Sum Coloring : New upper bounds for the chromatic strength
最小和着色问题（MSCP）是从图着色问题（GCP）通过将权重与每种颜色相关联而导出的。MSCP的目标是找到一个图的着色解决方案，使得颜色权重之和最小。MSCP在调度和VLSI设计等领域有着重要的应用。在本文中，我们提出了新的上界的色强度，即最小数量的颜色在MSCP的最佳解决方案，基于抽象的所有可能的着色称为图案。在标准基准测试上的实验结果表明，我们的新边界比以前的边界显着更紧，在解决MSCP时，允许大幅减少搜索空间。
2016-09-09 cs.DM
Minimum Entropy Combinatorial Optimization Problems
本文综述了以离散分布的熵为目标函数的组合优化问题的最新研究成果。这些问题包括最小熵集覆盖、最小熵定向和最小熵着色问题。
2010-08-17 cs.DM cs.DS
Minimum order of graphs with given coloring parameters
一个图$G=(V,E)$的完全$k$ -着色是指给顶点分配$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$颜色，使得没有两个相同颜色的顶点相邻，并且任何两个颜色类的并集至少包含一条边。与完全着色相关的三个广泛研究的图不变量是完全着色中的最小和最大颜色数（分别为色数$χ(G)$和消色差数$ψ(G)$），以及Grundy数$Γ(G)$，其被定义为最大的$k$，该最大的$k$允许具有精确的$k$颜色的完全着色$φ$，使得颜色$φ(v)$的每个顶点$v\in V$对于所有$1\le i<φ(v)$都具有颜色$i$的邻居。不等式链$χ(G)\le Γ(G)\le ψ(G)$显然对所有图$G$都成立。一个至少为2的正整数三元组$(f,g,h)$称为可实现的，如果存在一个连通图$G$，其中有$χ(G)=f$，$Γ(G)=g$和$ψ(G)=h$ . Chartrand et al.（A note on graphs with prescribed complete coloring numbers，J. Combin.数学。组合。Comput. LXXIII（2010）77-84）找到了可实现的三元组列表。本文确定了具有色数$f$、Grundy数$g$和无色数$h$的连通图的最小顶点数，对所有可实现的整数三元组$(f,g,h)$.此外，对于$f=g=3$，我们描述了每个$h \geq 6$的（两个）极…
2013-12-29 cs.DM math.CO
Parameterized Complexity of the List Coloring Reconfiguration Problem with Graph Parameters
设$G$是一个图，使得每个顶点都有其可用颜色的列表，并假设每个列表是由$k$颜色组成的公共集合的子集。对于两个给定的列表着色的$G$，我们研究的问题转化为其他的一次只改变一个顶点的颜色分配，而在任何时候都保持一个列表着色。这个问题是已知的PSPACE完全的，即使有界带宽图和一个固定的常数$k$。在本文中，我们研究了固定参数的易处理性的问题时，参数的多个图参数。我们首先给出了一个固定参数算法的问题时，参数为$k$和输入图的模宽度。接下来，我们给出了一个固定参数的算法时，最短的变量参数为$k$和输入图的最小顶点覆盖的大小。作为推论，我们证明了问题的cographs和分裂图的最短的变种是固定参数听话，即使只有$k$作为一个参数。另一方面，我们证明了当仅由输入图的最小顶点覆盖的大小参数化时，该问题是W[1]-困难的。
2017-05-22 cs.DM cs.DS
Algorithms and Almost Tight Results for 3-Colorability of Small Diameter Graphs
尽管关于几个基本参数的3-着色问题已经有了广泛的研究，但小直径图（即直径为2或3的图）上的3-着色问题的复杂性状态一直是一个长期存在且具有挑战性的公开问题。对于直径为2的图，我们提供了第一个次指数算法的复杂性$2^{O(\sqrt{n\log n})}$，这是渐近相同的，目前最好的已知的时间复杂度的图同构（GI）的问题。证明了直径为2的3-可着色图的图同构问题是GI-完全的。此外，我们提出了一个子类的图直径为2，承认多项式算法的3-着色。对于直径为3的图，我们证明了对于每一个$\varepsilon \in [0,1)$，直径为3，半径为2，顶点为$n$，最小度为$δ=Θ(n^{\varepsilon})$的无三角形图的3-染色是NP-完全的。此外，假设ETH，我们提供了三个不同的放大我们的硬度结果，以获得每个$\varepsilon \in [0,1)$次指数下界的复杂性，3-着色的三角形自由图直径为3和最小度$δ=Θ(n^{\varepsilon})$。最后，我们给出了一个直径为3的图的3-着色算法$2^{O(\min\{δΔ,\frac{n}δ\logδ\})}$，其中$δ$（resp. $Δ$）是最小值（分别为最大）度。据我们所知，该算法是第一个次指数算法的图与$δ=ω(1)$和图与$δ=O(1)$和$Δ=o(n)$。由于3-着色复杂度的上述下界，当输入图为$δ=Θ(n^{…
2012-10-17 cs.DM cs.DS math.CO
Minimum Reload Cost Cycle Cover in Complete Graphs
重载成本是指当边着色图遍历两个不同颜色的边之间的内部顶点时，沿着边着色图上的路径发生的成本。Galbiati等人[1]引入了最小可重装载成本循环覆盖问题，即寻找一组覆盖所有顶点的顶点不相交循环，并且具有最小的可重装载成本。他们证明了这个问题是强NP-困难的，并且对于任何$ε> 0$，即使当颜色的数量为2时，该问题在$1/ε$中也是不可逼近的，重新加载成本是对称的，并且满足三角不等式。在本文中，我们研究了完全图中具有均匀或近似均匀2-边染色的问题，这是具有两种颜色的边染色，使得对于每个顶点$v \in V(G)$，分别为$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 1$或$||c_1(v)| -|c_2(v)|| \leq 2$，其中$c_i(v)$是具有与$v$关联的颜色$i$的边的集合。通过证明单色圈覆盖的存在性，证明了除了顶点数小于13的完全图之外，在几乎相等2-边着色的完全图上，最小重载代价为零.此外，我们提供了一个多项式时间的算法，构造一个单色循环覆盖在完全图的公平2-边染色，除了可能在一个完全图有四个顶点。除了某些特殊情况外，我们的算法还可以在几乎均匀2-边染色的完全图中找到单色圈覆盖。
2021-08-31 cs.DM
Directed paths on a tree: coloring, multicut and kernel
本文研究树上有向路弧交图的算法问题。这样的图被认为是完美的（Monma和Wei在1986年证明了这一点）。我们提出了更快的算法比以前已知的算法解决最小染色和最小团覆盖问题。它们都在$O(np)$时间内运行，其中$n$是树的顶点数，$p$是路径数。另一个结果是一个多项式算法计算核的交集图，当它的边缘是在一个coherent-acyclic的方式定向。事实上，根据Boros和Gurvich的定理，任何完美图都存在这样的核。这样的算法计算内核是已知的，只有少数几类完美图。
2009-02-06 cs.DM
A Vizing-like theorem for union vertex-distinguishing edge coloring
G-SCOP (CNRS, Univ. Grenoble-Alpes)（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Univ Lyon, Université Lyon 1（里昂第一大学）
本文研究了一种边着色变种，每条边被赋予颜色子集，顶点标签是其邻边颜色集的并集。研究了找到最小颜色数使每个顶点标签不同的问题，并证明对于任何图，该最小颜色数仅可能取3个值，针对路径、环和完全二叉树给出了精确值。
2017-07-17 cs.DM math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Upper oriented chromatic number of undirected graphs and oriented colorings of product graphs
定向图$\vec G$的定向色数是定向图$\vev H$使得$\vec G$允许与$\vev H$同态的最小阶.无向图$G$的定向色数是它的定向中最大的定向色数。本文引入了无向图$G$的上定向色数的新概念，定义为定向图$\vev U$的最小阶，使得$G$的每个定向$\vec G$都与$\vec U$同态.我们给出了这个参数的一些性质，导出了图的笛卡尔积、强积、直积和字典积的普通色数和上定向色数的一般上界，并考虑了路积的特殊情况。
2010-05-17 cs.DM
Fixed parameter algorithms for restricted coloring problems
本文对每个固定的$q$，给出了确定$P_4$ -整齐图和$(q,q-4)$ -图的无圈色数、星色数、Thue色数、调和色数和团色数的多项式时间算法.这些类包括余图、$P_4$ -稀疏图和$P_4$ -精简图。所有这些着色问题对于一般图都是NP-难的。这些算法是固定参数的易处理的参数$q(G)$，这是最小的$q$，使$G$是一个$(q,q-4)$ -图。证明了至少有$q$顶点的连通$(q,q-4)$ -图是2-圈可着色的，并且证明了上图的非圈着色也是非重复的.
2011-09-13 cs.CC cs.DM cs.DS
On Color Critical Graphs of Star Coloring
本文研究星着色的临界图，刻画了3-临界、(n-1)-临界和(n-2)-临界图的结构，并给出后两类临界图边数的上下界。
2023-05-29 cs.DM math.CO
Lower Bound for (Sum) Coloring Problem
ENAC French Civil Aviation University（法国国立民航大学（ENAC））；UHA University of Upper Alsace（上阿尔萨斯大学（UHA））
最小和着色问题是图顶点着色问题的一个变种，其中每种颜色都有一个权重。本文提出了一种新的方法来找到这个问题的下界，松弛成一个整数分割问题的基础上，附加约束。我们改进了标准基准DIMACS的18个图的下界，并证明了4个图的最优值达到其已知的上界。
2019-09-19 cs.DM cs.RO
Trivial colors in colorings of Kneser graphs
我们证明了Kneser图$KG_{n,k}$的任何具有$n-2k+2$颜色的真染色都包含平凡颜色（即，一种颜色，由全部包含固定元素的集合组成），提供$n>(2+\varepsilon)k^2$，其中$\varepsilon\to 0$为$k\to \infty$。这个界限基本上是紧的。这是对正确着色$KG_{n,k}$所需的非平凡颜色的最小数量的更一般结果的结果。
2022-08-10 cs.DM math.CO
Harmonious Coloring of Trees with Large Maximum Degree
$G$的调和着色是指$G$的一个真顶点着色，使得每对颜色至多出现在一对相邻的邻顶点上. $G$的调和色数，$h(G)$，是$G$的调和着色所需的最小颜色数。证明了如果$T$是一个阶为$n$的森林，其最大阶数为$Δ(T)\geq \frac{n+2}{3}$，则$$h(T)= Δ(T)+2, & if $T$ has non-adjacent vertices of degree $Δ(T)$; Δ(T)+1, & otherwise. $$.此外，还证明了一个求解这类森林的最优和谐着色的多项式时间算法.
2012-02-06 cs.DM math.CO
The Maximum k-Differential Coloring Problem
给定一个$n$ -顶点图$G$和两个正整数$d,k \in \mathbb{N}$，（$d,kn$）-微分着色问题要求$G$（如果存在）的顶点用从1到$kn$的不同数着色（被视为\emph{colors}），使得任何相邻顶点的两种颜色之间的最小差至少为$d$ .虽然它是已知的问题，确定是否一般图是（$2,n$）-微分着色是NP-完全的，我们的主要贡献是一个完整的特征的二部，平面和outerplanar图，承认（$2,kn$）-微分着色。出于实际原因，我们还考虑大于$n$的颜色范围，即，$k > 1$。证明了判定一个图是否允许（$3,2n$）-微分染色是NP-完全的。对于（$\lfloor 2n/3 \rfloor, 2n$）-微分着色问题，即使在输入图是平面图的情况下，同样的否定结果也成立。
2014-10-02 cs.DM
On the Span of $l$ Distance Coloring of Infinite Hexagonal Grid
对于图$G(V,E)$和$l \in \mathbb{N}$，$l$距离着色是$V$的着色$f: V \to \{1, 2, \cdots, n\}$，使得当$d(u,v) \leq l$时$\forall u,\;v \in V,\; u\neq v,\; f(u)\neq f(v)$。这里，$d(u,v)$是$u$和$v$之间的距离，并且等于$G$中连接$u$和$v$的边的最小数目。$G$的$l$距离染色的跨度$λ^{l}(G)$是$G$的所有$l$距离染色中的最小$n$。蜂窝网络中的一类信道分配问题可以表示为规则网格图中的距离图着色问题。蜂窝网络通常被建模为无限六边形网格$T_H$，因此从实际的观点来看，确定$λ^{l}(T_H)$具有相关性。Jacko和Jendrol [Discussiones Mathematicae Graph Theory，$2005$ ]确定了$λ^{l}(T_H)$对于任何奇数$l$和偶数$l \geq 8$的精确值，证明了$λ^{l}(T_H) = \left[ \dfrac{3}{8} \left( \, l+\dfrac{4}{3} \right) ^2 \right]$（其中$[x]$是整数）、$x\in \mathbb{R}$和$x-\dfrac{1}{2} < [x] \leq x+\dfrac{1}{2}$。对于$l=8$，该猜想已…
2022-06-20 cs.DM math.CO
Star Coloring of Hypergraphs
Hacettepe University（哈塞特佩大学）
研究超图上星染色问题的推广，通过定义\(\mathcal{F}\)-染色，给出\(\chi^r_{\mathcal{F}}(d)\)的界，进而得出超图上星染色和无圈染色问题的结果。
2026-07-08 cs.DM math.CO
On Domination Coloring in Graphs
图$G$的控制染色是指图$G$的一个真点染色，使得图$G$的每个顶点控制至少一个色类，并且每个色类被至少一个顶点控制.所有控制着色中的最小颜色数称为控制色数，记为$χ_{dd}(G)$。本文通过对任意图证明该问题的NP-完全性，研究了该问题的复杂性，并给出了几类图的一般界和特征。并给出了控制色数$χ_{d}(G)$、控制色数$χ_{dom}(G)$、色数$χ(G)$和控制数$γ(G)$之间的关系.我们给出了几个关于图的$χ_{dd}(G)=χ(G)$的结果。
2019-09-09 cs.DM math.CO
Computing Minimum Rainbow and Strong Rainbow Colorings of Block Graphs
本文研究块图的彩虹连通数与强彩虹连通数，证明分裂图的强彩虹连通数判定是NP完全的，并给出块图强彩虹连通数的线性时间算法及彩虹连通数至多4的无桥块图的刻画。
2018-05-28 cs.DM
A Branch and Price Algorithm for List Coloring Problem
图中的着色问题已经被广泛地用于模拟实际应用。特别地，列表着色问题推广了众所周知的图着色问题，针对该问题已经开发了许多精确算法。在这项工作中，我们提出了一个分支和价格算法的加权版本的列表着色问题的基础上，由Mehrotra和技巧（1996年）开发的图着色问题。该版本考虑与每个颜色相关联的非负权重，并且需要从预定列表中为每个顶点分配颜色，以使所分配颜色的权重之和最小。计算实验表明，我们的方法具有良好的性能，能够舒适地解决的例子，其图形有多达70个顶点。这些经验还表明，列表着色问题的实例的难度似乎不仅取决于定量参数，如图的大小，其密度和颜色列表的大小，而且还取决于列表中颜色的分布。
2018-11-30 cs.DM
Strengthened Partial-Ordering Based ILP Models for the Vertex Coloring Problem
顶点着色问题要求给定图的顶点可以被分配的颜色的最小数量，使得每两个相邻的顶点得到不同的颜色。对于这个NP难问题，已经提出了各种整数线性规划（ILP）模型。其中，基于分配和基于偏序的ILP模型由于其简单性和易扩展性而备受关注。此外，在稀疏图上，这两种模型被证明是解决顶点着色问题的最强精确方法之一。在这项工作中，我们提出了额外的加强约束的偏序为基础的ILP模型，并表明，它们导致相应的LP松弛的下界改善。我们的计算实验证实，新的约束也导致实际的改进。特别是，我们能够找到最佳的解决方案，以前开放的实例，从DIMACS基准集的顶点着色问题
2022-06-28 cs.DM
Interval Total Colorings of Complete Multipartite Graphs and Hypercubes
图$G$的全染色是图的顶点和边的染色，使得没有邻顶点、边以及没有关联顶点和边获得相同的颜色。图$G$的区间全$t$ -着色是$G$用颜色$1,\ldots,t$的全着色，使得所有颜色都被使用，并且与$v$一起入射到每个顶点$v$的边被$d_{G}(v)+1$连续颜色着色，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。本文证明了每部分顶点数相同的完全多部图都是区间全可染的。此外，我们还给出了这类图的区间全染色的最小和最大跨度的一些界。其次，我们研究了超立方体$Q_{n}$的区间全染色。特别地，我们证明了$Q_{n}$（$n\geq 3$）具有区间全$t$ -染色当且仅当$n+1\leq t\leq \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .
2014-08-11 cs.DM math.CO
Approximate and exact results for the harmonious chromatic number
图着色是图论中的一个基本主题，它需要在各种约束条件下为顶点或边分配标签（或颜色）。研究了图的调和染色，它是一种适当的顶点染色，使得对于每两种不同的颜色i，j，至多有一对相邻顶点被i和j染色.这种染色是边可区别的，在交通网络，计算机网络，航空网络系统中有潜在的应用.在本文中提出的结果分为两类：在第一部分的文件，我们关注的是计算方面找到一个最小的和谐着色，在第二部分中，我们确定的确切值的和谐色数为某些特定的图形和类的图形。更确切地说，在第一部分中，我们发现，找到一个最小的和谐染色的任意图是APX-困难的，自然贪心算法是一个$Ω(\sqrt{n})$ -近似，而且，我们显示的顶点覆盖和和谐色数之间的关系。在第二部分中，我们确定了直径为3的所有3-正则平面图、某些非平面正则图和圈相关图的调和色数的精确值。
2021-06-01 cs.DM math.CO
On Maximum Differential Coloring of Planar Graphs
本文研究了\emph{maximum differential coloring problem}，其中$n$ -顶点图的顶点必须用不同的数进行标号，标号的范围从$1$到$n$，使得任意两个相邻顶点的两个标号之间的最小绝对差最大化.由于问题是一般图的\NPH ~ \cite{leung1984}，我们考虑平面图及其子类。我们初步证明，最大微分着色问题仍然是\NPH，即使是平面图。然后，我们提出了严格的界限，定期毛毛虫和蜘蛛图。使用这些新的界限，我们证明了米勒-普里提金标记计划~ \cite{miller89}森林是最佳的定期毛虫和蜘蛛图。最后，我们描述了接近最优的微分着色算法一般毛毛虫和双连通三角形自由外平面图。
2014-06-12 cs.DM math.CO
Improved algorithms for colorings of simple hypergraphs and applications
本文研究超图染色的极值问题。本文利用随机赋边算法证明了任意$n$ -一致简单超图$H$是$r$ -可着色的，其中$c>0$是一个绝对常数，且最大边度至多为\[ Δ(H)\leq c\cdot nr^{n-1}, \].我们还证明了对于$b$ -简单超图也有类似的结果.作为我们的证明技术的应用，我们建立了一个新的下界范德瓦尔登数$W(n,r)$，最小$N$，使在任何$r$ -着色的集合$\{1,...,N\}$有一个单色算术级数的长度$n$。我们证明了对于一定的绝对常数$c>0$，\[ W(n,r)>c\cdot r^{n-1}, \]。
2014-09-24 cs.DM math.CO
Total coloring of 1-toroidal graphs of maximum degree at least 11 and no adjacent triangles
图$G$的{ \em全着色}是对$G$的顶点和边的颜色分配，使得每对相邻/关联元素接收不同的颜色。图$G$的{ \em色数}，记为$\chiup''(G)$，是图$G$的全色中的最小颜色数。著名的全染色猜想（TCC）指出，每个具有最大度$Δ$的图都允许至多有$Δ+ 2$色的全染色.一个图是{ \em $1$ -toroidal}，如果它可以画在环面上，使得每条边至多与另一条边相交。本文研究了$1$ -环面图的全染色问题，证明了对于最大度至少为~ $11$且三角形有一定限制的$1$ -环面图，TCC是成立的.因此，如果$G$是一个$1$ -环形图，其最大度$Δ$至少为~ $11$且没有相邻三角形，则$G$允许至多有$Δ+ 2$色的全染色。
2018-11-18 cs.DM math.CO
Exact defective colorings of graphs
图$G$的精确$(k,d)$染色是用$k$颜色对其顶点进行染色，使得每个顶点$v$与具有与$v$相同颜色的$d$顶点精确相邻。精确$d$ -亏色数，记为$χ_d^=(G)$，是使得存在$G$的精确$(k,d)$ -着色的最小$k$.在一个精确的$(k,d)$ -染色中，每个色类都导出一个$d$ -正则子图，对于$d=0$，该染色对应于一个真染色.我们给出的参数的基本性质，并确定其确切的价值周期，树，和完整的图形。此外，当$G$是平面的、弦的或具有有界树宽时，我们为$d$的所有相关值建立了$χ_d^=(G)$上的界。我们还给出了多项式时间算法找到某些类型的确切$(k,d)$着色仙人掌图和块图。我们的主要结果是对计算复杂性的$d$ -完全有缺陷的$k$ -着色，其中我们给出了一个图$G$，并要求决定是否$χ_d^=(G) \leq k$。具体地说，我们证明了这个问题是NP完全的所有$d \geq 1$和$k \geq 2$。
2021-09-11 cs.DM math.CO
Minimum Rainbow $H$-Decompositions of Graphs
给定图$G$和$H$，我们考虑将一个适当边有色图$G$分解成由$H$的彩虹拷贝和单边组成的几个部分的问题.我们建立一个密切的关系，以前研究的问题，最小的$H$ -分解，边着色并不重要，一个只感兴趣的是分解成副本的$H$和单边图。
2017-04-04 cs.DM math.CO
