当$k$是常数或$n$的严格增函数时，我们也给出了$Δ$的其他界的相关结果。
2017-01-03 cs.DM math.CO
An efficient implementation and a strengthening of Alon-Tarsi list coloring method
作为多项式方法在组合学中的第一个应用，Alon和Tarsi给出了一种方法来证明一个图是可选择的（从任何指定大小的列表中可着色）。我们描述了一种有效的方法来实现这种方法，使其可行的测试选择的图形与周围70边。我们还表明，在情况下，阿隆-塔尔西方法未能表明，该图是可选的，图多项式的进一步系数提供限制的列表分配，从该图不能着色。这通常使我们能够从一个给定的列表赋值中确认可着色性，或者通过测试几个列表赋值来决定可选择性。该实现可以在https://gitlab.mff.cuni.cz/dvorz9am/alon-tarsi-method上找到。
2023-01-16 cs.DM
Linear colorings of subcubic graphs
图的线性染色是图的顶点的适当染色，使得每对颜色类诱导不相交路的并。本文证明了：对于最大度不超过3的连通图，如果图的顶点被分配了一个4的列表，则存在一个线性染色，使得每个顶点的颜色都属于分配给该顶点的列表，并且每个2度顶点的邻居都有不同的颜色，除非图是$C_5$或$K_{3,3}$ .这证实了Esperet、Montassier和Raspaud提出的一个猜想。我们的证明是建设性的，并产生一个线性时间算法来找到这样的着色。
2013-02-23 cs.DM math.CO
Extremal Results on Conflict-free Coloring
本文研究图的无冲突开邻域与闭邻域着色的极值问题，围绕CFON和CFCN色数展开分析。
2025-11-09 cs.DM math.CO
$2$-distance list $(Δ+2)$-coloring of planar graphs with girth at least 10
给定一个图$G$和一个列表分配$L(v)$，每个顶点的$G$的$G$。$G$的适当$L$列表着色是将每个顶点映射到$L(v)$中的颜色的函数，使得没有相邻顶点对具有相同的颜色。我们说一个图是列表$k$ -可着色的，当每个顶点$v$都有一个大小至少为$k$的颜色列表。$2$距离着色是距离最大为2的顶点不能共享相同颜色的着色。证明了围长至少为$10$且度最大为$Δ\geq 4$的可平面图的$2$ -距离列表（$Δ+2$）-染色的存在性.
2021-09-29 cs.DM math.CO
The star and biclique coloring and choosability problems
图G的一个二部图是一个导出的完全二部图。G的星是包含在顶点的闭邻域中的一个双团。图G的一个星（biclique）k-染色是图G的一个k-染色，它不包含单色极大星（biclique）。类似地，对于G的列表分配L，星（biclique）L-染色是G的L-染色，其中没有极大星（biclique）是单色的。若G对每个k-列表赋值L都允许一个星（biclique）L-染色，则称G是星（biclique）k-可选的.本文研究了星形和双团染色问题的计算复杂性和可选性问题。特别地，我们证明了即使输入图不含诱导C_4或K_{k+2}，当k > 2时，星（biclique）k-染色和k-可选性问题也分别是n_2^p-完全和n_3^p-完全的.然后，我们在一些相关的图类中研究了所有这些问题，包括H-free图，限制菱形图，分裂图，阈值图和无网块图。
2012-11-17 cs.DM
Total Colourings - A survey
图的全色数色数是指给图中的元素（顶点和边）分配颜色以使其着色正确所需的最小整数$k$。Vizing和Behzed指出，可以使用最多$Δ(G)+2$颜色完成全部着色，其中$Δ(G)$是$G$的最大程度。甚至对于可平面图也没有解决。本文对图的全染色进行了综述。
2018-12-14 cs.DM math.CO
On Orthogonal Vector Edge Coloring
给定图$G$和正整数$d$，$G$的正交向量$d$ -着色是$\mathbb{R}^d$的向量到$V(G)$的指派$f$，以使得相邻顶点接收正交向量。$G$的正交色数，记为$χ_v(G)$，是$G$允许正交向量$d$ -着色的最小$d$。这个概念与洛瓦兹θ函数、量子色数和许多其他问题的概念有着密切的联系，尽管这个和相关的度量多年来已经被广泛研究，但我们发现关于这个问题的边缘版本的知识存在差距。在本文中，我们讨论了这个版本及其与其他有趣的已知事实的关系，并提出了一个关于三次图的正交色指数的问题。
2019-09-04 cs.DM math.CO
Generalized DP-colorings of digraphs
本文将有向图的广义染色、变量退化与DP-染色三种概念统一结合，推广了Brooks、Gallai等经典图染色定理及Harutyunyan和Mohar的有向图对应结果，主要贡献是给出有向图DP-染色与变量退化的综合框架。
2025-09-22 cs.DM math.CO
Total coloring of 1-toroidal graphs of maximum degree at least 11 and no adjacent triangles
图$G$的{ \em全着色}是对$G$的顶点和边的颜色分配，使得每对相邻/关联元素接收不同的颜色。图$G$的{ \em色数}，记为$\chiup''(G)$，是图$G$的全色中的最小颜色数。著名的全染色猜想（TCC）指出，每个具有最大度$Δ$的图都允许至多有$Δ+ 2$色的全染色.一个图是{ \em $1$ -toroidal}，如果它可以画在环面上，使得每条边至多与另一条边相交。本文研究了$1$ -环面图的全染色问题，证明了对于最大度至少为~ $11$且三角形有一定限制的$1$ -环面图，TCC是成立的.因此，如果$G$是一个$1$ -环形图，其最大度$Δ$至少为~ $11$且没有相邻三角形，则$G$允许至多有$Δ+ 2$色的全染色。
2018-11-18 cs.DM math.CO
Upper bounds on the average number of colors in the non-equivalent colorings of a graph
该研究围绕图的非等价着色平均颜色数问题，给出了适用于所有图的通用上界，还针对阶数n、最大度为1、2或n-2的图推导了更精确的上界，丰富了图着色理论相关结论。
2021-05-03 cs.DM math.CO
5-list-coloring planar graphs with distant precolored vertices
我们积极回答的问题，艾伯森问是否每个可平面图可以$5$列表着色，即使它包含预着色的顶点，只要他们足够远离对方。为了证明这一点，我们也给出了关于5-列表着色临界图的大小的界。特别地，如果G是一个可平面图，H是G的一个连通子图，L是G的顶点的颜色列表的赋值，使得|L（v）|若对V（G）-V（H）中的任意v>= 5且G不是L-可着色的，则G中有一个顶点数为O（|H| ^2）的子图不是L-可着色的.
2016-02-03 cs.DM math.CO
Every planar graph with $Δ\geqslant 8$ is totally $(Δ+2)$-choosable
全着色是边着色的一个变体，其中顶点和边都要着色。一个图是完全$k$ -可选的，如果对每个顶点和每个边的$k$颜色的任意列表分配，我们都能提取一个适当的全染色.在此设置中，最大程度$Δ$的图形至少需要$Δ+1$颜色。在平面的情况下，Borodin在1989年证明了当$Δ$至少为9时，$Δ+2$颜色就足够了。我们发现，这个界限也持有时，$Δ$是$8$。
2022-12-09 cs.DM math.CO
Single-conflict colorings of degenerate graphs
Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）
退化图的单冲突着色问题通过证明在特定条件下，使用$O(\sqrt{d} \log n)$种颜色即可避免所有禁止颜色对。
2025-01-29 cs.DM math.CO
New results on the robust coloring problem
本文针对鲁棒着色问题提出新方法，首次给出一般图的非启发式结果，证明其更接近均衡划分，并解决两色情形的NP完全性及相关猜想。
2023-05-16 cs.DM math.CO
Multigraph edge-coloring with local list sizes
该研究提出了带列表指派的多重图局部边着色变体，推导了构造该着色的函数f的充分条件，得到Vizing与Shannon定理的局部类似结果，重现了已有研究成果。
2025-01-15 cs.DM math.CO
Conflict-Free Coloring on Open Neighborhoods
在无向图中，无冲突着色（相对于开邻域）是对图$G$的顶点的颜色分配，使得$G$中的每个顶点在其开邻域中具有唯一着色的顶点。无冲突着色问题要求找到无冲突着色所需的最小颜色数。无冲突着色问题是NP完全的。Abel et. [SODA 2017]，可以推断每个平面图都有最多9种颜色的无冲突着色。由于平面图最著名的下界是四色，在同一篇论文中有人问，如果更少的颜色就足够了。我们在回答这个问题上取得了进展，证明了每个平面图最多可以用六种颜色着色。同样的证明思想被用来证明每一个外平面图可以用最多五种颜色着色。使用不同的方法，我们进一步表明，每一个outerplanar图可以着色使用最多四种颜色。最后，我们研究了Kneser图上的问题。我们证明了当$n\geq k(k+1)^2 + 1$满足一定条件时，$k+2$着色是对Kneser图$K(n,k)$着色的充分必要条件.
2019-10-02 cs.DM math.CO
List-coloring apex-minor-free graphs
一个图H是t-顶点的，如果对于V（H）的某个大小为t的子集X，H-X是平面的.对于任意的整数t>=0和固定的t-顶点图H，我们给出了一个多项式时间算法来判定一个（t+3）-连通的无H-子图是否可着色.连通性要求是最好的，即对每个t>=1，存在一个t-顶点图H，使得检验（t+2）-连通无H-minor-free图的（t+4）-可染性是NP-完全的.类似地，列表的大小不能减少（除非P=NP），因为对于每个t>=1，测试（t +3）-连通K_{t+4} -minor-free图的（t+3）-列表可着色性是NP-完全的。
2016-12-26 cs.DM math.CO
Flexibility of Planar Graphs -- Sharpening the Tools to Get Lists of Size Four
如果存在适当的着色使得$v$的颜色在每个$v$的$L(v)$中，则每个顶点$v$具有可用颜色的列表$L(v)$的图是$L$可着色的。一个图是$k$ -可选的，如果每个顶点的至少$k$颜色的$L$赋值保证了一个$L$ -着色.给定列表分配$L$，顶点$v$的$L$ -请求是颜色$c\in L(v)$。在本文中，我们研究了广泛研究的一类预着色扩张问题的一个变体[Z。德沃夏克湾Norin和L. Postle：用请求列表着色。J. Graph Theory 2019]，其中必须满足所请求的预色集合中的“足够的”而不是全部。如果对于任何$k$ -列表分配$L$和$L$ -请求的任何集合$S$，存在满足$S$中请求的$\varepsilon$ -分数的$G$的$L$ -着色，则图$G$对于列表大小$k$是$\varepsilon$ -灵活的.本文证明了平面图对列表大小$5$是$\varepsilon$ -柔性的，但只对列表大小$6$和平面图的某些子类证明了这一点.我们给出了一个更强的版本的主要工具中使用的上述结果的证明。通过这样做，我们改进Masaík的结果，并表明，平面图没有$K_4^-$是$\varepsilon$ -灵活的列表大小$5$。我们还证明了不含$4$ -圈且$3$ -圈距离至少为2的平面图对于列表大小$4$是$\varepsilon$ -柔性的。最后，我们介绍了一种新的（稍微弱…
2020-07-08 cs.DM math.CO
On the Span of $l$ Distance Coloring of Infinite Hexagonal Grid
对于图$G(V,E)$和$l \in \mathbb{N}$，$l$距离着色是$V$的着色$f: V \to \{1, 2, \cdots, n\}$，使得当$d(u,v) \leq l$时$\forall u,\;v \in V,\; u\neq v,\; f(u)\neq f(v)$。这里，$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离，并且等于$G$中连接$u$和$v$的边的最小数目。$G$的$l$距离染色的跨度$λ^{l}(G)$是$G$的所有$l$距离染色中的最小$n$。蜂窝网络中的一类信道分配问题可以表示为规则网格图中的距离图着色问题。蜂窝网络通常被建模为无限六边形网格$T_H$，因此从实际的观点来看，确定$λ^{l}(T_H)$具有相关性。Jacko和Jendrol [Discussiones Mathematicae Graph Theory，$2005$ ]确定了$λ^{l}(T_H)$对于任何奇数$l$和偶数$l \geq 8$的精确值，证明了$λ^{l}(T_H) = \left[ \dfrac{3}{8} \left( \, l+\dfrac{4}{3} \right) ^2 \right]$（其中$[x]$是整数）、$x\in \mathbb{R}$和$x-\dfrac{1}{2} < [x] \leq x+\dfrac{1}{2}$。对于$l=8$，该猜想已…
2022-06-20 cs.DM math.CO
An Exact Algorithm for the Generalized List $T$-Coloring Problem
广义列表$T$ -着色是许多图着色模型的通用推广，包括经典着色、$L(p,q)$ -标号、信道分配和$T$ -着色.输入图中的每个顶点都有一个允许标签列表。此外，每条边都有一组禁止的差异。我们要求输入图的顶点用自然数标记，其中每个顶点从其允许的标签列表中获得标签，并且每个边的端点的标签差不属于该边的禁止差集。在本文中，我们提出了一个精确的算法来解决这个问题，运行在时间$\mathcal{O}^*((τ+2)^n)$，其中$τ$是最大禁止差的所有边的输入图和$n$是它的顶点数。此外，我们展示了如何提高这个界，如果输入图有一些特殊的结构，例如有界的最大程度，没有大的诱导星或完美匹配。
2013-12-02 cs.DM cs.DS math.CO
Fast algorithm for $S$-packing coloring of Halin graphs
School of Mathematics and Statistics, Xidian University（西安电子科技大学数学与统计学院）
本文提出了一种线性时间算法，为最大度数不超过5的Halin图构造(1,1,2,2,2)-打包着色，解决了该类图的打包着色问题。
2025-12-28 cs.DM math.CO
Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs
图$G$的单射$k$ -边着色是将颜色（即$\{1, \ldots , k\}$中的整数）分配给$G$的边，使得每个与第三条边的一个不同端点关联的任何两条边接收不同的颜色。确定这种$k$ -着色是否存在的问题称为k-内射边着色。我们证明了3-内射边染色是NP-完全的，即使对于无三角形的三次图、任意大围长的平面次三次图和围长为6的平面二部次三次图也是如此。4-对于三次图，内射边染色是NP-完全的。对于任何$k\geq 45$，我们证明了k-内射边着色保持NP-完全，即使是最大度至多$5\sqrt{3k}$的图。与这些否定的结果相反，我们证明了\InjPbName{k}是线性时间有界树宽图上可解的。此外，我们证明了围长至少为~16的所有平面二部次三图都是$3$ -边可注入着色的。此外，任何最大度至多为$\sqrt{k/2}$的图都是$k$ -边可注入着色的.
2021-04-16 cs.DM cs.DS math.CO
Flexible List Colorings in Graphs with Special Degeneracy Conditions
该研究针对几类满足特殊退化条件的图，系统探讨了灵活列表着色问题，刻画了相关图类的灵活可选性，提出灵活退化新概念并证明了3-连通非正则图的相关性质，解决了领域内两个公开问题。
2021-01-25 cs.DM math.CO
Minimum order of graphs with given coloring parameters
一个图$G=(V,E)$的完全$k$ -着色是指给顶点分配$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$颜色，使得没有两个相同颜色的顶点相邻，并且任何两个颜色类的并集至少包含一条边。与完全着色相关的三个广泛研究的图不变量是完全着色中的最小和最大颜色数（分别为色数$χ(G)$和消色差数$ψ(G)$），以及Grundy数$Γ(G)$，其被定义为最大的$k$，该最大的$k$允许具有精确的$k$颜色的完全着色$φ$，使得颜色$φ(v)$的每个顶点$v\in V$对于所有$1\le i<φ(v)$都具有颜色$i$的邻居。不等式链$χ(G)\le Γ(G)\le ψ(G)$显然对所有图$G$都成立。一个至少为2的正整数三元组$(f,g,h)$称为可实现的，如果存在一个连通图$G$，其中有$χ(G)=f$，$Γ(G)=g$和$ψ(G)=h$ . Chartrand et al.（A note on graphs with prescribed complete coloring numbers，J. Combin.数学。组合。Comput. LXXIII（2010）77-84）找到了可实现的三元组列表。本文确定了具有色数$f$、Grundy数$g$和无色数$h$的连通图的最小顶点数，对所有可实现的整数三元组$(f,g,h)$.此外，对于$f=g=3$，我们描述了每个$h \geq 6$的（两个）极…
2013-12-29 cs.DM math.CO
Order 14 is the largest order for which every 4-total coloring of every cubic graph is equitable
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）；Universidade do Estado do Rio de Janeiro（里约热内卢州立大学）
本文否定Stemock关于阶数小于20的立方图的4-全着色均为均匀着色的猜想，证明14是满足该性质的最大阶数，给出相关分解引理并构造反例。
2026-09-07 cs.DM math.CO
Approximate and exact results for the harmonious chromatic number
图着色是图论中的一个基本主题，它需要在各种约束条件下为顶点或边分配标签（或颜色）。研究了图的调和染色，它是一种适当的顶点染色，使得对于每两种不同的颜色i，j，至多有一对相邻顶点被i和j染色.这种染色是边可区别的，在交通网络，计算机网络，航空网络系统中有潜在的应用.在本文中提出的结果分为两类：在第一部分的文件，我们关注的是计算方面找到一个最小的和谐着色，在第二部分中，我们确定的确切值的和谐色数为某些特定的图形和类的图形。更确切地说，在第一部分中，我们发现，找到一个最小的和谐染色的任意图是APX-困难的，自然贪心算法是一个$Ω(\sqrt{n})$ -近似，而且，我们显示的顶点覆盖和和谐色数之间的关系。在第二部分中，我们确定了直径为3的所有3-正则平面图、某些非平面正则图和圈相关图的调和色数的精确值。
2021-06-01 cs.DM math.CO
A Coloring Algorithm for Disambiguating Graph and Map Drawings
绘制非平面图总是会导致边交叉。当有许多以小角度交叉的边缘时，通常很难跟随这些边缘，因为交叉导致的多个视觉路径减慢了眼睛的运动。在本文中，我们提出了一种算法，消除歧义的边缘与自动选择的独特的颜色。我们提出的算法计算一个接近最佳的颜色分配的双重碰撞图，使用一种新的分支定界过程应用到空间分解的色域。我们给出的例子表明这种方法在澄清现实世界的图形和地图的图纸的有效性。
2014-09-01 cs.DM
Notes on complexity of packing coloring
图$G=(V,E)$的某个整数$k$的填充$k$ -染色是一个映射$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$，使得颜色为$φ(u)=φ(v)$的任何两个顶点$u, v$的距离至少为$φ(u)+1$。这个概念是由频率分配问题激发的。$G$的\emph{packing chromatic number}是最小的$k$，使得存在$G$的填充$k$ -着色. Fiala和Golovach表明，确定弦图的填充色数是\NP -完全的直径正好为5。虽然这个问题很容易解决直径2，我们显示\NP -完整的任何直径至少3。我们的约化还表明，对于任何$\varepsilon > 0$，填充色数都很难在$n^{{1/2}-\varepsilon}$内近似。此外，我们设计了一个有界直径区间图的\FPT算法。这导致我们探索的问题，找到一个部分着色，最大限度地增加着色顶点的数量。
2017-12-22 cs.CC cs.DM math.CO
Acyclic orientations with path constraints
许多著名的组合优化问题都可以在无向图的无圈方向集上描述。例如，具有一定直径约束的非循环方向与顶点着色和频率分配问题的最优解密切相关。在本文中，我们介绍了一个线性规划制定的非循环方向的路径约束，并讨论其使用的解决方案的顶点着色问题和一些版本的频率分配问题。的多面体与制定的研究，包括证明哪些约束的制定方面的定义和引入新的类的有效的不等式。
2005-10-21 cs.DM
Strengthened Partial-Ordering Based ILP Models for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题要求给定图的顶点可以被分配的颜色的最小数量，使得每两个相邻的顶点得到不同的颜色。对于这个NP难问题，已经提出了各种整数线性规划（ILP）模型。其中，基于分配和基于偏序的ILP模型由于其简单性和易扩展性而备受关注。此外，在稀疏图上，这两种模型被证明是解决顶点着色问题的最强精确方法之一。在这项工作中，我们提出了额外的加强约束的偏序为基础的ILP模型，并表明，它们导致相应的LP松弛的下界改善。我们的计算实验证实，新的约束也导致实际的改进。特别是，我们能够找到最佳的解决方案，以前开放的实例，从DIMACS基准集的顶点着色问题
2022-06-28 cs.DM
The List Coloring Reconfiguration Problem for Bounded Pathwidth Graphs
我们研究的问题，一个列表（顶点）着色的一个图转换成另一个列表着色的时间只改变一个顶点的颜色分配，而在任何时候都保持列表着色，给定一个列表允许的颜色为每个顶点。这个问题是已知的PSPACE-完全的二部平面图。在本文中，我们首先表明，问题仍然是PSPACE-完全的，即使是二部系列平行图，形成一个适当的子类的二部平面图。我们注意到，我们的约简确实显示了路径宽度为2的图的PSPACE-完全性，并且它可以扩展到阈值图。相反，我们给出了一个多项式时间算法来解决这个问题的图的路径宽度为1。因此，本文给出了精确的分析问题的路径宽度。
2014-07-16 cs.DM cs.DS
Hamiltonian chromatic number of block graphs
设$G$是阶为$n$的简单连通图.图$G$的哈密尔顿着色$c$是对$G$的顶点的颜色（非负整数）的分配，使得对于$G$的每两个不同的顶点$u$和$v$，$D(u, v)$ + $|c(u) - c(v)|$ $\geq$ $n - 1$，其中$D(u, v)$表示$G$中$u$和$v$之间的迂回距离，其是$u$和$v$之间的最长路径的长度。哈密顿着色$c$的值\emph{hc(c)}是分配给$G$的顶点的最大颜色。用$hc(G)$表示的哈密顿色数是对$G$的所有哈密顿着色$c$取的min\{ $hc(c)$ \}。本文给出了块图的Hamilton色数达到下界的一个充要条件，该条件在[定理1，关于块图的Hamilton着色，见：Kaykobad，M.，彼得雷奇河，（eds.）WALCOM：Algorithms and Computation，LNCS：9627，28-39，2016]。给出了一类特殊的块图，即$SDB(p/2)$块图的最优Hamilton染色的算法。我们刻画水平明智的定期块图和扩展星的块实现这个下界。
2019-01-17 cs.DM math.CO
Nonrepetitive choice number of trees
路径的非重复着色是指其顶点的着色，使得沿着路径的颜色序列不包含两个相同的连续块。图厄的非凡构造断言，3种颜色足以为任何长度的非重复路径着色。一个图的非重复着色是指它的顶点的着色，使得所有的简单路都是非重复着色的。假设图$G$的每个顶点$v$已经分配了颜色集合（列表）$L_v$。如果每个$v$的颜色属于$L_v$，则从$\{L_v\}_{v\in V(G)}$中选择颜色。由$π_l(G)$表示的$G$的Thue选择数是最小$k$，使得对于$G$与每个$|L_v|\geq k$的任何列表分配$\set{L_v}$，存在从$\{L_v\}$中选择的$G$的非重复着色。Alon等人（2002）证明了对于每个图$G$，最大度至多为$Δ$，则$π_l(G)=O(Δ^2)$。我们提出了一个几乎线性界的$Δ$的树，即对于任何$\epsi>0$有一个常数$c$，使$π_l(T)\leq cΔ^{1+\epsi}$的每棵树$T$最大程度$Δ$。树的唯一下界由Fiorenzi等人（2011）的最近结果给出，对于任何$Δ$，存在树$T$使得$π_l(T)=Ω(\frac{\logΔ}{\log\logΔ})$。我们还表明，如果一个允许重复的着色，但仍然禁止3相同的连续块的颜色在任何简单的路径，然后一个恒定的大小的列表允许颜色的任何树。
2012-07-21 cs.DM math.CO
On List k-Coloring Convex Bipartite Graphs
列表k-着色（Li k-Col）是一个判定问题，它询问给定的图是否允许一个与给定的列表分配相容的适当着色，其顶点的颜色在{1，2，. k}。已知该问题是NP-困难的，即使对于k=3的3-正则平面二部图类和对于k=4的弦二部图类。2015年，Huang，Johnson和Paulusma在弦二部图类中要求Li 3-Col的复杂性。在本文中，我们给出了一个部分的答案，这个问题表明，李k-Col是多项式的凸二部图类。我们首先证明了双凸二部图允许多链序，扩展了Enright，Stewart和Tardos（2014）的多项式算法可以应用于该问题的图类。本文提出了一个求解凸二部图类中李k-圈的动态规划算法。最后，我们展示了如何修改我们的算法，以解决更一般的李H-Col问题的凸二部图。
2020-02-07 cs.CC cs.DM math.CO
Precoloring co-Meyniel graphs
给定一个图$G$和一个已经分配了一些颜色的节点子集，预着色扩展问题在于找到$G$的着色，该着色具有尊重预着色分配的最小颜色数。这可以归结为一般的收缩图的着色问题。证明了Meyniel图的补图的预着色扩张是多项式的。我们回答了Hujter和Tuza的一个问题，证明了“PrExt完美”图就是co-Meyniel图，这也推广了Hujter和Tuza以及Hertz的结果.此外，我们表明，给定一个co-Meyniel图，相应的收缩图属于一个限制类的完美图（“co-Artemis”图，这是“co-perfectly contractile”图），其完美性比强完美图定理更容易建立。然而，我们的算法的多项式性仍然依赖于椭球方法着色完美图。
2005-09-02 cs.DM
Degree-Based Logical Adjacency Checking (DBLAC): A Novel Heuristic for Vertex Coloring
Indian Institute of Technology (IIT), Patna（印度理工学院巴特那分校）
本文提出基于度的逻辑邻接检查（DBLAC）启发式算法，利用逻辑与运算优化顶点着色，理论分析复杂度并在基准图上实验，与DSATUR和RLF相比在颜色数和运行时间上具有竞争力。
2025-01-21 cs.AI cs.DM
On the Parameterized Complexity of the Maximum Edge Coloring Problem
我们研究了无线网络中的信道分配问题所引发的边着色问题的参数化复杂性。对于一个整数q>1和一个图G，目标是找到一个具有最大颜色数的图G的边的着色，使得图的每个顶点最多看到q种颜色。这个问题对于q>1是NP难的，并且已经从近似的角度得到了很好的研究。我们主要关注的是q=2的情况，这在理论上已经很复杂，而且与实际相关。我们展示了固定参数易于处理的算法的标准和双参数，并为后者的问题，结果是基于一个线性顶点核。
2013-06-12 cs.DM cs.DS
The potential to improve the choice: list conflict-free coloring for geometric hypergraphs
给定一个几何超图（或范围空间）$H=(V,\cal E)$，如果对于每个超边$S \in \cal E$，$S$中至少有一个顶点的颜色不同于$S$中所有其他顶点的颜色，则称其顶点的着色是无冲突的。这个概念的研究是由无线网络中的频率分配问题。我们研究这个概念的列表着色（或选择）版本。在这个版本中，每个顶点都与一组（可接受的）颜色相关联，并且只允许使用其集合中的颜色进行着色。列表着色在无线网络环境中自然出现。我们的主要结果是一个列表着色算法的基础上一个新的潜在的方法。该算法产生更强的唯一最大着色，其中颜色是正整数，并且每个超边的最大颜色唯一出现。作为一个推论，我们为许多几何超图（例如，平面中的盘或伪盘或相对于盘的点）。此外，我们提供了一个算法，这样，给定一个家庭的列表具有适当的大小，计算这样的着色从这些列表。
2010-12-12 cs.CG cs.DM cs.DS
Distance-Two Colorings of Barnette Graphs
巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。
2018-07-04 cs.CG cs.DM math.CO
Total Coloring and Total Matching: Polyhedra and Facets
图的全染色$G = (V, E)$是指给顶点和边分配颜色，使得两个相邻的顶点和两个关联的边都不具有相同的颜色，并且对于每条边，端点和边本身具有不同的颜色。任何有效的全染色都将$G$的元素划分为全匹配，全匹配被定义为可以采用相同颜色的顶点和边的子集。本文提出了全染色和全匹配问题的双线性规划模型，并研究了相应的线性规划松弛的强度。全染色问题的公式化的问题，找到最小数量的全匹配，覆盖所有的图元素。这个覆盖公式可以通过列生成算法来求解，其中定价子问题对应于加权总匹配问题。因此，我们研究全匹配多面体。我们引入了三类非平凡有效不等式：基于稳定集多面体的标准团不等式的顶点团不等式，基于由圈诱导的顶点集奇偶性的全等$2k3$圈不等式，以及由偶数阶完全子图诱导的偶数团不等式.证明了同余$2k3$循环不等式只有当$k = 4$满足时才是面定义的，而顶点团和偶团总是面定义的.最后，我们提出了一个列生成算法的全着色问题和全匹配问题的切割平面算法的初步计算结果。
2022-02-02 cs.DM math.CO math.OC
Optimal k-fold colorings of webs and antiwebs
图的k重x染色是指从集合{1，2，.，x}，使得任何两个相邻顶点被分配不相交的颜色集合。使得G允许k重x染色的最小数x是G的第k色数，记为χ_k（G）。当G是网或反网时，我们确定了这个参数的精确值。我们的结果推广了已知的奇圈的相应结果，并基于团、分数色数和色数给出了χ k（G）达到上、下界的充分必要条件.此外，我们将χ-临界图的概念推广到χ_k-临界图。我们识别具有这种性质的网和反网，对于每个整数k <= 1。
2011-08-29 cs.DM
Flexibility of triangle-free planar graphs
设G是一个具有列表赋值L的可平面图。假设为某些顶点给定了首选颜色。我们证明了，如果G是三角免费的，所有的列表的大小至少为4，那么存在一个L-染色尊重至少一个常数部分的喜好。
2019-02-08 cs.DM math.CO
A memetic algorithm for the minimum sum coloring problem
给定一个无向图$G$，最小和着色问题（MSCP）是为$G$的每个顶点找到一个合法的颜色分配（用自然数表示），使得分配给顶点的颜色总和最小。提出了一种基于禁忌搜索和多亲交叉算子的多亲协作学习算法。在77个著名的DIMACS和COLOR 2002-2004标准测试实例上的实验表明，该算法与现有的5种算法相比，具有很强的竞争力。特别是，该算法可以改善最好的已知结果的17个实例。我们还首次提供了18个额外实例的上限。
2013-04-09 cs.DM cs.DS
SAT Encoding of Partial Ordering Models for Graph Coloring Problems
Department of Computer Science, University of Bonn（波恩大学计算机科学系）；Adesso SE（Adesso公司）
该研究提出图着色问题与带宽着色问题的基于偏序的新型SAT编码，经理论与实验验证，该编码在稀疏图和部分基准实例上性能优于现有最优方法，还首次求解了多个带宽着色问题的公开未解决实例。
2024-08-14 cs.AI cs.DM cs.DS
Complexity of Reconfiguration Problems for Constraint Satisfaction
约束满足问题（CSP）是一个被广泛研究的组合搜索问题，它要求我们找到一个给定变量的赋值，以满足所有给定的约束。我们研究了一个重新配置的变种CSP，在其中，我们给出了一个实例的CSP连同其两个满意的分配，并要求确定是否可以通过改变一个单一的变量分配的时间，同时始终保持满意的分配转化为其他分配。该问题推广了布尔可满足重构、顶点着色重构、同态重构等重构问题。本文从多项式时间可解性和参数化复杂性的角度研究了这一问题，并给出了几种有趣的易处理和难处理情形的边界。
2018-12-27 cs.DM cs.DS
The Complexity of (List) Edge-Coloring Reconfiguration Problem
设$G$是一个图，使得每条边都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。假设我们给出$G$的两个列表边着色$f_0$和$f_r$，并询问在$f_0$和$f_r$之间是否存在$G$的列表边着色序列，使得每个列表边着色可以通过改变恰好一个边的颜色分配从前一个列表边着色获得。这个问题对于每个整数$k \ge 6$和最大度为3的平面图都是PSPACE完全的，但是对于非列表变体，任何复杂性硬度都是未知的。在本文中，我们首先改进了已知的结果，证明了，对于每一个整数$k \ge 4$，即使输入图是平面的，有界带宽，最大度为3的问题仍然是PSPACE完全的。然后，我们给出了第一个复杂性硬度结果的非列表变体：对于每一个整数$k \ge 5$，我们证明了非列表变体是PSPACE-完全的，即使输入图是平面的，带宽线性的$k$，和最大程度的$k$。
2016-09-01 cs.CC cs.DM
Fixed parameter complexity of distance constrained labeling and uniform channel assignment problems
从固定参数易处理性的角度研究了一类距离约束图标号问题的计算复杂性。研究的参数是邻域多样性和团宽度。我们重新措辞的距离约束图标记问题的信道分配问题的一个特定的统一的变种，并表明，这个问题是固定参数听话时，参数化的邻域多样性与最大的权重。因此，每个$L(p_1, p_2, \dots, p_k)$ -标记问题是FPT时，参数化的邻域多样性，最大$p_i$和$k.$我们的结果也产生FPT算法的所有$L(p_1, p_2, \dots, p_k)$ -标记问题时，参数化的最小顶点覆盖的大小，回答一个开放的问题Fiala等人：着色问题的参数化复杂性：树宽与顶点覆盖。当最大权重附加地包括在参数中时，相同的结果适用于信道分配。最后，我们表明，统一的信道分配问题的变种成为NP-完全时，推广到有界集团宽度的图形。
2015-12-03 cs.DM
Parameterized Complexity of the List Coloring Reconfiguration Problem with Graph Parameters
设$G$是一个图，使得每个顶点都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。对于两个给定的列表着色的$G$，我们研究的问题转化为其他的一次只改变一个顶点的颜色分配，而在任何时候都保持一个列表着色。这个问题是已知的PSPACE完全的，即使有界带宽图和一个固定的常数$k$。在本文中，我们研究了固定参数的易处理性的问题时，参数的多个图参数。我们首先给出了一个固定参数算法的问题时，参数为$k$和输入图的模宽度。接下来，我们给出了一个固定参数的算法时，最短的变量参数为$k$和输入图的最小顶点覆盖的大小。作为推论，我们证明了问题的cographs和分裂图的最短的变种是固定参数听话，即使只有$k$作为一个参数。另一方面，我们证明了当仅由输入图的最小顶点覆盖的大小参数化时，该问题是W[1]-困难的。
2017-05-22 cs.DM cs.DS
A O(n^8) X O(n^7) Linear Programming Model of the Quadratic Assignment Problem
本文已被撤回，因为定理21和推论22是错误的;建模思想是可以的，但它需要9维变量，而不是符号6.9中定义的8维变量。正确模型（具有9个指数变量）的例子是：（1）Diaby，M.，“线性规划公式化的集合划分问题”，国际运筹学杂志8：4（2010年8月），pp。399-427;（2）Diaby，M.，“Linear Programming Formulation of the Vertex Coloring Problem，”International Journal of Mathematics in Operational Research 2：3（May 2010）pp. 259-289;（3）Diaby，M.，“The Traveling Salesman Problem：A Linear Programming Formulation，”WSEAS Transactions on Mathematics，6：6（June 2007）pp. 745-754.
2014-03-18 cs.CC cs.DM
On the Ramsey Numbers for Bipartite Multigraphs
完全二部图的着色是混洗保持的，如果是这样的情况，即向边$(u, v)$和$(u', v')$分配颜色$c$强制对边$(u, v')$和$(u',v)$进行相同的颜色分配。(In换句话说，关于颜色$c$的导出子图是完全的。）在本文中，我们研究一类完全二部多重图的Ramsey问题的一个变种。(By多重图是指允许有多条边但不允许有环的图。与Ramsey理论中的传统m-着色方案不同，该方案施加了一个约束（即，$m$）的总数量的颜色允许在一个图中，我们引入了一个宽松的版本称为m-局部着色，它只需要，对于每个顶点$v$，与$v$的事件边的颜色的数量是有界的$m$。请注意，$m$ -局部着色下的图中找到的颜色数量可能超过m。我们证明了，给定任何$n \times n$完全二部多重图$G$，每个洗牌保持$m$ -局部着色显示$K_{p,p}$的单色副本，只要$2(p-1)(m-1) < n$。此外，当（i）$m=2$，或（ii）$n=2^k$和$m=3\cdot 2^{k-2}$对于每个整数$k\geq 2$时，上述界是紧的。对于$p$的下界，我们证明了如果$p> \lceil \frac{n}{m} \rceil$，则不能保证单色$K_{p,p}$的存在。最后，我们给出了$k$ -部图的一个推广和一个适用于一般图的方法. $m$ -局部着色中的许多结论可以推广到$m$ -着色中类似的结果.
2003-05-12 cs.DM
The Parameterized Complexity of Vertex-Coloring Edge-Weighting
Department of Computer Science and Engineering, IIT Hyderabad（印度理工学院海德拉巴分校计算机科学与工程系）；School of Computer Science, University of Leads（利兹大学计算机学院）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
研究了顶点着色{0,1}边加权问题及其推广问题的参数复杂性，证明了在不同结构参数下该问题的难解性和可解性，发现反馈顶点集参数下问题W[1]-难，而顶点覆盖集参数下问题可解，树宽参数下问题有XP算法。
2026-04-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Utilitarian Welfare Optimization in the Generalized Vertex Coloring Games: An Implication to Venue Selection in Events Planning
研究网络中广义顶点着色博弈的去中心化功利福利最大化问题，提出了基于Metropolis-Hasting的贪婪策略及鲁棒着色优化算法，证明了其在异步设置下的最优性，并通过模拟验证了高效性。
2023-09-16 cs.DM cs.GT cs.SI
